Contrôle de sciences statistiques 2 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 2 - 1° partie, Exercices de Statistiques

PDF (877.3 KB)
23 pages
303Numéro de visites
Description
Contrôle de sciences statistiques 2 - 1° partie - Nombres complexes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: le parallélogramme, le nombre complexe.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 23
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Terminale S

Nombres complexes Exercices corrigés

1. 1. Qcm 1 1 1. 2. Qcm 2 2 1. 3. Qcm 3 2 1. 4. Qcm 4, Am. Nord 2005 - 4 points 3 1. 5. Qcm 5, N. Caledonie 2005 - 4 points 4 1. 6. VRAI-FAUX 1 - Fesic 2001 ex. 12 5 1. 7. VRAI-FAUX 2 - Esiee 1999 6 1. 8. VRAI-FAUX 3 - Esiee 1999 6 1. 9. Divers, Polynésie 2007 - 4 points 7 1. 10. Orthog. alignement, France sept 2006 - 5 pts 7 1. 11. Barycentres, La Réunion 2007 - 5 points 8 1. 12. Rotation et triangle, France sept 2010 9 1. 13. Rotation et carré, Polynésie 2005 - 5 points 10 1. 14. Etude configuration, France 2005 - 5 points 12 1. 15. ROC+rotation, Pondicherry 06/2008 5 pts 14 1. 16. Rotations, point de Fermat, Liban 2005 - 5 pts 15 1. 17. Calcul 17 1. 18. Calcul, équation, rotation, France 2004 - 5 pts 18 1. 19. Calcul, Antilles 2004 - 4 pts 19 1. 20. 4ème degré, tr. équilatéral, Am. du Nord 2001 19 1. 21. 2nd degré et barycentre, France 2004 - 5 pts 20 1. 22. 3ème degré, losange, N. Calédonie 2002 21 1. 23. Système, Losange et rotation, Polynésie 2002 22 1. 24. 2nd degré 23 1. 25. 2nd degré 24 1. 26. Polynôme 24 1. 27. Interprétation géométrique 25 1. 28. Interp. géom, Am. Nord 06/2008, 5 pts 26 1. 29. Homographie+ROC, Am. Nord 2006 - 5 pts 28 1. 30. Homographie 29 1. 31. Homographie, Polynésie 2006 31

1. 32. Transf. 2nd degré, France 06/2008 5 pts 32 1. 33. Transf. 2nd degré, N. Calédonie 2004 - 5 pts 33 1. 34. Similitude, Liban 2006 - 5 points 34 1. 35. Transformations 35 1. 36. Rotation-homothétie, Am. Nord 2007 - 5 pts 36 1. 37. Rotation et translation 37 1. 38. Second degré et rotation 39 1. 39. 3ème degré et rotation 40 1. 40. 3ème degré, rotation, homog. Asie 2005 - 5 pts40 1. 41. Pentagone régulier, EPF 2001 42 1. 42. 3 ème degré, Pondicherry 2003 43 1. 43. Projection sur droite, N. Calédonie 2005 - 5 pts44 1. 44. Rotation, Pondicherry 2005 - 5 pts 46 1. 45. Rotations, Centres étrangers 1999 47 1. 46. Des carrés 49 1. 47. Triangle et spirale, Pondicherry 2006 - 5 pts 51 1. 48. Triangle rectangle 52 1. 49. Recherche, EPF 2004 exercice 4 54 1. 50. Recherche, EPF 2004 exercice 5 55 1. 51. Inversion, N. Calédonie 11/2008 5 pts 56 1. 52. Inversion+ROC, France 2006 - 5 pts 57 1. 53. Inversion, Am. du Sud 2004 - 5 points 59 1. 54. Carré, Antilles 2004 60 1. 55. Linéarisation (hors prog. TS depuis 1995) 61 1. 56. Transformation et représentation paramétrique d’un cercle 61 1. 57. Autour du cercle 63 1. 58. Transformations et carré, Liban 2003 64 1. 59. Rotations et cercles 65 1. 60. Transformation non linéaire 66 1. 61. Fonc. de Joukowski, Am. du Sud 2007 - 5 pts 67

1. 1. Qcm 1

Cet exercice comporte quatre affirmations repérées par les lettres a, b, c et d.

Vous devez indiquer pour chacune de ces affirmations, si elle est vraie (V) où fausse (F). Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse fausse entraîne le retrait de 0,25 point. Aucune justification n’est demandée.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )R O u v . On considère les points A, B, C et D,

d’affixes respectives a, b, c et d :

2 2 ; 2 ; 2 4 ; 2 2a i b c i d i        

a. (ABCD) est un parallélogramme

b. Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle 2

  , est un point de l’axe des abscisses.

c. Soient 6 4f i  et F le point d’affixe f. Le triangle CDF est rectangle et isocèle en D.

d. Soient 2g i  et G le point d’affixe g. Le triangle CDG est rectangle et isocèle en C.

Correction

Lorsqu’on fait la figure on répond immédiatement aux questions… sinon, avec 2 2 ; 2 ; 2 4 ; 2 2a i b c i d i         :

a. Vrai : (ABCD) est un parallélogramme ssi AB DC , soit B A C Dz z z z   ce qui est évident.

b. Vrai : 2 ( ) 2 (2 4 2) 6 i

E B C B Ez z e z z z i i

 

         .

c. Vrai : Le triangle CDF est rectangle et isocèle en D si C a pour image F dans la rotation de centre D et

d’angle /2. On vérifie : 2 ( ) 6 4 2 2 (2 4 2 2 ) 4 2 2 4 i

f d e c d i i i i i i i

                .

d. Faux : CDG est rectangle et isocèle en C si G a pour image D dans la rotation de centre C et d’angle

/2. Il est facile de voir que c’est faux. Par contre on a :

2 ( ) 2 4 2 2 ( 2 2 2 ) 4 2 4 2 i

c d e g d i i i i i i i

               ;

CDG est isocèle rectangle en D.

1. 2. Qcm 2

L’exercice comporte trois questions indépendantes. Pour chacune d’elles, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point. Aucune justification n’est demandée.

A B C D

1 2 4

2

i Z

i

  

Le point M d’affixe Z est sur

le cercle trigonométrique.

Z Z

Z est un imaginaire

pur.

