Contrôle de sciences statistiques 2 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 2 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 2 - 2° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: l'équation ultra-classique, le polynôme, Interprétation géométrique.
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Correction

1. Une équation ultra-classique qui donne les racines

2

3 1

1 3

2

ii z e

     et

2

3 2

1 3

2

ii z e

  

  .

2.

2 4 2

2 3 3 1 2

1 3 1 3 2 3 1 3

2 2 2

i ii i i z e e z

        

        

.

3. Déjà fait.

4. Les points en question forment un triangle équilatéral avec le point d’affixe 1 sur le cercle trigo.

1. 25. 2nd degré

On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.

1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z : 2 2 4 0z z   . On notera z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et z2 l’autre. Donner le module et l’argument de chacun des nombres

2 2 1 2 1 2, , ,z z z z . Ecrire sous forme algébrique

2 1z et

2 2z .

2. On considère dans le plan les points (1 3)A i , (1 3)B i , ( 2 2 3)C i  et ( 2 2 3)D i  .

a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part sont alignés. Quel est le point d’intersection des diagonales de ABCD ?

c. Quelles sont les affixes des vecteurs AB et AC ? Montrer que les droites AB et AC sont perpendiculaires.

Correction

1. 2 2 4 0z z   : les racines sont 1 1 3z i  et

2 1 3z i  , dont le module est 2 et l’argument /3 et

−/3. Pour les carrés on a

2

2 3 1 4 2 2 3

i

z e i

    et

2

2 3 2 4 2 2 3

i

z e i

 

    .

2. a. Comme on pouvait s’y attendre (enfin, des fois c’est différent…) les résultats du 1. se retrouvent comme affixes des points du 2. On fait la figure :

ABCD est un trapèze isocèle (les droites (AB) et (CD) sont verticales donc parallèles ; les points A et B étant conjugués sont symétriques par rapport à (Ox), même chose pour C et D.

b. Avec les arguments c’est immédiat, sinon on utilise

les vecteurs : 2 2 3 2(1 3) 2OC i i OB        . La

symétrie par rapport à l’axe réel montre que les diagonales se coupent en O.

c. 2 2 3 1 3 3 3 3AD i i i        et

2 2 3 1 3 3 3AC i i i        . On peut faire le

produit scalaire : 3 3

. . 9 9 0 3 3 3

AD AC     

             .

C’est bon.

D

C

-2

B

A

2

i

1

O

1. 26. Polynôme

1. Développer 2(1 2)

2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l' équation 2 (1 2) 2 0z z    .

3. Résoudre dans l'ensemble des complexes les équations 1

1z z   puis

1 2z

z   .

4. Soit P(z) le polynôme de la variable complexe z défini par

4 3 2( ) (1 2) (2 2) (1 2) 1P z z z z z        .

Vérifier que pour tout z non nul, on a 2

2

( ) 1 1 (1 2) 2

P z z z

z zz

                

.

En déduire les solutions de l'équation P(z) = 0.

Correction

1. 2(1 2) 1 2 2 2 3 2 2      .

2. 2 (1 2) 2 0z z    :

2 2(1 2) 4 2 1 2 2 2 4 2 1 2 2 2 (1 2)            

d’où 1 1 2 1 2

1 2

z   

  et 2 1 2 1 2

2 2

z   

  .

3. (1) : 2 1

1 1 0z z z z       , soit ' '1 2

1 3 1 3 ,

2 2

i i z z

    ;

(2): 2 1

2 2 1 0z z z z       soit " "1 2

2 2 2 2 ,

2 2

i i z z

    .

4. 4 3 2( ) (1 2) (2 2) (1 2) 1P z z z z z        ; on développe

2 2

2

1 1 1 1 1 (1 2) 2 2 (1 2) (1 2) 2z z z z z

z z z zz

                   

    ,

on met au même dénominateur et on simplifie :

4 2 3 2 4 3 2

2 2

2 1 (1 2) (1 2) 2 (1 2) (2 2) (1 2) 1z z z z z z z z z

z z

               , ok !

En faisant le changement de variable 1

z Z z   on a l’équation 2 (1 2) 2 0Z Z    qui a donc les

solutions 1 21, 2Z Z  . Il reste à revenir sur z, ce qui donne les deux équations du 3. et donc les quatre

solutions ' ' " "1 2 1 2, , ,z z z z .

1. 27. Interprétation géométrique

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 4 cm). Soit I le

point d’affixe 1. On note  le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre  .

Partie A

On pose 1 1

2 2 oa i  et on note A0 son image.

1. Montrer que le point A0 appartient au cercle  .

2. Soit B le point d’affixe b, avec 1 2b i   , et B’ le point d’affixe b’ telle que 0'b a b .

a. Calculer b’.

b. Démontrer que le triangle OBB’ est rectangle en B’.

Partie B

Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. A tout point

M d’affixe z non nulle, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que 'z az .

On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM’ soit rectangle en M'.

1. Interpréter géométriquement 1

arg( ) a

a

 .

2. Montrer que 1

( ' ; ' ) arg( ) 2 a

M O M M k a

 

  (où kZ ).

3. En déduire que le triangle OMM’ est rectangle en M’ si et seulement si A appartient au cercle  privé de O et I.

Correction

Partie A

1.  a pour affixe 1/2 et  a pour rayon 1/2 ; on calcule 0 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 A i i      donc A0 est sur .

2. a. 0 1 1 1 1 3 1

' ( 1 2 ) 1 2 2 2 2 2 2

b a b i i i i i  

               

.

b. Avec l’argument : on calcule

  ' 1 2 3 / 2 / 2 1 3 (1 3 )(3 )

' , ' arg arg arg arg arg 0 ' 3 / 2 / 2 3 10 2

b b i i i i i B O B B i

b i i

             

   .

On pouvait aussi faire Pythagore.

Partie B

1.   1

arg( ) , a

OA IA a

  puisque le vecteur IA a pour affixe a − 1 et OA a pour affixe a.

2. ' 1 1

( ' ; ' ) arg( ) 2 arg( ) 2 arg( ) 2 arg( ) 2 0 '

z z z az a a M O M M k k k k

z az a a    

           

   .

3. OMM’ est rectangle en M’ si ( ' ; ' )M O M M , soit lorsque   1

arg( ) , (2 ) 2

a OA IA

a

 

    , c‘est-à-dire

lorsque le triangle OAI est rectangle en A. A doit donc être sur le cercle de diamètre [OI]. On enlève les

points O et I sinon l’écriture   1

arg( ) , a

OA IA a

  n’a pas de sens.

1. 28. Interp. géom, Am. Nord 06/2008, 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique : 4 cm.

On considère le point A d’affixe 2Az i  et le cercle ( ) de centre A et de rayon 2 .

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.

2. a. Déterminer les affixes des points d’intersection de ( ) et de l’axe ( ; )O u .

b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives 1Bz  et 3Cz  .

