Contrôle de sciences statistiques 2 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 2 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 2 - 3° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Rotations, carrés, Triangle rectangle.
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K

E

B

A

i

IO

3. a.  , (2 ) 4

I E     donc

1 3 1 arg arg arg arg

4 2 2 4 2 4

E E E

I

z z z z

z z

  

                   

       car

3 arg 0

2

   

  . Par ailleurs E est sur (C) donc

1 5

2 2 Ez   .

b. On a donc 4 1 5 1 5 2 2 5 2 2 5 2

2 2 2 2 2 2 4 4

i

E Ez e z i i

   

           

.

4. a. 4 1 1

' 2 2

i

z e z

  

     

est la définition d’une rotation de centre  et d’angle 4

 .

b. 4 1 1 1 5 2 2 5 2 2 5 2

' 2 ' ' 2 2 2 2 2 2 4 2

i

z e z i z i

    

                

. L’image de

L’image de K par r est donc E : K est le point d’intersection entre (C) et (Ox), donc son image est le point E.

1. 45. Rotations, Centres étrangers 1999

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v on porte les points A, A’, B et B

d’affixes respectives 1, −1, i et −i.

A tout point M d’affixe z, distinct de O, A, A’, B et B’ on associe les points M1 et M2 d’affixes respctives z1 et z2 tels que les triangles BM1M2 et AM1M2 soient rectangles isocèles avec

   1 1 2 2, , 2

M B M M M M M A

  (figure ci-dessous).

1. a. Justifier les égalités :

1 1( )z z i i z   et 2 21 ( )z i z z   .

b. Vérifier que z1 et z2 peuvent s’écrire : 1 1

( 1) 2

i z z

   et 2

1 ( )

2

i z z i

   .

2. On se propose dans cette question de déterminer les points M pour lesquels le triangle OM1M2 est équilatéral.

a. Montrer que 1 2 1OM OM z z i     . En déduire l’ensemble des points  des points M tels que

1 2OM OM et tracer  sur la figure jointe.

b. Montrer que 2 2 2

1 1 2 1 2 1 2OM M M z z z       . En déduire l’ensemble des points  des

points M tels que 1 1 2OM M M et tracer  sur la figure jointe.

c. En déduire les deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle équilatéral et les placer sur la figure.

3. a. Quelle relation peut-on en écrire entre z1 et z2 si OM1M2 est un triangle équilatéral ?

b. Déduisez-en que z est alors solution des équations

7

124 ( ) ( 1) ii

e z i e z

 

  

124 ( ) ( 1) ii

e z i e z

 

   .

c. Déduisez-en les affixes z des points M répondant à la question 2.

B'

A'

M2

M1

MB

AO

Correction

1. a. Par la rotation de centre M1 et d’angle / 2 , B a pour image M donc 1 1( )z z i i z   ; de même par

la rotation de centre M2 et d’angle / 2 , M a pour image A donc 2 21 ( )z i z z   .

b. 1 1 1 1 1 1 1 1

( ) 1 (1 ) 1 ( 1) ( 1) 1 2

i z z i i z z z iz z i z z z z

i

                 

 . C’est évidemment

la même chose pour 2 1

( ) 2

i z z i

   .

2. Méthode algébrique

a. Si OM1M2 est un triangle équilatéral alors 3 32 1 2 1( ) i i

O Oz z e z z z e z

   

     .

b. Mettons les deux relations du 1.b. sous forme trigonométrique : 4 41 1 1

2 ( 1) ( 1) 2 2

i i

z e z e z

 

    et

4 2

1 ( )

2

i

z e z i

 

  ; remplaçons dans 32 1 i

z e z

 

 , ce qui donne

3 44 3 4 4 1 1

( ) ( 1) ( ) ( 1) 2 2

ii i i i

e z i e e z e z i e z

                    

d’où en isolant z les deux solutions

7

12 4

7

124

i i

ii

e ie z

e e

 



 

, 12 4

124

i i

ii

e ie z

e e

 



 



 

.

3. Méthode géométrique

a. 1 2 1 2

1 1 0 0 ( 1) ( )

2 2

1 1 1 1

2 2

i i OM OM z z z z i

i i z z i z z i

          

         

car 1 2

2 2

i  et

1 2

2 2

i  .

L’ensemble des points  des points M tels que 1 2OM OM est la médiatrice des points A’(−1) et B’(−i).

b.

1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 (1 )( 1) (1 )( )

2 2 2

2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2 2

i OM M M z z z z i z i z i

z z iz i z i iz z iz z z z z

            

                  

ouf !

2 2 2 2 2 2 2 21 2 ( 1) 2( ) 2 1 0z z x y x y x y x            ,

2 2 2 2 21 2 ( 1) 2 2 1 2 0z x y x x y            , on retrouve bien la même chose.

 est donc le cercle de centre A, de rayon 2.

c. OM1M2 est un triangle équilatéral lorsque M est à l’intersection de  et de  .

M2

M1

F

E

B'

A'

B

AO

1. 46. Des carrés

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O ; , )u v .

1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c.

a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient c a

b a

 .

b. Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement si c a

b a

 est un nombre réel.

2. Placer sur une figure (unité graphique : 1 cm) les points A1, B1 et C1 d'affixes respectives

1 1 12, 3, 4 3 3.a b i c i    

Montrer, à l'aide de la propriété précédente, que les points A1, B1 et C1 sont alignés.

3. On considère les points A2, B2, C2, A3, B3, C3 tels que les quadrilatères OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3 soient des carrés directs.

a. Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.

b. Donner les affixes a3 et b3 des points A3 et B3 puis les affixes a2 et b2 des points A2 et B2.

c. À l'aide de la rotation de centre O et d'angle 2

 , calculer l'affixe c3 de C3 à l'aide de c1.

d. En déduire que les points A3, B3 et C3 sont alignés.

