Contrôle de sciences statistiques 3 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 3 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 3 - 1° partie - Nombres Complexes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la rotation de centre, La valeur moyenne de la fonction, le cercle de diamètre.
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Terminale S

Nombres Complexes Exercices

1. 1. Divers,QCM, France 2003 - 5 points 2 1. 2. QCM, Asie 2009, 4 points 2 1. 3. QCM, Antilles 2009, 5 points 3 1. 4. QCM, Polynésie rempl. 2005 - 3 points 3 1. 5. QCM, N. Calédonie nov 2007 - 4 points 4 1. 6. QCM d’après des sujets de concours GEIPI 4 1. 7. QCM, La Réunion 2009, 4 points 5 1. 8. Vrai-Faux, Centres étrangers 2009, 4 points 6 1. 9. Basique, Antilles 2007 - 5 points 6 1. 10. Basique, Antilles 2006 - 5 points 6 1. 11. Basique, N. Calédonie 2009 7 1. 12. Basique, La Réunion 2008 7 1. 13. 2nd degré et barycentre, Antilles 2001 8 1. 14. 2nd degré, Polynésie 1996 8 1. 15. 2nd degré, Inde, 1996 8 1. 16. Petits exos de base 9 1. 17. Cours, C. étrangers 2006 - 4 points 11 1. 18. Basique, STL France, Juin 2006 - 5 points 11 1. 19. Basique, Am. du Sud 11/2008 11 1. 20. Equation, STL, France, Juin 2006 - 6 points 12 1. 21. Equation, STL, France, juin 2005 - 5 points 12 1. 22. pi/12, STL, France, juin 2005 - 5 points 13 1. 23. Equation, STL, France, sept. 2004 - 5 points 13 1. 24. Rotations, STL, France, sept. 2004 - 5 points 13 1. 25. Classique, La Réunion 2006 - 5 points 14 1. 26. Système, STL, France, juin 2004 - 5 points 14 1. 27. Similitude, STL, France, juin 2004 - 5 points 14 1. 28. Transformation ? 15 1. 29. Equation 15 1. 30. Cercles 15 1. 31. Rotation 15 1. 32. Carrés, rotations et alignement 16 1. 33. ROC+Equation+Rotation, Polynésie 2010, 5 pts 16 1. 34. Système+parallélog. Antilles 09/2007, 5 pts 17 1. 35. Barycentre, ligne de niveau 17 1. 36. Barycentre + ligne de niveau, Polynésie 2004 18 1. 37. Ligne de niveau, Centres étrangers 2008 18 1. 38. Ligne niveau+rotation, Polynésie 2008 19 1. 39. 3ème degré, barycentre, ligne de niveau 19 1. 40. 3ème degré, rotation, Pondicherry 2003 19 1. 41. 3ème degré+rotation, France 2007 - 5 points 20 1. 42. Orthocentre, C. étrangers 2007 - 5 points 20 1. 43. Produit scalaire 21 1. 44. Forme algébrique & trigo de pi/12 -1 21 1. 45. Forme algébrique & trigo de pi/12 -2 21 1. 46. Forme algébrique & trigo de pi/12 -3 22 1. 47. pi/12 –4, France remplt 2007 - 5 points 22 1. 48. Trigo, France 2010, 5 pts 22 1. 49. Equation du second degré - 1 24 1. 50. Equation du second degré - 2 24 1. 51. Médiatrice - 1 24 1. 52. Médiatrice - 2 24 1. 53. Suite géométrique 25 1. 54. Suite arithmético-géométrique, Asie 2007 - 5 pts25 1. 55. Suite de carrés, Asie 2000 - 5 points 25 1. 56. Inversion 1 26