Déterminer l’affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle ( ).

3. Soit M le point d’affixe 3 6

5 5 i .

a. Calculer le nombre complexe D M

B M

z z

z z

 .

b. Interpréter géométriquement un argument du nombre D M

B M

z z

z z

 ; en déduire que le point M

appartient au cercle ( ).

4. On note (  ) le cercle de diamètre [AB]. La droite (BM) recoupe le cercle (  ) en un point N.

a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du point N.

5. On désigne par M’ l’image du point M par la rotation de centre B et d’angle 2

  .

a. Déterminer l’affixe du point M’.

b. Montrer que le point M’ appartient au cercle (  ).

Correction

1.

N

M

s=0,6

D

A

y

C

v

B xO

2. a.   a une équation de la forme       22 2

2 1 2 2x y     .

            2 2 2

3 12 1 2 2 1 ; ; ou

0 00 0

x xx y x M x y O u

y yy y

                   

       .

Par conséquent, les affixes des points d’intersection de   et de l’axe   ; O u sont respectivement 1 et 3.

b. D est diamétralement opposé à B sur   donc AD BA , d’où D A A Bz z z z   , soit

 2 2 2 1 3 2D A Bz z z i i       .

D a pour affixe 3 2i .

3. a.

   

 

   2 2

3 6 23 2 6 2 6 2 1 3 205 5 5 2 23 6 101 31 31 55 5

D M

B M

i i i i iz z i i

z z ii

          

          

 

, d’où 2D M

B M

z z i

z z

 

 .

b. Un argument de D M

B M

z z

z z

 est une mesure de l’angle  ,MB MD.

     , arg 2 2 2

MB MD i k k

    ; le triangle BMD est rectangle en M ; M appartient alors au

cercle de diamètre  BD , le point M appartient au cercle   .

4. a. Comme N appartient au cercle   , le triangle ANB est rectangle en N, les droites

    et AN BM sont donc orthogonales.

De plus les droites  MD et  BM sont orthogonales d’après la question précédente.

Par conséquent, les droites  AN et  MD , orthogonales à la même droite, sont parallèles entre elles.

b. Dans le triangle BMD les droites     et AN MD sont parallèles et A est le milieu de  BD ; d’après

le théorème des milieux la droite  AN coupe le segment  MB en son milieu. Donc N est le milieu de

 MB ,

3 6 1

4 35 5

2 2 5 5

B M N

i z z

z i

      

    .

5. a L’écriture complexe de la rotation de centre B et d’angle 2

  est :  2e

i

B Bz z z z

 

    , c’est-à-dire

1z iz i     . Alors 3 6 11 2

1 5 5 5 5

Mz i i i i  

         

.

b. 11 11 2 2 1 6 3 2 6 6

. 2 1 1 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 25 25

AM BM        

                              

.

Le triangle ABM  est rectangle en M  et est inscrit dans le cercle de diamètre  AB . Par conséquent, le

point M  appartient au cercle   .

1. 29. Homographie+ROC, Am. Nord 2006 - 5 pts

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 2 cm), on

considère les points A, B et C d’affixes respectives 2Az  , 1 3Bz i  et 1 3Cz i  .

Partie A

1. a. Donner la forme exponentielle de Bz puis de Cz .

b. Placer les points A, B, et C.

2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

3. Déterminer et construire l’ensemble  des points M du plan tels que 2z z  .

Partie B

A tout point M d’affixe z tel que Az z , on associe le point M’ d’affixe z’ défini par 4

' 2

z z

  

.

1. a. Résoudre dans l’équation 4

2 z

z

  

.

b. En déduire les points associés aux points B et C.

c. Déterminer et placer le point G’ associé au centre de gravité G du triangle OAB.

2. a. Question de cours

Prérequis : le module d’un nombre complexe, noté z , vérifie 2

z zz où z est le conjugué de z.

Démontrer que :

* pour tous nombres complexes z1 et z2, 1 2 1 2z z z z   ;

* pour tous nombres complexes z non nul, 1 1

z z  .

b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, 2

2 2

z z

z   

 .

c. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de  , où  est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A.

Démontrer que le point M’ associé à M appartient à un cercle  dont on précisera le centre et le rayon. Tracer  .

Correction

A. 1. a. 3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Bz i i e

  

       

; 32 i

Cz e

 

 .

A. 2. Quadrilatère OABC : il s’agit d’un losange.

A. 3.  est la médiatrice de [OA] : 2z z OM AM    .

B. 1. a.     2 12

2

1 3 2 4 2 4 0 1 3

1 3

B

C

z i z z z z z z

z i z

                

  

.

B. 1. b. On a donc B’ = B et C’ = C.

B. 1. c. G a pour affixe   1 2 1 3 3

0 1 3 3 3

A B

i z z i

       , donc G’ a pour affixe

 12 3 34 12 3 3

9 33 3 3 1 2

3

i i

i i

       

   

.

B. 2. a. Question de cours

On utilise 2

z zz ainsi que les propriétés de z .

*     2 22

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2z z z z z z z z z z z z z z z z       ;

* Comme 1

1z z   , on a :

1 1 1 1 1 1z z

z z z z        .

B. 2. b. 2 24 4 2 4

2 2 2 2 2 2

z zz z

z z z z

         

    .

B. 2. c. On a 2z z  et 2

2 2

z z

z   

 donc

2 2 2

z z

z     donc M’ appartient au cercle de

centre A, de rayon 2.

1. 30. Homographie

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v .

On appelle A, B et C les points d’affixes respectives zA = – 1 + 3i et zB = – 2 et 3 3

2 C

i z

   .

Soit f l’application du plan privé de A dans le plan qui, à tout point M d’affixe z distincte de zA, associe le

point M’ d’affixe z’ définie par : 2

' 1 3

z z

z i

   

.

1. Factoriser z² – 3iz – 2 en remarquant que z = i en est une solution, puis résoudre l’équation

(E) : z² – 3iz – 2 = 0

2. Déterminer les affixes des points invariants par f. (Un point est invariant lorsque z = z’ )

3. Déterminer l’ensemble des points M tels que M ’ appartienne au cercle de centre O de rayon 1.

4. En posant z = x + iy, déterminer Im(z’) en fonction de x et y. En déduire l’ensemble des points M tels que M’ appartienne à l’axe des abscisses.

5. a. Montrer que pour tout z différent de –1 + 3i on a l’équivalence suivante :

2 2 5 ( )( )

1 3 1 3 2 C C

z z z z z z

z i z i

       

    .

b. En déduire l’ensemble des points M tels que M’ ait une affixe imaginaire pure (on peut répondre à la question b en admettant le résultat de la question a).

Correction

1. On remplace z par i, soit 1 3 2 0    . Ok. z = i est solution de (E) donc on factorise par (zi) et on

obtient 2 3 2 ( )( 2 )z iz z i z i     .

