Contrôle de sciences statistiques 1 - 1° partie, Exercices de Statistiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 1 - 1° partie, Exercices de Statistiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Contrôle de sciences statistiques - 1° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les inégalités, la suite numérique, la suite d’intégrales.
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Terminale S

Calcul intégral Exercices

1. 1. Questions de cours : équations différentielles 1 1. 2. Calcul de primitives 1 1 1. 3. Calcul de primitives 2 3 1. 4. Calcul d’intégrales 3 1. 5. Encadrement-1 3 1. 6. Encadrement-2 4 1. 7. Vrai-Faux justifié, Asie 2007 4 1. 8. Vrai-Faux justifié, Polynésie 2008 4 1. 9. ROC+aire, Antilles 2007 5 1. 10. ROC+Intégrales, France 2007 6 1. 11. ROC+aire, Antilles remplt 2007 6 1. 12. Fonction intégrale, Polynésie sept 2007 7 1. 13. Volume de révolution-1 9 1. 14. Volume de révolution-2 9 1. 15. argch x 9 1. 16. fonction trigo 9 1. 17. Intégrale et suite 1 9 1. 18. Intégrale et suite 2 10 1. 19. Intégrale et suite 3 10 1. 20. Intégrale et suite 4 : constante d’Euler 11 1. 21. Intégrale et suite 6 12 1. 22. Intégrale+suite 7, France et La Réunion 2008 12 1. 23. Suite d’intégrales, Pondichéry 2007 12 1. 24. Intégrale 1 13 1. 25. Intégrale 2 13 1. 26. Intégrale 3 13 1. 27. Intégrale 4 13 1. 28. Intégrale 5 14 1. 29. Intégrale 6 14

1. 30. Intégrale 7, La Réunion 2005 15 1. 31. Intégrale + ROC 15 1. 32. ROC+intégrale, Polynésie 06/2008 16 1. 33. Autour de arctangente – ESME-SUDRIA 2001 18 1. 34. Equa diff 2nd membre, Bac C, Pondicherry 198818 1. 35. Equa diff 2nd membre, Antilles 1988 18 1. 36. Equa diff 2nd membre, Antilles 2000 19 1. 37. Equa diff+suites, France 2003 19 1. 38. Equa diff : apprentissage 20 1. 39. Equa diff : pendule 20 1. 40. Equa diff : lancer de balle 21 1. 41. Equa diff : quotient 21 1. 42. Equa diff : équation de Bernoulli 21 1. 43. Equa diff : populations 22 1. 44. Equa diff : second ordre 23 1. 45. Equa diff : équation de la chaleur 23 1. 46. Equa diff+ROC, La Réunion 2005 24 1. 47. Equa diff + aire, Asie 2006 24 1. 48. Equa diff+ROC, France sept 2006 25 1. 49. Equa diff trigo, France remplt 2007 26 1. 50. Méthode de Newton, C. étrangers 2007 26 1. 51. La bonne vitesse du volant 27 1. 52. STL, France, juin 2004 29 1. 53. Equa diff 2nd ordre, STL, France, juin 2005 29 1. 54. Équa diff+courbe, France 2010, 6 points 30 1. 55. Équa diff+intégrale, La Réunion 2010, 5 points31 1. 56. Equa diff, 2nd membre, Am. du Sud 11/2008 32

1. 1. Questions de cours : équations différentielles

Valider ou infirmer les propositions suivantes :

1. Les solutions de l’équation différentielle : y’ + 4y = 0sont les fonctions définies sur par

4( ) xf x e C 

C est une constante réelle.

2. La fonction définie pour tout x réel par 7( ) 5xf x e  est l’unique solution de l’équation

différentielle :

y’ = −7 y + 35 et y(0) = 5.

1. 2. Calcul de primitives 1

Déterminez une primitive de f sur I dans chacun des cas suivants : (pensez à vérifier vos réponses)

1. 5 3( ) 12 4 1 ;f x x x I    16. ( ) sin 2cos ;f x x x I   

2. 2

4 ( ) 3 ; ]0 ; [f x I

x     17.