1. 57. Inversion 2, Antilles 2005 - 5 points 26 1. 58. Inversion 3, Am. du Sud 2005 27 1. 59. Inversion 4, Asie 06/2008 27 1. 60. Homographie, Am. du Nord 2010 5 points 28 1. 61. Homographie, France 2009, 5 points 28 1. 62. Homographie, Polynésie sept 2006 - 4 points 28 1. 63. Homographie+ROC, Asie 2006 - 4 points 29 1. 64. Homographie 1 29 1. 65. Homographie 2 30 1. 66. Homographie 3, N. Calédonie 1996 30 1. 67. Homographie 4, Amérique du Sud 2002 30 1. 68. Homographie 5, Centres étrangers 2010 31 1. 69. Homog.+construction, France et La Réunion 09/2008 31 1. 70. Homographie+cercles, France 2002 - 5 points 32 1. 71. Homographie, La Réunion 2004 - 5 points 32 1. 72. Carré 33 1. 73. ROC+triangles, Antilles-Guyane 5 points 33 1. 74. Rotation et suite, La Réunion sept. 2010, 5 pts 34 1. 75. Rotation, France, sept. 2010, 5 pts 34 1. 76. Rotation, Asie 2009 34 1. 77. Rotations, Am du Nord 2009 35 1. 78. Rotation+Cercle,Pondicherry 2009 36 1. 79. ROC + Similitude, Polynésie 2009, 5 points 36 1. 80. Homothétie+rotation, Polynésie, nov 2010, 5 pts37 1. 81. Rotation et homothétie 37 1. 82. Homothéties 37 1. 83. Rotation-translation 38 1. 84. Rotations, Paris 1996 38 1. 85. Varignon, N. Calédonie 2004 - 4 points 38 1. 86. 3ème degré+Hyperbole, Am Nord 2004 - 5 pts 39 1. 87. Conjugué, Centres étrangers 2004 - 4 pts 39 1. 88. ROC+homographie, La Réunion 2010, 5 pts 40 1. 89. Transf. + ROC, Pondicherry 2007, 5 pts 40 1. 90. Transf.+médiatrice, C. étrangers 2005 - 5 pts 41 1. 91. Fonction complexe, France 2009, 5 points 41 1. 92. Transf. non linéaire, Liban 2007 - 5 pts 41 1. 93. Transformation, Antilles 2008 42 1. 94. Fonction carré, Liban 2009, 5 points 43 1. 95. f(z)=z²+1, N. Calédonie 2003 - 5 pts 44 1. 96. f(z)=z², Polynésie 2004 - 5 pts 44 1. 97. Napoléon, Antilles 2004 - 5 pts 45 1. 98. f(z)=z²−4z+6, Polynésie 2004 45 1. 99. Projection orthogonale, Am. du Sud 2003 46 1. 100. f(M)=MA.MB, Antilles 2002 46 1. 101. Hyperbole+rotation, Polynésie 09/2005 - 7 pts 47 1. 102. Conique 47 1. 103. Spirale 47 1. 104. Courbe paramétrée+conique (prog. 1985) 48 1. 105. Hyperbole et complexes 49 1. 106. Bissectrice (recherche) 49 1. 107. Birapport 49 1. 108. Triangles équilatéraux, Am. du Sud 1992 50 1. 109. Somme de distances, Asie 2010, 5 points 50 1. 110. Produit de distances, C. étrangers 1991 51 1. 111. Logarithme complexe, EFREI 2001 51

1. 1. Divers,QCM, France 2003 - 5 points

Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On considère les points A et 

d’affixes respectives : 1 3a i    et 1 2i    .

On appelle r la rotation de centre  et d’angle 2

3

 et h l’homothétie de centre  et de rapport

1

2  .

1. Placer sur une figure les points A et  , l’image B du point A par r, l’image C du point B par r et l’image D du point A par h.

2. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.

Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).

1 a   2 4 3 1

2  arg a   5

6

 

47

6

6

3  ,v C   arg i     ,v C  2

3

4     1

3 a b c  a b c  2b i

5 b d

a d

 

3

2 i

3

3 i

3

3 i

6 Le point D est :

l’image de  par la translation de vecteur

1

2 A .

l’image de  par l’homothétie de centre A

et de rapport 3

2 .

l’image de  par la rotation de centre B et

d’angle 6

  .

Annexe

1 Réponses

2 Réponses

3 Réponses

4 Réponses

5 Réponses

6 Réponses

1. 2. QCM, Asie 2009, 4 points

L’exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d’entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s’agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.

Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Question 1

La solution f de l’équation différentielle y’ + 2y = 6 qui vérifie la condition initiale f(0) = 1 est définie sur

l’ensemble  des nombres réels par :

Réponse (1) :   22 3xf x e   . Réponse (2) :   22 3xf x e   . Réponse (3) :   22 3xf x e   .

Question 2

On considère un triangle ABC et on note I le point tel que 2 0IB IC  . Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système :

Réponse (1) : {(A, 1), (C, 2)} Réponse (2) : {(A, 1), (B, 2), (C, 2)} Réponse (3) : {(A, 1), (B, 2), (C, 1)}

Question 3

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère le plan P d’équation cartésienne :

3 2 5x y z   et le point A(2 ; 3 ; –1). Le projeté orthogonal du point A sur le plan P est le point :

Réponse (1) : H1(3 ; –1 ; 4) Réponse (2) : H2(4 ; –3 ; –4) Réponse (3) : H3(3 ; 0 ; 1)

Question 4

La valeur moyenne de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par   2

1

1 f x

x  

est égale à :

Réponse (1) : 2

  Réponse (2) :

4

 Réponse (3) :

2

 .

1. 3. QCM, Antilles 2009, 5 points

Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v .

Soit le point A d’affixe 3, le point B d’affixe –4i et l’ensemble E des points M d’affixe z tels que

3 4z z i   .

Affirmation : E est la médiatrice du segment [AB].

2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v .

On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c, tels que

2 c a

i b a

 

 .

Affirmation : A appartient au cercle de diamètre [BC].

3. On considère le nombre 72 i

z e

 .

Affirmation : z2009 est un nombre réel positif.

4. On considère trois points A, B et C non alignés de l’espace. Le point G est le centre de gravité du

triangle ABC. On note F l’ensemble des points M vérifiant 6MA MB MC   .

Affirmation :F est la sphère de centre de G et de rayon 2.

5. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . S est la sphère 2 2 2 5x y z   . P est le plan

d’équation x + y – 5 = 0.

Affirmation : Le plan P coupe la sphère S suivant un cercle.

1. 4. QCM, Polynésie rempl. 2005 - 3 points

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon 3 . Son affixe z vérifie :

a. 2

2 5 3z i   ; b. 2

2 5 3z i   ; c. 2 5 3z i   .

2. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres

complexes z b

c a

 et

z c

b a

 sont imaginaires purs.

a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;

b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AD] ;

c. M est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On

appelle G l’isobarycentre des points A, B et C et on note Gz son affixe.

a. 5

3 2, 5 6

Gz i   ; b. 1

(1 ) (4 3 ) 3

Gz i i    ; c. 1

(3 2, 5 ) (4 3 ) 3

Gz i i    .

1. 5. QCM, N. Calédonie nov 2007 - 4 points

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.

1. Une solution de l’équation 2 9z z i   est :

a. 3 b. i c. 3 + i

2. Soit z un nombre complexe ; z i est égal à :

a. 1z  b. 1z  c. 1iz

3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument  . Un argument de 1 3i

z

  est :

a. 3

   b.

2

3

  c.

2

3

 

4. Soit n un entier naturel. Le complexe  3 n

iest un imaginaire pur si et seulement si :

a. n = 3 b. n = 6k + 3, avec k relatif c. n = 6k avec k relatif

5. Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant

1z i z   est :

a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB] c. la droite perpendiculaire à (AB) passant par O

6. Soit le point d’affixe 1 i .

L’ensemble des points M d’affixe z x iy  vérifiant 1 3 4z i i    a pour équation :

a. 1y x   b.   2 21 5x y   c. 1 5

iz i ie   avec  réel

7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit

isocèle avec  , 2

AB AC   est :

a. 1 4i b. 3i c. 7 4i

8. L’ensemble des solutions dans de l’équation 2

1

z z

z

 

est :

a.  1 i b. L’ensemble vide c.  1 ; 1i i 

1. 6. QCM d’après des sujets de concours GEIPI

Dans chaque question sont proposées plusieurs réponses, chacune de ces réponses pouvant être vraie ou fausse. Il n’y a pas forcément une seule bonne réponse pour chaque question. Donner pour chaque question les réponses vraies et les réponses fausses. Chaque résultat exact rapportera des points, chaque résultat inexact entraînera une pénalité. Une absence de réponse ne sera pas considérée comme un résultat inexact. Si le total des points, pour une question est négatif, ce total sera ramené à 0.

1. Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls, on a :

a. 1 1z  . b. Si 1z z  alors 1

Re( ) 2

z  .

c. Si 'z z alors z = z’ ou z = –z’. d. ' 'z z z z   .

2. On considère les complexes 1a i  et 1 3b i 

a. 122 2 i

ab e

 

 . b. Il existe un entier n non nul tel que an est un réel.

c. Il existe un entier n non nul tel que an et bn sont tous deux des entiers.

d. Le point A d’affixe a est l’image du point B d’affixe b par une rotation de centre O.

3. Pour tout réel  de [0 ; 2[ on pose ( ) 1 iZ e   . Alors :

a. 3 2

( ) 3

i

Z e

   . b. Pour tout  de [0 ; 2[ , ( ) ( )Z Z   .

c. Pour tout  de [0 ; 2[ , 2( ) i

Z e

 est réel.

d. L’ensemble des points ( )M  d’affixe ( )Z  est un cercle de rayon 1.

4. Soit a un réel de 1

] ; [e e

et (E) l’équation d’inconnue z : 2 2 ln 1 0z z a   . On appelle M et N les points

dont les affixes sont les solutoins de (E). Alors :

a. Les points M et N sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

b. Les points M et N sont situés sur le cercle de centre O et de rayon 1.

c. Il n’existe aucune valeur de a telle que M et N sont symétriques par rapport à O.

d. Si A est le point d’affixe –1, on a AM < 2.

1. 7. QCM, La Réunion 2009, 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : 1 2 iz i e   ,  étant un nombre réel.

a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2 – 2i. b. (E) est le cercle de centre d’affixe –1 + 2i et de rayon 1.

c. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2i et de rayon 1. d. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2i et de

rayon 5 .

2. Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que

' 2z iz i   .

a. f est une homothétie. b. Le point d’affixe –1 – 2i est un antécédent du point d’affixe i.

c. f est la rotation de centre le point d’affixe 1 + i et d’angle 2

 .

d. f est la rotation de centre le point d’affixe –1 – i et d’angle 2

 .

3. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant 1 1 2z i z i     .

Soient les points A, B et C d’ affixes respectives 1 – i, –1 + 2i et –1 – 2i.

a. C est un point de (F). b. (F) est la médiatrice du segment [AB].

c. (F) est la médiatrice du segment [AC]. d. (F) est le cercle de diamètre [AB].

4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation 2

7z z i   . Cette équation admet

:

a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. b. Une solution réelle.

c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

1. 8. Vrai-Faux, Centres étrangers 2009, 4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.

1. Pour tout complexe z,      22Re Rez z .

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Pour tout nombre complexe z non

nul, les points M d'afîïxe z, N d'affixe z et P d'affixe 2z

z appartiennent à un même cercle de centre O.

3. Pour tout nombre complexe z, si 1 1iz iz   alors la partie imaginaire de z est nulle.

4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Quels que soient les nombres

complexes z et znon nuls, d'images respectives M et M' dans le plan complexe, si z et z’ vérifient l'égalité

' 'z z z z   , alors les droites (OM) et (OM’) sont perpendiculaires.

