Contrôle de sciences statistiques 1 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 1 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques - 3° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la solution de l’équation, les fonctions définies.
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5. Au bout de combien de jours la population P(t) dépassera-t-elle 1

2 (graphiquement et par le calcul) ?

Interpréter ce résultat en termes de populations sachant qu’une unité représente 10 6 individus.

Variante

Partie B

La population P(t) d’insectes se développe dans un milieu où la population totale ne peut pas dépasser un certain seuil noté Pmax ; la croissance de la population est alors proportionnelle au nombre d’œufs qui éclosent et à la différente entre Pmax et P(t) ; on a alors l’équation différentielle

(1)  max'( ) ( ) ( )P t aP t P P t  avec P(0)=1000.

1. On pose 1

( )P t y  ; calculer P’(t) et montrer que y est solution de l’équation

max'y aP y a  (2).

2. On pose maxaP b ; trouver une constante K s’exprimant en fonction de Pmax telle que y=K soit

solution de (2). En déduire que toutes les solutions de (2) s’écrivent bty Ce K  puis que les solutions

de (1) sont max

max

( ) 1

bt

P P t

P Ce

 

.

3. Le coefficient a représente la multiplication des insectes sur une période de 1 mois, soit par exemple a=10, Pmax=10 6 pour des pucerons au printemps. Déterminer les constantes b, K et C pour cette valeur de a.

4. Montrer que la fonction P est effectivement croissante et que sa limite en +∞ est bien Pmax. Tracer la fonction P dans un repère judicieusement choisi.

5. On cherche à se débarrasser des pucerons précédents de manière écologique en introduisant des coccinelles dans la plantation. Une coccinelle mange à peu près 10 pucerons par jour, soit 300 pucerons par mois. On dispose de 100 coccinelles, quel sera le moment idéal où introduire ces coccinelles (c’est-à- dire le moment où elles mangeront tous les pucerons en 1 mois si on ne tient pas compte de la croissance des pucerons pendant ce mois-ci) ? Réciproquement, on s’aperçoit de l’invasion au bout d’un mois . Combien devra-t’on mettre de coccinelles pour éliminer les pucerons en un mois ?

1. 44. Equa diff : second ordre

Soit E1 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’ = y.

Soit E2 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’’ = y.

Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et qui vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0.

1. Vérifier que les fonctions définies sur par xx e et xx e sont des éléments de E2.

2. Soit f une fonction dérivable sur , on pose u = f + f’.

a. Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.

b. Démonstration de cours.

On rappelle que la fonction xx e est une solution de E1.

Démontrer l’unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(0) = 1.

3. Soit f un élément de E2. On pose, pour tout réel x, ( ) ( ) xg x f x e .

a. Démontrer que si f vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0, alors 2'( ) xg x e .

b. Démontrer qu’il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression.

1. 45. Equa diff : équation de la chaleur

Dans une pièce à la température constante de 20°C, à l’instant initial noté 0 la température (0) d’un

liquide est égale à 70°C. Cinq minutes plus tard elle est de 60°C.

On admet que la température  du liquide est une fonction dérivable du temps t, exprimé en minutes, et

que sa dérivée '( )t est proportionnelle à la différence entre la température ( )t et celle de la pièce.

On notera a le coefficient de proportionnalité, a .

1. Démonstration de cours.

Soit (E) l’équation différentielle 'z az .

a. Démontrer que la fonction axx e est une solution de l’équation (E).

b. Démontrer que toute solution de (E) est de la forme axx Ce , où C est une constante réelle.

2. a. Résoudre l’équation différentielle : '( ) ( ) 20t a t a   .

b. Soit ( )a t la solution de cette équation. Quel doit être le signe de a pour que cette équation ait un sens

physique ?

c. Déterminer la solution ( )t correspondant aux conditions initiales.

3. Quelle est la limite de ( )t lorsque t tend vers  . Interprétation physique.

4. Quelle sera la température du liquide 30 minutes après l’instant initial ?

5. Déterminer le laps de temps nécessaire pour que la température initiale du liquide chute de moitié. On note ce temps T et on l’appelle « période » de la température… Quelle sera température au bout de trois périodes ?