0,5 ( ) ;

² 1

x f x I

x x

  

 

3. 3

3 ( ) ;

( ² 1)

x f x I

x  

18. 2

3 ( ) 1 ; ]0 ; [f x I

x     

4. 2

( ) ; ]1 ; [ ² 1

x f x I

x   

 19. 3 2( ) 7 2 3 ;f x x x I   

5. 6 3

( ) ; ² 1

x f x I

x x

  

  20.

2 ( ) sin ; ;

cos ² 2 2 f x x I

x

         

6. ( ) cos 2sin ;f x x x I    21. f(x) = 3 + cos x, I

7. 3( ) cos sin ;f x x x I  22. f(x) = sin 3x, I

8. 1

( ) cos ; ; cos ² 2 2

f x x I x

         

23. sin

( ) cos ²

x f x

x  , ;

2 2 I

       

9. ( ) (2 1)² ;f x x I   24. ( ) ² 3

x f x

x

 ,  3 ;I  

10. 4 4 ² 2

( ) ; ]0 ; [ ²

x x f x I

x

     25.

3 3( ) ²( 2)f x x x  , I

11. ( ) (3 1)² ;f x x I   26. 5 2

( ) 2cos 3 4sin cos 6 3 3 3

x f x x

            

   

12. 42 3 ² 1

( ) ; ]0 ; [ ²

x x f x I

x

     27.

5 ( ) 4

7 3 1 f x

x  

 , I=

1 ;

3

     

13. 3

3 ² ( ) ; ]1 ; [

1

x f x I

x   

 28.

3 7

3 1 ( )

(2 4) 4(5 ) f x

x x  

  , I=] 2 ; 5[

14. 3

5 ( ) ;

( ² 1)

x f x I

x

  

 29.

2

3 2 4 ( )

(2 3 )

x x f x

x x

 

 , I=]0 ;  [

15. 4( ) cos sin ;f x x x I  30. 4 3

3

5 2 4 1 ( )

x x x f x

x

    , I=]0 ;  [

Quelques réponses

1. Solution :   6 42F x x x x K    .

2.   4

3F x x K x

   .

3.          

3 3 1 2 2

2 2

3 3 1 3 2 1 1

2 2 3 1 4 1

f x x x F x x K K

x

                 

.

4.         1

1/ 2 1 2 2 22

1 2 1 1 2 1

1 1

2

f x x x F x x K x K            

    

.

5.          1

1/ 2 1 2 2 22

3 3 2 1 1 1 6 1

1 1

2

f x x x x F x x x K x x K                

    

.

6.   sin 2cosF x x x K    .

7.   4 1

sin 4

F x x K  .

8.   tan sinF x x x K   .

9.           2 2 1 31 1 1 1

2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 6

f x x F x x K x K          

   .

10.    2 3 2

2 1 2 4 4

3 f x x F x x x K

xx         .

21. F(x) = 3x + sin x.

22. 1

( ) cos3 3

F x x  .

23. sin sin '( )

( ) cos ² cos ² ²( )

x x u x f x

x x u x

      avec u(x) = cos x

1 1 ( )

( ) cos F x

u x x   .

24.

1 1

2 2 1

2

1 2 1 1 ( ) 2 ( ² 3) '( ) ( )

2 2 2² 3 ( ² 3)

x x f x x x u x u x

x x

 

       

, u(x) = x² – 3, n – 1 = −1/2, n = ½,

1

2 1

( ) ( ) ( ² 3) ² 3 2

F x u x x x     .

25. u(x) = x3 + 2, u’(x) = 3x², n – 1 = 3, n = 4, G(x) = (x3 + 2)4, g’(x) = 43x²( x3 + 2)3,

F(x) =   4

31 1( ) 2 4 4

G x x  .