1. 9. Basique, Antilles 2007 - 5 points

( ; , )O u v est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d’affixe 1 + i.

Au point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que   1

' 2

z z iz  .

1. On pose z x iy  et ' ' 'z x iy  avec x, y, x’ et y’ réels.

a. Démontrer les égalités suivantes :   1

' 2

x x y  et   1

' 2

y x y  . En déduire que le point M

appartient à la droite (OA).

b. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que M =M’.

c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs 'MM et OA sont orthogonaux.

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle 2

 . M1 est le point d’affixe z1 image de M par r, M2 le point

d’affixe 2z z , M3 le point d’affixe z3 tel que le quadrilatère OM1M3M2 soit un parallélogramme.

a. Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M, M1, M2, M3.

b. Exprimer z1 en fonction de z, puis z3 en fonction de z.

c. OM1M3M2 est-il un losange ? Justifier.

d. Vérifier que 3 1

' 2

z z iz  . En déduire que 3 1

' 2

MM OM .

3. Démontrer que les points M, M1, M2 et M3 appartiennent à un même cercle de centre O si et

seulement si 1

' 2

MM OM .

Donner alors la mesure en radians de l’angle géométrique 'M OM .

1. 10. Basique, Antilles 2006 - 5 points

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , on considère les points

A d’affixe a, a  ;

B d’affixe b +i, b  ;

C image de B dans la rotation de centre A et d’angle 3

 .

a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l’axe ( ; )O v .

b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.

2. Dans cette question, on pose 3a  et b = 0. On considère les points C d’affixe c = −i et D d’affixe

2 3 2 3d i   .

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Calculer le quotient d a

c a

 ; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?

c. Déterminer l’affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et d’angle 3

 .

d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur AC .

e. Déterminer la nature du triangle BEF.

1. 11. Basique, N. Calédonie 2009

4 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v direct d’unité graphique 1 cm. On considère les

points A et B d’affixes respectives zA = 1 et zB = 3 + 4i. Soit C et D les points d’affixes respectives

 2 3 2 3Cz i    et  2 3 2 3Dz i     . L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

1. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle 2

3

 est le point D.

b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.

2. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport 3

2 .

a. Montrer que l’affixe zF du point F est −2i.

b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].

c. Montrer que 3C F

A F

z z i

z z

  

 . En déduire la forme exponentielle de C F

A F

z z

z z

 . Déduire des questions

précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.

1. 12. Basique, La Réunion 2008

5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Soit (C) le cercle de centre O et

de rayon 1.

On considère le point A de (C)d'affixe 3 i

Az e

 .

1. Déterminer l'affixe Bz du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle 2

3

 . Déterminer

l'affixe Cz du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle 2

3

 .

2. a. Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

3. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport −2.

a. Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par h.

b. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.

4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.

a. Donner l’écriture complexe de h.

b. Calculer A B Cz z z  . En déduire que A est le milieu du segment [QR].

c. Que peut-on dire de la droite (QR)par rapport au cercle (C) ?

1. 13. 2nd degré et barycentre, Antilles 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue z : 2 8 3 64 0z z   .

2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes 4 3 4a i   et

4 3 4b i   .

Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.

3. On désigne par C le point d’affixe 3c i  et par D son image par la rotation de centre O et d’angle

3

 . Déterminer l’affixe d du point D.

4. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; 1), (D ; 1) et (B ; 1).

a. Montrer que le point G a pour affixe 4 3 6g i   .

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure (unité graphique : 1 cm).

c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

5. a. Justifier l’égalité 1 3

2 2

c g i

a g

  

 .

b. En déduire une mesure en radians de l’angle  ,GA GC , ainsi que la valeur du rapport GC

GA .

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?

1. 14. 2nd degré, Polynésie 1996

Partie A

Soit P le polynôme défini sur par: 2( ) 2 3 4P z z z   .

1. Résoudre dans l'équation P(z) = 0.

2. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.

Partie B Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité 4 cm). Soient A, B et C les points d'affixes

respectives a = 2i, 3b i   et 3c i   .

1. Placer les points A, B et C sur une figure.

2. Soit a b

Z c b

  

.

a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.

b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu'une mesure, en radians, de l'angle ( , )BC BA .

3. Calculer l'aire du triangle ABC en centimètres carrés.

1. 15. 2nd degré, Inde, 1996

1. a. Démonstration de cours : étudier la résolution dans  de l’équation 2 0az bz c   , a, b, c étant trois réels avec a non nul.

b. Résoudre l’équation 2 2 2 4 0z z   . On appellera 1z et 2z les solutions, 1z ayant sa partie

imaginaire positive.

c. Donner la forme exponentielle de 1z et 2z puis celle de

2

1

2

z

z

     

.

2. Dans le plan complexe muni d’un repère othonormal ( , , )O u v d’unité 1 cm, on considère les points 1M

d’affixe 2(1 )i , 2M d’affixe 2(1 )i et A d’affixe 2

2 Az  .

a. Déterminer l’affixe 3z du point 3M image de 2M par l’homothétie h de centre A et de rapport –3.

b. Déterminer l’affixe 4z du point 4M image de 2M par la rotation r de centre O et d’angle 2

  .

c. Représenter les points O, A, 1M , 2M , 3M , 4M

d. Calculer 3 1

4 1

z z

z z

 . Que peut-on en conclure ?