1. 46. Equa diff+ROC, La Réunion 2005

4 points

On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur vérifiant la condition :

( ) '( ) 1 pour tout nombre réel , (C)

(0) 4

f x f x x

f

  

 

(où f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f ) et de trouver cette fonction.

1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur par g(x) = f(−x)f(x).

a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur .

b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g .

c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.

d. On considère l’équation différentielle (E) 1

' 16

y y . Montrer que la fonction f est solution de cette

équation et qu’elle vérifie f (0)=−4.

2. Question de cours :

a. On sait que la fonction 16 x

x e est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer alors que

l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies sur , de la forme

16

x

x Ke , où K est un nombre réel quelconque.

b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la valeur 4 en 0.

3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

1. 47. Equa diff + aire, Asie 2006

7 points

Partie A

On considère l’équation différentielle (E) : xy y e   .

1. Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels par   xu x xe est une

solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : 0y y   .

3. Démontrer qu’une fonction y, définie et dérivable sur , est solution de (E) si et seulement si y − u est solution de (E0).

4. En déduire toutes les solutions de (E).

5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Partie B

k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble par :     xkf x x k e   .

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Déterminer les limites de fk en  et  .

2. Calculer  kf x pour tout réel x.

3. En déduire le tableau de variations de fk.

Partie C

1. On considère la suite d’intégrales (In) définie par 0

0 2

xI e dx

  et pour tout entier naturel n  1 par :

0

2

n x nI x e dx

  .

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0.

b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :     1 2

1 2 1 n

n nI e n I

     .

c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.

2. Le graphique ci-dessous représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B.

a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k correspondant.

b. Soit S l’aire de la partie hachurée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en déduire sa valeur exacte.

1. 48. Equa diff+ROC, France sept 2006

6 points

Dans tout l’exercice,  désigne un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 1].

1. On se propose d’étudier les fonctions dérivables sur 1

; 2

     

vérifiant l’équation différentielle ( E ) :

2'y y y  et la condition y(0) = 1.

On suppose qu’il existe une solution y0 de ( E ) strictement positive sur 1

; 2

     

et on pose

sur 1

; 2

     

: 0

1 z

y  . Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

2. Question de cours

Pré-requis : les solutions de l’équation différentielle 'y y  sont les fonctions xx Ce  , C constante

réelle.

a. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle    : 1E z z      avec

z(0) = 1.

b. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

On veut maintenant montrer que la fonction z0 ne s’annule pas sur l’intervalle 1

; 2

     

.

3. a. Démontrer que  ln 1 1

 

  

 .

On pourra étudier sur ]0 ; 1] la fonction f définie par    ln 1 1

x f x x

x   

.

b. En déduire que   1 1

ln 1 2

 

  .

4. En déduire que la fonction z0 ne s’annule pas sur 1

; 2

     

. Démontrer alors que ( E ) admet une

solution strictement positive sur 1

; 2

     

que l’on précisera.

1. 49. Equa diff trigo, France remplt 2007

4 points

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur ; 2 2

      

:

(E) :  ' 1 tan cosy x y x   ,

(E0) : ' 1y y  .

1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation (E0).

2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur ; 2 2

      

et telles que    cosf x g x x .

Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).

3. Déterminer la solution f de (E) telle que  0 0f  .

1. 50. Méthode de Newton, C. étrangers 2007

4 points

Dans un plan muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j , on désigne par C la courbe représentative d’une

fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de , f et f ne s’annulant pas sur l’intervalle I.

On note M un point de C d’abscisse x et d’ordonnée  y f x .

On désigne par T la tangente à la courbe C au point M.

On rappelle qu’une équation de T est de la forme :     'Y f x X x f x   .

I. Question préliminaire

1. Montrer que T coupe l’axe des abscisses en un point H dont l’abscisse XT vérifie :

 

 ' T

f x X x

f x   .

2. Montrer que T coupe l’axe des ordonnées en un point K dont l’ordonnée YT vérifie :

   'TY f x xf x  .

II. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à determiner les fonctions f pour lesquelles la différence

Tx Xest constante, et égale à k, pour tout nombre réel x (Propriété 1).

1. Démontrer que f vérifie la propriété 1 si et seulement si f vérifie l’équation différentielle :

1 'y y

k  .

2. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 1 et déterminer pour 1

2 k  la fonction f de

cette famille qui vérifie de plus la condition : f (0) = 1.

III. k désigne un réel fixé non nul.

On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence Ty Yest constante et égale à k,

pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle  I 0 ;  (Propriété 2).

1. Démontrer que f vérifie la condition posée si et seulement si f vérifie l’équation différentielle :

' k

y x  .

2. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 2 et déterminer pour 1

2 k  la fonction f de

cette famille qui vérifie la condition : f (1) = 0.

1. 51. La bonne vitesse du volant

D’après http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/maths/sitepeda/terminale.htm

Votre ami Mathieu est bien embêté, son professeur de maths l'a écrasé l'autre jour au badminton. Et depuis, il ne dort plus sur ses deux oreilles... Il veut sa revanche et pour cela doit réaliser un "coup parfait ".

Il a remarqué que son professeur est incapable de rattraper un volant qui tombe à moins de 1 mètre du filet (sans doute l'âge...). Il veut donc réaliser un coup qui parte du fond du terrain et arrive à moins d'un mètre du filet.

Avec quelle vitesse sa raquette doit-elle frapper le volant ?

Partie A

1. Quelles sont les informations qui vous seront utiles pour commencer cette recherche ?

 La longueur d'un terrain de badminton

 La largeur du terrain

 La hauteur du filet

 La masse du volant

 La taille de Mathieu

 La longueur de son bras

 Sa largeur d'épaule

 L'âge de son prof

 L’accélération de la pesanteur

 La longueur de la raquette

 Le nombre d'Avogadro

 Le bilan des forces qui s'appliquent au volant

 Une loi sur la somme des forces qui s'appliquent à un objet

 Savoir ce qu'est le vecteur accélération a

 La vitesse maximale du volant

k le coefficient de frottement dans l’air du volant

2. Finalement après une très longue enquête vous obtenez les résultats suivants :

- Le filet a une hauteur de 1,55 m aux poteaux.

- Le terrain mesure 13,4 m de longueur.

- Mathieu étant passé sous la toise et ayant été mesuré, connaissant la taille d'une raquette, on

peut estimer la hauteur du volant au départ à 0 3 mh  .

- Le poids d'un volant est d'environ 5 g = 0,005 kg.

- L’accélération de la pesanteur est 29,81 m.sg  .

Pour les lois de la physique :

- Le volant a une position qui dépend du temps.

- Soit M(t) le point représentant le volant à un instant t, on pose  v t le vecteur vitesse à l'instant t.

On suppose que le mouvement du volant est plan : le point M a alors deux coordonnées, toutes deux

fonctions du temps :     ,M x t y t ou encore     ,OM x t y t . Le repère est choisi avec l’origine aux pieds de Mathieu, l’axe des y vertical, l’axe des x horizontal.

A tout instant le volant a une vitesse décrite par un vecteur v dont les coordonnées sont simplement

      ' , 'v t x t y t et une accélération représentée par un autre vecteur :       '' , ''a t x t y t .

En mécanique la somme des forces qui s'appliquent à un objet est proportionnelle à l’accélération : le coefficient d’accélération est la masse inertielle de l’objet (c’est simplement un nombre qui mesure dans quelle mesure un objet résiste au mouvement impulsé par une force quelconque).

La masse inertielle et la masse gravitationnelle (le poids…) sont identiques !

Ici, les forces qui s'appliquent au volant sont :

 le poids P mg où g est l'accélération de la pesanteur dirigée vers le bas ;

 les forces de frottement fF proportionnelles à la vitesse v (on l’admettra) : fF kv  .

On a donc l'égalité: k

ma mg kv a g v ù

     .

Montrez que    

   

'' '

'' 9,81 '

k x t x t

m

k y t y t

m

  

    

(1)

On admet que le coup part à l’horizontale, c’est-à-dire    00 , 0v v .