2. M(z) est invariant, si et seulement si :

2 ( 1 3 ) 2 ² 3 2 ² 3 2 0 ou 2

1 3

z z z z i z z z iz z z iz z i z i

z i

                    

.

Les points M1(i) et M2(2i) sont invariants par f.

3. Dire que M’ appartient au cercle de centre 0 et de rayon 1 est équivalent à écrire ' 1z  .

2 ' 1 1 2 1 3

1 3

z z z z i BM AM

z i

          

 

car 2 ( 2) Bz z z z BM       et 1 3 ( 1 3 ) Az i z i z z AM         .

Cela revient donc à chercher l’ensemble des points M tels que BM = AM, ce sont les points équidistants de A et de B, c'est-à-dire la médiatrice du segment [AB].

4.

2 2 ( 2 )( 1 ( 3))2 '

1 3 1 3 1 ( 3) ( 1)² ( 3)²

² ( 3) 2 2 2 ( 3) ( 3)

( 1)² ( 3)²

² 2 2 ( 3) ( 3) 2( 3)

( 1)² ( 3)² ( 1)² ( 3)²

x iy x iy x iy x i yz z

z i x iy i x i y x y

x x ix y x i y ixy iy y y

x y

x x x y y x y y xy y i

x y x y

                       

           

  

            

     

Soit pour la partie imaginaire :

( 3) 2( 3) 3 2 6 3 6

( 1)² ( 3)² ( 1)² ( 3)² ( 1)² ( 3)²

x y y xy y xy x y xy y x y

x y x y x y

               

         .

M’ appartient à l’axe des abscisses, si et seulement si la partie imaginaire de z’est nulle, c'est-à-dire

3 6 0x y   (avec (x ; y)  (–1 ; 3) ), ou encore M appartient à la droite d’équation 3 6y x  privée du

point de coordonnées (−1 ; 3).

5. a. Avant de commencer le calcul, il est impératif de se familiariser avec les valeurs Cz et Cz .

3 3 3 3

2 2 C

i i z

      et

3 3 3 3

2 2 C

i i z

      .

2 2 ( 2)( 1 3 ) ( 2)( 1 3 )

1 3 1 3

(1 3 ) 2 2(1 3 ) (1 3 ) 2 2(1 3 )

2 (1 3 2) (2 1 3 ) 2(1 3 1 3 ) 0

3 3 3 3 2 (3 3 ) (3 3 ) 4 0 2 0

2 2

3 3

z z z z i z z i

z i z i

zz z i z i zz z i z i

zz z i z i i i

i i zz z i z i zz z z

zz z

            

   

            

           

                   

   

    

3 3

2 0.0 22

2 C C

i i zz zz z z z

               

 

  

Raisonnons avec le deuxième membre de l’équivalence de départ :

5 5 ( )( ) ( )( )

5

2

2 2 C C C C

C C CCzz z

z z z z z

z

z

z

z

z z

z

z   

      

 

Il ne reste à montrer que 5

2 2

C Cz z   :

on peut calculer 2 2

2 3 3 9 9 9

2 2 4 4 2 C C Cz z z

                           

d’où l’égalité : 5 5

2 2

9

2 2 C Cz z     .

b. On remarque que 2

' 1 3

z z

z i

   

et donc que 2 2 2

' 1 3 1 31 3

z z z z

z i z iz i

       

      .

2 2 ' ' ' ' 0 ' 0

1 3 1 3

z z z z z z x

z i z i

           

    .

En effet, si z’ = x’ + iy’, alors ' ' ' ' ' ' 2 'z z x iy x iy x     

L’équivalence devient donc :

z’ est un imaginaire pur équivaut à 5

( )( ) 2

C Cz z z z   , autrement dit

2 5 5 5 5

2 2 2 2CM CM CM CM z z z z CM           .

M appartient donc au cercle de centre C de rayon 5

2 (privé de A). En effet

2 2 3 3 3 3 2 6 1 3 1 3 1 9 5

1 3 . 2 2 2 2 2 4 4 2

C A AC

i i i i AC z z z i

                             

   

1. 31. Homographie, Polynésie 2006

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( ; , )O u v ; unité graphique 2 cm. On appelle A

et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point Md’affixe zdéfinie par

   

1

1

z z

z .

On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

1. Déterminer les points invariants de f c’est-à-dire les points M tels que M = f(M).

2. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 1,   1 1 2z z     .

b. En déduire une relation entre 1z  et 1z  , puis entre arg (z1) et arg (z + 1), pour tout nombre

complexe z différent de 1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

4. Soit le point P d’affixe 2 3p i   .

a. Déterminer la forme exponentielle de (p +1).

b. Montrer que le point P appartient au cercle (C).

c. Soit Q le point d’affixe q p  p est le conjugué de p. Montrer que les points A, Pet Q sont

alignés.

d. En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l’image Pdu point P par l’application f .

Correction

1. M=f(M), soit 2 2 1

1 1 ou 1

z z z z z z z i z i

z

              

. Il y a donc deux points invariants :

(0;1) et (0;-1)

2. a.        1 1 1

1 1 1 1 1 2 1 1

z z z z z z z

z z

               

   pour tout nombre z différent de -1.

b. En passant la relation précédente au module, on a : 2

1 1 2 1 1

z z z z

        

; de même

en passant à l’argument :          arg 1 arg 1 arg 2 arg 1 arg 1z z z z             .

c. Ceci se traduit par : 2

AM BM

  et    ; ;u AM u BM    .

3. Si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors 2BM  d’où 2 2

1 2

AM BM

    (d’après

la question 2.c)) donc ' 2AM  donc M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

4. a.

2

3 1 3

1 1 3 2 2 2 2

i

p i i e

  

          

.

b. On a 1 2p  car 1ie  donc P appartient au cercle (C). (on se sert du 4.a. évidemment)

c.  2 3 2 3 1 3 3q p i i q i            ; par ailleurs comme P appartient au cercle (C) donc son image P’ appartient au cercle (C’) d’après la question 3. (ou encore ' 1AP  ).

D’autre part :     2

; ; 3 3

u AP u BP  

       et 2

1 2

AP   ; donc 1 3 3 3

1 ' 2 2 2 2

p i p i      

et 1 1 3q i   . On a donc   1 1

' 1 1 2 2

p q AP AQ     .

d. Pour ceux qui ont cherché le rapport de proportionnalité entre les deux vecteurs (avec la méthode ci- dessus ou une autre) on peut dire que P’ est le milieu de [AQ]. Il faut placer P, Q et P’ sur le dessin avec les pointillés explicatifs.

Complément : D’une façon plus générale, en partant d’un point P sur le cercle (C) 2 iz e  , pour construire son image P’ on commencera par faire le symétrique de P par rapport à l’axe des ordonnées (le point Q) ; Le point Q se construit en deux étapes : d’abord P1 symétrique de P par rapport à l’axe des abscisses pour le conjugué, puis Q symétrique de P1 par rapport à l’origine pour faire l’opposé) ou directement symétrique par rapport à (Oy).