1. 16. Petits exos de base

j

iO

a=90

1. Sur la figure ci-dessus placer les points suivants :

3 2

4 3 3 3 3 3 1 3

(1 ), (2 2 ), (1 3), ( ), (1 2 ), ( 2 2), ( ), (2 ), ( ) 4 4 2 2 2

i i

A i B i C i D i E i F i G i H ie K e

  

          .

2. Lire sur la figure le module et l’argument de chacun des complexes correspondants.

3. Faire le calcul pour , , ,B D G Hz z z z .

4. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle des conjugués de , , ,B D G Hz z z z .

5. Calculer    

 

3 5 2 6

4 , , ( ) ( )

A C E K

H

z z z z

z .

6. Calculer les complexes A Ez z et B Ez z ; déterminer leurs modules. Calculer A E

B E

z z

z z

 , déterminer

son module et son argument, en déduire l’angle des vecteurs EA et EB .

7. On fait une rotation de centre O et d’angle 2

 sur les points E, A et B. Si E’, A’ et B’ sont leurs images,

quelles sont les affixes de ces trois points. Que vaut alors ' '

' '

A E

B E

z z

z z

 ?

8. On veut construire un triangle rectangle isocèle ABM dont l’hypothénuse est [AB]. Lire sur la figure les affixes possibles des points M. Donner une méthode pour trouver les points M, l’appliquer.

9. Soient z1 = 2, z2 = 3i et z3 = 1 – 2i, calculer 1z , 2z , 3z , | z1|, | z2|, | z3|, a = 1 2

3

z z

z

 et b = (z3)3.

10. Soit f la transformation du plan qui à M d’affixe z associe M’ d’affixe z’ tel que : z’ = 4z + 6 – 3i.

Déterminer l’unique point invariant de f et en déduire la nature et les éléments caractéristique de f.

11. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

a. 3 2z i z i    b. ( 1 )( 1 ) 3z i z i    

12. Soit le complexe 3

1

i Z

i

  

.

a. Ecrire Z sous forme exponentielle.

b. Reprendre la forme initiale de Z pour déterminer sa forme algébrique.

c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de 5

cos 12

 et

5 sin

12

 .

13.  et  sont des réels fixés. Mettre chacun des complexes suivants sous forme trigonométrique :

cos sini   ; sin cosi  .

14. Mettre le complexe suivant sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique : 5(1 3)i .

15. Utiliser une formule d’Euler pour exprimer 3sin x en fonction de sin 3x et sin x .

16. Dire, sans justifier si chacune des affirmations a), b), c) est vraie ou fausse .

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On considère les points A, B et C

d’affixes respectives : 1 3Az i  , 1Bz i  et 2 cos sin 12 12

Cz i i   

    

.

a. On a arg( ) 12

Cz   .

b. L’écriture algébrique de A

B

z

z est

3 1 3 1

2 2 i

   .

c. L’écriture trigonométrique de A

B

z

z est 2 cos sin

12 12 i

    

  .

17. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On considère les points ( )A i , (3)B , (2 3 )C i et ( 1 2 )D i  .

a. Préciser les affixes des milieux des segments  AC et  BD . Que peut-on en déduire pour le

quadrilatère ABCD ?

b. Interpréter géométriquement le module et un argument de C A

D B

z z

z z

 . Calculer C A

D B

z z

z z

 .

c. Déduire du b. les propriétés vérifiées par les diagonales de ABCD . Quelle est la nature de ABCD ?

1. 17. Cours, C. étrangers 2006 - 4 points

Partie A : restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :

(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :

 cos sin

arg à 2 près 0

z r z r i

z r

 

 

    

  

(ii) Pour tous nombres réels a et b :  

 

cos cos cos sin sin

sin sin cos sin cos

a b a b a b

a b a b b a

   

  

.

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :

1 2 1 2z z z z et      1 2 1 2arg arg argz z z z  à 2 près.

Partie B

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.

On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et z désigne le module de z.

1. Si 1 1

2 2 z i   , alors z4 est un nombre réel.

2. Si 0z z  , alors z = 0.

3. Si 1

0z z   , alors z = i ou z = −i.

4. Si 1z  et si 1z z  , alors z = 0.

1. 18. Basique, STL France, Juin 2006 - 5 points

Partie A

Pour tout nombre complexe z, on note   3 24 8 8P z z z z    .

1. Calculer P(2). Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut s’écrire sous la forme

    22 2 4P z z z z    .

2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation 2 2 4 0z z   . En déduire les solutions, dans l’ensemble des nombres complexes, de l’équation P(z) = 0.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v (unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2, 1 3b i  , 1 3c i  .

1. a. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

b. Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle  de centre O.

c. Construire le cercle  .

2. Déterminer un argument du nombre complexe b. En déduire une mesure de l’angle  ,OA OB . Quelle est la nature du triangle OAB ?

1. 19. Basique, Am. du Sud 11/2008

5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v , on considère les points A, B, C

d’affixes respectives a = –1+2i, b = 1+3i, c = 4i.