4. a. Déterminer le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C1, 1), (C3, 1)} soit C2.

(Rappel : le barycentre G du système (A,  ), (B,  ),… est tel que AG BG ... 0    )

b. Calculer l'affixe c2 de C2.

c. Montrer que les points A2, B2, C2 sont alignés.

Correction

1. A, B et C d'affixes respectives a, b et c.

a.      arg arg( ) arg( ) , , , c a

c a b a u AC u AB AB AC b a

       

 .

b. A, B et C sont alignés :  , 0( ) arg 0( ) c a c a

AB AC b a b a

   

      

.

2. On calcule : 1 1

1 1

4 3 3 2 6 3 3 3

3 2 3 2

c a i i

b a i i

        

   donc les points sont alignés.

3. a. OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.

C2

C3

B2

B3

a=90

A2

C1

B1

A1

1 1 12 , 3 , 4 3 3 .a b i c i    

A3

v

u xO

b. 3 22 2 2a a i    ; 3 23 3 3b b i     

c. 23 1 3 10 ( 0) ( 4 3 3) 3 3 4 i

c e c c ic i i i

           ; on a alors

2 1 3 2 1 3 4 3 3 3 3 4 4 3 3 (3 3 4)OC OC OC c c c i i i               .

d. On peut reprendre le calcul du début ou simplement dire que A3, B3 et C3 sont les images de A1, B1 et

C1 par la rotation de centre O d’angle 2

 ; comme ces points sont alignés leurs images le sont également.

4. a. On cherche a pour que 2 1 2 3 2 0aOC C C C C   , or

1 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 3 0OC OC OC OC C C OC C C OC C O C C C C           .

Conclusion a = −1.

b. Déjà fait…

c. A2, B2, C2 sont alignés : même calcul.

1. 47. Triangle et spirale, Pondicherry 2006 - 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 5

cm. On pose 0 2z  et, pour tout entier naturel n, 1 1

2 n n

i z z

  . On note nA le point du plan d’affixe nz .

1. Calculer 1 2 3 4, , ,z z z z et vérifier que 4z est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur

une figure.

2. Pour tout entier n, on pose n nu z . Justifier que  nu est une suite géométrique puis établir que,

pour tout entier naturel n, 1

2 2

n

nu  

    

.

3. A partir de quel rang 0n tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

4. a. Etablir que, pour tout entier naturel n, 1

1

n n

n

z z i

z

  . En déduire la nature du triangle OAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An−1An .On a ainsi

0 1 1 2 1...n n nl A A A A A A    . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite  nl ?

Correction

1. 1 0 1

2

i z z

  =

1

2

i  2 = 1 + i ; z2 = 2 1

1

2

i z z i

   ; 3 2

1 1

2 2

i i z z

     ; 4 3

1 1

2 2

i z z

    donc 4z

est bien un nombre réel.

2. Pour tout entier n, n nu z donc 1 1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 n n n n n n

i u z z z z u 

       . Ainsi, (un)

est bien une suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 1

2 . Donc 0

1 2

2

n

n nu u q

     

  .

3. An appartient au disque de centre O et de rayon 0,1 si

0

ln 0,051 1 0,12 0,1 0,05 ln ln 0,05 8,6 9

2 2 ln 1 / 2

n

n nz u n n n    

                  

.

A partir du rang 9, tous les points An appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1.

4. a. 1

1

1 1 2

1 1 12 2 1 1 1 ( 1)

2 2

n n n n

n n

i i z z

z z i i i

i iz i i i i z

   

          

      .

On en déduit que 1

1

1n n

n

z z i

z

   , or 1 1

1 1

n n n n

n n

z z A A

z A O

 

 

  donc 1

1

n n

n

A A

A O

=1  1 1n n nA A A O  donc

OAnAn+1 est isocèle en An+1.

1

1

π arg arg( ) (2π )

2

n n

n

z z i

z

    

  or  1 1 1arg ,n n n n n

z z A O A A

z

  

   

  donc    1 1

π , 2

2 n n nA O A A    :

OAnAn+1 est rectangle en An+1. Conclusion OAnAn+1 est un triangle rectangle et isocèle en An+1.

b. Dans le triangle OAnAn+1 rectangle et isocèle en An+1, d'après le théorème de Pythagore, on a :

2 2 21n n nA A OA   1 2

n n n

OA A A  =

1 1 1 1

2 2 2 2 2

n n

nu

             

. Ainsi, 0 1 2A A  , 1 2 1A A  ,

2 3

1

2 A A  .

(ln) est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison

1

2 :

1 1 1 1

1 2 2 12 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 2 1 2 1 21 2 2

n n

n n

nl

                  

                       

.

lim n

1

2

n      

= 0 car si –1  q  1, lim 0n n

q 

 donc ln = 2

lim 2 2 2 2 1

n n

l 

   

.

1. 48. Triangle rectangle

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v [unité graphique : 2 cm].

On considère les points I et A d'affixes respectives 1 et −2. Le point K est le milieu du segment [IA]. On appelle (C) le cercle de diamètre [IA].

Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l'exercice.

1. Soit B le point d'affixe b où 1 4

1 2

i b

i

  

. Ecrire b sous forme algébrique et montrer que B appartient au

cercle (C).

2. Soit D le point du cercle (C) tel que ( , ) 2 3

KI KD k

  , où k est un entier relatif, et soit d l'affixe de

D.

a. Quel est le module de 1

2 d  . Donner un argument de d + 2 .

b. En déduire que 1 3 3

4 4

i d   .

c. Déterminer un réel a vérifiant l'égalité : 1 2 1 3 3

1 4 4

ia i

ia

  

 .