Puis on placera P’ sur le cercle (C’) à l’intersection avec le segment [AQ]. Il faudrait faire la démonstration dans le cas général (cas général de P sur le cercle (C)) pour le rapport de proportionnalité et vérifier qu’il est toujours positif sinon le point P’ serait le deuxième point d’intersection de la droite (AQ) et de (C’)

1. 32. Transf. 2nd degré, France 06/2008 5 pts

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 1 cm).

Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, 3 − i et 2.

À tout point M d'afïïxe z, on associe le point Md'affixe ztelle que 2' 4z z z  . Le point Mest appelé l'image de M.

1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.

2. Calculer les affixes des points Aet B’,images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe −5.

4. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a :   2

' 4 2z z   .

b. En déduire une relation entre ' 4z  et 2z  et, lorsque z est différent de 2, une relation entre

 arg ' 4z  et  arg 2z  .

c. Que peut-on dire du point Mlorsque M décrit le cercle (C) de centre I et de rayon 2 ?

5. Soient E le point d'affixe 32 2 i

e

 , J le point d'affixe −4 et El'image de E.

a. Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle  ,u IE .

b. Calculer la distance JEet une mesure en radians de l'angle  , 'u JE . c. Construire à la règle et au compas le point E’ ; on laissera apparents les traits de construction.

Correction

1. La figure est laissée au lecteur…

2. ' 4 2Az i   , ' 4 2Bz i   , les points Aet B’ sont confondus.

3. 2 2 1 24 5 4 5 0 16 20 4, 2 , 2z z z z z i z i                .

4. a.   22' 4 4 4 2z z z z      .

b.   2 2

' 4 2 2z z z     ,    arg ' 4 2arg 2z z   .

c. Lorsque M décrit le cercle (C) de centre I et de rayon 2, on a 2 2 ' 4 4z z     , le point M

parcourt le cercle (C’) de centre J le point d'affixe −4 et de rayon 4.

5. 3 32 2 2 2 2 i i

IE e e

 

     donc E est sur (C) et E’ est sur (C’).

     3 2, arg 2 , ' 2 , 3 3

i

u IE e u JE u IE

   

         

.

c. La figure est laissée au lecteur… faut pas charrier…

1. 33. Transf. 2nd degré, N. Calédonie 2004 - 5 pts

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , on considère l’application f du

plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

2' 4z z z  .

1. Soient A et B les points d’affixes 1Az i  et 3Bz i  .

a. Calculer les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f.

b. On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie centrale que l’on précisera.

2. Soit I le point d’affixe −3.

a. Démontrer que OMIM’ est un parallélogramme si et seulement si 2 3 3 0z z   .

b. Résoudre l’équation 2 3 3 0z z   .

3. a. Exprimer  ' 4z  en fonction de  2z  . En déduire une relation entre ' 4z  et 2z  puis entre

arg( ' 4)z  et arg( 2)z  .

b. On considère les points J et K d’affixes respectives 2Jz  et 4Kz   . Démontrer que tous les points

M du cercle (C) de centre J et de rayon 2 ont leur image M’ sur un cercle que l’on déterminera.

c. Soit E le point d’affixe 4 3Ez i   . Donner la forme trigonométrique de 4Ez  et démontrer à l’aide

du 3. a. qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E. Préciser sous forme algébrique les affixes de ces deux points.

Correction

1. a. 2'1 (1 ) 4(1 ) 2 4 4 4 2A Az i z i i i i i              et '3 9 6 1 12 4 4 2B Bz i z i i i           .

b. appelons u et v les affixes des points U et V en question : 2' 4u u u  et 2' 4v v v  ; leurs images sont identiques si

2 2 2 2' ' 4 4 4 4 0 ( )( ) 4( ) 0 ( )( 4) 0u v u u v v u v u v u v u v u v u v u v                     .

On a donc soit u v , soit 4 2 2

u v u v

     , et dans ce cas le milieu de [UV] a pour affixe 2 et l’un est

l’image de l’autre par la symétrie de centre 2.

2. a. I(−3). OMIM’ est un parallélogramme si et seulement si

2' 0 3 ' ' 3 0 3 3 0OM M I z z z z z z              .

b. 2 3 3 0z z   : 29 12 3 3i      d’où 1 3 3

2 2 z i  , 2

3 3

2 2 z i  .

3. a.   2

2 2 ' 4 2' 4 4 4 ( 2) arg( ' 4) 2 arg( 2) 2

z z z z z z

z z k

           

   

.

b. Soit M un point du cercle (C) de centre J(2) et de rayon 2, son affixe z est telle que 2 2z   , et son

image M’ est telle que 2' 4 2 4z    d’où M’ est sur le cercle de centre K(−4), de rayon 4.

c. 24 3 3 i

Ez i e

 

    ; si E est l’image d’un point z, on a

arg( 4) 2arg( 2) 2 2arg( 2) 2 arg( 2) 2 4

Ez z k z k z k  

                .

Sur le cercle trigo il y a donc deux arguments possibles, 4

  et

3

4 4

     . Il reste à trouver les

modules : 2

4 3 3 2 2 3Ez i z z        . Conclusion on a

3

42 3 i

z e

  ou 42 3 i

z e

 

  , soit

3

4 2 2 4 3 2 3 2

2 3 2 3 2 2 2 2

i

z e i i

   

          

ou 4 2 2 4 3 2 3 2

2 3 2 3 2 2 2 2

i

z e i i

    

         

.

1. 34. Similitude, Liban 2006 - 5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( ; , )O u v . On prendra 2 cm pour unité

graphique. Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.

1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport 2 .

b. Déterminer l’affixe du point Bimage de B1 par la rotation de centre A et d’angle 4

 . Placer les points

A, B et B’.

2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point Md’affixe ztel que z = (1 + i) z + 1.

a. Montrer que B a pour image Bpar f .

b. Montrer que A est le seul point invariant par f.

c. Établir que pour tout nombre complexe z distinct de i, 'z z

i i z

  

 . Interpréter ce résultat en termes de

distances puis en termes d’angles. En déduire une méthode de construction de Mà partir de M, pour M distinct de A.

3. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble 1 des points M du plan

dont l’affixe z vérifie 2 2z   .

b. Démontrer que z3 2i= (1 + i)(z − 2). En déduire que si le point M appartient à 1 , alors son

image Mpar f appartient à un cercle 2 , dont on précisera le centre et le rayon.

c. Tracer 1 et 2 sur lamême figure que A, B et B’.

Correction

1. a.      ( , 2) 1: '/ ' 2 ' 2 2 2A A A Bh z z z z z z z i z i z z i i            .

b.      4 4 4( , / 4) ': ' ''/ '' ' '' ' 2 2 i i i

A A A Br z z z z e z z z e z i i z i e i i i

  

                 

, soit

       ' 2

1 2 2 1 2 3 2 2

Bz i i i i i i i            .