1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

2. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.

a. Quel est l’ensemble des points M du plan distincts de A dont l’affixe z est telle que I

A

z z

z z

 soit un réel

?

b. Déterminer l’unique réel x tel que I

A

x z

x z

 soit un réel.

c. Soit AI

z l’affixe du vecteur AI ; donner une forme trigonométrique de AI

z .

3. a. Soit G le point d’affixe –3. Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.

b. Soit r1 la rotation de centre G et d’angle de mesure 4

  . Déterminer l’écriture complexe de r1.

4. Soit A’, B’ et C’ les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a’, b’ et c’ leurs affixes.

Quelle est l’image par r1 de l’axe de symétrie du triangle ABC ? En déduire que ' 'b c .

1. 20. Equation, STL, France, Juin 2006 - 6 points

Le plan Pest rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v (unité graphique 1 cm).

On considère un polynôme P défini par   3 22 16P z z z   où z est une variable complexe.

1. a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que     22P z z az bz c    .

b. Résoudre dans l’équation P(z) = 0.

On considère les points A et B d’affixes respectives : zA= 2 − 2i et zB= 2 + 2i.

a. Écrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres zA et zB.

b. Placer dans le plan Ples points A et B.

c. Quelle est la nature du triangle OAB ?

2. On considère la transformation T du plan Pdans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le

point Md’affixe ztel que 3' i

z e z

 .

a. Caractériser géométriquement la transformation T.

b. Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique l’affixe du point Aimage de A par la transformation T.

c. En déduire les valeurs exactes de cos 12

 et sin

12

 .

1. 21. Equation, STL, France, juin 2005 - 5 points

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2

 . Le plan complexe est rapporté à un

repère orthonormal ( ; , )O u v d’unité graphique 1 cm.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique : z2 + 3z + 3 = 0.

2. On considère les nombres complexes : 1 3 3

2 2 z i   et 2 1z z .

a. Écrire z1 sous forme trigonométrique.

b. Construire avec précision dans le repère ( ; , )O u v les points A et B d’affixes respectives z1 et z2. On

laissera apparents les traits de construction.

3. On appelle D le point d’affixe 3 7 3

2 2 z i  et K le point d’affixe z4 = 1.

a. Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle Cde centre K.

b. Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].

c. Dans le repère ( ; , )O u v placer les points K et D et tracer le cercle C. Déterminer la nature du triangle

ABD.

1. 22. pi/12, STL, France, juin 2005 - 5 points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v d’unité graphique 4cm.

1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation 2 2 3 4 0z z   . Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

b. Représenter dans le plan P les points A d’affixe 3 i et B d’affixe 3 i .

c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.

2. On considère l’application R de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point Md’affixe z

telle que 4' i

z e z

 .

a. Caractériser géométriquement l’application R.

b. Placer le point Aimage du point A par R.

c. Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique l’affixe du point A’.

d. En déduire les valeurs exactes de cos 12

 et sin

12

 .

1. 23. Equation, STL, France, sept. 2004 - 5 points

1. Résoudre dans l’équation 2 4 3 16 0z z   .

2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( ; , )O u v d’unité graphique 1 cm.

Soit les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives 2 2Az i  ; 2 3 2Bz i  et 62

i

Cz e

 .

a. Calculer le module et un argument de zA et zB.

b. Construire les points A, B et C.

c. Calculer A Bz z .

d. Quelle est la nature du triangle OAB ? (justifier la réponse).

3. a. Écrire zC sous forme algébrique.

b. Montrer que C est le milieu du segment [OA].

4. Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier la réponse).

1. 24. Rotations, STL, France, sept. 2004 - 5 points

Le plan complexe Pest rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v d’unité graphique 1 cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2

 . Dans P, les points A et B ont pour affixes

respectives 8 et 8i.

1. On appelle D l’image de A par la rotation R1 de centre O et d’angle 3

  et C l’image de B par la

rotation R2 de centre O et d’angle 2

3

 .

a. Quelles sont les fonctions f1 et f2 de dans associées respectivement aux rotations R1 et R2.

b. Calculer les affixes des points C et D.

2. a. Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer le cercle Cdans le plan P et représenter les points A, B, C et D.

b. Quelle est la nature du triangle OCD ?

3. On note a l’affixe du vecteur AD et b celle du vecteur BC . Montrer que 3b a . En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.

1. 25. Classique, La Réunion 2006 - 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , l’unité graphique est 2 cm. On

désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2

  . On réalisera une figure que l’on

complétera au fur et à mesure des questions.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation 4z

i z

  . Écrire la solution sous

forme algébrique.

2. Résoudre dans l’équation 2 2 4 0z z   . Écrire les solutions sous forme exponentielle.

3. Soient A, B, A’ et D les points du plan complexe d’affixes respectives : a = 2, b = 4, a’ = 2i et d = 2 + 2i.

Quelle est la nature du triangle ODB ?

4. Soient E et F les points d’affixes respectives 1 3e i  et 1 3f i  . Quelle est la nature du

quadrilatère OEAF ?

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C’ le cercle de centre A’ et de rayon 2. Soit r la rotation

de centre O et d’angle 2

  .

a. On désigne par E’ l’image par la rotation r du point E. Calculer l’affixe e’ du point E’.

b. Démontrer que le point E’ est un point du cercle C’.

c. Vérifier que :   3 2e d e d    . En déduire que les points E, E’ et D sont alignés.