2

3 Z i

2 3Z i 

Un argument de

Z est 5

6

  .

Un argument

de Z est 6

Le point M

d’affixe Z est sur le cercle de

centre O, de

rayon 2

Le point M

d’affixe ²Z est sur l’axe des ordonnées.

3

z vérifie 6 2z z i   ;

l’écriture algébrique de z est :

8 2

3 i

8 2

3 i 

8 2

3 i

8 2

3 i 

Correction

1. Le plus simple est de simplifier Z : 2 4 (2 4 )(2 )

2 2 4 1

i i i Z i

i

       

. Donc reponse C.

2. Rien qu’en faisant la figure on voit que B est juste (arg(Z)=− /6). On peut voir les autres réponses : le

module de Z est 2, C n’est pas bon ; pour D : 2 3 1 2 3 2 2 3z i i     donc faux.

3. Comme z est un réel, il faut que ... 2z i  , soit z = …−2i. Ceci élimine C et D. Ce module vaut 10/3,

il faut donc que la partie réelle fasse 8/3, réponse A.

1. 3. Qcm 3

Dans chacun des cas suivants, répondre par VRAI ou FAUX. Aucune justification n’est demandée. Les réponses inexactes sont pénalisées.

1. Le nombre complexe 10(1 )i est imaginaire pur.

2. Le nombre complexe 2

1 3

(1 )

i

i

 est de module 1 et l’un de ses arguments est

7

3

 .

3. A est le point d’affixe 1 2i  dans un repère orthonormal. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant

( 1 2 )( 1 2 ) 4z i z i     est le cercle de centre A et de rayon 4.

Correction

1. Vrai : si on passe en forme trigonométrique c’est immédiat :

10 5

10 5 24(1 ) 2 2 32 ii

i e e i

          

.

2. Faux :

5 3

23 6 2

1 3 2

2(1 )

i ii ii e

e e e ii

    

   

donc de module 1 mais d’argument 5 7

(2 ) 6 6

    .

3. Faux : on développe : 2( 1 2 )( 1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 4z i z i zz i z i z i           d’où en remplaçant z par

x + iy, 2 2 2 2 2 2(1 2 )( ) (1 2 )( ) 5 4 2 4 1 0 ( 1) ( 2) 4x y i x iy i x iy x y x y x y                    donc

le centre est bon mais le rayon est 2.

On aurait pu remarquer directement que 1 2 1 2z i z i     d’où 2

( 1 2 ) 4z i    mais la conclusion

est identique.

1. 4. Qcm 4, Am. Nord 2005 - 4 points

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives 2+3i, 3−i et 2,08+1,98i. Le triangle ABC est :

(a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle

(c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle

2. À tout nombre complexe 2z   , on associe le nombre complexe z’ défini par : 4

' 2

z i z

z

  

.

L’ensemble des points M d’affixe z tels que ' 1z  est :

(a) : un cercle de rayon 1 (b) : une droite

(c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point

3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2. L’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel est :

(a): un cercle (b) : une droite

(c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point

4. Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. L’écriture complexe de la rotation de centre D et

d’angle 3

  est :

(a) : 1 3 3 1

' 2 2 2 2

z i z i         

(b) : 1 3 3 1

' 2 2 2 2

z i z i          

(c) : 1 3 3 1

' 2 2 2 2

z i z i         

(d) : 1 3 3 1

' 2 2 2 2

z i z i         

.

Correction

1. Il faut calculer les distances :

3 2 3 1 4 17B AAB z z i i i           ,

2,08 1,98 2 3 4,08 1,02 17,6868C AAC z z i i i        

et 2,08 1,98 3 5,08 2,98 34,6868C BBC z z i i i         .

La réponse est donc (b) : rectangle et non isocèle (on a 2 2 2AB AC BC  ).

2. M d’affixe z tels que ' 1z  est donné par 4 4

' ' 1 4 2 2 2

z i z i z z z i z

z z

           

.

Réponse (b) : c’est une droite (la médiatrice des points A d’affixe −2 et B d’affixe 4i).

3. L’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel est :

    4

arg( ') 0( ) arg 0( ) , 0 2

z i z AM BM

z   

     

 .

Il s’agit encore d’une droite mais ici il faut enlever le point A. Réponse (c) : une droite privée d’un point.

4. D d’affixe i. La rotation de centre D et d’angle 3

  est :

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

' ( ) ' ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

i

z i e z i z i z i i i z i i i z i

       

                           

.

Réponse (a).

1. 5. Qcm 5, N. Caledonie 2005 - 4 points

L’exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 affirmations. Pour chacune d’elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n’est demandée.

Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajoutée chaque fois qu’une question est traitée correctement en entier (c’est-à-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point.

L’abstention n’est pas prise en compte, c’est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans l’exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v .

Q1 Pour tout n entier naturel non nul,

pour tout réel  ,   n

ie est égal à :

ine  Faux  Vrai

   cos sinn ni  Faux  Vrai

cos( ) sin( )n i n  Faux  Vrai

Q2 La partie imaginaire du nombre z est

égale à :

2

z z Faux  Vrai

2

z z

i

 Faux  Vrai

2

z z Faux  Vrai

Q3

Soit z un nombre complexe tel que z x iy  (x et y réels). Si z est un

imaginaire pur, alors 2

z est égal à :

2y Faux  Vrai

2y Faux  Vrai

2z Faux  Vrai

Q4

A, B et C sont des points d’affixes respectives a, b et c telles que

3 b a

i c a

 

 , alors :

2BC AC Faux  Vrai

 , 2 , 2

AB AC k k

   Faux  Vrai

2.CA CB CA Faux  Vrai

Correction

Q1

Pour tout n entier naturel non nul, pour

tout réel  ,   n

ie est

ine  Vrai : cours.

   cos sinn ni  Faux : bof…

égal à : cos( ) sin( )n i n  Vrai : cours.

Q2 La partie imaginaire du nombre z est égale à :

2

z z Faux :

1 ( )

2 2

z z x iy x iy x

      .

2

z z

i

 Vrai :on a sin

2

z z y

i

   .

2

z z Faux :

1 ( )

2 2

z z x iy x iy iy

      .

Q3

Si z est un imaginaire

pur, alors 2

z est égal

à :

2y Vrai : 2 22 2 2z iy i y y   .