Remarque : si on développe dès le début, les calculs sont vraiment très laids…

2. a.  ' 1 2 1 3 2z i i     .

b.  1 1 1 0z i z iz z i        donc A est le seul point invariant par f.

c.  ' 1 i z iz z z iz z

i i z i z i z

       

   . On a donc avec les vecteurs 'MM d’affixe 'z z et MA d’affixe

i z : '

1 ' MM

i MM MA MA

     et      arg , ' arg 2 2

MA MM i      .

Pour un point M quelconque on trace le cercle de centre M, de rayon MA puis la perpendiculaire à (MA) passant par M qui va couper le cercle précédent en un seul point M’ pour lequel l’angle droit sera négatif.

3. a. 2 2z   caractérise le cercle de centre B, de rayon 2 .

b. On vérifie par le calcul :        ' 3 2 1 1 3 2 1 2 2 1 2z i i z i i z i i z              .

Donc lorsque 2 2z   , on a '' 1 2 2 2 2Bz z i z       donc M’ appartient au cercle de

centre B’, de rayon 2.

c. La figure est laissée au lecteur, le correcteur est fatigué…

1. 35. Transformations

Soit P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j (unité graphique : 2 cm). Pour tout

complexe z on considère dans P les points M d’affixe z, N d’affixe 2z et Q d’affixe 3z .

1. Déterminer les nombres complexes z pour lesquels deux au moins de ces trois points , M, N et Q sont confondus.

2. Dans ce qui suit on supposera M, N et Q deux à deux distincts. Exprimer les distances MN et MQ en fonction de z. Déterminer et construire dans P l’ensemble E des points M tels que MN = MQ.

3. Montrer que l’angle ( , )MN MQ a pour mesure un argument de z + 1. Déterminer et construire

l’ensemble F des points M tels que le triangle MNQ soit rectangle en M.

4. Dans cette question z = −1 − i.

Calculer les affixes de N et Q et construire le triangle MNQ dans le plan P. Que peut on constater ? Expliquer ce résultat à partir des questions 2. et 3.

Correction

1. M, N confondus : 2 0, 1z z z z    ; M, Q confondus : 3 0, 1, 1z z z z z      ; N, Q

confondus : 2 3 0, 1z z z z    . Deux des points sont confondus lorsque z = 0, −1 ou 1.

2. 2MN z z  , 3MQ z z  ;

2 3 1 1 1 1 1MN MQ z z z z z z z z z z             .

Il s’agit du cercle de centre le point A d’affixe −1, de rayon 1.

3. 3

2

( 1)( 1) ( , ) arg arg arg( 1)

( 1)

z z zz z MN MQ z

z zz z

                

.

MNQ est rectangle en M ssi ( , ) arg( 1) 1 1 0 1 2 2

MN MQ z z i x x  

               : il

s’agit de la droite verticale passant par A.

4. z = −1 − i : 2 1 1 2 2z i i    ; 3 2 . 2 ( 1 ) 2 2z z z i i i      .

Le triangle MNQ est rectangle isocèle : isocèle car 1 1 1 1z i i        et rectangle car

Re( 1 ) 1i    .

1. 36. Rotation-homothétie, Am. Nord 2007 - 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 4 cm).

Soit le point A d’affixe Az i et B le point d’affixe

5

6 i

Bz e

 

 .

1. Soit r la rotation de centre O et d’angle 2

3

 . On appelle C l’image de B par r.

a. Déterminer une écriture complexe de r.

b. Montrer que l’affixe de C est 6 i

Cz e

 

 .

c. Ecrire zB et zC sous forme algébrique.

d. Placer les points A, B et C.

2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, −1 et 2.

a. Montrer que l’affixe de D est 3 1

2 2 Dz i  . Placer le point D.

b. Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle.

3. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D par h.

a. Déterminer une écriture complexe de h.

b. Montrer que l’affixe de E est 3Ez  . Placer le point E.

4. a. Calculer le rapport D C

E C

z z

z z

 . On écrira le résultat sous forme exponentielle.

b. En déduire la nature du triangle CDE.

Correction

1. a. Az i ;

5

6 i

Bz e

 

 .

2

3: ' i

r z z e z

  .

b.

2 2 5

3 3 6 6 i i i i

C Bz e z e e e

     

   .

c.

5

6 3 1

2 2

i

Bz e i

 

    ; 6 3 1

2 2

i

Cz e i

 

   .

d. Figure ci-dessous.

2. a.   1 1 3 1 1 3 3 3 3 1

2 2 2 3 2 1 2 3 2 2 3 2 2 2 2

D A B Cz z z z i i i i i    

                    

.

b. Tous ces points sont sur le cercle trigonométrique car leur module est 1.

3. a.  : '/ ' 2 ' 2h z z z i z i z z i       .

b. 3 1

2 3 2 2

Ez i i  

      

.

4. a.  

3

3 1 3 1 2 32 1 32 2 2 2

4 2 23 1 3 3

2 2

i D C

E C

i i i iz z i i e

z z i i

         

   

.

b. Le triangle CDE est équilatéral : CD CE et  , 3

CE CD   .

1. 37. Rotation et translation

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 4 cm).

On donne les points A et B d’affixes respectives 1 et 1 3

2 2 i .

Pour chaque point M du plan, d’affixe z, on désigne par 1M d’affixe 1z , l’image de M par la rotation de

centre O et d’angle 3

 , puis par M’, d’affixe z’, l’image de 1M par la translation de vecteur u .

On note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M’.

1. a. Démontrer que 3' 1 i

z e z

 

b. Déterminer l’image du point B.

c. Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’affixe.

2. On pose z = x + iy, avec x et y réels.

a. On prend 0z  ; calculer la partie réelle du quotient 'z

z en fonction de x et de y.

b. Démontrer que l’ensemble ( ) des points du plan, tels que le triangle OMM’ soit rectangle en O, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer ( ).

3. Dans cette question, on pose z = 1 + i.

a. Vérifier que M  ( ) et placer M et M’ sur la figure.

b. Calculer 'z et l’aire du triangle OMM’ en cm².

Correction

1. a. La rotation de centre O d'angle 3

 a pour expression complexe : 31

i

z e z

 . La translation de vecteur

u a pour expression complexe : 1' 1z z  donc 3' 1

i

z e z

  .

b. 3 1 3

2 2

i

Bz i e

 

   d’où 3 3 3' 1 1 1 1 0 i i i

B Bz e z e e

   

        donc T

B O ou T(B) = O.

c. L'ensemble des points invariants est l'ensemble des points d'affixe z tels que :

3 3 1 3 1 3 1 3 1 3

1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 2

i i

z e z z e z i z i z i

 

                    d’où

2

3 1 3

2 2

i

z i e

 

    .