6. Soit D’ l’image du point D par la rotation r. Démontrer que le triangle EED’ est rectangle.

1. 26. Système, STL, France, juin 2004 - 5 points

1. Résoudre le système suivant d’inconnues complexes z et z: ' 1

' 2

z iz

z z i

      

.

On donnera les solutions sous forme algébrique.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v d’unité graphique 3 cm.

a. Placer dans le plan les points A, B et C d’affixes respectives zA= −1, zB= 2i et zC=−2 + i.

b. Calculer les modules des nombres complexes : B Cz z et B Az z . Donner une interprétation

géométrique de ces résultats.

c. On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l’affixe du point I puis calculer la distance BI.

d. Déterminer l’aire en cm2 du triangle ABC.

1. 27. Similitude, STL, France, juin 2004 - 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v , unite graphique 1 cm. i désigne le nombre

complexe de module 1 et dont un argument est 2

 . À tout point M d’affixe z du plan complexe, on fait

correspondre le point Md’affixe ztel que  ' 1 2z i z i   .

1. Determiner le nombre complexe z tel que z = z.

2. On considère les points A et B d’affixes respectives zA= 2 et zB= −1 + 3i.

a. Déterminer les affixes des points Aet B’. Que peut-on dire du point A?

b. Placer les points A, B et Bdans le repère( ; , )O u v .

c. Démontrer que le triangle ABBest un triangle rectangle et isocèle.

3. a. Vérifier l’égalité :  ' 2 1z z i   .

b. Soit C le point d’affixe zC= 1 + i. Interpréter géométriquement z et  1z i  .

c. Déduire des questions précédentes l’ensemble (D) des points M d’affixe z vérifiant ' 2z zet

tracer (D) dans le repère précédent.

1. 28. Transformation ?

A tout nombre complexe z on associe le nombre complexe égal à    1

( ) 3 4 5 6

f z i z z  

1. Calculer f(3), f(i) et f(1 – 4i).

2. Exprimer ( )

' 1 2

f z z z

i

  

à l’aide de z et de z .

3. En déduire que z’ est réel pour tout z complexe.

1. 29. Equation

Soit (E) l’équation complexe : 1

2 1 0z z z     .

1. Démontrer que z = x + iy avec x et y réels est solution de (E) si et seulement si : 2 23 1 0

(2 1) 0

x x y

x y

      

  .

2. En déduire la résolution de l’équation (E) dans .

1. 30. Cercles

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v , unité graphique 4 cm, on

considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b, et c telles que : a = 1 – i, b = 1 + i, c = – 1 + i = – a. On note  le cercle de diamètre [AB].

1. a. Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle  .

b. Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.

c. Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B. Déterminer l'angle de r et le point r (B), image de B par r. d. Déterminer l'image  ’du cercle  par r ; placer  ' sur la figure.

2. On considère un nombre  dans ]0 ; 2[ distinct de  ; on note M le point d'affixe 1 iz ie  . On désigne par M' l'image de M par r, et on appelle z' l'affixe de M'.

a. Montrer que M est un point de  distinct de A et de B.

b. Exprimer z' en fonction de z. Calculer en fonction de  les affixes u et u' des vecteurs BM et 'BM .

c. Etablir la relation ' t an 2

u u

 .

d. Prouver que les points B, M et M' sont alignés. Placer sur la figure un point M et son transformé M'.

1. 31. Rotation

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal ( ; , )O u v , (unité graphique : 2 cm), on note B et

C les points d'affixes respectives – i et 3

. 2

i

Soit R la transformation du plan P qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z’ telle

que 3' e i

z z

.

1. Placer les points B et C dans le plan P et donner l'écriture de leurs affixes respectives sous la forme

exponentielle ( ire ).

2. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation R.

3. Déterminer, sous la forme exponentielle, les affixes des images respectives B’ et C’ par la transformation R des points B et C. Placer B’ et C’ dans le plan P.

Que peut-on dire du point B’ ?

Que peut-on dire des points B’ et C’ relativement à l'axe des abscisses ?

4. a. En utilisant les points B et C, déterminer et construire l'ensemble D des points M d'affixe z telle que

3 .

2

i z i z

   

b. Déterminer l'image D’ par la transformation R de l'ensemble D.

1. 32. Carrés, rotations et alignement

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O ; , )u v .

1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c.

a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient c a

b a

 .

b. Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement si c a

b a

 est un nombre réel.

2. Placer sur une figure (unité graphique : 1 cm) les points A1, B1 et C1 d'affixes respectives

1 1 12, 3, 4 3 3.a b i c i    

Montrer, à l'aide de la propriété précédente, que les points A1, B1 et C1 sont alignés.

3. On considère les points A2, B2, C2, A3, B3, C3 tels que les quadrilatères OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3 soient des carrés directs.

a. Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.

b. Donner les affixes a3 et b3 des points A3 et B3 puis les affixes a2 et b2 des points A2 et B2.

c. À l'aide de la rotation de centre O et d'angle 2

 , calculer l'affixe c3 de C3 à l'aide de c1.

d. En déduire que les points A3, B3 et C3 sont alignés.

