Contrôle de sciences statistiques 1 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 1 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques - 2° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Calcul de I, Intégrale.
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c. On pose 1

x k  , k entier naturel. Déduire des questions précédentes que

1 1 ln ln

1

k k

k k k

        

    .

4. On s’intéresse à la suite 1 1 1

1 ... ln 2 3

nS n n

      .

a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10–4 près de 10 20 30, ,S S S . Quelles

conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn ?

b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que 0 1nS  . Qu’en concluez-

vous ?

1. 21. Intégrale et suite 6

On définit la suite d’intégrales :

1

0

0 1 x

dx I

e

 , 1

1

0 1

x

x

e I dx

e

 ,…, 1

0 1

nx

n x

e I dx

e

 (n désigne un entier naturel).

1. Calculer I1 et I0 + I1. En déduire I0. Pour tout entier n, calculer 1n nI I  .

2. Montrer sans calcul que la suite (In) est croissante.

3. Prouver que pour tout x de [0 ; 1] 1 21

nx nx nx

x

e e e

e e  

  . En déduire un encadrement de In.

4. A partir de cet encadrement, déterminer la limite de In et celle de n n

I

e .

1. 22. Intégrale+suite 7, France et La Réunion 2008

4 points

On considère la suite numérique  nJ définie, pour tout entier naturel n non nul, par

1

1 n

t nJ e t dt

  .

1. Démontrer que la suite  nJ est croissante.

2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutît pas.

On définit la suite  nI , pour tout entier naturel n non nul, par   1

1 n

t nI t e dt

  .

a. Justifier que, pour tout 1t  , on a 1 1t t   .

b. En déduire que n nJ I .

c. Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite  nJ est majorée par un nombre réel

(indépendant de n).

d. Que peut-on en conclure pour la suite  nJ ?

1. 23. Suite d’intégrales, Pondichéry 2007

5 points

On considère la fonction f définie sur  0 ;  par    ln 3

3

x f x

x

 

 .

1. Montrer que f est dérivable sur  0 ;  . Etudier le signe de sa fonction dérivée f ’, sa limite éventuelle en  et dresser le tableau de ses variations.

2. On définit la suite   0n n

u

par son terme général   1n

n n

u f x dx

  .

a. Justifier que, si 1n x n   , alors      1f n f x f n   .

b. Montrer, sans chercher à calculer nu , que pour tout entier naturel n,    1 nf n u f n   .

c. En déduire que la suite  nu est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit F la fonction définie sur  0 ;  par     2

ln 3F x x    .

a. Justifier la dérivabilité de F sur  0 ;  et déterminer pour tout réel positif x le nombre  'F x .

b. On pose, pour tout entier naturel n,   0

n

nI f x dx  . Calculer nI .

4. On pose, pour tout entier naturel n, 0 1 1...n nS u u u     .

Calculer nS . La suite  nS est-elle convergente ?

1. 24. Intégrale 1

L'objectif est de calculer les intégrales suivantes :

21 1 1 2

2 20 0 0

I ; J ; K 2 . 2 2

x dx x dx

x x    

    

dx

1. Calcul de I

Soit la fonction f définie sur [0; 1] par 2( ) ln( 2).f x x x  

a. Calculer la dérivée de la fonction 2 2.x x

b. En déduire la dérivée f ´ de f.

c. Calculer la valeur de I.

2. Calcul de J et de K

a. Sans calculer explicitement J et K, vérifier que : J + 2I = K.

b. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que :

K 3 J. 

c. En déduire les valeurs de J et de K.

1. 25. Intégrale 2

Soit la fonction f définie par : f(x) = sin4 x ; x  .

1. Exprimer sin2 x en fonction de cos 2x, puis sin4 x en fonction de cos 2x et de cos 4x.

2. Quelle est la forme générale des primitives de f sur ?

3. Calculer 8

0

( )f x dx

 .

