Calcul avancé - exercice 9, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, le corps des nombres complexes.
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[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1973 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction réelle de la variable réelle x définie par :

f (x)= x

x2−1 + ln

x+1

x−1 (où ln désigne le logarithme népérien).

1. Montrer que f est impaire et la représenter graphiquement dans le planmuni

d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Calculer la dérivée de l’expression :

g (x)= (x+1) ln(x+1)− (x−1) ln(x−1).

et l’aire du domaine plan compris entre les droites d’équations respectives x = 2 et x = a (a > 2) l’axe des abscisses et la courbe d’équation y = f (x).

Cette aire a-t-elle une limite lorsque a tend vers l’infini ?

EXERCICE 2

Soit C le corps des nombres complexes. L’équation suivante est écrite dans C :

z2− (1+m)(1+ i)z+ i (

m2+1 )

= 0 (1)

1. En faisant le changement d’inconnue z = (1+ i)u, dans (1) former une équa- tion (2) dont u soit racine. La résoudre dans C.

2. Soient u1 et u2 les solutions dans C de (2) et soient M1 et M2 les images ponc- tuelles de u1 et u2. Montrer que M2 se déduit de M1 par une transformation ponctuelle simple dont on donnera les éléments géométriques.

PROBLÈME

Dans le plan affine euclidien muni du repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

on considère

l’application affine Tk transformant le point M de coordonnées (x ; y) en le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

telles que

{

5x′ = (4+k)x+2(1−k)y 5y ′ = 2(1−k)x+ (1+4k)y

k est un réel quelconque.

Partie A

1. Ecrire la matrice Ak de l’application linéaire associée à Tk par rapport à la

base (

−→ ı ,

−→

)

. Montrer qu’on peut trouver deux matrices P et Q à deux lignes

et deux colonnes, à éléments réels telles que :

Ak =P +kQ .

2. Tk est-elle bijective pour tout k ∈R ?

Soit T = {

Tk/k ∈R ⋆ }

. ◦ désignant la composition habituelle des applications, (T , ◦) est-il un groupe ?

Définir analytiquement, lorsqu’elle existe, T−1 k

.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

3. Tk est-elle involutive en général ? Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles Tk est involutive ?

Partie B

1. On choisit k = 0.

a. Quelle est l’image du plan par T0 ?

b. Quelle est la nature géométrique de T0 ?

2. On choisit k =−1. Caractériser géométriquement T−1.

Partie C

1. Soient f1 et f2 les fonctions réelles de la variable réelle x définie par :

f1(x)= 3x+ 5

2

x2+1, f2(x)= 3x− 5

2

x2+1

a. Comparer f1(x) et f2(−x). Étudier les variations de f1 et de f2 et tracer les courbesC1 etC2 d’équations respectives y = f1(x) et y = f2(x) dans le

plan muni du repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

b. On note C = C1∪C2. Montrer que le point M(x ; y) appartient à C si et seulement si :

4y2+11x2−24xy −25 = 0

2. a. Déterminer les transformées par T−1 des droites :

2y −11x = 0 et x−2y = 0

b. Quelle est la transformée de C par T−1 ?

c. Quelle est la nature géométrique deC ?

N. B. - C - 1. est indépendant des questions précédentes.

Clermont-Ferrand 2 juin 1973

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