2y Faux : 2 21 1i i    .

2z Vrai : comme z est imaginaire pur, on a

22 2z iy y  et 2 2 2( )z iy y    .

Q4

A, B et C sont des points d’affixes respectives a, b

et c telles que

3 b a

i c a

 

 , alors :

2BC AC

Vrai : d’un côté on a

3 3 3 b cBA

i BA AC AC c a

      

;

par ailleurs le triangle ABC est rectangle en A d’où

2 2 2 2 24AB AC BC AC BC    .

 , 2 , 2

AB AC k k

  

Faux :

  1

, arg arg 3

arg 23

c a AB AC

b a i

i

  

   

2.CA CB CA

Vrai :

 2. . . 0

. 0 ( ) ( ).

CA CB CA CA CA CA CB CA

CA AB CA AB

    

   

1. 6. VRAI-FAUX 1 - Fesic 2001 ex. 12

On considère le nombre complexe : 3 2

1

i

Z e i

  

.

a. On a : 1.Z

b. On a :   31 . i

Z i e

  

c. Le réel 12

  est un argument de Z.

d. On a :

13 12 .

i

Z e

Correction

a. Vrai : On a : 3 2 2

. .1 1 1 2

i Z e

i

    

.

b. Faux : On a : 3 3 2(1 ) 2

(1 ) 1 1 2

i i i

Z e i e

  

     

.

c. Faux : Le réel

133 123 4 32 2

2 2

ii i i

Z i e e e e

            

or 13

(2 ) 12 12

    .

d. Vrai : On a :

13 12 .

i

Z e

1. 7. VRAI-FAUX 2 - Esiee 1999

Question 8. On considère les nombres complexes 1 3a i  et 1b i  . Alors :

a. arg 3

a   .

b. Il existe au moins un p de  tel que pa soit réel.

c. Il existe au moins un q de  tel que qa soit imaginaire pur.

d. Il existe au moins un n  tel que 1nb  .

e. Il existe au moins un m  tel que ma et mb soient réels.

Correction

a. Vrai : 31 3 2 donc arg 3

i a i e a

 

    .

b. Vrai : p

a est réel si * soit 3 avec 3

p k p k k

   .

c. Faux:q

a est imaginaire pur si 3

soit 3 3 2 2

q k q k  

    avec *k donc *q .

d. Faux : 41 2 i

b i e

 

    d’où 2 1b   donc 1nb  n’a pas de solution.

e. Vrai : mb est réel si * soit 4 avec 4

m k m k k

   . Et d’après B) ma est réel si 3m k avec *k .

Donc ma et mb sont réels si m est un multiple de 3 et 4 comme par exemple  12 ; 24 ; 36... .

1. 8. VRAI-FAUX 3 - Esiee 1999

Question 9. Dans le plan muni d’un repère  ; ,O i j , on considère les points M d’affixe a et N

d’affixe b tels que a et b soient les solutions de l’équation : 2 2 3 0z z   . On a :

a. .OM ON ab .

b. a b est un nombre réel.

c. Le milieu de  ,M N est sur l’axe des abscisses.

d. La droite  MN est parallèle à l’axe des ordonnées.

e. M et N appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2 .

Correction

a. Faux : Résolvons l’équation :.   2

2 2 d'où 1 2 et 1 2i a i b i      donc b a . Les affixes de

et OM ON dans le plan muni d’un repère  ; ,O i j sont respectivement a et b .

On a donc   22 21 2 3ab aa a     et . 1 1 2 2 1OM ON       .

b. Vrai :  2Re 2a b a a a     . C’est un réel.

c. Vrai : Le milieu de  ,M N a pour affixe 1 2 2

a b a a    donc il est sur l’axe des abscisses.

d. Vrai : Les points M et N ont la même abscisse égale à 1 donc la droite  MN est parallèle à l’axe des

ordonnées.

e. Faux : On a 3a a b   donc M et N appartiennent au cercle de centre O et de rayon 3 .

1. 9. Divers, Polynésie 2007 - 4 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra 1 cm pour unité

graphique.

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation 3 3 6 0z iz i    , z étant le conjugué de z.

2. On considère le point A d’affixe 4 2i . Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point B tel que OAB soit un triangle équilatéral de sens direct.

3. Soit le point D d’affixe 2i .

a. Représenter l’ensemble (E) des points M d’affixe z différente de 2i tels que :

   arg 2 2 4

z i k k

     .

b. Représenter l’ensemble (F) des points M d’affixe z tels que 2 2 ,iz i e    .

4. A tout point M d’affixe 2z   , on associe le point M’ d’affixe z’ telle que 1

' 2

z z

z

  

. Déterminer

l’ensemble des points M tels que ' 1z  .

Correction

1.      3 3 6 0 3 3 6 0 3 3 3 6 0z iz i x iy i x iy i x y i y x                   , soit

3 3 0 3 3 3 9 24 15 ,

3 6 0 8 3 0 8 8 8

x y x y y x

x y y

              

       et

15 3

8 8 z i  .

2. OAB est un triangle équilatéral de sens direct si A a pour image B par la rotation de centre O, d’angle

3

 .

     3 3 1 3

: ' 4 2 4 2 2 3 2 3 1 2 2

i i

r z z e z b e i i i i

   

              

.

3. a.    arg 2 2 ; 2 4 4

z i k u DM k  

       ; il s’agit de la demi-droite faisant un angle de 45°

avec l’horizontale, passant par D et orientée vers la droite.

b. 2 2 2 2 2 2i iz i e z i e z i         : il s’agit du cercle de rayon 2 et de centre D.

4. ' 1 1 2 2 2z z z z z         car le module du conjugué est le même que celui de

l’original. Il s’agit du cercle de diamètre IJI a pour affixe 1 et J a pour affixe −2 privé des points I et J.

1. 10. Orthog. alignement, France sept 2006 - 5 pts

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal ( ; , )O u v , on considère les points M et M’ d’affixes

respectives z et z’. On pose z = x + iy et z’ = x’ + iy’, où x, x’, y, y’ sont des nombres réels.

On rappelle que z désigne le conjugué de z et que z désigne le module de z.

1. Montrer que les vecteurs OM et OM sont orthogonaux si et seulement si  Re ' 0z z  .

2. Montrer que les points O, M et M’ sont alignés si et seulement si  Im ' 0z z  . Applications

3. N est le point d’affixe 2 1z  . Quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs OM et ON soient orthogonaux ?