3. Soit x un réel non nul et M le point d'affixe 1 2

1

ix m

ix

  

. On pose 1

2

m Z

m

  

. Calculer Z et en déduire la

nature du triangle AIM.

4. Soit N un point, différent de A, du cercle (C) et n son affixe. Démontrer qu'il existe un réel y tel que 1 2

1

iy n

iy

  

.

Correction

1. 1 4 (1 4 )(1 2 ) 1 4 2 8 7 6

1 2 1 4 5 5 5

i i i i i b i

i

             

.

B appartient au cercle (C) si et seulement si BK = IK = 1,5 :

( )K BBK z z avec 1 1 7 6 9 6

2 2 5 5 10 5 K Bz z b i i          d’où

2 2 9 6 81 36 81 144 225

10 5 100 25 100 100 100 k Bz z i        donc

15 1,5

10 BK   et B appartient au cercle (C).

2. a. 1

( ) 2

KD d  , 1

1, 5 2

d KD   car D appartient au cercle (C),

1 arg( ) ( ; ) ( ; ) 2

2 3 d u KD KI KD k

 

     .

b. On en déduit que

3 1 3 3 3 1 3 3 3 3

(cos sin ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2 4 4

d e i i i

  

        donc 3 3 3 1 1 3 3

4 4 2 4 4 d i i     .

c.

1 2 1 3 3 4(1 2 ) (1 )(1 3 3) 4 8 1 3 3 3 3

1 4 4

1 3 3 4 3 4 8 1 3 3 (3 3 ) .

33 3 8

ia i ia ia i ia i ia a

ia

a ia a i a a

a a

             

           

 

3.

1 2 1

1 1 2 1 31 1 22 1 2 2 2 3

2 1

ix

m ix ix ixixZ ix ixm ix ix

ix

 

           

 

, Z x et arg( ) 2

Z k

 

or 1

arg( ) arg( ) ( ; ) 2

m Z AM IM

m

  

 donc le triangle AIM est rectangle en M, ce qui signifie que le point M

appartient au cercle (C).

4. 1 2 1 1 1

(1 ) 1 2 1 2 (2 ) 1 1 2 2

iy n n n n iy iy n iny iy y i ni n y i

iy i n n

                      

car 2n  

puisuue N est différent de A. Vérifions que y est réel [si n = 1 (N = I) alors on prend y = 0] :

1 1 arg arg( ) arg( ) arg( ) 2 ' ''

2 2 2 2

n n y i i k k k

n n

    

            

  donc y est réel.

1. 49. Recherche, EPF 2004 exercice 4

On considère un cercle de centre O et trois points A, B et C de ce cercle. On désigne par A’, B’ et C’ les

images respectives des points A, B et C par la rotation de centre O et d’angle 3

 .

Soient U, V , W les milieux respectifs des segments [A’B], [B’C] et [C’A]. Démontrer que ces points sont les sommets d’un triangle équilatéral.

Correction

Prenons un cercle trigonométrique (le raisonnement et les résultats sont identiques avec un cercle

« normal ») sur lequel nous prenons les trois points A, B et C d’affixes ia e , ib e  et ic e  . Par la

rotation R de centre O d’angle 3

 on obtient 3'

i

a e

     

  , 3' i

b e

     

  et 3' i

c e

     

  .

Les milieux de [A’B], [B’C] et [C’A] ont pour affixes respectives :

31 1( ' ) 2 2

i iu a b e e

 

   

 

          

, 3 1 1

( ' ) 2 2

i iv b c e e

 

   

 

          

et 3 1 1

( ' ) 2 2

i iw c a e e

 

   

 

          

.

W

V

U

C'

B'

A'

a=60

C

B

A

1O

Montrons que ces trois points forment un triangle équilatéral en cherchant par exemple ce que vaut v u

w u

 : l’argument devrait faire

3

  et le module 1, ce qui est suffisant.

3 3 3 3

3 3

3 3 33 3

1 1 1

2 2

1 1 1

2 2

i i i ii i i i i

i i i i i i

i i ii i i i i i ii i

e e e e e e e e e

v u e e e e e e

w u e e e e e e e ee e e e

         

 

   

           

        

   

        

   

                     

           

              

       

3 i

i ie e e

          

.

Comme on sait que l’on doit trouver un triangle équilatéral, en s’appuyant sur la figure, normalement le

résultat doit être 3 i

e

 

: en l’occurrence nous multiplions donc le dénominateur par 3 i

e

 

en espérant que cela donnera bien le numérateur…

3 3 3 3 31 1 i i i i i

i i i i i ie e e e e e e e e e e

    

            

                   

.

Or 3 3 1 3 1 3

1 1 2 2 2 2

i i

e i i e

  

         et 3 3 1 3 1 3

1 1 2 2 2 2

i i

e i i e

  

         , c’est donc correct.

1. 50. Recherche, EPF 2004 exercice 5

On considère le plan complexe P muni d’un repere orthonormal d’origine O.

1. Déterminer l’ensemble  des points M d’affixe z tels que 1z z  .

2. A tout complexe non nul z, on associe le nombre complexe z’ défini par 1

'z z  . On définit ainsi une

transformation T de P privé de O vers lui-même.

a. Déterminer l’image de  par T. On la note  .

b. Déterminer l’image de  par T.

c. Déterminer les points d’intersection de  et  .

3. Faire une figure.

Correction

1. 1z z  caractérise l’ensemble des points M tels que OM AM où A a pour affixe 1. C’est donc la

médiatrice de [OA].

2. a. Si on a 1

'z z  alors

1

' z

z  ; pour un point M(z) de  son image '( ')M z sera telle que

' 11 1 1 1 ' 1 1 1 ' 1

' ' ' ' ' '

zz z

z z z z z z

          .