1. 3. Calcul de primitives 2

1. Montrer grâce à la formule de duplication que pour tout réel x, 2 1 cos(2 )

cos 2

x x

  . En déduire une

primitive sur de la fonction f : 2cosx x .

2. En utilisant la question 1. montrer que pour tout x, 4 cos(4 ) 4cos(2 ) 3

cos 8

x x x

   . En déduire une

primitive sur de la fonction f 2.

3. Montrer que pour tout x, 3 2cos cos cos sinx x x x  . En déduire une primitive sur de la fonction g : 3cosx x .

4. A l’aide d’une intégration par parties, donner une primitive sur de la fonction h définie par

( ) 2 sin(3 )h x x x .

5. Dans quel album d’Asterix voit-on pour la première fois Idefix ?

1. 4. Calcul d’intégrales

Calculez les intégrales suivantes (la rédaction doit être détaillée ; vous pouvez cependant vérifier vos réponses à l’aide de la calculatrice) :

a)

0

3

3

( 2 ² 1)x x dx

  ; b) 2

1

1

² 2 2

x dx

x x

  ; c) 1

ln e

t dt

t ; d) 2

3

1

2 xe dx ; e) 3

0

5

2 3 dx

x  ; f) 2

1

( 1)lnx x dx ;

g)

1

ln

²

e x

dx x ; h)

2

0

sin cos

cos ² 1

x x dx

x

 ; i) 0

3

2

(2 1)x x dx

  ; j) 2

1

2

(3 1)² du

u ; k) 1

ln e

e

x dx

x ; l) 2

2

0

3 xe dx ;

m)

4

0

1

2 1 dx

x  ; n) 2

1

² lnx x dx ; o) 1

ln 2

²

e t

dt t ; p)

4

sin

6

cos xx e dx

 

 ;

q) 1

2

1

1t t dt

 ; r)   2

2 2 1

1 1

1 2 dx

x x  

 ; s) 22

2

1 tan 2

u du

 

    

  .

t) 1

2

0

xxe dx u) 33

0

sin cosx xdx

 , v) 2

1

xe dx

x .

1. 5. Encadrement-1

Pour tout réel positif a, on définit 2

1

ln ( )

a x I a dx

x   .

1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que 2

ln( ) 1 ( ) 1

a I a

a

   .

2. En déduire la limite de I(a) quand a tend vers  .

3. On définit maintenant 2

1

ln( ) ( )

1

a x J a dx

x

 . En utilisant (avec justification) que pour tout x supérieur à

1, 2 2 21 2x x x   , montrer que 1

( ) ( ) ( ) 2

I a J a I a  .

1. 6. Encadrement-2

Soit f la fonction définie sur [1 ;  [ par : ( ) xf x x e .

Pour tout 1  , on considère l’intégrale : 2

( ) ( )I f x dx

    .

1. Interpréter géométriquement le nombre  I  .

2. Démontrer que, pour tout  1 ;x  , on a :  x xe f x xe   .

3. En déduire pour tout 1  un encadrement de  I  .

4. Quelle est la limite de  I  lorsque  tend vers  ?

5. Déterminer la dérivée par rapport à  de I. Quel est son signe ? Dresser le tableau de variation de I.

1. 7. Vrai-Faux justifié, Asie 2007

4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fause et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstrationconsistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucunpoint.

1. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par :   2sinf x x , alors sa fonction dérivée vérifie,

pour tout nombre réel x,  ' sin 2f x x .

2. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 1], dont la dérivée est continue sur cet

intervalle. Si    1 1f f   , alors :     1 1

1 1

tf t dt f t dt  

   .

3. Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [0 ; 3]. Si     3 3

0 0

f t dt g t dt  , alors pour tout

nombre réel x appartenant à [0 ; 3] :    f x g x .

4. Si f est solution de l’équation différentielle ' 2 2y y   et si f n’est pas une fonction constante, alors la

représentation de f dans un repère du plan, n’admet aucune tangente parallèle à l’axe des abscisses.