4. On suppose z non nul. P est le point d’affixe 2

1 1

z  . On recherche l’ensemble des points M d’affixe z

tels que les points O, N et P soient alignés.

a. Montrer que   2

22

2 2

1 1 1 1 1z z

z z

       

  .

b. En utilisant l’équivalence démontrée au début de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché.

Correction

1. OM apour coordonnées x

y

     

, OM  '

'

x

y

     

, ils sont orthogonaux si et seulement si ' ' 0xx yy  .

Calculons       ' ' ' ' ' ' 'z z x iy x iy x x y y i xy yx       . Donc ' ' 0xx yy  si et seulement si

 Re ' 0z z  .

2. O, M et M’ sont alignés si et seulement si    det , ' 0 ' ' 0 Im ' 0OM OM xy yx z z      .

Applications

3. Prenons 2 2 2' 1 1 2z z x y xy      , alors      2 2 2 2' ' 1 2 1xx yy x x y y xy x x y        ; le produit scalaire est donc nul si 0x  (axe des ordonnées) ou 2 2 1 0x y   (cercle trigonométrique).

4. a. On a    2 2 22 2 2 1 1

1 1 1 1z z z z zz

                

   donc la condition du 2. se traduit par

    2

2 22

2 2 2 2

1 1 1 1 Im 1 1 Im 1 1 Im 1z z z

z z z z

                                      

.

b. Comme 2

2

1 1

z  est réel, la partie imaginaire est celle de  

2 2 2 2 2z x iy x y ixy        .

L’ensemble cherché est la réunion des axes des abscisses et des ordonnées.

1. 11. Barycentres, La Réunion 2007 - 5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct ( ; , )O u v . A, B, C désignent les points

d’affixes respectives 2 3a   , 3 3b i  et 2c i .

1. a. Écrire b sous forme exponentielle.

b. Placer les points A et C sur une figure. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les tracés de construction apparents).

2. On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1) ; (C ; 3)} et par F le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1)}.

a. Établir que l’affixe e du point E est égale à 3 3

2 2 i  .

b. Déterminer l’affixe f du point F.

3. a. Démontrer que le quotient e c

e b

 peut s’écrire kik est un nombre réel à déterminer. En déduire

que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.

b. Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin.

4. On désigne par H le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)}.

Démontrer que le point H est le point d’intersection des droites (BE) et (CF). Qu’en déduit-on pour le point H ?

Correction

1. a. 3 1 3

3 3 2 3 2 3 2 2

i

b i i e

  

       

.

b. L’abscisse de B correspond au milieu de [OA] ; l’ordonnée est obtenue en traçant un triangle équilatéral de base [OA].

2. a.     1 1 3 3

3 2 3 6 1 3 4 2 2

A Ce z z i i        

.

b.     1 1

2 4 3 3 3 3 2 1 3

A Bf z z i i         

.

3. a.  

    

3 3 3 1 2 3 3 33 4 32 2 2 2

3 3 9 363 3 3 3 9 3 3 3 3 3

2 2 2 2

i i i i ie c i i

e b i i i i

               

        

.

On a donc  , 2

BE CE   ; comme E est sur [AC] comme barycentre, (BE) est une hauteur de ABC.

b. Comme F est sur [AB], il ne peut être que le pied de la hauteur issue de C :

    

3 3 33 2 3 3 4 3 ,

10 10 23 2 3 3

i if c i i i i AF CF

f a i i

               

    

donc F est le pied de la hauteur issue de C sur le côté [AB].

4. Avec les barycentres partiels, on a H le barycentre du système {(F ; 3) ; (C ; 6)}, H est sur (CF) ; de même H le barycentre du système {(B ; 1) ; (E ; 4)} donc H est sur (BE). C’est leur point d’intersection et donc l’orthocentre de ABC.

1. 12. Rotation et triangle, France sept 2010

5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. On considère le point I d’affixe i et le point A d’affixe 3 2Az i  .

a. Montrer que le point A appartient au cercle  de centre le point I et de rayon 2.

Sur une figure (unité graphique 1 cm), qu’on complètera au fur et à mesure de l’exercice, placer le point I, tracer le cercle  , puis construire le point A.

b. On considère la rotation r de centre le point I et d’angle 2

 .

Démontrer que le point B image du point A par la rotation r a pour affixe  1 1 3Bz i    . Justifier que le point B appartient au cercle  .

c. Calculer l’affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I.

d. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère les points E et F tels que : AE IB et AF BI .

Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ? Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

Correction

1. a. On a I(i) et  3 2A i donc 3 1 2A IIA z z     .

Le point A appartient au cercle (C) de centre le point I et de rayon 2 Pour construire le point A il suffit de tracer l’horizontale contenant le point 2i qui coupe le cercle (C). A est le point d’abscisse positive.

b. Par définition un point M d’affixe z a pour image M’ d’affixe z’ tel que  2' i

I Iz z e z z

   , soit

 ' ' 1z i i z i z iz i       ; on a donc    3 2 1 1 1 3Bz i i i i        .

La rotation est une isométrie, donc IA = IB = 2 d’après la question 1. a. : le point B appartient donc au cercle (C).

c. Par définition du milieu 2 2 2 3 3 2

A C I C I A

z z z z z z i i

          .

Remarque : on aurait pu dire que C est l’image de B par la rotation r.

d. Par définition de la rotation, la droite (BI) est perpendiculaire à la drtoite (IA). D’autre part [AC] est un diamètre de (C).

Le triangle ABC est inscrit dans le cercle (C) ; un de ses côtés est un diamètre, il est donc rectangle en B et (BI) étant à la fois hauteur et médiane, le triangle ABC est isocèle en B.

Le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

2. Il semble que (BF) et (CE) soient perpendiculaires et de même longueur.

Démonstration : il suffit de vérifier que E C

F B

z z i

z z

  

 .

   1 1 3 3 2 1 3 2 3E B I AAE IB z z z z i i i i                 ;

   1 1 3 3 2 1 3 2 3F I B AAF BI z z z z i i i i               ;

   

   

   

   

   

2 2

2 2 2 2

2 3 1 2 31 2 3 2 3 2 3 1 2 31 2 3 2 3

2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3

E C

F B

ii iiz z i

z z i

                        

             

.