M’ est donc sur le cercle  de centre A et de rayon1.

b. La transformation T est identique dans les deux sens : si M est sur  alors M’ est sur  et si M est sur  alors M’ est sur  : l’image de  est  .

c. Si un point M(z) est à l’intersection des deux ensembles alors son abscisse est 1

2 et il est sur le cercle

trigonométrique ( 1 1z z   ) ; ce sont donc les points 3 i

e

et 3 i

e

 

.

M'

OA/OM*OA=5,4230436

OA/OM=1,5961865

OM/OA=0,6264932 OA=3,3975 cm

AOM=37,0515961°

OM=2,1285107 cm

M

Q

P

AO

1. 51. Inversion, N. Calédonie 11/2008 5 pts

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v .

1. On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2 + 2i, zB = 2i et zC = 2 ainsi que le cercle  de centre A et de rayon 2.

La droite (OA) coupe le cercle  en deux points H et K tels que OH < OK. On note zH et zK les affixes respectives des points H et K.

a. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

b. Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.

c. Justifier, à l’aide des notions de module et d’argument d’un nombre complexe, que   42 2 2 i

Kz e

 

et   42 2 2 i

Hz e

  .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe 0z  associe le point

M’ d’affixe z’ telle que : 4

'z z

  .

2. a. Déterminer et placer les points images de B et C par f.

b. On dit qu’un point est invariant par f s’il est confondu avec son image. Déterminer les points invariants par f.

3. a. Montrer que pour tout point M distinct de O, on a : ' 4OM OM  .

b. Déterminer  arg 'z en fonction de  arg z .

4. Soient K’ et H’ les images respectives de K et H par f.

a. Calculer OK’ et OH’.

b. Démontrer que   3

4 ' 2 2 2

i

Kz e

  et   3

4 ' 2 2 2

i

Hz e

  .

c. Expliquer comment construire les points K’ et H’ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.

Correction

1. a.

K'

H' K

H

A

y

C'

B

C

v

u xO

b. 2 2OA  ; 2 2 2OK OA r    , 2 2 2OH OA r    .

c.    

, 4. 2 2 2

ii u OA

Kz OK e e

   ;    

, 4. 2 2 2

ii u OA

Hz OH e e

   .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe 0z  associe le point

M’ d’affixe z’ telle que : 4

'z z

  .

2. a. ' 4 4

2 2

B B B

z i z z i

      , '

4 4 2

2 C

C

z z

      .

b. 2 4

4 2z z z i z

        .

3. a. ' ' ' 4 4OM OM z z zz       .

Montrer que pour tout point M distinct de O, on a :

b.        arg ' arg 4 arg argz z z    

4. a.  

  2

4 2 2 24 ' 4 ' 2 2 2

2 2 2 2 2 4

OK OK OK

        

, 4

' 4 ' 2 2 2 2 2 2

OH OH OH      

.

b.    ' 3

arg arg 4 4

K Kz z  

      et pareil pour H.   3

4 ' 2 2 2

i

Kz e

  et   3

4 ' 2 2 2

i

Hz e

  .

c. 'OK OH et 'OH OK ; K’ et H’ sont sur la droite y x  .

1. 52. Inversion+ROC, France 2006 - 5 pts

On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Dans tout l’exercice,

P \O désigne le plan P privé du point origine O.

1. Question de cours

On prend comme pré-requis les résultats suivants :

– Si z et zsont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz’) = arg(z)+ arg(z’) à 2k près, avec k entier relatif.

– Pour tout vecteur w non nul d’affixe z on a :    arg ,z u w à 2kprès, avec k entier relatif.

a. Soit z et zdes nombres complexes non nuls, démontrer que    arg arg arg ' '

z z z

z

    

  à 2kprès,

avec k entier relatif.

b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c,

on a :  arg , c a

AB AC b a

   

  à 2k près, avec k entier relatif.

2. On considère l’application f de P \O dans P \O qui, au point M du plan d’affixe z, associe le point M

d’affixe zdéfinie par : 1

z z

  . On appelle U et V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.

a. Démontrer que pour 0z  , on a    arg ' argz z à 2kprès, avec k entier relatif. En déduire que,

pour tout point M de P \O les points M et M = f(M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O.

b. Déterminer l’ensemble des points M de P \O tels que f(M) = M.

c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet que Mest aussi distinct de O, U et V.

Établir l’égalité : 1 1 1 1z z z

i z i i z i z i

            

       .

En déduire une relation entre 1

arg z

z i

       

et 1

arg z

z i

     

.

3. a. Soit z un nombre complexe tel que 1z  et z i et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est

sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si 1z

z i

 est un nombre réel non nul.

b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

Correction

1. Question de cours

- Si z et zsont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz’) = arg(z)+ arg(z’) à 2k près, avec k entier relatif.

- Pour tout vecteur w non nul d’affixe z on a :    arg ,z u w à 2kprès, avec k entier relatif.

a. On utilise arg(zz’) = arg(z)+ arg(z’) avec 1

z z

  , ce qui donne 1 1

arg arg arg1 0 arg argz z z z

      ;

on réutilise la propriété 1 du produit avec 1

z z

  

et on a le résultat.

b.          , , , arg arg arg c a

AB AC u AC u AB c a b a b a

          

  en utilisant la propriété 2.

2. a. 1

z z

  donc      arg ' arg arg argz z z z      . Si M est sur une demi-droite d’origine O, on a

   , arg arg ,u OM z z u OM    donc M’ est sur la même demi-droite.

b. 21

1 1 1z zz z z z        donc les points M invariants est le cercle trigonométrique.

c. Le calcule est un peu pénible…

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

z z z z zz i z i iz iz i z i z i

i z

                  

        

. La dernière

égalité est due à 1

i i   et aux propriétés du conjugué.