1. 8. Vrai-Faux justifié, Polynésie 2008

5 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si. elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète. ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Soit f la fonction solution sur  de l'équation différentielle ' 2y y   telle que  ln 2 1f  .

Proposition 1 : « La courbe représentative de f admet au point d'abscisse 0, une tangente

d'équation 2y x ».

2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle  ;A  où A est un réel strictement positif.

Proposition 2 : « Si  lim 0 x

f x 

 alors    lim 0 x

f x g x 

 ».

3. On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg.

Proposition 3 : « À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».

4. Soient A et B deux événements d'un même univers  muni d'une probabilité p.

Proposition 4 : « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(AB) = 0,8 ».

5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2 % de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99 % des pièces défectueuses et accepte 97 % des pièces non défectueuses.

On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.

Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 »,

1. 9. ROC+aire, Antilles 2007

6 points

Question de cours

Prérequis : positivité et linéarité de l’intégrale.

Soient a et b deux réels d’un intervalle I de tels que a b . Démontrer que si f et g sont deux fonctions

continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I, f (x) > g (x), alors     b b

a a

f x dt g x dt  .

Partie A

1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l’intégrale   1

2 x

t dt .

2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l’intervalle  1 ;  , on a : 1

2 t t

  .

3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : 2 1 3

2 ln 2 2

x x x    .

Partie B

Soit h la fonction définie sur par   2 1 3

2 2 2

h x x x    .

Sur le graphique joint, le plan est muni d’un repère orthogonal ( ; , )O i j dans lequel on a tracé les

courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien (ln) sur l’intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite (d) d’équation x = 4.

1. a. Démontrer que   4

1

0h x dx  .

b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente.

2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4].

En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire.

1. 10. ROC+Intégrales, France 2007

3 points

1. Restitution organisée de connaissances

Démontrer la formule d’intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b].

2. Soient les deux intégrales définies par 0

sinxI e xdx

  et 0 cos xJ e xdx

  .

a. Démontrer que I J  et que 1I J e   .

b. En déduire les valeurs exactes de I et de J.

1. 11. ROC+aire, Antilles remplt 2007

5 points

Question de cours : soit I un intervalle de . Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées u’ et v’ soient continues sur I.

Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.

Partie A

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle  0 ;1 . On note 'f la fonction dérivée de f. On

suppose que 'f est continue sur l’intervalle  0 ;1 .

1. Utiliser la question de cours pour montrer que       1 1

0 0

1f x dx f xf x dx   .

2. En déduire que       1 1

0 0

1f x f dx xf x dx      .

Partie B

On désigne par ln la fonction logarithme néperien.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  2 ; 2 par   2

ln 2

x f x

x

    

  et C sa courbe représentative

dans un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle  2 ; 2 , on a   2

4 '

4 f x

x  

.

b. En déduire les variations de f sur l’intervalle  2 ; 2 .

Partie C

Le courbe C est tracée ci-dessous. Hachurer la partie P du plan constituée des points M(x ; y) tels que :

0 1x  et   ln 3f x y  .

En utilisant la partie A, calculer en cm2 l’aire de P.

1. 12. Fonction intégrale, Polynésie sept 2007

7 points

On désigne par (E) l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle  0 ; 1 et vérifiant les conditions P1, P2 et P3 suivantes :

P1 : f est strictement croissante sur l’intervalle  0 ; 1 .

P2 :  0 0f  et  1 1f  .

P3 : Pour tout réel x de l’intervalle  0 ; 1 ,  f x x .

Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j du plan, on note (C) la courbe représentative d’une fonction f de

l’ensemble (E) et (D) la droite d’équation y x .

A toute fonction f de (E) on associe le nombre réel   1

0 fI x f x dx    .

1. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l’élimination des deux autres.

Courbe n°1 Courbe n°2 Courbe n°3

b. Montrer que, pour toute fonction f de (E), 0fI  .