Le point  d'affixe

2

3 i

e

 

est le seul point invariant pour T.

2. a. 3

3 ' 1 1 1 3 1 1 3 1 3

( ) 2 2 2 2 ² ² 2 ² ² 2 ² ²

i i x iy yz e z x

e i i i z z z x iy x y x y x y

 

             

    donc

' 1 ( )

2 ² ²

z x e

z x y   

 .

b. OMM' est un triangle rectangle, donc ( , ') 2

OM OM k

  c'est à dire '

z

z est un imaginaire pur ou

encore, sa partie réelle est nulle. Or ' 1

( ) 2 ² ²

z x e

z x y   

 donc le problème revient à résoudre l'équation :

1 0 ² ² 2 0 ² 2 1 ² 1 ( 1)² ² 1

2 ² ²

x x y x x x y x y

x y                

.

D'autre part, pour que le triangle OMM' existe, il ne faut pas que M = 0 ni que M' = 0 ; ce dernier cas est réalisé lorsque M = B. On enlève donc O et B.

Dans le plan complexe, ce cercle a pour équation 1 1z   .

L'ensemble des points M tels que le triangle OMM' soit rectangle est le cercle de centre A de rayon 1 privé des points O et B.

3°) On pose 41 2 i

z i e

   .

a. 1 1 1 1z i i      donc M  ( ).

Pour placer M' sur la figure, il faut appliquer à M la rotation d'angle 3

 puis la translation de vecteur

u .

b.

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

' 1 ( )(1 ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 ( )² ( )² 2 ( )² 2 .

2 2 2 2 2

i

z e z i i i i i

  

             

            

Il en résulte que l'aire du triangle OMM' est égale à : '' 1 1 3 1 3

2 2 2 2 22

z zOM OM         .

Aller plus loin dans ce problème, c'était s'apercevoir que la transformation T était la rotation de centre

 d'angle 3

 . En effet, en effectuant un changement de repère où  serait le centre, on aurait :

Z z   c'est à dire z Z   avec

2

3 i

e

 

 .

L’expression complexe de T devient donc :

2 2 2 2 ( )

3 3 3 3 3 3 3 3 3' 1 ' ( ) 1 ' ( ) 1 ' 1 i i i i i i i i

z e z Z e Z Z e e Z e Z e e Z e

        

     

                

2

3 3 3 3' 1 ' i i i i

Z e Z e e Z e Z

     

       car

2

3 3 1 3 1 3

1 1 0 2 2 2 2

i i

e e i i

   

        .

1. 38. Second degré et rotation

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : z2 − 2z + 2 = 0.

2. Soit K, L, M les points d'affixes respectives zK = 1 + i ; zL = 1 − i ; zM = − i 3 .

Placer ces points dans le plan muni d'un repère orthonormal direct 1 2(O ; , )e e (Unité graphique : 4 cm).

On complétera la figure dans les questions suivantes.

3. a. N est le symétrique du point M par rapport au point L.

Vérifier que l'affixe zN du point N est : 2 + i( 3 – 2).

b. La rotation de centre O et d'angle

2

 transforme le point M en le point A et le point

N en le point C.

Déterminer les affixes respectives zA et zC des points A et C.

c. La translation de vecteur u d'affixe 2i transfor- me le point M en le point D et le point N en le point B.

Déterminer les affixes respectives zD et zB des points D et B.

4. a. Montrer que le point K est le milieu des segments [DB] et [AC].

b. Montrer que : C K

B K

z z i

z z

 

 .

c. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Correction

1. z2 − 2z + 2 = 0 ; les racines sont 1 1z i  et

2 1z i  .

2.

B

D

2i

2i C

A

n=90

N

M

L

Ki

1O

3. a. Pour calculer zN on fait 2 2 2 3 2 ( 3 2) 2

M N L N L M

z z z z z z i i i

           .

b. Rotation de centre O et d'angle 2

 : on multiplie par i. On a donc ( 3) 3Az i i   et

(2 ( 3 2)) 2 3 2Cz i i i      .

c. Translation de vecteur u d'affixe 2i : on ajoute 2i aux affixes : 2 3 (2 3)Dz i i i    et

2 3 2 2 2 3Bz i i i i      .

4. a. [DB] et [AC] ont même milieu puisque ABCD est un parallélogramme (évident…). On fait le milieu

de [DB] par exemple : 1

(2 3 2 3) 1 2 2

D B K

z z i i i i z

        .

b. 2 3 2 1 1 3

2 3 1 1 ( 3 1)

C K

B K

z z i i i

z z i i i

        

      .

Si on multiplie le dénominateur par i on a [1 ( 3 1)] 1 3i i i     , soit le numérateur. Le quotient vaut

bien i.

c. Si on prend le module de ce qu’on vient de trouver on a

1 C KC K

C K B K B K B K

z zz z i z z z z KC KB

z z z z

         

  .

De même si on prend l’argument on a  arg arg( )(2 ) , (2 ) 2

C K

B K

z z i KB KC

z z

  

     

  .

Conclusion : diagonales égales, on a donc un rectangle ; ces diagonales sont perpendiculaires on a un losange ; ABCD est un carré.

1. 39. 3ème degré et rotation

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  ; ,O u v . Pour tout point P, on convient de

noter Pz son affixe.

1. On considère dans l’équation (E) : 3 8 0z   .

a. Déterminer les réels a, b, c tels que 3 28 ( 2)( )z z az bz c     pour tout complexe z.

b. Résoudre l’équation (E) (on donnera les solutions sous forme algébrique x+iy).

c. Ecrire ces solutions sous la forme ire , où r est un réel positif.

2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives –2, 1 3i et 1 3i , le point D milieu de [OB]

et la rotation R de centre O et d’angle 2

3

 .

a. Montrer que R(A)=B, R(B)=C et R(C)=A. En déduire que le triangle ABC est équilatéral. Placer A, B et C dans le plan.

b. On considère le point L défini par AL OD . Déterminer son affixe Lz .

Déterminer un argument de L

D

z

z . En déduire que le vecteur OL est orthogonal au vecteur OD et au

vecteur AL .

c. Montrer que L est sur le cercle de diamètre [AO]. Placer L sur la figure.

Correction

1. a. On développe et on identifie les coefficients ou bien on utilise 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b     ou bien

on le fait de tête : 3 28 ( 2)( 2 4)z z z z     .

b. Il y a évidemment la solution −2 ainsi que les solutions de 2 2 4z z  qui sont 1 3i et 1 3i .

c. 3 3 1 3 1 3

2 2 , 1 3 2 2 , 1 3 2 2 2 2 2 2

i i ie i i e i i e

 

    

                

.

2. a.

2

3 1 3

( ) 1 3 ( 2) 1 3 2 2

i

B AR A B z e z i i i

  

             

, ok, et pareil pour les autres. Les

points A, B et C sont sur le cercle de centre O, de rayon 2.

b. D a pour affixe 1 1 3 3 3

( ) 2 2 2 2 2

O B L A Dz z i z z z i         .