On a donc   1 1 1

arg arg arg arg 2

z z z i

z i z i z i

                   

         .

3. a.     1 1

arg , , 0 z z

VM UM VM UM k z i z i

        

  , soit U, V et M alignés.

b. En utilisant la relation précédente on a    , , 2

VM UM VM UM

     ; donc si M est sur UV,

 , 2

VM UM k

     et M’ est sur le cercle de diamètre [UV] privé des points U et V.

1. 53. Inversion, Am. du Sud 2004 - 5 points

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Pour réaliser la figure, on

prendra pour unité graphique 1 cm.

Soit P le point d’affixe pp = 10 et  le cercle de diamètre [OP ]. On désigne par  le centre de  .

Soit A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c où 5 5a i  , 1 3b i  et 8 4c i  .

1. Montrer que A, B et C sont des points du cercle  .

2. Soit D le point d’affixe 2 2i . Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).

Partie B (On rappelle que 2

z zz ).

A tout point M du plan différent de O, d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ tel que 20

'z z

 où z

représente le nombre conjugué de z.

1. Montrer que les points O, M et M’ sont alignés.

2. Soit  la droite d’équation x = 2 et M un point de  d’affixe z. On se propose de définir géométriquement le point M’ associé au point M.

a. Vérifiez que 4z z  .

b. Exprimez ' 'z z en fonction de z et z et en déduire que  5 ' ' ' 'z z z z  .

c. En déduire que M’ appartient à l’intersection de la droite (OM) et du cercle  . Placer M’ sur la figure.

Correction

Partie A

5 5a i  , 1 3b i  et 8 4c i  .

1.  5 ; 5 5 5 5A i     , 1 3 5 4 3 16 9 5B i i          et 8 4 5 3 4 5C i i      

donc A, B et C sont des points du cercle  .

2. On vérifie par exemple que D est sur BC, soit que BD est colinéaire à BC :

  2 1 8 1

det , 7 7 0 2 3 4 3

BD BC  

       

et que OD est orthogonal à BC : 2 7

. 14 14 0 2 7

         

    .

Partie B

1. On peut écrire 2

20 20 20 ' '

z z OM OM

z zz OM     , ce qui montre que les points O, M et M’ sont

alignés.

2. a. M a pour affixe 2z iy  donc 2 2 4z z iy iy      .

b. 20( )20 20 20 20 80

' ' z z

z z z z z zz zzz

        ; on a donc  

400 20 20 5 ' ' . ' 'z z z z

zz z z     .

c. Il est clair que M’ est sur (OM) puisque O, M et M’ sont alignés. Il reste à montrer que M’ est sur  , soit que

' 5 5 ( ' 5)( ' 5) 25 ( ' 5)( ' 5) 25 ' ' 5( ' ') 25 25 ' ' 5( ' ')z z z z z z z z z z z z z                  .

C’est bon.

1. 54. Carré, Antilles 2004

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC]

distinct de B. On note Q l’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire  à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1. Faire une figure.

2. Soit r la rotation de centre A et d’angle 2

 .

a. Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rotation r.

b. Déterminez les images de R et de P par r.

c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS?

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la similitude de centre A,

d’angle 4

 et de rapport

1

2 .

a. Déterminez les images respectives de R et de P par s.

b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B?

c. Démontrez que les points M, B, N et D sont alignés.

Correction

1.

S

R

Q

P

O

D C

B A

2. a. ABCD est un carré de sens direct, donc 2

BAD   et de plus, AB = AD, finalement r(B) = D.

La rotation conserve les angles et l’alignement donc l’image de la droite (BC) est une droite perpendiculaire à (BC) et qui passe par D, c’est la droite (CD).

2. b. R est un point de (BC) ; son image par r doit être un point de (CD). La perpendiculaire à (AR) passant par A coupe (CD) en Q donc r(R) = Q.

De même on a r(P) = S.

2. c. Les triangles ARQ et APS sont rectangles isocèles. En effet, comme r(R) = Q et r(P) = S, on a

AR = AQ, AP = AS et 2

PAS RAQ

  par définition de la rotation.

3. a. Le triangle ARQ est isocèle, donc M, milieu de [QR], est aussi le pied de la hauteur du triangle. On a (AM) perpendiculaire à (RM).

Le triangle ARQ est rectangle en A, donc la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle-ci, donc AM = MR.

Le triangle AMR est donc également rectangle isocèle.

On a 4

RAM   , avec le théorème de Pythagore, on trouve

1

2 AM AR .

Conclusion : L’image par s du point R est le point M. De même, l’image par s du point P est le point N.

3. b. P décrit le segment ]BC].

s(B) = O et s(C) = D, donc l’image par s du segment ]BC] est le segment ]OD]. N, image de P par s, décrit donc le segment ]OD].

3. c. On déduit de la question précédente que les points O, N et D sont alignés. Or B appartient à la droite (OD) donc B est aligné avec les précédents.

Il reste à vérifier que M appartient également à cette droite : l’image par s de la droite (BC) est la droite (OD), or R, qui appartient à (BC), a son image M sur (OD).

Les points M, B, N et D sont donc alignés.

1. 55. Linéarisation (hors prog. TS depuis 1995)

Linéariser le polynôme 2cos 5 sin 3P x x .