3. Simplification du système.

a. En cherchant une primitive de chacune des fonctions du système (1), vérifiez que ce système peut s’écrire :

   

   

'

' 9,81 '

k x t x t K

m

k y t t y t K

m

   

     

(2)

K et K’ sont deux constantes.

b. En utilisant les données initiales, vérifiez que 0K v , 0' k

K h m  .

3. Résolution par la méthode d’Euler à l’aide du tableur.

On met les paramètres nécessaires dans les cellules B1 ( 0,015k  ), B2 ( 0,005m  ), B3 ( 0 20v  ), B4

( 0 3h  ), B5 ( 9,81g  ).

On rappelle que la méthode consiste à remplacer le calcul de x’ (et y’) par l’approximation

     

' x t h x t

x t h

   où h est « petit ».

a. Vérifier que (2) peut alors s’écrire

   

   

0

0

1

1

hk x t h x t hv

m

khhk y t h y t h gt

m m

       

  

              

(3)

b. Construire les colonnes de cellules correspondant à t, x et y.

c. Représenter la trajectoire du volant pour les valeurs initiales proposées.

d. Trouver les valeurs de 0v pour obtenir un coup tombant à moins d’1 mètre derrière le filet.

e. Même question qu’au 1. d. en prenant 0,02k  .

4. Reprendre toute cette partie en prenant un angle d’attaque du volant  : le vecteur vitesse initial

étant alors    0 00 cos , sinv v v  .

Au Moyen-âge il semblerait que les premiers artificiers aient rencontré des problèmes de trajectoire.

Partie B

On résoud le problème de manière purement mathématique : pour cela il faut résoudre

   

   

'

' 9,81 '

k x t x t K

m

k y t t y t K

m

   

     

(2).

1. Résoudre la première équation séparément.

2. a. Trouver une fonction f de la forme  )f t at b  solution de la deuxième équation.

b. Vérifier que si y est solution de    ' 9,81 ' k

y t t y t K m

   alors Y y f  est solution de

   ' k

Y t Y t m

  . Résoudre cette équation et donner la solution générale de (2).

3. Tracer sur la même figure que précédemment la courbe obtenue. Comparer avec le résultat de la méthode d’Euler.

1. 52. STL, France, juin 2004

5 points

L’iode 131 est un produit radioactif. Tout échantillon d’iode 131 a sa masse qui diminue régulièrement par désintégration.

1. Dans un premier livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d’iode 131 diminue de 8,3% chaque jour.

On dispose d’un échantillon de masse initiale M0 = 100 g.

a. Calculer, arrondie au dixième, la masse M1 de l’échantillon au bout d’une journée puis sa masse M2 au bout de deux jours.

b. On note Mn la masse de l’échantillon au bout de n jours. Démontrer que la suite (Mn) est une suite géométrique.

c. Calculer la masse M10 de l’échantillon au bout de 10 jours, arrondie au dixième.

2. Dans un second livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d’iode 131 est une fonction

du temps,  :M t M t qui est solution de l’équation différentielle :    'M t M t (E) où t est le

temps exprimé en jours et  une constante réelle.

a. Résoudre l’équation (E).

b. Sachant que lorsque t = 0, la masse de l’échantillon est de 100 g, exprimer M(t) en fonction de t et de

 .

c. Calculer M(1) en fonction de  . Pour quelle valeur de  a-t-on  1 91,7M  ?

On donnera une valeur approchée de  arrondie au dix-millième.

1. 53. Equa diff 2nd ordre, STL, France, juin 2005

5 points

Soit l’équation différentielle : 4 2'' 10 0y y  où y est une fonction de la variable t et y’’sa derivée

seconde.

1. Résoudre cette équation différentielle.

2. Le plan est rapporté à un repére orthonormal ( ; , )O i j .

Déterminer la fonction f solution de cette équation différentielle telle que :

* La courbe représentative de f passe par le point A de coordonnées (0 ; 1) ;

* la tangente à cette courbe en A a pour coefficient directeur 100 .

3. Vérifier que pour tout réel t :   2 cos 100 4

f t t

  

    

.