1. 26. Intégrale 3

On désigne par n un nombre entier relatif différent de −1 et par x un nombre réel supérieur ou égal à 1.

1. Calculer l’intégrale 1

( ) ln x

n nI x t tdt  (on pourra effectuer une intégration par parties).

2. En déduire le calcul de 2

1

( ) (ln ) x

n nJ x t t dt  .

3. Calculer    n nI e J e .

4. déterminer la limite de    

1

n n

n

I e J e

e  

quand n tend vers  .

1. 27. Intégrale 4

On pose 0 1

e

I xdx  et 1

(ln )

e

n nI x x dx  pour tout n entier non nul.

1. Calculer I0 et I1 (on pourra utiliser une intégration par parties).

2. Montrer que pour tout n entier 212 ( 1)n nI n I e    . Calculer I2 .

3. Montrer que pour tout n entier, 1n nI I  . En déduire en utilisant la relation du 2° l’encadrement

suivant : 2 2

3 2 n

e e I

n n  

  .

4. Calculer lim n n

I 

et lim n n

nI 

1. 28. Intégrale 5

Soit p et n des entiers naturels. On pose

1

,

0

(1 ) p n

p nI x x dx  .

1. Calculer , 0nI et ,1nI .

2. Calculer 0, nI et en déduire 1, nI .

3. Etablir une relation de récurrence entre ,p nI et 1, 1p nI   . En déduire la valeur de ,p nI en fonction de p

et n.

1. 29. Intégrale 6

Le plan est muni d’un repère orthonormal.  ; ,O i j d’unité 1 cm.

Soit f la fonction définie par 2( ) .cos

x

f x e x

 représentée ci-dessous. Soit C cette courbe représentative.

x

y

-4 -2 0 2 4 6 8

-4

-2

0

1. Montrer que pour tout réel x, on a 2 1

( ) .( cos sin ) 2

x

f x e x x

    .

2. a. Résoudre dans l’équation f(x)=0.

b. Montrer que sur , 2 2

     

, on a ( ) 0f x  .

c. Montrer que pour tout réel x, 4 ( ) 4 ( ) 5 ( )f x f x f x    .

3. Soit l’intégrale

/ 2

/ 2

( )I f x dx



  .

On considère la fonction F telle que, pour tout réel x,   1

( ) 4 ( ) 4 ( ) 5

F x f x f x   .

a. Sachant que f vérifie (1), montrer que F est une primitive de f.

b. Etablir que 4 4

5 2 2 5 2 2 I f f f f

                               

           puis que 4 4

4

5 I e e

   

      

c. Interpréter graphiquement ce résultat.

1. 30. Intégrale 7, La Réunion 2005

3 points

On considère les fonctions f et g définies, sur l’intervalle [0 ;  [, par f(x) = ln(x +1) et ( ) 1xg x e  . On

désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal

( ; , )O i j . Ces courbes sont tracées ci-dessous.

1. Vérifier que les courbes Cf et Cg ont une tangente commune au point O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente.

2. Démontrer que les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le

nombre 0

( ) ln( 1) a

I a x dx  .

a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que ln( 1)

0

( ) ln( 1) ( 1) a

xI a a a e dx

    .

b. En déduire la valeur de I (a).

c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties.

1. 31. Intégrale + ROC

Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On rappelle que :

H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de [a ; b] on a H’(x) = h(x).

Soit f la fonction définie sur par 2( ) ln(1 )f t t  .

1. Expliquer pourquoi f est continue sur .

2. Montrer que f est croissante sur [0 ; [ .

La fonction f est représentée ci-dessous.

Pour 0  , on note ( )A  l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe

représentative de f et la droite d’équation x  .

3. a. Soit x0 et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement

2 20 0 0 0

( ) ( ) ln(1 ) ln(1 ( ) )

A x h A x x x h

h

       .

b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque

0 0 0x h x   .

c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ?