Correction

5 5

cos5 2

i x i xe e x

 

25 5 10 101cos ²5 ( 2 )

2 4

i x i x i x i xe ex e e

       

 

3 3

sin 3 2

i x i xe e x

i

 

3 3 10 10 13 7 3 3 7 13

13 13 7 7 3 3

13 13 7 7 3 3

1 1 cos²5 sin 3 ( 2 ) ( 2 2 )

4 2 8

1 ( 2 2 )

8

1 ( 2 )

4 2 2 2

1 (sin 13 sin 7 2sin 3 )

4

i x i x i x i x i x i x i x i x i x i x

i x i x i x i x i x i x

i x i x i x i x i x i x

e e x x e e e e e e e e

i i

e e e e e e i

e e e e e e

i i i

x x x

    

  

  

          

     

     

  

1. 56. Transformation et représentation paramétrique d’un cercle

( ; , )O u v est un repère orthonormal direct du plan orienté d’unité graphique 2 cm.

On considère l’application f de ce plan privé de O dans lui-même qui à tout point M d’affixe z non nulle,

associe le point M’ d’affixe 1

'z z z

  .

1. a. On considère les points P(2), Q(–2), R(i), U(–2i). Calculer les affixes de leurs images par f notées P’, Q’, R’ et U’.

b. Soit E’ d’affixe –1. Montrer que E’ est l’image par f de deux points E1 et E2 dont on calculera les affixes z1 et z2 sous forme algébrique et exponentielle.

c. Placer E’ puis E1 et E2.

2. On se propose de déterminer l’ensemble ( ’ ) des points M’ lorsque M décrit une courbe donnée ( ).

a. Préliminaire : On note r le module de z et  un argument ; on désigne par x’ et y’ les coordonnées de z’.

En utilisant l’écriture trigonométrique de z, exprimer z’ en fonction de r et  et montrer que :

1 ' cos

1 ' sin

x r r

y r r

     

   

      

(on appelle représentation paramétrique une telle écriture).

b. On suppose que M décrit le cercle ( ) de centre O et de rayon 1.

Justifier que les points R’ et E’ appartiennent à ( ). Déduire du 2.a. une représentation paramétrique de ( ). Préciser la nature géométrique de ( ).

Correction

1. a. 1 5

2, ' 2 , ' . 2 2

P P Pz z z    1 5

2, ' 2 , ' . 2 2

Q Q Qz z z       

' 1

0. ²

R R

i z i z i i i i

i i         

1 1 3 2 ' 2 2 2

2 2 ² 2 2 U U

i z i z i i i i i

i i              

  .

b. Soit à résoudre l’équation ' 1Ez   : ' 1

1 1 et 0 ² 1 0E E E E E E

z z z z z z

           ;

  2

1² 4 3 3 ² 3i i       d’où

2 2

3 3 1 2

1 3 1 3 1 3 ,

2 2 2 2 2

i i

E E E

i z z i e z i e

     

        .

c.

2. a. z’ = x’ + iy’, cos siniz re r ir     ,

    1 1 1 1 1

' cos sin cos sini i i i

z z re re e r ir z r r rre

  

                d’où

1 1 1 1 ' cos sin cos sin cos sinz r ir r i r

r r r r      

              

    .

Par identification, on obtient :

1 ' cos

1 ' sin

x r r

y r r

     

   

      

.

b. R et E sont sur le cercle de centre O et de rayon 1, donc leurs images appartiennent à ( ).

Les points M(z) sont tels que 1OM z r   . En remplaçant dans la représentation paramétrique, on

obtient :

1 ' 1 cos 2cos

1

1 ' 1 sin 0

1

x

y

 

      

   

       

.

Les points M’ sont tels que leur abscisse est x’ = 2cos et leur ordonnée nulle, où  parcourt .

Lorsque  parcourt , cos reste compris entre –1 et 1, ou encore, l’abscisse de M’ est comprise entre –2 et 3. ( ) est le segment [QP].

1. 57. Autour du cercle

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v , on considère les points A(1) et B(2).

Soit un réel  appartenant à ]0 ; [. On note P le point d’affixe 21 iPz e   .

1. Montrer que le point P appartient au cercle (C) de centre A et de rayon 1.

2. Exprimer l’angle ;AB AP       

en fonction de  .

En déduire l’ensemble (E) des points P quand  décrit l’intervalle ]0 ; [.

3. On appelle P’ l’image de P par la rotation de centre O et d’angle –2 et on note zP’ l’affixe de P’.

Montrer que 'P Pz z , puis que P’ appartient au cercle (C).

4. Dans toute la suite on prend 3

   .

On appelle r la rotation de centre O et d’angle 2

3

  et A’ l’image de A par r.

a. Définir l’image (C’) du cercle (C) par r.

b. Déterminer les affixes de P et de P’ image de P par r.

c. Placer sur une figure A, B, (C), P, (C’) et P’.

d. Démontrer que le triangle AMO est équilatéral.

e. Soit le point Q symétrique de P par rapport à A. Montrer que P’ est le milieu de [A’Q].

Correction

1. Le cercle de centre A et de rayon 1, est l’ensemble des points P tels que AP = 1.

2 21 1 1i iP AAP z z e e         , donc P appartient à (C).

2. 2

2; arg arg arg 2 2 1

i iP A

B A

z z e AB AP e

z z

  

        

   [2].

Lorsque  décrit l’intervalle ]0 ;  [, on a 2 qui décrit ]0 ; 2 [, c'est-à-dire le cercle (C) privé du point B.

(C’) est donc le cercle (C) privé du point B.

3. L’expression complexe de la rotation de centre O et d’angle 2 est  2 2' 0 0 'i iz e z z ze       .

Ici on a, puisque 21 iPz e   ,  2 2 2 2 2 2 2' 1 1i i i i i i iP P Pz z e e e e e e e z                  .

Pz est l’affixe de P’ symétrique de P par rapport à l’axe des abscisses, donc P’ appartient aussi au cercle

de centre A de rayon 1 qui est symétrique par rapport à cet axe.