3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 arg ( ) ( )

2 2 2 2 4 4 4 4 2

L L

D D

z z i i i i i OL OD

z z

                         

.

c. (OL) est orthogonale à (OD) et (OD) est parallèle à (AL) donc (OL) est orthogonale à (AL), conclusion L est sur le cercle de diamètre [AO].

1. 40. 3ème degré, rotation, homog. Asie 2005 - 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 1 cm).

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante :

3 2( 8 ) (17 8 ) 17 0z i z i z i       .

I. Résolution de l’équation (E).

1. Montrer que −i est solution de (E).

2. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que : 3 2 2( 8 ) (17 8 ) 17 ( )( )z i z i z i z i az bz c          .

3. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

II. On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4+i, 4−i,−i.

1. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.

2. Le point  est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de centre  et d’angle de

mesure 2

 . Calculer l’affixe de S.

3. Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle (C)dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer (C).

4. À tout point M d’affixe 2z  , on associe le point M’ d’affixe 10 2

' 2

iz i z

z

  

 .

a. Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ associés respectivement aux points A, B et C.

b. Vérifier que A’, B’, C’ appartiennent à un cercle (C’)de centre P, d’affixe i. Déterminer son rayon et tracer (C’).

c. Pour tout nombre complexe 2z  , exprimer 'z ien fonction de z.

d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (C). Démontrer que ' 2 5z i  .

e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M’ associés aux points M du cercle (C).

Correction

I. 1. 3 2( ) ( 8 )( ) (17 8 )( ) 17 8 17 8 17 0i i i i i i i i i i                .

2. Développement puis identification donnent 3 2 2( 8 ) (17 8 ) 17 ( )( 8 17)z i z i z i z i z z          .

3. 2 8 17 0z z   a pour racines 4 + i et 4 − i.

II. 1. Voir plus loin.

2. ( , )

2

: ( ) (4 2) 2 1 2R A S s i a s i i i   

            .

3. Il est assez évident sur la figure que (C) a pour centre  et pour rayon 2 5OA i   . On vérifie

aisément que 5B C S    .

4. a. ' (4 ) 10 2 (9 2 )(2 )9 2 20 5

4 4 2 2 (2 )(2 ) 5

A

i i i i ii i z i

i i i i

           

     ,

'

(4 ) 10 2 (11 2 )(2 )11 2 20 15 4 3

4 2 2 (2 )(2 ) 5 B

i i i i ii i z i

i i i i

           

     ,

'

( ) 10 2 (11 2 )( 2 )11 2 20 15 4 3

2 2 ( 2 )( 2 ) 5 C

i i i i ii i z i

i i i i

              

        .

b. Il est immédiat que 2 2' 4 2 2 5 ' 'PA PB PC     .

C' B'

S

P

B = A'

A

y

C

j

i xO

c. 10 2 10 2 2 10 10

' 2 2 2 2

iz i iz i iz i z i i

z z z z

           

    .

d. M un point d’affixe z appartenant au cercle (C) est tel que 2 5z   d’où 10 10 5

' 2 5 55

z i    .

e. Donc si M appartient au cercle (C), M’ appartiendra au cercle de centre le point P d’affixe i, de rayon

2 5 .

1. 41. Pentagone régulier, EPF 2001

On considère le nombre complexe

2

5 i

a e

 . On note I, A, B, C, D les points du plan complexe d'affixes 1, a, a2, a3, a4.

1. Vérifier que a5 = 1.

2. Montrer que IA = AB = BC = CD = DI.

3. Vérifier que, pour tout z complexe : 5 2 3 41 ( 1)(1 )z z z z z z       .

4. En déduire que 1 + a + a2 + a3 + a4 = 0.

5. Montrer que 3 2a a et que 4a a .

6. En déduire que 2( ) ( ) 1 0a a a a     .

7. Résoudre, dans , l'équation 4x2 + 2x – 1 = 0.

8. Calculer ( )a a et en déduire la valeur exacte de 2

cos 5

     

.

9. Placer les points I, A, B, C et D dans le plan complexe (unité 4 cm).

Correction

1.

2 5.

5 25 1 i

ia e e

   .

2. Les points I, A, B, C, D, sont les images successives les uns des autres par la rotation de centre O

d’angle 2

5

 : I va sur A, A sur B, etc. On a donc égalité des distances (une rotation est une isométrie).

3. On développe et ça marche tout seul.

4. Comme a5 = 1, a est une solution de l’équation 5 1z  , soit de 2 3 4( 1)(1 ) 0z z z z z      , mais

comme a ne vaut pas 1, a est solution de 2 3 41 0z z z z     et est donc tel que 2 3 41 0a a a a     .

5.

3 22 6 2 4 4 6 2

3 25 5 5 5 5 5, i i i i i i i

a e e a e e e e

           

                

. Même chose pour 4a a .

6. Utilisons 3 2a a et que 4a a dans 2 3 4 2 21 0 1 0a a a a a a a a           ,

or 2 2 2 2 2( ) 2 2a a a aa a a a       , on retrouve bien la même relation.

7. Les solutions sont 1 2 1 5 1 5

, 4 4

x x       .

8.

2 2

5 5 2

( ) 2 cos 5

i i

a a e e

  

    , donc en rempalçant dans 2( ) ( ) 1 0a a a a     , on a

2 22 2 2 2(2 cos ) (2 cos ) 1 0 4 cos 2 cos 1 0 5 5 5 5

           ,

2 cos

5

 est donc une des deux solutions

précédentes. Comme il est forcément positif ( 2

72 90 5

     ), il vaut

1 5

4

  .

1. 42. 3 ème degré, Pondicherry 2003

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) : 3 22 16 0z z   .

1. a. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme 2( 2)( ) 0z az bz c    où

a, b, c sont trois réels que l’on déterminera.

b. En déduire les solutions de (E) sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v .

2. a. Placer les points A, B et D d’affixes respectives 2 2Az i   , 2Bz  et 2 2Dz i   .

b. Calculer l‘affixe Cz du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

3. Soit E l’image du point C par la rotation de centre B et d’angle 2

  , et F l’image du point C par la

rotation de centre D et d’angle 2

  .

a. Calculer les affixes Ez et Fz des points E et F.

b. Placer les points E et F.

4. a. Vérifier que F A

E A

z z i

z z

 

 .

b. En déduire la nature du triangle AEF.

c. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l‘image du triange EBA par la rotation de centre I et d’angle 2

  .

Correction

(E) : 3 22 16 0z z   .