4. Expliquer pourquoi 0 (1) ln 2A  et ln 2 (2) ln 2 ln 5A   .

1. 32. ROC+intégrale, Polynésie 06/2008

7 points

Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

* Si 0u sur [a ; b] alors   0 b

a

u x dx  .

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

x

y

x0+hx0

* Pour tous réels  et          b b b

a a a

u x v x dx u x dx v x dx          .

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout

x de [a ; b],    f x g x , alors     b b

a a

f x dx g x dx  .

Partie B

On considère la fonction f définie sur  0 ;  par :    ln 1 xf x x e   . Sa courbe représentative (C) ainsi que la droite (D) d'équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

1. Montrer que f est croissante et positive sur  0 ;  .

2. a. Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite (D).

b. Étudier la position de (C) par rapport à (D).

3. Soit I l'intégrale définie par :     1 1

0 0

ln 1 xI e dx f x x dx        . On ne cherchera pas à calculer I.

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Montrer que pour tout réel 0t  , on a  ln 1 t t  . (On pourra étudier les variations de la fonction g

définie sur  0 ;  par    ln 1g t t t   )

On admettra que pour tout réel 0t  , on a  ln 1 1

t t

t  

 .

c. En déduire que pour tout x de  0 ;  , on a :  ln 1 1

x x x

x

e e e

e

  

   

 .

d. Montrer que 1 1

2 ln 1

1 I e

e

     

  .

e. En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à (C) et (D).

On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque ia distance MN est inférieure à 0,5 mm.

Déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables.

1. 33. Autour de arctangente – ESME-SUDRIA 2001

Soit F une fonction définie et dérivable sur telle que F(0) = 0 et dont la dérivée est donnée par

2

1 '( )

1 F x

x

 , pour tout x de . On suppose que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner

une expression de F(x). (C) est la courbe représentative de F dans un repère orthonormal  ; ,O i j .

1. Soit G, définie sur , par G(x) = F(x) + F(– x).

a. Montrer que G est dérivable sur et calculer G '(x).

b. Calculer G(0) et en déduire que F est une fonction impaire.

2. Soit H définie sur ]0 ; + [ par H(x) = F(x) + F ( 1

x ).

a. Montrer que H est dérivable sur ]0 ; + [ et calculer H '(x).

b. Montrer que, pour tout x élément de] 0 ; + [, H(x) = 2F(1).

c. En déduire que lim ( ) 2 (1) x

F x F 

 .

d. Qu'en déduit-on pour la courbe (C) ?

3. a. Démontrer que, pour tout x élément de [0 ; 1], 1

'( ) 1 2

F x  . En déduire que 1

(1) (0) 1 2

F F   puis

une valeur approchée de F(1). Quelle est la précision de cette approximation ?

b. Soit T la fonction définie sur ; 2 2

      

par T(x) = F(tan x) – x. Démontrer que T est une fonction

constante sur ; 2 2

      

. En déduire la valeur exacte de F(1).

4. Dresser le tableau de variation de F sur . Tracer la courbe (C), ses asymptotes et ses tangentes aux points d'abscisses –1, 0 et 1. Unités graphiques : 2 cm sur (Ox) et 4 cm sur (Oy). On prendra F(1) = 0,78.

1. 34. Equa diff 2nd membre, Bac C, Pondicherry 1988

1. On se propose de résoudre l’équation différentielle (E) : ' 1y y x   , y étant une fonction réelle de la

variable réelle et y’ sa dérivée.

a. On pose z = yx. Ecrire l’équation différentielle (F) vérifiée par z.

b. Résoudre (F), puis (E)

2. On appelle y la solution de (E) telle que (0)y  et C la courbe représentative de y , où  est un

paramètre donné.

a. Etudier les variations de y et donner l’allure de C dans les trois cas  < 0,  = 0,  > 0.

b. Montrer que pour tout  la tangente à C au point d’abscisse –1 passe par l’origine.

c. Plus généralement, montrer que toutes les tangentes au courbes C en leurs points de même abscisse

0x donnée se coupent sur 0C .