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle  0 ; 1 par   2 1xh x   (on rappelle que pour tout réel x, ln 22x xe ).

a. Montrer que la fonction h vérifie les conditions P1 et P2.

b. Soit  la fonction définie sur l’intervalle  0 ; 1 par   2 1xx x    .

Montrer que, pour tout x de  0 ; 1 ,   0x  (on pourra étudier les variations de  sur  0 ; 1 ). En déduire que la fonction h appartient à l’ensemble (E).

c. Montrer que le réel hI associé à la fonction h est égal à 3 1

2 ln 2  .

3. Soit P une fonction définie sur l’intervalle  0 ; 1 par   2P x ax bx c   où a, b et c sont trois

nombres réels avec 0 1a  . On se propose de déterminer les valeurs des réels a, b et c pour que la

fonction P appartienne à l’ensemble (E) et que P hI I .

a. Montrer que la fonction P vérifie la propriété P2 si et seulement si, pour tout réel de l’intervalle  0 ; 1 ,

   2 1P x ax a x   .

Montrer que toute fonction P définie sur  0 ; 1 par    2 1P x ax a x   avec 0 1a  appartient à (E).

b. Exprimer en fonction de a le réel PI associé à la fonction P.

c. Montrer qu’il existe une valeur du réel a pour laquelle P hI I . Quelle est cette valeur ?

1. 13. Volume de révolution-1

La fonction ( ) xf x xe engendre en tournant autour de l’axe (Ox) un volume de

révolution. Calculer à l’aide d’une intégration par parties le volume engendré par la portion de courbe délimitée par x = 0 et x = 1. En donner une valeur approchée à 10−2 près.

1. 14. Volume de révolution-2

1. Calculer 24

0

tanI x x dx

  à l’aide d’une intégration par parties.

2. Soit la fonction définie sur 0 ; 2

     

par :   tanf x x x dont la courbe (Cf) est représentée ci-contre

dans le plan P muni du repère orthonormal ( ; , )O i j .

On considère le solide engendré par la rotation autour de l’axe ( ; )O i de la surface délimitée dans le

plan P par l’axe ( ; )O i , la droite d’équation 4

x   et la courbe (Cf).

Sachant que l’unité graphique est de 2 cm, calculer le volume V du solide en cm3.

1. 15. argch x

Soit la fonction  2( ) ln 1f x x x   . 1. Montrer que f existe sur [1, [ ; calculer sa dérivée f’(x).

2. Déduisez en la valeur de 2

22 1

dx K

x

  .

3. Pensez-vous pouvoir utiliser une méthode semblable pour calculer l’intégrale

1

2 1 2 2

' 1

dx K

x 

  ?

1. 16. fonction trigo

1. On pose F(x) = ax2cosx + bxsinx + c cosx (a, b, et c sont trois constantes réelles). Calculer F’(x).

2. Déterminer a, b et c pour que F soit une primitive de x2sinx.

3. En déduire le calcul de 22

3

sinx xdx

 .

1. 17. Intégrale et suite 1

On considère la fonction numérique f définie par 1

( ) 1

f x x

 

.

1. Déterminer une fonction polynôme P, de degré inférieur ou égal à 3 qui a même valeur et même nombre dérivé que f en 0 et 1.

2. Soit k la fonction définie par 3 2 1 1 3

( ) 1 1 4 4

k x x x x x

     

. Factoriser k et en déduire la position

relative de Cf et CP, les courbes représentatives de f et P.

(Cf)

i

j

3. A l’aide d’un encadrement de 1+x pour x dans [0 ; 1] montrer que 1

0

1 1 ( )

240 120 k x dx  .

4. Calculer 1

0

( )f x dx et 1

0

( )P x dx .

5. Déduire des résultats précédents la valeur de l’entier n tel que 1

ln 2 240 240

n n   .