4. Déterminer la valeur moyenne m de f sur l’intervalle 1

0 ; 50

    

.

5. Calculer la valeur efficace de la fonction f sur cet intervalle, c’est-à-dire le nombre réel positif I défini

par :  

1

22 50

0

50I f t dt    .

1. 54. Équa diff+courbe, France 2010, 6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : On considère l’équation différentielle (E) : ' xy y e  .

1. Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels  par   xu x xe est une solution de l’équation différentielle (E).

2. On considère l’équation différentielle (E’) : ' 0y y  . Résoudre l’équation différentielle (E’).

3. Soit v une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v uest solution de l’équation différentielle (E’).

4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

5. Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que g(0) = 2.

Partie B : On considère la fonction fk définie sur l’ensemble  des nombres réels par     xkf x x k e  

k est un nombre réel donné.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1−k.

2. On note Mk le point de la courbe Ck d’abscisse 1−k. Montrer que le point Mk appartient à la courbe 

d’équation xy e .

3. Sur le graphique ci-dessous le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

- la courbe  d’équation xy e ;

- la courbe Ck d’équation   xy x k e  pour un certain nombre réel k donné.

a. Identifier les courbes et les nommer.

b. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.

4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer   2

0

2 xx e dx . Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

1. 55. Équa diff+intégrale, La Réunion 2010, 5 points

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On cherche à déterminer l’ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l’intervalle  0 ;  ,

vérifiant la condition (E) : pour tout nombre réel x strictement positif,     2 2' xxf x f x x e  .

1. Montrer que si une fonction f, définie et dérivable sur l’intervalle  0 ;  , vérifie la condition (E),

alors la fonction g définie sur l’intervalle  0 ;  par    f x

g x x

 vérifie : pour tout nombre réel x

strictement positif,   2' xg x e .

2. En déduire l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’intervalle  0 ;  qui vérifient la condition (E).

3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l’intervalle  0 ;  qui vérifie la condition (E) et qui

s’annule en 1

2 ?

Partie B

On considère la fonction h définie sur l’intervalle  0 ;  par   2 1

2 2

x eh x xe x  . On désigne par C sa

courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif x, le signe de h(x).

2. a. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale

1

22

0

xxe dx et en déduire   1

2

0

h x dx .

b. En déduire, en unité d’aire, la valeur exacte de l’aire de la partie du plan située en dessous de l’axe des abscisses et au dessus de la courbe C.

1. 56. Equa diff, 2nd membre, Am. du Sud 11/2008

7 points

1. Résoudre l’équation différentielle : 2 ' 0y y  (E), dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable

sur .

2. On considère l’équation différentielle :  22 ' 1 x

y y e x

   (E’)

a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur  par :    22 x

f x e mx px

  soit

solution de (E’).

b. Soit g une fonction définie et dérivable sur .

Montrer que g est solution de l’équation (E’) si et seulement si g – f est solution de l’équation (E).

Résoudre l’équation (E’).

3. Étudier les variations de la fonction h définie sur  par :    221 2 4

x

h x e x x

  .

4. Déterminer les limites en  et en  de la fonction h.

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j , on note C la courbe représentative de h et 

celle de la fonction : 2 x

x e

 .

a. Étudier les positions relatives de C et  .

b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique.

Correction partielle

1. 1

2 ' 0 ' 2

y y y y     a pour solutions 1

2 x

y Ce

 , C constante réelle.

2.    22 x

f x e mx px

  ;      2 22 2 21 1' 2 2 2 2 2

x x x m

f x e mx px e mx p e x m p x p      

              

,

   2 22 4 11

2 ' 1 2 2 1 12 2

x mm

y y e x x m p x p mx px x p

                   

    d’où

1 , 1

4 m p  et

  22 1

4

x

f x e x x   

    

.

b. g est solution de (E’)       22 ' 1 2 ' 2 ' 2 ' ' 0 x

g g e x g g f f g f g f

            , soit

   2 ' 0g f g f    et donc g f est solution de (E).

On a donc   1 1

22 2 1

4

x x

g f Ce g x x x C e   

        

.

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