4. a. L’image d’un cercle par une rotation est un cercle de même rayon. Il suffit de déterminer l’image du

centre A de (C). Soit A’ ce point. L’expression complexe de r est :

2

3' i

z e z

 

 . L’image de A est donc A

d’affixe

2 2

3 3 '

1 3 1

2 2

i i

Az e e i

   

      .

b. (C’) est le cercle de centre A’ et de rayon 1 :

2

2 3 3 1 3 1 3

1 1 1 2 2 2 2

i i i

Pz e e i i e

               

  ,

2 2 2

3 3 3 3 ' 1 1

i i i i

P Pz e e e z e

       

           

.

Les points P et P’ sont symétriques par rapport à (Ox) (voir question 3.).

d. P et O sont sur le cercle de centre A et de rayon 1, donc AP = AO = 1. De plus 3 1 i

POP z e

   donc

le triangle est équilatéral.

e. Q est le symétrique de P par rapport à A. P est sur le cercle (C).

On a donc 32 2 i

A P Q A Q A P PA AQ

PA AQ z z z z z z z z z e

  

             . Vérifions si P’ est le

milieu de [AQ], ou encore, si ' ' 'A P P Q  

 :

2

3 3 ' '

' '

1 3 1 3 1

2 2 2 2

i i

P A A P

z z z e e i i

   

            

  ,

3 3 '

'

1 3 1 3 2 2 1

2 2 2 2

i i

Q P P Q

z z z e e i i

  

                 

    .

1. 58. Transformations et carré, Liban 2003

1. Résoudre dans l’équation : 24 12 153 0z z   .

2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct ( ; , )O u v d’unité graphique 1 cm on considère

les points A, B, C, P d’affixes respectives : 3

6 2

Az i  , 3

6 2

Bz i  , 1

3 4

Cz i   , 3 2Pz i  et le vecteur

w d’affixe 5

1 2w

z i   .

a. Déterminer l’affixe zQ du point Q, image du point B dans la translation t de vecteur w .

b. Déterminer l’affixe zR du point R, image du point P par l’homothétie h de centre C et de rapport 1

3  .

c. Déterminer l’affixe zS du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d’angle 2

  .

Placer les points P, Q, R et S.

3. a. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

b. Calculer R Q

P Q

z z

z z

 . En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

c. Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté (C). On calculera l’affixe de son centre  et son rayon  .

4. La droite (AP) est-elle tangente au cercle (C) ?

Correction

1. 24 12 153 0z z   : les solutions sont 3

6 2

i et 3

6 2

i .

2. 3

6 2

Az i  , 3

6 2

Bz i  , 1

3 4

Cz i   , 3 2Pz i  , 5

1 2w

z i   .

a. 3 5 1 7

6 1 2 2 2 2

Q B w z z z i i i        .

b.   1 1 1 1

3 2 3 3 5 3 3 4 4

R C P C Rz z z z z i i i i  

                 

.

c.  2 3 3 5 9

3 2 6 6 2 2 2 2

i

S A P A Sz z e z z z i i i i i

   

                

.

3. a. 1 7 5 11

3 2 2 2 2 2

Q PPQ z z i i i         ; 5 9 5 11

5 2 2 2 2

R SSR z z i i i          ;

on a PQ SR donc PQRS est un parallélogramme.

b.    

1 7 5

11 5 5 1111 5 11 5 1462 2

5 11 5 11 5 11 25 121 146

2 2

R Q

P Q

i i z z i ii i i

i z z i i

i

         

           

 

.

Donc QR est orthogonal à QP et QR QP . PQRS est un carré.

c. Les sommets d’un carré sont toujours sur un même cercle…

de centre   1

5 3 1 2 2

R pz z i i

             

et de rayon 1 1

64 4 17 2 2

PR     .

4. A-t-on PA orthogonale au rayon P ? 3 3

6 3 2 4 2 2PA

z i i i       ; 1 3 2 4 2 P

z i i         . On

fait le produit scalaire : 3 / 2 4

6 8 2 0 4 2

          

   . Donc non.

1. 59. Rotations et cercles

5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 2 cm), on

considère les points A, B, C d’affixes respectives 2a  , 1b i  et 1c i  .

1. a. Mettre les affixes des points A, B et C sous forme trigonométrique. Les placer sur la figure.

b. Calculer c a

b a

 . En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.

2. a. On appelle r la rotation de centre A telle que  r B C . Déterminer l’angle de r et calculer l’affixe

du point D image de C par r.

b. Soit   le cercle de diamètre [BC].

Déterminer et construire l’image  ' du cercle   par la rotation r.

3. Soit M un point de   d’affixe z, distinct de C et M’ d’affixe z’ son image par r.

a. Montrer qu’il existe un réel  appartenant à 0 ; ; 2 2 2

  

          

tel que 1 iz e  .

b. Exprimer z’ en fonction de  .

c. Montrer que 'z c

z c

 est un réel. En déduire que les points C, M et M’ sont alignés.

d. Placer sur la figure le point M d’affixe

2

31 i

z e

  et construire son image par la rotation r.

Correction

1. a. 22 2 ia e   , 41 2 i

b i e

 

   , 41 2 i

c i e

   .

b.  

2 11 2 1

1 2 1 2

ic a i i i

b a i i

        

    .

On a 1 AC c a

i AC AB AB b a

       

et    ; arg arg 2

c a AB AC i

b a

       

  donc le triangle

ABC est rectangle isocèle.

2. a. Comme  ; 2

AB AC

  , l’angle de r est 2

  .

On applique la formule de la rotation :    2 1 2 2 3 i

D A C A Dz z e z z z i i i

 

           .

b. Comme une rotation conserve les distances, le cercle   a pour image le cercle de diamètre

     r B r C CD   .