1. 13. Rotation et carré, Polynésie 2005 - 5 points

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v . Unité graphique : 2 cm.

1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b     . Résoudre dans

l’ensemble des nombres complexes l’équation z3 = 8.

2. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c définies par : a = 2, 1 3b i   et

1 3c i   .

On appelle r la rotation de centre A et d’angle 2

 et r’ la rotation de centre A et d’angle

2

  .

On pose ' '( )B r B et ' ( )C r C et on note b’ et c’ les affixes respectives de B’ et C’.

a. Placer les points A, B et C dans le repère ( ; , )O u v .

Dans la suite de l’exercice, on complètera cette figure.

b. Montrer que ' 2 3 3b i   .

c. Montrer que b’ et c’ sont des nombres conjugués.

3. On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB’], [B’C’] et [C’C]. On note m, n, p et q leurs affixes.

a. Montrer que l’affixe n du point N est égale à   1 3

1 3 2

i

 . En déduire que les points O, N et C sont

alignés.

b. Montrer que n + 1 = i(q + 1). Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?

c. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.

Correction

1. Avec a = z et b = 2 on a : 3 3 22 ( 2)( 2 4)z z z z     ;   2

4 16 12 2 3i      d’où les solutions

0 2z  , 1 2 2 2 3 2 2 3

1 3, 1 3 2 2

i i z i z i             .

2. a. a = 2, 1 3b i   et 1 3c i   .

b.  2' ( ) ' 2 1 3 2 2 3 3 i

b a e b a b i i i

 

            .

c.  2' ( ) ' 2 1 3 2 2 3 3 i

c a e c a c i i i

            . Qui est bien le conjugué de b’.

3. a.     ' 1 1

1 3 2 3 3 1 3 ( 3 3) 2 2 2

b b n i i i

            et

    1 3 1

1 3 1 3 3 3 2 2

i i i

     . C’est pareil.   1 3 1 3 1 3

1 3 2 2 2

n i c ON OC   

     , les

vecteurs sont colinéaires, les points sont alignés.

b. M a pour affixe 1 2

b c   , q est le milieu de [CC’] et a pour affixe le conjugué de n (puisque c et c’ sont

les conjugués respectifs de b et b’), soit   1 3

1 3 2

q i

  .

On a alors   1 3 3 3 3 3

1 1 3 1 2 2 2

n i i   

      et   1 3 3 3 3 3

( 1) 1 3 2 2 2

i q i i i i   

     

d’où n + 1 = i(q + 1). Le triangle MNQ est un triangle rectangle isocèle car le vecteur MQ a pour image

le vecteur MN par la rotation r.

c. Comme Q est le symétrique de N par rapport à (Ox) et que M et P sont sur (Ox), les triangles MNP et MQP sont isométriques donc MNPQ est un carré.

Q

P

C'

N

B'

v=-90

u=90

C

B

y

AM

j

i xO

1. 14. Etude configuration, France 2005 - 5 points

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point

M variable appartenant au cercle C et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO. La figure est représentée ci-contre.

Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.

On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.

On désigne par i le nombre complexe de

module 1 et d'argument 2

 . On note k, l, m, n

et p les affixes respectives des points K, L, M, N et P.

P

K

L

N

u=90

M

AO

1. Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle C, on a 1 1

2 2 m  .

2. Établir les relations suivantes : l = im et p = − im + 1 + i.

On admettra que l'on a également (1 )n i m i   et (1 )k i m  .

3. a. Démontrer que le milieu  du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle C.

b. Démontrer que le point  appartient au cercle C et préciser sa position sur ce cercle.

4. a. Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.

b. Quelle est la nature du triangle NK ?

5. Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du point M, dont on déterminera le centre et le rayon.

Correction

V

P

N

L

K

v=-90

u=90

M

AO

1. Le centre du cercle a pour affixe 1

2 , le rayon est

1

2 , on a donc

1 1

2 2 m  .

2. L est l’image de M par la rotation de centre O, d’angle 2

 , on a donc l = im ; de même P est l’image

de M par la rotation de centre A, d’angle 2

  , on a donc

21 ( 1) ( 1) 1 1 i

p e m p i m im i

 

            .

De la même manière on a (1 )n i m i   et (1 )k i m  .

3. a.  a pour affixe 1 1

2 2 2

p l im i im i        ; comme m n’apparaît plus,  ne dépend pas de M.

b. On a évidemment 1 1 1

2 2 2 2

i i    donc  appartient au cercle C.  est à l’intersection de C et de

la médiatrice de [OA].

4. a. La symétrie de la figure par rapport à la droite (LMP) montre que 1KN OA  . Par le calcul on a

1 1 (1 ) (1 ) 2 2 2. 1

2 2 KN n k i m i i m i mi i m             .

Il est inutile de faire le calcul…

b. Pour la même raison de symétrie, NK est l’image de OA et est donc isocèle rectangle.

Ce coup-ci on ne fait pas le calcul…

5. Puisque NK est isocèle rectangle, son côté est 1 2

22 KN  donc

2

2 N  , N parcourt un cercle

de centre  de rayon 2

2 .

La dernière question est assez pénible si on utilise le calcul, voir

http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/BAC/BACS2005.pdf

1. 15. ROC+rotation, Pondicherry 06/2008 5 pts

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :

1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA, zB et zC trois points A, B et C. Alors

B C

A C

z z CB

z z CA

 

 et   arg , 2B C

A C

z z CA CB

z z

   

  .

2. Soit z un nombre complexe et soit θ un réel : iz e si et seulement si 1z  et  arg 2z k   , où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle  et de centre  d’affixe  est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que

 ' iz e z    .

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe ( ; , )O u v d’unité graphique 2 cm, on considère les

points A, B, C et D d’affixes respectives 3Az i   , 1 3Bz i  , 3Cz i  et 1 3Dz i   .

1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes zA, zB , zC et zD.

b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère ( ; , )O u v ?

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. On considère la rotation r de centre B et d’angle 3

  . Soient E et F les points du plan définis par :

E = r (A) et F = r (C).

a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le repère précédent ?

b. Donner l’écriture complexe de r.

c. Déterminer l’affixe du point E.