6. On considère la suite géométrique nu de premier terme 1 et de raison −x.

a. Calculer la somme des n premiers termes : 2( ) 1 ... ( )nns x x x x      ; en déduire 1( )

( ) ( ) 1

n

n

x f x s x

x

  

 .

b. Montrer que 1

2 3 1

0 0

1 1 1 ( ) ( ) ... ( )

2 3 1 1

na a n xf x dx a a a x dx

n x

        

   .

c. Montrer que sur [0 ; a] on a 1 1 1( )

1 1 1

n n na x a

a x a

        

puis que 2 1 2

0

( )

1 1 1

n n naa x a dx

a x a

         . Préciser la

limite de 1

0

( )

1

na x dx

x



 lorsque n tend vers  .

d. On admet que ce résultat reste valable lorsque a vaut 1. En déduire un algorithme de calcul de ln2.

Rappel : somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0, de raison q : 1

0

1

1

nq u

q



.

1. 18. Intégrale et suite 2

Pour tout k entier on note kf l’application de [0 ; 1] dans définie par ( ) 1 k

kf x x x  . On appelle kC

sa courbe représentative.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de kf .

2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de kf .

3. Etudier les positions respectives de kC et 1kC  . Tracer les courbes 0 1 2, ,C C C .

4. On pose 1

0

( )k kI f x dx  . Calculer 1

0 0

( )f x dx .

a. Quel est le sens de variation de kI ? Montrer que kI converge vers une limite l que l’on ne cherchera

pas.

b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0, on a 1 2

2 3 k k

k I I

k 

 . En déduire une

expression de kI .

c. Montrer que pour tout k entier, on a 1

0

( ) 1

k

a f x dx

k   où a est une constante que l’on déterminera. En

déduire la limite de kI .

1. 19. Intégrale et suite 3

On considère la fonction f définie sur {1} par ( ) 1

xe f x

x

 

. On rappelle que 2,7183e .

La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-contre.

On considère l’intégrale 0

1

( )J f t dt

  ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.

1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que l’on rendra avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.

2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que 1 2

e J  .

3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison x.

Justifier alors l’égalité : 1

2 11 ... 1 1

n n xx x x

x x

       

.

4. En déduire que 0 1 2 ... n nJ u u u u R      où 0

1

k t ku t e dt

  et 0

1

1

( )nnR t f t dt

  .

5. Justifier l’encadrement 0 0

1 1

1 12

n n n

e t dt R t dt 

 

   ; en déduire que 1

1 2( 1) n

e R

n n  

  . Quelle est la

limite de nR quand n tend vers l’infini ?

On pose dorénavant 0 1 ...n nS u u u    ; on voit donc que la

suite nJ S tend vers 0, soit que les valeurs successives de

nS constituent une « bonne » approximation de J.

6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer nS pour être sûr

que 0n

S est une valeur approchée de J à 10−2 près ?

7. On s’intéresse de plus près à ku .

a. Calculer 0u .

b. En utilisant une intégration par parties montrer que

1( 1) k

k ku e ku    .

c. A l’aide de cette relation donner sous la forme k ka e b , où

ka et kb sont deux entiers relatifs, la valeur de 1 2 3 4, , ,u u u u

et 5u . En déduire les valeurs de 4S et 5S . Donner une

estimation de la précision obtenue ainsi sur J.

1. 20. Intégrale et suite 4 : constante d’Euler

Soit les fonctions f et g définies sur par ( ) xf x x e  et ( ) (1 ) xg x x e  .

1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement ln

lim 0 x

x

x  , déterminer les limites de f et g

en  et  .

b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf.

c. Dresser le tableau de variation de f et g.

2. a. Pour tout réel x, on pose ( ) ( ) ( )h x f x g x  . Déterminer le sens de variation de h.

b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse  et que  1 ; 2  .

c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.

3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1 xx e  .

b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1

1

xe x

 

.

x

f

−∞

0

1 +∞

f’ + +

−∞ 1

0

+∞ +∞ 0

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