3. a. Le centre G de   est le point d’affixe 1 ; son rayon est 1. On a donc pour M :

1 1 1 1 1i iGM z z e z e          

où  est l’angle  ;u GM .  varie de 0 à 2 mais ne prend pas la valeur 2

 pour que M soit différent

de C.

b. Comme on a  ' 2 2z i z    , cela donne :  ' 2 1 2 ' 2i iz i e z ie i           .

c.      

1' 2 1 1 2cos

2 2sin1 1 1 1

i i i i i i

i i i ii i

ie e iz c ie i i ie e i i e

z c e i e i ie iee i e i

    

    

 



               

         qui est bien réel.

On a alors    ; ' 0CM CM  donc les points C, M et M’ sont alignés.

d. Pour placer le point M il suffit de prendre la médiatrice de [OG] qui coupe   au point M d’affixe 2

31 i

z e

  . On construit son image M‘ par la rotation r en traçant (CM) qui coupe  ' en M’.

1. 60. Transformation non linéaire

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct ( ; , )O u v (unité graphique : 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe i. Une transformation f associe à tout point M du plan, distinct de A,

d'affixe z, le point M' d'affixe z' défini par : ²

' z

z i z  

.

1. Déterminer les points M confondus avec leur image M'.

2. Etant donné un complexe z distinct de i, on pose z = x + iy et z' = x' + iy' , avec x, y, x', y' réels.

a. Montrer que ( ² ² 2 )

' ² (1 )²

x x y y x

x y

   

  .

b. En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs .

Dessiner l'ensemble E.

3. Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM'. En déduire l'ensemble F des points M du plan tels que M et M' soient situés sur un même cercle de centre O. Dessiner l'ensemble F.

Correction

1. Soit   un éventuel point invariant, on aurait :

      ²

( ) ² 0 0 ou 2

i i ou i

i

         

                

.

2. a. On calcule…

 

 

    2

3

² 2 ² (1 )² 2 ²² ' ' '

(1 ) ² (1 )²

² 2 (1 ) ' '

² (1 )²

2 ² ²(1 ) ²(1 )

2 ² ²(1 ) ²( ² ² 2 2 ²) ' '

² (1 )

(1 )

² ² (1 )²

x y x

x iy x ixy y x i yx ixy yz z x iy

i z i x iy x i y x y

x xy xy y x iy

x y

x x y y y x iy

y y y

x i

x y

y x y

i i i

y

y

y

x

                    

      

 

       

 

    

 

 

  

Par identification, on obtient la réponse demandée.

b. L'ensemble des points dont l'image est sur l'axe des imaginaires purs ont leur abscisse x' nulle, c'est à dire

        ( ² ² 2 )

' 0 0 0 ou ² ² 2 0 0 ou ² ( 1)² 1 ² (1 )²

x x y y x x x y y x x y

x y

               

  .

L'ensemble des points M est donc l'axe des ordonnées d'équation x = 0 (sauf A) ainsi que les points du cercle de centre A de rayon 1.

3. M OOM z z z   , M AAM z z z i    , '' 'M OOM z z z   .

On a ²

' z

z i z  

, cette égalité reste vraie pour les modules :

2 ²² ²

' ' ² ' z zz OM

z OM OM OM AM i z i z i z AM

          

.

Si les points M et M' sont sur le même cercle de centre O, alors les longueurs OM et OM' sont égales.

Soit à résoudre l'équation :    ² ' ² 0 ouOM OM AM OM OM AM OM OM AM        , c'est-à-

dire si M = O ou M est sur la médiatrice de [OA]. On constate que le point 1

2 i

     

appartient bien à F.

G'

G

M'

M DC

B

A

y

j

i x

O

1. 61. Fonc. de Joukowski, Am. du Sud 2007 - 5 pts

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On fera une figure qui sera complétée

au fur et à mesure.

Soit f l’application qui à tout point M de P d’affixe non nulle z associe le point M’ d’affixe :

1 1 '

2 z z

z

      

.

1. Soit E le point d’affixe Ez i  . Déterminer l’affixe du point E’ image de E par f.

2. Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ = M. 3. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit M un point distinct des points O, A et B.

a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et −1, on a : 2

' 1 1

' 1 1

z z

z z

     

   .

b. En déduire une expression de M B

M A

 en fonction de

M B

M A puis une expression de l’angle  ,M A M B 

en fonction de l’angle  ,MA MB . 4. Soit  la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de  distinct du point O, alors M’ est un point de  . 5. Soit  le cercle de diamètre [AB]. a. Montrer que si le point M appartient à  alors le point M’ appartient à la droite (AB). b. Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?

(La fonction f est appelée fonction de Joukowski et est utilisée en aéronautique pour étudier des profils d’aile). Correction

1. 1 1

' 0 2

Ez i i

      

  .

2. 2 2 2 1 1

2 1 1 1 2

z z z z z z z

              

.

3. a.  

 

2 22

2 2

1 1 1

1' 1 1 2 12

1 1' 1 11 2 11 2

z zz z z zz

z zz z zz z

          

              

 

.

b. 2 21 ' ' 1 1

1 ' ' 1 1

zM B z z MB

M A z z z MA

                

.

   ' 1 1, arg 2arg 2 , ' 1 1

z z M A M B MA MB

z z

            

     .

4. M est un point de  : 2 '

1 1 ' ' '

M B MA MB M B M A

M A       ; M’ est un point de  .

5. a. M appartient à  :    , , 2 2 2

MA MB M A M B  

        donc M’ appartient à (AB).

b. Si M’ a pour affixe Z, où est M ? 2 1 1

2 1 0 2

Z z z Zz z

          

qui a toujours une ou deux

solutions. Tous les points ont des antécédents par f, qu’ils soient sur [AB] ou non.

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