Correction

Partie A

Démonstration de cours : la rotation r d’angle  et de centre  d’affixe  envoie M(z) sur M’(z’) de

sorte que  

 

' 1' '

1. ' , ' '

arg

i i

z M M z z

e z e z M M zz

z

 

   

  

       

                 

.

Partie B

3Az i   , 1 3Bz i  , 3Cz i  et 1 3Dz i   .

1. a.

5

6 3 1

3 2 2 2 2

i

Az i i e

  

          

; 3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Bz i i e

  

        

;

6 3 1

3 2 2 2 2

i

Cz i i e

  

        

;

2

3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Dz i i e

  

          

.

b. Les points sont sur le cercle de centre O, de rayon 2 (cercle de diamètre [PQ]) ; B est un sommet de

triangle équilatéral, D est diamétralement opposé à B, A’ est sur la bissectrice de QOD et A est tel que

l’arc 'AQ QA ; C est diamétralement opposé à A (traits pointillés noirs sur la figure).

F

E

C

A

A'

a

Q

vu

D

B

PO

c. Le quadrilatère ABCD est un rectangle (c’est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu et les deux diagonales sont de même longueur). C’est même un carré car les diagonales sont à angle droit (calculer l’angle).

2. a. Puisqu’il s’agit de triangles équilatéraux, on construit les deux cercles de rayon AB, de centre A et de centre B ; une des deux intersections est E ; même chose avec les cercles de rayon BC, de centres B et C (en rouge et vert sur la figure).

b.    3 1 3' ' 1 3 1 3 2 2

i

B Bz z e z z z i i z i

   

             

.

c.    1 3 1 31 3 1 3 3 1 3 1 3 2 2 2 2

E A Ez i i z i z i i i i    

                        

, soit

3 3 1 3 1 3 3 3 1 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 Ez i i i i i i              .

1. 16. Rotations, point de Fermat, Liban 2005 - 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . Unité graphique : 0,5 cm. On note j le

nombre complexe

2

3 i

e

. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8, b = 6j et c = 8j2.

Soit A’ l’image de B par la rotation de centre C et d’angle 3

 , B’ l’image de C par la rotation de centre A et

d’angle 3

 , C’ l’image de A par la rotation de centre B et d’angle

3

 .

1. Placer les points A, B, C, A’, B’ et C’ dans le repère donné.

2. On appelle a’, b’ et c’ les affixes respectives des points A’, B’ et C’.

a. Calculer a’. On vérifiera que a’ est un nombre réel.

b. Montrer que 3' 16 i

b e

 

 . En déduire que O est un point de la droite (BB’).

c. On admet que ' 7 7 3c i  . Montrer que les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en O.

3. On se propose désormais de montrer que la distance MA+MB+MC estminimale lorsque M = O.

a. Calculer la distance OA + OB + OC.

b. Montrer que 3 1j  et que 21 0j j   .

c. On considère un point M quelconque d’affixe z du plan complexe. On rappelle que a = 8, b = 6j et c = 8j2.

Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :

     2 2 22a z b z j c z j a bj cj         .

d. On admet que, quels que soient les nombres complexes z, ' '' ' ''z z z z z z     . Montrer que

MA+MB+MC est minimale lorsque M = O.

Correction

C'

B'

A'

u=60

C

B

A

y

j

i xO

2. a. Notons au préalable que

2

3 1 3

6 6 6 2 2

i

b j e i

  

       

et

2

2 3 1 3

8 8 8 2 2

i

c j e i

   

       

.

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3' ( ) ' 8 6 8 8 6 8

1 3 1 3 8 6 8 4 4 3 6 4 4 3 14.

2 2 2 2

i i i i i i i ia c e b c a e e e e e e e

i i i i

      

     

              

                        

b.

2

3 3 3 3 3 3' ( ) ' 8 8 8 8 8 8 8 4 4 3 4 4 3 8 8 3 16 i i i i i i

b a e c a b e e e e i i i e

         

                      

.

On a alors   ' 2

, ' arg arg ' arg 3 3

b OB OB b b

b

          donc OB et 'OB sont colinéaires et O est

sur (BB’).

c. A et A’ sont sur (Ox) ; B, O et B’ sont alignés, il suffit de montrer que C, O et C’ sont alignés :

3 1 3

' 7 7 3 14 14 2 2

i

c i i e

  

       

d’où   ' 2

, ' arg arg ' arg 3 3

c OC OC c c

c

  

         

  , ok.

3. a. 8 6 8 22OA OB OC a b c         .

b.

32 6

3 23 3 1 i i

ij e e e

 

           

, 2 1 3 1 3

1 1 0 2 2 2 2

j j i i        .

c.      2 2 2 2 2(1 ) 22a z b z j c z j a bj cj z zj zj a bj cj j j z                  .

d. Utilisons ' '' ' ''z z z z z z     avec (az),   2b z j et  c z j :

     2 2a z b z j c z j a z b z j c z j a z b z c z AM BM CM                    ;

comme      2 2 22a z b z j c z j a bj cj         , cette valeur est le minimum de MA+MB+MC

et il est obtenu lorsque z = 0, soit lorsque M est en O.

1. 17. Calcul

a. On considère le nombre complexe 1 3z i  .

Mettre z sous forme trigonométrique. Calculer 2z et 3z . En déduire 1992z et 1994z .

b. Résoudre dans l'équation 3 8 0z   (on remarquera que cette équation a une racine évidente

réelle) . En déduire les solutions dans de l'équation 3( 1) 8 0iz    . Donner les solutions sous forme

algébrique.

Correction

a. 31 3 2 i

z i e

 

   .

2 3

2 33 34 2 2 3, 8 8 i i

z e i z e

   

       .

Comme on tourne à chaque fois de 60°, tous les exposants multiples de 3 ramèneront sur l’axe réel (un coup positif, un coup négatif) ; tous les multiples de 3 +1 (comme 1, 4, 7, …) seront sur la droite issue de O et passant par z, enfin tous les multiples de 3 + 2 seront sur la droite issue de O passant par z2.

1992 est un multiple de 6 (3x332), on a 1992 1992 332 19922 2iz e   , et

2

1994 1994 19943 1 3

2 2 ( ) 2 2

i

z e i

 

    .

b. 3 8 0z   a comme racine évidente −2 ; on factorise z + 2 : 3 28 ( 2)( )z z az bz c     ce qui donne en

développant et identifiant les coefficients : 3 28 ( 2)( 2 4)z z z z     .