1. 35. Equa diff 2nd membre, Antilles 1988

1. Résoudre l’équation différentielle : 1

' 0y y n   (1).

2. On considère l’équation différentielle 1 1

' ( 1)

x y y

n n n

   

 (2). Déterminer deux réels a et b tels que la

fonction affine g définie sur par g(x) = ax + b soit solution de (2).

3. Montrer que, pour que la fonction h définie sur soit la solution de (2), il faut et il suffit que hg soit solution de (1).

4. En déduire toutes les solutions de (2).

5. Déterminer celles de ces fonctions f vérifiant f(0) = 0.

1. 36. Equa diff 2nd membre, Antilles 2000

On considère l’équation différentielle : ( ) : ' 2 2 1 2

x

x

e E y y

e

  

.

1. Vérifier que la fonction f définie sur telle que 2: ln(1 2 )x xf x e e  est solution de (E).

2. Montrer que la fonction  est solution de (E) si, et seulement si,  – f est solution de l’équation

différentielle (E’) : y’ + 2y = 0.

3. Résoudre (E’) et en déduire les solutions de (E).

1. 37. Equa diff+suites, France 2003

10 points

Partie A : Une équation différentielle

On considère l’équation différentielle : (E)

  2

3

3 ' 3

1 x

e y y

e

  

.

On donne une fonction  dérivable sur et la fonction f définie sur par 3( ) ( )xf x e x .

1. Montrer que f est dérivable sur et pour tout réel x, exprimer '( ) 3 ( )x x  en fonction de f ’(x).

2. Déterminer f de sorte que  soit solution de (E) sur et vérifie (0) 2

e   .

Partie B : Étude d’une fonction

Soit la fonction f définie sur par : 1 3

3 ( )

1

x

x

e f x

e

  

. On désigne par C sa courbe représentative dans le

plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en  et en  , puis étudier les variations de f .

2. Tracer C.

3. Pour  réel non nul, on pose 0

( ) ( )I f x dx

   .

a. Donner le signe et une interprétation graphique de ( )I en fonction de  .

b. Exprimer ( )I en fonction de  .

c. Déterminer la limite de ( )I lorsque  tend vers  .

Partie C : Étude d’une suite

On définit sur *la suite (un) par : 1

0

( )

x

n nu f x e dx  , où f est la fonction définie dans la partie B. On ne

cherchera pas à calculer un.

1. a. Donner, pour tout n de *, le signe de un.

b. Donner le sens de variation de la suite (un).

c. La suite (un) est-elle convergente ?

2. a. Montrer que pour tout n de *,

1

1 1 n

nI u e I  où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour 

égal à 1.

b. En déduire la limite de la suite (un). Donner sa valeur exacte.

Ox

y

mg

T l

M

A

Correction partielle

1. 3 3( ) ( ) ( ) ( )x xf x e x x e f x    donc 3 3 3 3'( ) 3 ( ) 3 ( ) '( ) 3 ( ) '( )x x x xx x e f x e f x e f x e f x      .

2.  est solution de (E) si

       

3 3 3

2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 3 3 '( ) 3 ( ) '( ) '( )

1 1 1 1

x x x

x x x x

e e e e x x e f x f x e e

e e e e

  

   

          

   

.

Or

 

3

2 3

3

1

x

x

e

e

est la dérivée de 3

1

1 xe 

 ; on a donc

3

1 ( )

1 x f x e K

e   

 et

1 3 3 3

3 3 ( )

1 1

x x x

x x

e e x K e Ke

e e

 

           

.

1 0 0(0)

2 2 2

e e e Ke K K e

         et 1 3

1 3

3 3 ( )

1 1

x x

x x

e e x e

e e

 

 

     

.

1. 38. Equa diff : apprentissage

Pendant une phase d’apprentissage, l’efficacité d’un individu croît jusqu’à une valeur maximale.

1. Etude d’un modèle discret

Supposons qu’une personne travaillant sur une technique nouvelle produise 5 unités le premier jour, alors que la production attendue est de 40 unités par jour.

On appelle un la production au n-ième jour. Alors u1 = 5, et on fait l’hypothèse que pour tout entier n,

1 0,8 8n nu u   .

a. Calculer u2, u3.

b. On pose pour n  1 vn = 40 – un. Montrer que (vn) est une suite géométrique, et en déduire l’expression de un en fonction de n. Quel est le sens de variation de (un) ?

c. Déterminer la limite de (un). Au bout de combien de temps la production sera-t-elle supérieure à 39 unités ?

2. Etude d’un modèle continu

Supposons que la production initiale soit de 100 unités à l’heure, que la production attendue soit de 800 unités, et que la vitesse d’apprentissage soit proportionnelle à la quantité manquante pour réaliser

l’optimum. Ainsi, si f(t) est la production horaire à l’instant t, on a '( ) 0,8(800 ( ))f t f t  .

a. Résoudre l’équation différentielle ' 640 0,8y y  . En déduire la fonction f. Quelle est la limite de f en

 ?

b. Au bout de combien de temps la production est-elle la moitié de l’optimum ? 99 % de l’optimum ?

1. 39. Equa diff : pendule

Lorsqu’on étudie le mouvement d’un pendule, on est amené à résoudre l’équation différentielle suivante :

( ) ( ) sin 0

y t y t g

l   

y représente l’angle que forme le pendule avec la verticale, l la longueur du pendule et g l’accélération de la pesanteur (9,81 m.s–2) ; les conditions initiales sont alors l’angle duquel on écarte initialement le pendule, soit y(0) et la vitesse angulaire initiale, soit y’(0). Lorsque y(0) est

faible, le nombre ( )y t

l reste également faible et on considère

dans ce cas que ( ) ( )

sin y t y t

l l

   

  La résolution de l’équation

devient alors

( ) ( ) 0 g

y t y t l

   .

1. On pose ( ) cos siny t A t B t   (A, B et  sont des constantes indéterminées); calculer y’ et y’’ les

dérivées première et seconde de y.

2. Vérifier que la fonction y proposée est telle que 2y y   . En déduire que g

l    .

3. On écarte un pendule de 1 m de long à t=0 de 0,2 radian et on le lâche sans vitesse initiale. Calculer

alors les constantes A et B du mouvement (on prendra g

l   ).

1. 40. Equa diff : lancer de balle

Une balle de 0,5 kg est lancée verticalement en l’air avec une vitesse initiale de 15m.s−1.

Sur la balle agissent deux forces, celle due à la gravité et celle due à la résistance de l’air, égale à 1/10 de sa vitesse. On admet que la vitesse v vérifie l’équation différentielle :

(E) : 0,5v’ = – 0,1v – 5.

Partie A

1. a. Résoudre l’équation différentielle (E) dans  0 ;  .

b. Justifier que v(0) = 15, en déduire que   0,250 65 tv t e   .

c. Résoudre l’inéquation :   0v t  sur  0 ;  .

2. Soit h la fonction qui exprime la hauteur de la balle en fonction du temps, on a donc : h’ = v.

a. Déterminer les primitives de v sur  0 ;  .

b. Justifier que h(0) = 0 ; en déduire l’expression de h.

Partie B

Soit f la fonction définie sur  0 ;  par :    0,2325 1 50tf t e t   . 1. Etudier les variations de f (on pourra utiliser le résultat du A.1.c.)

2. Démontrer que l’équation   0f t  admet une unique solution sur  0 ;  autre que 0 dont on donnera une valeur approchée a à 10−1 près.

3. En déduire une valeur approchée de la hauteur maximale atteinte par la balle et du temps t1 que met la balle pour revenir au sol depuis son point le plus haut.

1. 41. Equa diff : quotient

On considère l’équation différentielle (E) 2' ( 1) ( 1)xxy x y e x     avec x strictement positif.

1. Résoudre l’équation sans second membre (E0) : ' ( 1) 0xy x y   .

2. On pose ( ) xy f x xe dans (E) ; montrer que 2

1 '( ) 1f x

x    . En déduire les solutions de (E).

3. Quelle est la solution générale de (E) dans le cas où x est négatif ? Les fonctions trouvées sont-elles continues en 0 ? dérivables en 0 ?

1. 42. Equa diff : équation de Bernoulli

On appelle équation de Bernoulli les équations différentielles de la forme

1 ' 0

pny y ax y x    (1)

a est une constante réelle et n, p des entiers positifs.

On va résoudre l’équation dans le cas où a=1, n=3, p=4.

1. On pose 3

1 z

y  ; calculer z’ et prouver que l’équation en z à résoudre est 3

'

3

z z x

x   (2).

2. Résoudre l’équation '

0 3

z z

x   .

3. On pose 3

( )f x z

x  ; trouver la fonction f pour qu’elle soit solution de (2). En déduire la solution

générale de (2).

4. Déterminer la solution générale de (1).

5. Déterminer la solution pour laquelle y(1)=1.

1. 43. Equa diff : populations

Le but de cet exercice est l’étude de la dynamique d’une population d’œufs et de larves de certains insectes en fonction du temps dans une première partie et de la population elle-même dans la deuxième partie. Dans chaque partie le temps est mesuré dans une unité choisie.

Partie A

On prend l’unité de temps égale à 1 heure.

La fonction N qui donne à l’instant t le nombre d’œufs vivants pondus est définie pour 0t  par 0,3

0( ) tN t N e où N0 désigne le nombre initial d’œufs au moment de la ponte (t=0). On prendra dans la

suite N0=900.

1. Etudier la fonction N sur [0, [ (sens de variation, limites). Quelles interprétations concrètes tirez

vous de cette étude ?

2. Construire la représentation graphique(C) de N pour [0 ;15]t dans un repère orthogonal : 1 cm par

unité de temps en abscisse et 10 cm pour 1000 en ordonnées.

3. Résoudre dans [0, [ l’équation 0 1

( ) 2

N t N . On notera t1 sa solution ; que représente t1

pratiquement ? ; placer le point de (C) d’abscisse t1 sur le graphique.

4. a est un réel strictement positif.

a. Calculer 0

( ) ( ) a

I a N t dt  en fonction de a. Déterminer la limite de I quand a tend vers +∞.

b. On considère que la durée de vie moyenne d’un œuf est donnée par lim ( ) a

E J a 

 où

0

( ) ( ) a

J a tN t dt  . Calculer J(a) au moyen d’une intégration par parties et en déduire la valeur de E.

Partie B

L’unité de temps est la journée.

La population P(t) d’insectes se développe dans un milieu où la population totale ne peut pas dépasser un certain seuil noté Pmax ; la croissance de la population est alors proportionnelle au nombre d’œufs qui éclosent et à la différence entre Pmax et P(t) ; on a alors l’équation différentielle suivante en prenant

Pmax=1 et 1

2 a  :

(1)   1

'( ) ( ) 1 ( ) 2

P t P t P t  avec P(0)=0,01.

1. On pose 1

( )P t y  ; calculer P’(t) et montrer que y est solution de l’équation

1 1 '

2 2 y y  (2).

2. Trouver une constante K telle que y=K soit solution de (2). En déduire que toutes les solutions de (2)

s’écrivent

1

2 t

y Ce K

  où C est une constante puis que les solutions de (1) sont 1

2

1 ( )

t

P t

Ce K

.

3. Déterminer la valeur de la constante C.

4. Montrer que la fonction P est effectivement croissante et déterminer sa limite en +∞. Tracer la fonction P dans un repère judicieusement choisi.

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