4. a. Déterminer le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C1, 1), (C3, 1)} soit C2.

(Rappel : le barycentre G du système (A,  ), (B,  ),… est tel que ... 0AG BG    )

b. Calculer l'affixe c2 de C2.

c. Montrer que les points A2, B2, C2 sont alignés.

1. 33. ROC+Equation+Rotation, Polynésie 2010, 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Prérequis

Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib a et b sont deux nombre réels.

On note z le nombre complexe défini par z a ib  .

Questions

a. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z’, ' 'z z z z   .

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z,   n

nz z .

Partie B

On considère l‘équation (E) : 4 4z   z est un nombre complexe.

1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes – z et

z sont aussi solutions de l’équation (E).

2. On considère le nombre complexe 0 1z i  .

a. Écrire le nombre complexe z0sous forme exponentielle.

b. Vérifier que z0est solution de l’équation (E).

3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l‘équation (E).

Partie C

Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives : 1Az i  ; 1Bz i   ; 1Cz i   et 1Dz i  .

Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure 3

  . On appelle E l’image du point B par r et

F celle du point D par r.

1. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r.

2. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée zE, est égale à 1 3  .

b. Déterminer l’affixe zF du point F.

c. Démontrer que le quotient A E

A F

z z

z z

 est un nombre réel.

d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?

1. 34. Système+parallélog. Antilles 09/2007, 5 pts

Partie A

1. Déterminer le complexe  tel que   2

1 1 3

4 3

i i

i i

    

  

.

2. Pour tout nombre complexe z, on pose      2 1 3 4 3f z z i z i      . Montrer que  f z s’écrit

sous la forme   z z i   . En déduire les solutions (sous forme algébrique) de l’équation   0f z  .

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O u v , unité graphique 5 cm.

1. On considère les points A et B d’affixes respectives 2a i  et 1 2b i   . Placer A et B dans le repère

et compléter la figure au fur et à mesure. Montrer que b ia , en déduire que le triangle OAB est un

triangle isocèle rectangle tel que  , 2

OA OB   .

2. On considère le point C d’affixe 1

1 2

c i   . Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OCD soit

un triangle isocèle rectangle tel que  , 2

OC OD   .

On pourra conjecturer l’affixe de D à l’aide de la figure pour traiter la question suivante.

3. Soit M le milieu du segment [BC]. On appelle OM

z et DA

z les affixes respectives des vecteurs OM et

DA . Prouver que 1

2

OM

DA

z i

z  .

4. Donner une mesure en radians de  ,DA OM .

5. Prouver que 1

2 OM DA .

6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme ; démontrer que c’est un carré.

1. 35. Barycentre, ligne de niveau

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , )u v , unité graphique 2 cm.

1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est 2

 .

b. Résoudre dans l’équation iz – 2 = 4iz. On donnera la solution sous forme algébrique.

2. On désigne par I, A et B les points d’affixe respectives 1, 2i et 3 + i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Calculer l’affixe ZC du point C image par A de la symétrie de centre I.

c. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe C B

A B

z z

z z

 . En déduire le module et un argument de

ce nombre ; ainsi qu’une interprétation géométrique.

d. Soit D le point d’affixe ZD telle que D C A Bz z z z   , montrer que ABCD est un carré.

3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur MA MB MC MD  

a. Exprimer le vecteur MA MB MC MD   en fonction du vecteur M I .

b. Montrer que le point K défini par 2KA KB KC KD AB    est le milieu du segment [AD].

c. Déterminer l’ensemble  des points M du plan tel que : 2MA MB MC MD AB    .

Construire  .

1. 36. Barycentre + ligne de niveau, Polynésie 2004

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v , unité graphique : 1 cm.

1. On désigne par A, B et I les points d’affixes respectives : zA= 3 + 2i, zB= −3 et zI= 1 −2i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe I A

I B

z z Z

z z

 

 . Que peut-on en déduire sur la nature

du triangle IAB ?

c. Calculer l’affixe zC du point C image de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2.

d. Soit D le barycentre du système {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, 1)} ; calculer l’affixe zD du point D.

e. Montrer que ABCD est un carré.

2. Déterminer et construire l’ensemble 1 des points M tels que 1

2 MA MB MC MA MC    .

3. On considère l’ensemble 2 des points M du plan tels que : 4 5MA MB MC   .

a. Montrer que B appartient à 2 .

b. Déterminer et construire l’ensemble 2 .

1. 37. Ligne de niveau, Centres étrangers 2008

5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v ; l'unité graphique est 1 cm.

1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 2 4 8 0z z   . On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

2. On note A et B les points du plan d'affixes respectives : 2 2a i  et b a  . Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.

a. Déterminer l'affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle 2

 .

b. On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle 2

 ;démontrer que l’affixe d du point D

est 2 6d i  .

c. Placer les points C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

3.  étant un nombre réel non nul, on désigne par G le barycentre du système :

      , 1 ; , 1 ; ,A B C  .

a. Exprimer le vecteur CGen fonction du vecteur BA .

b. En déduire l'ensemble des points G lorsque  décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet

ensemble.

c. Pour quelle valeur de  a-t-on G D  ?

4. On suppose dans cette question que 2  .

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que 2 4 2MA MB MC   .

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