Les autres racines sont alors : 1 21 3, 1 3z i z i    .

Pour résoudre 3( 1) 8 0iz    on reprend l’équation précédente avec le changement d’inconnue

1Z iz  , ce qui donne les solutions en Z ; on revient en arrière pour les solutions en z.

1 1 1

Z Z iz iz Z z iZ i

i

           d’où les trois solutions :

0 ( 2)z i i i     , 1 (1 3) 3 2z i i i i      et 2 (1 3) 3 2z i i i i       .

1. 18. Calcul, équation, rotation, France 2004 - 5 pts

Dans l’ensemble des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument 2

 .

1. Montrer que 6(1 ) 8i i   .

2. On considère l’équation (E) : 2 8z i  .

a. Déduire de 1. une solution de l’équation (E).

b. L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.

3. Déduire également de 1. une solution de (E’) : 3 8z i  .

4. On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle 2

3

 .

a. Déterminer l’affixe b du point B, image de A par r, ainsi que l’affixe c du point C, image de B par r.

b. Montrer que b et c sont solutions de (E’).

5. a. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v (unité graphique 2 cm),

représenter les points A, B et C.

b. Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?

c. Déterminer le centre de gravité de cette figure.

Correction

1. Soit on développe brutalement en utilisant le binôme de Newton, soit on calcule d’abord 2 2(1 ) 1 2 2i i i i     , ce qui donne 6 3(1 ) (2 ) 8i i i    . Une autre possiblité était de mettre 1 + i sous

forme trigonométrique : 41 2 i

i e

  d’où

3 666 24(1 ) 2 8 8

ii

i e e i



     .

2. a. Comme 6(1 ) 8i i   , on a 23(1 ) 8i i   

  donc 3(1 )i est une solution. On peut développer et

trouver −2 + 2i.

b. D’une manière générale l’équation 2z u a les deux solutions z u et z u  , soit ici l’autre

racine 3 2(1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 2z i i i i i i            .

3. De la même manière on peut écrire 36 2(1 ) (1 )i i   

  donc 2(1 )i est une solution de (E’) (on peut

simplifier et trouver 2i).

4. a. La définition de r donne :

2

3' i

z z e z

  , soit avec 2i :

2

3 1 3

2 2 3 2 2

i

b ie i i i

  

         

; puis

pour C :

2 2 2 4

3 3 3 3 1 3

2 2 2 3 2 2

i i i i

c be ie e ie i i i

     

          

.

b. En utilisant la forme trigonométrique on a :

2 6

3 3 32 8 8 i i

b ie ie i

            

et la même chose pour c.

5. a. b. c. : La rotation de centre O d’angle 2

3

 transforme A en B, B en C et C en A donc le triangle ABC

est équilatéral de centre O qui est donc son centre de gravité.

1. 19. Calcul, Antilles 2004 - 4 pts

On donne le nombre complexe 2 2 2 2z i    

a. Exprimer z² sous forme algébrique

b. Exprimer z² sous forme exponentielle.

c. En déduire z sous forme exponentielle.

Correction

a.

  2

² 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ²(2 2)

2 2 2 (2 2)(2 2) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2.

z i i i

i i i

           

           

b. 4 2 2

² 2 2 2 2 4 4 2 2

i

z i i e

  

       

.

c. 24² 4 ² 4 2, arg( ²) [2 ] 2arg( ) [2 ] arg( ) [ ]

4 4 8

i

z e z z z z z z

      

              .

Sur [ ; [  , on aurait soit 81 2 i

z e

 

 , soit

7

8 8 2 2 2

i i

z e e

          .

Le signe de la partie réelle et de la partie imaginaire de z donné dans l’énoncé nous donne

7

8 2 2

i

z z e

  .

1. 20. 4ème degré, tr. équilatéral, Am. du Nord 2001

On considère le polynôme P défini par :   4 3 26 24 18 63P z z z z z     .

1. Calculer  3P i et  3P i puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients

réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z , on ait      2 3P z z Q z  .

2. Résoudre dans l’équation P(z) = 0.

3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v , les points A, B, C, D d’affixes

respectives 3Az i , 3Bz i  , 3 2 3Cz i  et D Cz z , puis montrer que ces quatre points

appartiennent à un même cercle.

4. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que 3 i

C B

E B

z z e

z z

 

 

puis déterminer la nature

du triangle BEC.

Correction

1.    3 9 6 3 3 72 18 3 63 0P i i i       ,    3 9 6 3 3 72 18 3 63 0P i i i       .

      2 2 4 3 23 3 3 3P z z z az b z az a b z az b          donc 6a   et 21b  , soit

    2 23 6 21P z z z z    .

2. 2 6 21z z  :   2

36 84 48 4 3i      , 1 6 4 3

3 2 3 2

i z i

    , 2

6 4 3 3 2 3

2

i z i

    .

P(z) = 0 a pour racines 3i et 3i ainsi que 1z et 2z .

3. Comme A et B d’un côté, C et D de l’autre sont symétriques par rapport à l’axe (  ,O u , les triangles ABC et ABD ont mêmes cercles circonscrits, ils appartiennent donc au même cercle.

4. E, le symétrique de D par rapport à O a pour affixe 3 2 3Dz i    .

   3

1 3 1 33 2 3 3 1 3 1 3

1 3 23 2 3 3 1 3

i C B

E B

i iz z i i i i e

z z i i i

       

          

.

Le triangle BEC est donc équilatéral.

1. 21. 2nd degré et barycentre, France 2004 - 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 1 cm).

1. Résoudre dans l’équation 2 8 3 64 0z z   .

2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes 4 3 4a i  et

4 3 4b i  .

a. Ecrire a et b sous forme exponentielle.

b. Calculer les distances OA, OB, AB. En déduire la nature du triangle OAB.

3. On désigne par C le point d’affixe 3c i   et par D son image par la rotation de centre O et d’angle

3

  . Déterminer l’affixe du point D.

4. On appelle G le barycentre des trois points pondérés (O ; −1), (D ; +1), (B ; +1).

a. Justifier l’existence de G et montrer que ce point a pour affixe 4 3 6g i  .