1. a. 3 22 2.2 16 0   donc 2 est solution ; on développe :

2 3 2 2

1 1

2 2 ( 2)( ) 2 2 2 4

2 0 8

2 16

a a

b a z az bz c az az bz bz cz c b

c b c

c

 

               

      

d’où 3 2 22 16 ( 2)( 4 8) 0z z z z z       .

b. 216 32 (4 )i    d’où les racines

3

4 1

4 4 2 2 2 2

2

ii z i e

        ,

3

4 2

4 4 2 2 2 2

2

ii z i e

  

     .

2. 2 2Az i   , 2Bz  et 2 2Dz i   .

a. Figure ci-dessous.

b. On doit avoir 2 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 4C B D A CBC AD z z z z z i i i               .

3. a. 2 ( ) 2 (2 4 2) 6 i

E B C B Ez z e z z z i i

 

        

et 2 ( ) 2 2 (2 4 2 2 ) 2 2 2 4 4 6 i

F D C D Fz z e z z z i i i i i i i

                  

b. Voir figure.

F

E

v=-90

u=90

C

A

D

B

J

I

O

4. a. ( 4 6 ) ( 2 2 ) (2 8)2 8

6 ( 2 2 ) 8 2 8 2

F A

E A

z z i i i ii i

z z i i i

           

      .

b. On a donc 1 1F A

E A

z z AF i AF AE

z z AE

      

 donc AFE est isocèle en A. De même on a

arg arg ( , ) 2 2

F A

E A

z z i AE AF AF AE

z z

       

 , le triangle est rectangle.

c. Comme I est le milieu de l’hypothénuse du triangle rectangle isocèle AEF, les triangles AIE et AIF sont

également rectangles isocèles. Par la rotation de centre I et d’angle 2

  on a donc E va en A et A va en F.

Enfin comme BE = AD et (BE) est orthogonal à (AD), les triangles EBA et ADF sont isométriques donc B a pour image D (on peut le faire par le calcul).

1. 43. Projection sur droite, N. Calédonie 2005 - 5 pts

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Unité graphique : 3 cm.

À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M’ d’affixe z’ par l’application f qui admet pour

écriture complexe : (3 4 ) 5

' 6

i z z z

   .

1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives zA= 1 + 2i, zB= 1 et zC = 3i.

Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ images respectives de A, B, C par f.

Placer les points A, B, C, A’, B’, C’.

2. On pose z = x + iy (avec x et y réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ en fonction de x et y.

3. Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation 1

2 y x . Tracer (D).

Quelle remarque peut-on faire ?

4. Soit M un point quelconque du plan et M’ son image par f. Montrer que M’ appartient à la droite (D).

5. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z : '

6 3A

z z z z z z i

z

     . En déduire que le nombre

'

A

z z

z

 est réel.

b. En déduire que, si 'M M , les droites (OA) et (MM’) sont parallèles.

6. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N’ ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)). Effectuer la construction sur la figure.

Correction

1. (3 4 )(1 2 ) 5(1 2 )

' 0 6

i i i a

      ,

(3 4 )(1) 5(1) 8 4 4 2 '

6 6 3

i i i b

       ,

(3 4 )(3 ) 5( 3 ) ' 2

6

i i i c i

       .

N'

N

2x - y = 0

C'

B'

C

B

A

y

j

i x

O=A'

2. (3 4 )( ) 5( ) 3 4 (3 4 ) 5 5 8 4 4 2

' ' 6 6 6 6

i x iy x iy x y i y x x i y x y x y x iy i

                , soit

4 2 '

3

x y x

  et

2 '

3

x y y

  .

3. Un point M est invariant si

4 2

' 4 2 3 2 0 13 '

' 2 2 3 2 4 0 2

3

x y x

x x x y x x y z z y x

y y x y x y y x y y

       

                  



.

Les points A’, B’ et C’ sont alignés sur cette droite, alors que ce ne sont pas des points invariants.

4. On a 4 2

' 3

x y x

  et

2 '

3

x y y

  , soit

1 ' '

2 y x donc M’ est bien sur (D).

5. a. Repartons de (3 4 ) 5

' 6

i z z z

   :

        (3 4 ) 5 6

(1 2 ) ( 3 4 ) 5 1 2 3 4 5 1 2' 6 6

1 2 5 30 30

3 4 5 6 8 10 5 10 5 10 5 10 .

30 30 30 30 6 3

i z z z i

i z z i z iz z iz z

i

z iz z iz z iz z iz z iz z z z z z z z z i i

               

   

                  

Ok.

C’est un réel car 2z z x  et 2z z iy  donc 2 2 4 22

. 6 3 6 3 6 3

iy x y x yz z z z x i i

        .

On pouvait remplacer z par x iy :

 

1 1 (4 2 3 ) (2 3 )

( 2 ) (2 4 )' 1 1 23 3

1 2 3 1 2 1 2

5 10 21 ( 2 4 8 ) (2 4 2 4 ) .

15 15 3

A

x y x i x y y x y i x yz z i

z i i i

x y x y x y x y i x y x y

        

    

           

Ce qui donnait le résultat directement.

b. Un vecteur directeur de (MM’) est 'MM d’affixe 'z z , un vecteur de (OA) est OA d’affixe Az : on

regarde donc   '

, ' arg 0[mod ] A

z z OA MM

z

   donc les droites sont parallèles.

6. Si N est sur (D) il est invariant, on n’y touche pas ; si N n’est pas sur (D), (NN’) est parallèle à (OA) et N’ est sur (D), il suffit de faire l’intersection de la parallèle à (OA) passant par N avec (D).

1. 44. Rotation, Pondicherry 2005 - 5 pts

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On désigne par I le point d’affixe

1Iz  , par A le point d’affixe 1 2Az i  , par B le point d’affixe 2 2i  et par (C) le cercle de diamètre

[AB].

On fera une figure que l’on complètera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

1. Déterminer le centre  du cercle (C) et calculer son rayon.

2. Soit D le point d’affixe 3 9

4 2 D

i z

i

  

. Ecrire Dz sous forme algébrique puis démontrer que D est un

point du cercle (C).

3. Sur le cercle (C), on considère le point E, d’affixe Ez , tel qu’une mesure en radians de  ,I E  est

4

 .

a. Préciser le module et un argument de 1

2 Ez  .

b. En déduire que 5 2 2 5 2

4 4 Ez i

   .

4. Soit r l’application du plan P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z

tel que 4 1 1

' 2 2

i

z e z

  

     

.

a. Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.

b. Soit K le point d’affixe 2Kz  . Déterminer par le calcul l’image de K par r. Comment peut-on

retrouver géométriquement ce résultat.

Correction

1.  a pour affixe 1 2 2 2 1

2 2

i i     ; le rayon du cercle est

1 1 5 2 2 1 2 9 16

2 2 2 i i       .

2. (3 9 )(4 2 )3 9 12 36 6 18 3 3

4 2 16 4 20 2 2 D

i ii i i z i

i

           

.

D est un point du cercle (C) si 5 3 3 1 5 9 5 25 5

4 2 2 2 2 2 4 2 4 2

Dz z i           . Ok !

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