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure.

c. Montrer que les points C, D et G sont alignés.

d. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

Correction

1. 2 8 3 64 0z z   : 264.3 4.64 64 (8 )i      d’où 1 8 3 8

4 3 4 2

i z i

    ou 2 4 3 4z i  .

2. a. 6 3 1

4 3 4 8 8 2 2

i

a i i e

  

       

et 4 3 4b i  . 6 3 1

4 3 4 8 8 2 2

i

b i i e

  

       

.

b. Il est immédiat que 8OA OB  ; 4 3 4 4 3 4 8 8AB b a i i i        . OAB est équilatéral.

3.

5 3

3 3 3 3 6 6 3 1

: ' ( 3 ) 2 2 2 2 2 2

i i i i i i

r z z e z d e i e i e e e i

          

             

(on peut le faire

évidemment en utilisant les coordonnées cartésiennes).

4. a. G : barycentre de (O ; −1), (D ; +1), (B ; +1) existe car la somme des coefficients n’est pas nulle. Son

affixe est 1

( 1. 1. 1. ) 2 4 3 4 4 3 6 1 1 1

G O D Bz z z z d b i i i             

.

b. Il faut évidemment utiliser les formes trigo…

G

D

C

A

B

u=30

1 O

c. C, D et G sont alignés : CD a pour affixe 2 ( 3 ) 3d c i i i       et DG a pour affixe

4 3 6 2 4 3 4 4( )g d i i i d c        donc 4DG CD .

d. Appelons K le milieu de [BD], alors G est le barycentre de (O ; −1), (K ; 2) d’où 2

2 1 2

OG OK OG OK    

, donc K est le milieu de [OG]. Mêmes milieux donc parallélogramme.

1. 22. 3ème degré, losange, N. Calédonie 2002

1. On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par :

   3 2( ) 1 2 74 2 74 2P z z i z i z i      .

a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0.

b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait

   2( ) 2P z z i z az b    .

c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation P(z) = 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra 1 cm pour unité

graphique.

a. Placer les points A, B et I d’affixes respectives zA=−7 + 5i ; zB=−75i et 2Iz i .

b. Déterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de centre O et d’angle 4

  .

c. Placer le point C d’affixe zC= 1 + i.

Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.

d. Placer le point D d’affixe zD= 1 + 11i.

Calculer A C

D B

z z Z

z z

 

 sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites

(AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Correction

1. a. iy solution de l’équation P(z) = 0, soit   0P iy  , soit

       3 2 2 3 21 2 74 2 74 2 0 2 2 74 74 2 0iy i y i iy i y y i y y y               .

Ceci donne le système 2

3 2

2 0

2 74 74 2 0

y y

y y y

        

; la première ligne donne comme solutions 0y

qui ne convient pas dans la seconde ligne et 2y   qui convient.

b.      2 2( ) 2 2 74P z z i z az b z i z z        .

c. P(z) = 0 : 2 74 0z z   , 21 296 295 5 59i        d’où les racines

1 2 3

1 295 1 295 2, ,

2 2

i i z i z z

       .

2. b. 4 2 2

' 2 1 2 2

i

Iz e z i i i

  

        

.

c. ABCN est un parallélogramme si 7 5 7 5 1 1 11N A B CAB NC z z z z i i i i             .

d. Calculer   

2 2 2 47 5 1 8 4 10 1 1

1 11 7 5 8 16 4 16 20 2 2

i A C

D B

i iz z i i i i Z i e

z z i i i

         

            

.

On a donc  , 2

BD CA   donc les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires ; comme ABCD est un

parallélogramme, c’est un losange.

1. 23. Système, Losange et rotation, Polynésie 2002

Partie A

1. z1 et z2 sont des nombres complexes ; résoudre le système d’équations suivant 1 2

1 2

3 2

3 2

z z

z z i

       

.

2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct de centre O, d’unité graphique 4 cm, on

considère les points A et B d’affixes respectives : 3Az i   et 1 3Bz i   .

Donner les écritures de zA et zB sous forme exponentielle. Placer les points A et B.

3. Calculer module et argument de A

B

z

z .

En déduire la nature du triangle ABO et une mesure de l’angle  ,OA OB .

4. Déterminer l’affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C. Calculer l’aire du triangle ABC en cm2.

Partie B

Soit f la transformation qui à tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe ztelle que 6' i

z e z

 

 .

1. Définir cette transformation et donner ses éléments caractéristiques.

2. Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A’, B’ et Cimages par f de A, B et C ?

3. Quelle est l’aire du triangle ABCen cm2 ?

Correction

Partie A

1. 2

1 2 1 2 2

11 2 1 2 1 2

1 3 3 2 3 2 2 2 2 3

3 3 33 2 3 3 2 3 3 2

3

z i z z z z z i

i z iz z i z z i z z

                 

                        

.

2.

5

6 3 1

3 2 2 2 2

i

Az i i e

  

        

et

2

3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Bz i i e

  

         

.

3.

5 5 2

6 6 3 6

2

3

2

2

i i i

A

iB

z e e e

z e

   

   

    donc module 1 et argument 6

 .

Le triangle ABO est isocèle en O puisque A Bz z et  , arg 6

B

A

z OA OB

z

    .

4. On doit avoir AC OB , soit      1 3 3 1 3 1 1C A B O C A Bz z z Z z z z i i               .

L’aire du triangle ABC est :

       

1

2 2 4

1 1 1 1 3 3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 2 2 2 1,

4 4 4

B A C O

AB OC z z z z

i i i i i

   

                  

soit 16 cm2.

C

A

B

I

O

u=30

Partie B

1. 6' i

z e z

 

 : rotation de centre O, d’angle 6

  .

2.     3

4 ' ' '

2 2 , 2 , 3 1 2 6 2

2 2

i

A B B Cz z z i z i e

  

          

.

3. L’aire du triangle ABCest évidemment la même que celle de ABC

1. 24. 2nd degré

On considère dans l’équation du second degré Z² + Z + 1 = 0

1. Résoudre cette équation. On note les solutions z1 et z2, la partie imaginaire de z1 étant positive.

2. Vérifier que 22 1z z .

3. Mettre z1 et z2 sous forme trigonométrique.

4. Indiquer sur quel cercle de centre O sont situés les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2. Placer alors ces points avec précision dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 4 cm.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome