Contrôle de sciences statistiques 4 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 4 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 4 - 2° partie - Nombres Complexes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, le 3ème degré, barycentre, ligne de niveau, En déduir...
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1. 38. Ligne niveau+rotation, Polynésie 2008

4 points

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l’équation 2 6 13 0z z   .

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d'unité graphique 1 cm. On

considère les points A, B, C d'affixes respectives 3 2a i  , 3 2b i  , 4c i .

2. Faire une figure et placer les points A, B, C.

3. Montrer que OABC est un parallélogramme.

4. Déterminer l'affïxe du point  , centre du parallélogramme OABC.

5. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que 12MO MA MB MC    .

6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par  la partie imaginaire de l'affixe du point M. On

note N l'image du point M par la rotation de centre D et d'angle 2

 .

a. Montrer que N a pour affixe 5 5

2 2 i  .

b. Comment choisir  pour que N appartienne à la droite (BC) ?

1. 39. 3ème degré, barycentre, ligne de niveau

1. On considère dans l'équation d'inconnue Z : (E) 3 212 48 128 0Z Z Z    .

a. Vérifier que 8 est solution de cette équation.

Déterminer les nombres réels  ,  ,  tels que, pour tout complexe Z,

3 2 212 48 128 ( 8)( ).Z Z Z Z Z Z        

b. Résoudre l'équation (E).

2. ( ; , )O u v est un repère orthonormal direct du plan orienté, l'unité graphique est 1 cm.

On considère les points A, B, C d'affixes respectives 2 2 3, 2 2 3, 8a i b i c     .

a. Calculer le module de a (noté a ) et son argument  . Placer les trois points A, B et C.

b. Calculer le complexe a c

q b c

  

, déterminer son module et son argument  . En déduire la nature du

triangle ABC.

c. Déterminer le barycentre D des points pondérés (A, a ), (B, b ), (C, c ). Placer D.

d. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que 2 2MA MB MC MA MB MC     .

Tracer E.

1. 40. 3ème degré, rotation, Pondicherry 2003

Première partie

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante : (E) z3 +2z2 16 = 0.

1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : (z −2)(az2 + bz + c) = 0, où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.

2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives zA= −22i, zB= 2 et zD= −2+2i.

2. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle 2

  et F l’image de C par la rotation de

centre D et d’angle 2

 .

a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.

b. Placer les points E et F.

4. a. Vérifier que : F A

E A

z z i

z z

 

 .

b. En déduire la nature du triangle AEF.

5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle 2

  .

1. 41. 3ème degré+rotation, France 2007 - 5 points

Partie A

On considère l’équation : (E)    3 24 13 4 13 0z i z i z i      où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :

      3 2 24 13 4 13z i z i z i z i az bz c         .

3. En déduire les solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v , on désigne par A, B et C les

points d’affixes respectives i, 2 + 3i et 2 − 3i.

1. Soit r la rotation de centre B et d’angle 4

 . Déterminer l’affixe du point A’, image du point A par la

rotation r.

2. Démontrer que les points A’, B et C sont alignés et déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre B qui transforme C en A’.

1. 42. Orthocentre, C. étrangers 2007 - 5 points

I. Restitution organisée de connaissances

1. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z z  .

2. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si z z .

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : 2

zz z .

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct ( ; , )O u v orthonormé direct . On se

propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respective a, b, c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a +b +c.

II. Étude d’un cas particulier

On pose : a = 3 + i, b = −1 + 3i, 5 5c i   .

1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixe a + b + c, puis vérifier graphiquement que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.

III. Étude du cas general

ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C.

1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :

aa bb cc  .

2. On pose w bc bc  .

a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w est imaginaire pur.

b. Verifier l’égalité :   b c b c w   et justifier que : 2 b c w

b c b c

 

  .

c. En déduire que le nombre complexe b c

b c

 est imaginaire pur.

3. Soit H le point d’affixe a + b + c.

a. Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs AH et CB .

b. Prouver que  , , 2

CB AH k k

   . (On admet de même que  , , 2

CA BH k k

   .

c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

1. 43. Produit scalaire

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 2 cm). z et sont deux

nombres complexes et on pose : ( , ') ' '.z z zz zz   z et 'z désignent les conjugués respectifs de z et z´.

1. Calculer :  (i, 3) ;  (1 + 2i, – 2 + i),  (2 + i, – 3 + 2i),

2

6 3, i i

e e

 

        

.

Montrer que pour tout couple (z, z´) le nombre  (z, z´) est réel.

2. a. On pose z = x + iy et z´= x´+ iy´ ; x, y, x´, y´ réels. Calculer  (z, z´) en fonction de x, x´, y, y´.

b. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que  (z, 1 + i) = 2 2 . Dessiner D.

3. a. On pose iz re et '' ' iz r e ;  et ´ réels, r et r´ réels positifs. Calculer  (z, z´) en fonction de r,

r´ et cos( –  ´).

b. Exprimer  (z, z') en fonction de r.

c. Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que  (z, z') = 2.

d. Dessiner C dans le repère ( ; , )O u v . Que peut-on dire de la position relative de C et D ? Justifier la

réponse.

1. 44. Forme algébrique & trigo de pi/12 -1

Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v on considère les points A, B et C d'affixes

respectives : 6 2

2 A

i Z

  , 1BZ i  ,

A C

Z Z

Z B

 .

1. a. Écrire ZC sous forme algébrique.

b. Déterminer le module et un argument de ZA et de ZB.

c. Écrire ZC sous forme trigonométrique ; en déduire les valeurs exactes de 

cos 12

et de 

sin 12

.

2. Soit I le point d'affixe ZI = 1.

a. Quelle est la nature du triangle OIB ?

b. Déterminer les images de I et B dans la rotation de centre O et d'angle 

12 . En déduire la nature du

triangle OAC.

1. 45. Forme algébrique & trigo de pi/12 -2

Soit les nombres complexes : 1 6 2

2

i z

  et 2 1z i  .

a. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et 1

2

z Z

z  .

b. En déduire que 6 2

cos 12 4

   et

6 2 sin

12 4

   .

c. On considère l’équation d’inconnue réelle x :    6 2 cos 6 2 sin 2x x    .

Résoudre cette équation dans et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

1. 46. Forme algébrique & trigo de pi/12 -3

Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal  ; ,O i j . On considère dans P les points A,

B et C d'affixes respectives 1 3Az i  , 1Bz i   et (2 3)Cz i    .

1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe C B

A B

z z W

z z

 

b. En déduire la nature du triangle ABC.

2. a. Écrire le nombre complexe A

B

z

z sous forme algébrique.

b. Écrire les nombres zA et zB sous forme trigonométrique. En déduire la forme trigonométrique de A

B

z

z .

c. Àl'aide des deux questions précédentes donner les valeurs exactes de cos 12

     

et sin 12

     

.

1. 47. pi/12 –4, France remplt 2007 - 5 points

Soit les nombres complexes : 1 2 6z i  , 2 2 2z i  et 1

2

z Z

z  .

1. Écrire Z sous forme algébrique.

2. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.

3. En déduire cos 12

 et sin

12

 .

4. Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives z1, z2 et Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).

5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe 2007Z .

1. 48. Trigo, France 2010, 5 pts

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , on considère le point A d’affixe 2

et le cercle C de centre O passant par A.

Dans tout l’exercice on note  le nombre complexe 1 3i   et  le nombre complexe conjugué du nombre complexe  .

1. a. Démontrer que 2 4 2 8     .

b. Démontrer que les points B et C d’affixes respectives  et  appartiennent au cercle C.

2. Soit D un point du cercle C d’affixe 2 ieoù  est un nombre réel de l’intervalle  ;   .

a. Construire sur la figure donnée ci-dessous le point E image du point D par la rotation r de centre O et

d’angle 3

 .

b. Justifier que le point E a pour affixe iEz e  .

3. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].

a. Justifier que le point F a pour affixe 2

i Fz e

  .

b. On admet que le point G a pour affixe 2

i

G

e z

   . Démontrer que

2

2 2

G

F

z

z

 

 . On pourra utiliser la

question 1. a. En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.

On admet que 2 4 3cos 3 sinAF     .

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  ;   par   4 3cos 3 sinf x x x   . Le tableau

ci-dessous donne les variations de la fonction f sur l’intervalle  ;   . Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.

x  6

 

5

6

 

f

1. 49. Equation du second degré - 1

On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.

1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z : 2 2 4 0z z   . On notera 1z la solution dont la partie

imaginaire est positive et 2z l’autre. Donner le module et l’argument de chacun des nombres 1z , 2z , 2 1z ,

2 2z . Ecrire sous forme algébrique

2 1z et

2 2z .

2. On considère dans le plan les points (1 3)A i , (1 3)B i , ( 2 2 3)C i  et ( 2 2 3)D i  .

a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part sont alignés. Quel est le point d’intersection des diagonales de ABCD ?

c. Quelles sont les affixes des vecteurs AB et AC ?

Montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.

1. 50. Equation du second degré - 2

 étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2 ] et z un nombre complexe, on considère le

polynôme P(z), défini par :       3 2( ) (1 2sin ) (1 2sin ) 1P z z z z .

1. a. Calculer P(1).

b. En déduire l'existence de trois réels a, b, c tels que    2( ) ( 1)( )P z z az bz c . Déterminer a, b et c.

c. Résoudre, dans , l'équation P(z) = 0.

2. On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 = – sin + i cos ; z3 = – sin − i cos .

Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.

1. 51. Médiatrice - 1

Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Soit (D) l'ensemble des points M de

(P) d'affixe z vérifiant (1) : 3 2z i z i    .

1. En écrivant z = x + iy, montrer par le calcul que (D) est une droite dont on donnera une équation.

2. On se propose dans cette question de vérifier le résultat du 1. Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe – 2 + i.

a. Placer A et B dans le repère ( ; , )O u v .

b. En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et B, re-démontrer que (D) est une droite. Tracer (D).

c. Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1.

1. 52. Médiatrice - 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , unité graphique : 3 cm.

1. Placer les points B et D d'affixes respectives 3Bz i  , 3Dz i  . On complètera la figure dans les

questions suivantes.

2. Montrer que le triangle ODB est un triangle équilatéral.

3. Soit E le point d'affixe 3 i

Ez e

 

 .

a. Le point A est l'image de E par la rotation r de centre O et d'angle 

2 . Déterminer l'affixe zA du point A

et vérifier que A est le milieu du segment [OB].

b. Le point C est l'image de E par la translation t de vecteur 2v . Déterminer l'affixe zC du point C.

4. Calculer 

C A

B A

z z

z z et déterminer un argument de ce nombre complexe.

5. Déduire des questions précédentes que la droite (CD) est la médiatrice du segment [OB].

1. 53. Suite géométrique

On désigne par nM le point du plan complexe d’affixe nz définie par:

3 1 1

(cos sin ) 2 2 3 3

n n in

nz e n i n

     

         

n est un nombre entier naturel et où 0M est le point d’affixe 0 1z  .

1. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles nz est réel.

2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.  ; ,O u v (unité = 8 cm).

a. Représenter dans P les points 0 1 2 3 4, , , , .M M M M M

b. Calculer en fonction de n les longueurs des trois côtés du triangle 1n nOM M  . Montrer que ce triangle

est rectangle.

3. On considère la suite ( )n na  définie par 1n n na z z  .

a. Montrer que la suite ( )na est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. Calculer

0

k n

n k

k

l a

 . Déterminer la limite de nl quand n tend vers  .

4. a. Calculer en fonction de n l’aire nb du triangle 1n nOM M  .

b. Calculer

0

k n

n k

k

s b

 . Déterminer la limite de nb quand n tend vers  .

1. 54. Suite arithmético-géométrique, Asie 2007 - 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . L’unité graphique est 4 cm.

Soit  un nombre complexe non nul et différent de 1. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (zn)

de nombres complexes par : 0

1

0

n n

z

z z i

 

  .

On note Mn le point d’affixe zn.

1. Calcul de zn en fonction de n et de  .

a. Vérifier les égalités : 1z i ;  2 1z i  ;  23 1z i    .

b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul, 1

1

n

nz i

  

.

2. Étude du cas i  .

a. Montrer que z4 = 0.

b. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de zn.

c. Montrer que Mn+1 est l’image de Mn par une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

d. Représenter les points M0 ,M1, M2, M3 et M4 dans le repère ( ; , )O u v .

3. Caractérisation de certaines suites (zn).

a. On suppose qu’il existe un entier naturel k tel que 1k  . Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité : zn+k = zn.

b. Réciproquement, monter que s’il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n on ait

l’égalité zn+k = zn alors : 1 k  .

1. 55. Suite de carrés, Asie 2000 - 5 points

Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct ( ; , )O u v , d’unité 2 cm, on considère les

points A, B, C et D d’affixes respectives : zA = −i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD = −1+2i.

1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.

2. a. Interpréter géométriquement le module et l’argument du complexe C A

D B

z z

z z

 .

b. Calculer le complexe C A

D B

z z

z z

 .

c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?

3. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.

b. Calculer l’aire s0 du quadrilatère ABCD.

4. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que 1 1 1 1DA A B B C  , où les points A1

et B1 appartiennent à [DC], le quadrilatère A1B1C1D1 étant un carré situé àl’extérieur du quadrilatère ABCD.

b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.

5. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé, on considère les points

An+1, Bn+1, Cn+1 et Dn+1 tels que 1 1 1 1n n n n n nD A A B B C     où les points An+1 et Bn+1 appartiennent à

[DnCn], le quadrilatère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré AnBnCnDn.

Tracer le carré A2B2C2D2.

b. Soit sn l’aire du carré AnBnCnDn. Exprimer sn+1 en fonction de sn, puis de n. En déduire sn, en fonction de n.

c. Déterminer, en fonction de n, l’aire Sn de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1, A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn.

d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.

1. 56. Inversion 1

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , )u v . L'unité graphique est 4 cm.

À tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M´ d'affixe z´ telle que   1

'z z

, où z désigne le

nombre complexe conjugué de z.

1. a. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z´.

b. En déduire que les points O, M et M´ sont alignés.

2. Démontrer que    1

' 1 ( 1)z z z

.

On nomme A et B les points d'affixes respectives 1 et – 1. On désigne par C le cercle de centre A contenant le point O et par C* le cercle C privé du point O.

3. On suppose dans cette question que le point M appartient à C* .

a. Justifier l'égalité :  1 1z . Démontrer que  ' 1 'z z . Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M´ à partir du point M.

4. Le point M étant un point du plan, d'affixe z non réelle, on nomme M1 son symétrique par rapport à l'axe des réels.

a. Calculer 

' 1

' 1

z

z en fonction de z. Exprimer alors l'argument de

' 1

' 1

z

z en fonction de l'angle

1 1( , ).M A M B

b. Comparer les angles 1 1( , )M A M B et ( , ).MA MB

c. Démontrer que M´ appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.

1. 57. Inversion 2, Antilles 2005 - 5 points

( ; , )O u v est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d’affixe 1; soit B le point d’affixe 1.

Soit F l’application de Pprivé de O dans Pqui à tout point M d’affixe z distinct de O associe le point

M’ = F(M) d’affixe 1

'z z

  .

1. a. Soit E le point d’affixe 3 i

e

; on appelle E’ son image par F. Déterminer l’affixe de E’ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F.

2. a. Soit K le point d’affixe

5

62 i

e

et K’ l’image de K par F. Calculer l’affixe de K’.

b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F.

3. On désigne par R un point d’affixe 1 ie où  ;     . R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.

a. Montrer que 1

' 1 z

z z

   . En déduire que : ' 1 'z z  .

b. Si on considère maintenant les points d’affixe 1 ie ,  ;     , montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du 3. a.

1. 58. Inversion 3, Am. du Sud 2005

5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Unité graphique 2 cm.

Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point Md’affixe ztelle que 4

'z z  , où z désigne le nombre complexe conjugué de z.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

2. Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1.

3. Soit  un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A d’affixe  admet un antécédent unique par f , dont on précisera l’affixe.

4. a. Donner une mesure de l’angle  , 'OM OM . Interpréter géométriquement ce résultat.

b. Exprimer 'z en fonction de z . Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du

cercle de centre O et de rayon r.

c. Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP = 3, et construire géométriquement son image Ppar f.

5. On considère le cercle C1, de centre J et de rayon 1. Montrer que l’image par f de tout point de C1, distinct de O, appartient à la droite D d’équation x = 2.

1. 59. Inversion 4, Asie 06/2008

4 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour le dessin :

4 cmu  .

M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M’ le point d’affixe z’ telle que 1

'z z

  où z désigne le

conjugué du nombre complexe z.

A. Quelques propriétés

1. Soit z un nombre complexe non nul.

Déterminer une relation entre les modules de z et z’ puis une relation entre les arguments de z et z’.

2. Démontrer que les points O, M et M’ sont alignés.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l’égalité :   1

' 1 1z z z

   .

B. Construction de l’image d’un point

On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1.

On note (C) l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : 1 1z   .

1. Quelle est la nature de l’ensemble (C) ?

2. Soit M un point de (C) d’affixe z, distinct du point O.

a. Démontrer que ' 1 'z z  . Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Est-il vrai que si z’ vérifie l’égalité : ' 1 'z z  , alors z vérifie l’égalité : 1 1z   ?

3. Tracer l’ensemble (C) sur une figure. Si M est un point de (C) , décrire et réaliser la construction du point M’.

1. 60. Homographie, Am. du Nord 2010 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d'unité graphique 2 cm.

On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.

On considère les points A d'affixe i, B d'affixe −2i et D d'affïxe 1.

On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z ( z i ) associe le point M’ d'affixe z’ définie par

2 '

1

z i z

iz

  

.

1. Démontrer que le point E a pour affixe   1 3

1 2 2

i      

 

.

2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point D’ associé au point D par l'application f.

3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i,   ' 2 1z i z i   .

b. En déduire que pour tout point M d'affixe z ( z i ) : ' 1BM AM  et    , ' , 2u BM u AM k     où k est un entier relatif.

4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon 2 .

b. En utilisant les résultats de la question 3. b, placer le point E’ associé au point E par l'application f. On laissera apparents les traits de construction.

5. Quelle est la nature du triangle BDE’ ?

1. 61. Homographie, France 2009, 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On désigne par A, B et J les

points d’affixes respectives – i, 1 – i et i. On désigne par  la médiatrice du segment [AB] et par C le cercle de centre O et de rayon 1.

À tout point M d’affixe z distincte de 1 – i, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que  

' 1

i z i z

z i

   

. M′ est

appelé image du point M.

1. Calculer les affixes des points A′ et O′.

2. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice (unité graphique 4 cm).

3. Montrer que l’équation  

1

i z i z

z i

   

admet deux solutions que l’on précisera. On note E et F les points

qui ont pour affixes respectives ces solutions. Justifier que les points E et F appartiennent au cercle C et les placer sur la figure.

4. Soit M un point distinct du point B et M’ son image.

a. Exprimer la distance OM’ en fonction des distances AM et BM.

b. Montrer que si le point M décrit la droite  , alors le point M’ décrit un cercle que l’on précisera.

5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que si le point M décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point M’ appartient à une droite que l’on précisera.

1. 62. Homographie, Polynésie sept 2006 - 4 points

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On pose a = 3, b = 5−2i et c = 5+2i. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c. Soit M un point d’affixe z du plan, distinct des points A et B.

a. Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.

b. Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre complexe 3

5 2

z

z i

  .

c. Déterminer alors l’ensemble des points M d’affixe z tels que 3

5 2

z

z i

  soit un nombre réel strictement

négatif.

2. Soit  le cercle circonscrit au triangle ABC et  le point d’affixe 2 −i.

a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre  et d’angle 2

  .

b. Déterminer l’image  de  par la rotation r . Déterminer une équation paramétrique de  .

1. 63. Homographie+ROC, Asie 2006 - 4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 2 cm).

On rappelle que pour tout vecteur w non nul, d’affixe z, on a : z wet  arg ,z u w à 2kprès.

Partie A : restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que si z et zsont deux nombres complexes non nuls, alors :  arg arg argzz z z   .

Soient z et zdeux nombres complexes non nuls. Démontrer que : arg arg arg z

z z z

    

  .

Partie B

On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan,

d’affixe z, distinct de A, associe le point Md’affixe ztelle que : 3iz

z z i

  

 .

1. Étude de quelques cas particuliers.

a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin.

b. On note C le point d’affixe c =−2 + i. Démontrer que le point C’, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses.

2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que  arg , 2

z MA MB

   à 2kprès.

3. Étude de deux ensembles de points.

a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que zsoit un nombre complexe imaginaire pur.

b. Soit M d’affixe z un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M?

1. 64. Homographie 1

Dans le plan complexe P, muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , on considère les points A, B, C

et D d'affixes respectives : zA = – 2i, zB = 4 – 2i, zC = 4 + 2i, zD = 1.

1. a. Placer les points A, B, C et D sur une figure, qui sera peu à peu complétée. On prendra pour unité graphique 2 cm.

b. Préciser la nature du triangle ABC.

2. On désigne par F l'application qui, à tout point M de P, d'affixe z et distinct de A, associe le point M

d'affixe (4 2 )

' 2

z i z

z i

  

 .

a. Déterminer les images de B et C par F.

b. Déterminer l'ensemble E des points d'affixe z tels que ' 1z  . Construire E.

3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de − 2i , on a : (z´ − 1) (z + 2i) = − 4 − 4i.

b. En déduire que si M est sur un cercle de centre A et de rayon r, M’ est sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. De même montrer que si M est sur une droite passant par A, alors M’ est sur une droite passant par D.

Variante originelle

3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de – 2i , on a : (z´ – 1)(z + 2i) = – 4 – 4i.

b. Montrer que, pour tout point M, distinct de A, et dont l'image par F est notée M’, on a :

   

'

' 4 2

5 , ' , (mod 2 )

4

M D

DM AM

u DM u AM

 

  

    

1. 65. Homographie 2

Soit un plan P rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On note A le point d'affixe i et B celui

d'affixe −2i. M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.

Soit f l'application du plan complexe définie par : 2

( ) ' 1

z i f z z

iz

  

 .

1. Soit z un complexe différent de i.

a. On désigne par r et  le module et un argument de zi. Interpréter géométriquement r et  .

b. Montrer que (z' + 2i)(z − i)= 1.

c. On désigne par r' et  ’ le module et un argument de z' + 2i. Interpréter géométriquement r' et  ’ .

2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M appartient à (C), son image M' par f appartient à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon.

3. Soit T le point d'affixe 2 2

1 2 2

i       

a. Calculer l'affixe de AT ; en déduire que T appartient au cercle (C).

b. Déterminer une mesure en radians de l'angle  ,u AT . Tracer le cercle (unité 2 cm) et placer T.

c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image T' de T par f.

1. 66. Homographie 3, N. Calédonie 1996

A tout complexe z différent de 3 i on associe le complexe 2 4 2

( ) 3

iz i f z

z i

  

  .

1. Calculer (1 )f i .

2. Déterminer le complexe z tel que ( ) 1f z i  .

3. On appelle x et y la partie réelle et la partie imaginaire de z. Déterminer en fonction de x et y la partie

réelle X et la partie imaginaire Y de ( )f z .

4. Dans le plan complexe, on appelle A le point d’affixe 1 2i  , B le point d’affixe 3 i et M le point

d’affixe z. Montrer que 2

( ) MA

f z MB

 .

Donner une interprétation de arg( ( ))f z à l’aide de l’angle ( , )MB MA .

1. 67. Homographie 4, Amérique du Sud 2002

Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v on appelle A et B les points

d’affixes respectives 2 et −2. À tout point M d’affixe z, z différent de 2, on associe le point N d’affixe z et

Md’affixe ztel que 2 4

' 2

z z

z

  

.

1. Calculer zet 'z lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.

2. a. Interpréter géométriquement 2z et 2z  .

b. Montrer que, pour tout z distinct de 2, ' 2z  . En déduire une information sur la position de M’.

3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z 2) tels que M= B.

4. On note AM

Z et BM

Z les affixes respectives des vecteurs AM et BM . Montrer que, pour tout point M

distinct de A et n’appartenant pas E , le quotient AM

BM

Z

Z est un nombre réel. Interpréter géométriquement

ce résultat.

5. Un point M distinct de A, n’appartenant pas E , étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le point M’. On illustrera par une figure.

1. 68. Homographie 5, Centres étrangers 2010

5 points

Dans le plan complexe (P)muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique 4 cm, on

considère le point A d’affixe a = −1 et l’application f , du plan (P) dans lui·même, qui au point M d’affixe

z, distinct de A, associe le point M’ = f(M) d’affixe z’ tel que : ' 1

iz z

z  

.

1. Déterminer l’affixe des points M tels que M’ = M.

2. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a :

' OM

OM AM  et    ; ' ;

2 u OM MA MO

   à 2 près.

3. a. Soit B le point d’affixe 1

2 b i   . Placer dans le repère le point B et lamédiatrice (  ) du segment

[OA].

b. Calculer sous forme algébrique l’affixe b’ du point B’ image du point B par f.

Établir que B’ appartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1.

Placer le point B’ et tracer le cercle (C) dans le repère.

c. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice (  ), son image M’ par f appartient au cercle (C).

d. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point C par f (on laissera apparents les traits de construction).

4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble (  ) des points M distincts de A et de O dont l’image M’ par f appartient à l’axe des abscisses.

Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.

a. On pose z x iy  avec x et y réels tels que (x, y)  (−1, 0) et (x, y)  (0, 0).

Démontrer que la partie imaginaire de z’ est égale à :    

2 2

2 2 Im '

1

x y x z

x y

  

  .

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ( ) et le tracer dans le repère.

b. À l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble ( ).

1. 69. Homog.+construction, France et La Réunion 09/2008

5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On réalisera une figure en

prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère les points A, B et I d'affixes respectives 1Az  , 5Bz  et 3Iz i  .

On note (C) le cercle de centre O et de rayon 1, (  ) la médiatrice de [AB]et (T) la tangente au cercle (C) en A.

À tout point M d'affixe z, différent de A, on associe le point Md'affixe ztelle que : 5

' 1

z z

z

  

.

Le point Mest appelé l'image de M.

Partie A

1. Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I’ image de I. Vérifier que I’ appartient à (C).

2. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B,on a : ' MB

OM MA  .

b. Justifier que pour tout point M distinct de A et B,on a :    ; ' ;OA OM MA MB . Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Dans la suite de l'exercice, M désigne un point quelconque de (  ).

On cherche à construire géométriquement son image M.

1. Démontrer que Mappartient à (C).

2. On note (d)la droite symétrique de la droite (AM)par rapport à la tangente (T). (d)recoupe (C) en N.

a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.

Après avoir justifié que    ; ;AO AN AM AB ,démontrer que    ; ;OA ON MA MB . b. En déduire une construction de M.

1. 70. Homographie+cercles, France 2002 - 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique 4 cm. On note

A et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point

Md’affixe Z définie par :    1

1

i z i Z

z

  

 .

1. a. Calculer l’affixe du point Cassocié au point C d’affixe −i.

b. Placer les points A, B et C.

2. Soit z = x +iy x et y désignent deux nombres réels.

a. Montrer l’égalité :    

   

22 2 2

2 22 2

1 1 1 1

1 1

x y x y Z i

x y x y

       

    .

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel.

c. Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Re(Z) soit négatif ou nul.

3. a. Écrire le nombre complexe (1 − i) sous forme trigonométrique.

b. Soit M un point d’affixe z, distinct de A et de B. Montrer que Z est un réel non nul si et seulement s’il

existe un entier relatif k tel que  , 4

MA MB k

  .

c. En déduire l’ensemble des points M vérifiant  , 4

MA MB k

  .

d. Déterminer l’ensemble des points M vérifiant  , 2 4

MA MB k

  .

1. 71. Homographie, La Réunion 2004 - 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v ; i désigne le nombre complexe

de module 1 et d’argument 2

 . Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1+i et 1+i.

Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point Mdu plan

d’affixe ztel que : 2

' iz

z z i

  

.

1. a. Déterminer les images de B et de C par l’application f.

b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation    ' 1z i z i   .

c. Soit D le point d’affixe 1+2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm). Déduire de la question précédente une construction du point D’ image du point D par l’ application f.

2. Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?

3. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M’ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A ?

b. Soit  la droite passant par le point A et de vecteur directeur u . Déterminer l’ image de la droite  privée du point A par l’application f.

1. 72. Carré

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , on considère le point M d'affixe

z M

=2+im (où m est un nombre réel) et le carré MNPQ de centre O et tel que N soit l'image de M par la

rotation de centre O et d'angle de mesure 2

 .

1. a. Déterminer, en fonction de m les affixes , ,N P Qz z z des points N, P et Q.

b. Représenter le carré MNPQ dans le cas particulier où le point M a pour affixe 2 + 3i.

2. M étant le point d'affixe z M

= 2 + im, on note I le milieu du segment [MN] et J le milieu du segment

[NP] d'affixes respectives z I et z

J . Calculer le nombre complexe

M J

Q I

z z w

z z

 

 .

Donner l'interprétation géométrique du module et de l'argument de w et expliquer le résultat obtenu par un raisonnement géométrique.

3. Soit A le point d'affixe 2.

a. Calculer l'affixe Z du vecteur AI . Calculer le module de Z, puis, en distinguant les cas m < −2 et m > −2, déterminer un argument de Z.

b. En déduire l'ensemble  décrit par le point I quand M décrit la droite D d'équation x = 2.

Représenter .

1. 73. ROC+triangles, Antilles-Guyane 5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité 1 cm.

1. Restitution organisée de connaissances

On rappelle que le point M’ est l’image du point M par la rotation r de centre  et d’angle de mesure 

si et seulement si :  

' (1)

, ' 2 , (2)

M M

M M k k 

        

.

a. Soient z, z’ et  les affixes respectives des points M, M’ et  .

Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments.

b. En déduire l’expression de z’ en fonction de z,  et  .

2. Résoudre dans l’ensemble  des nombres complexes l’équation : 2 4 3 16 0z z   .

On donnera les solutions sous forme algébrique.

3. Soient A et B les points d’affixes respectives 2 3 2a i  et 2 3 2b i  .

a. Écrire a et b sous forme exponentielle.

b. Faire une figure et placer les points A et B.

c. Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

4. Soit C le point d’affixe 8c i  et D son image par la rotation de centre O et d’angle 2

3

 .

Placer les points C et D. Montrer que l’affixe du point D est 4 3 4d i  .

5. Montrer que D est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.

6. Montrer que OAD est un triangle rectangle.

1. 74. Rotation et suite, La Réunion sept. 2010, 5 pts

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Unité graphique : 4 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle

que   2

' 1 2

z i z   .

1. Montrer que la transformation f est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle.

2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n,  1n nM f M  .On note zn l’affixe du point Mn.

a. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n,

3

4

i n

nz e

 .

b. Construire les points M0, M1, M2, M3 et M4.

c. Montrer que pour tout nombre entier naturel n, les points Mn et Mn+8 sont confondus.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Prouver que les triangles M0M1M2 et M7M0M1 ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.

1. 75. Rotation, France, sept. 2010, 5 pts

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. On considère le point I d’affixe i et le point A d’affixe 3 2Az i  .

a. Montrer que le point A appartient au cercle  de centre le point I et de rayon 2.

Sur une figure (unité graphique 1 cm), qu’on complètera au fur et à mesure de l’exercice, placer le point I, tracer le cercle  , puis construire le point A.

b. On considère la rotation r de centre le point I et d’angle 2

 .

Démontrer que le point B image du point A par la rotation r a pour affixe  1 1 3Bz i    . Justifier que le point B appartient au cercle  .

c. Calculer l’affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I.

d. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère les points E et F tels que : AE IB et AF BI .

Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ? Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

1. 76. Rotation, Asie 2009

5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On place, dans ce repère, les points A d’affixe 1, B d’affixe b b est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

On construit à l’extérieur du triangle OAB, les carrés directs ODCA et OBEF comme indiqué sur la figure ci-contre.

1. Déterminer les affixes c et d des points C et D.

2. On note r la rotation de centre O et d’angle 2

 .

a. Déterminer l’écriture complexe de r.

b. En déduire que l’affixe f du point F est ib.

E

G

F

D C

B

u

v

A

y

xO

c. Déterminer l’affixe e du point E.

3. On appelle G le point tel que le quadrilatère OFGD soit un parallélogramme. Démontrer que l’affixe g du point G est égale à i(b − 1).

4. Démontrer que e g

i c g

 

 et en déduire que le triangle EGC est rectangle et isocèle.

1. 77. Rotations, Am du Nord 2009

5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v direct.

Soit A le point d’affixe 1 3a i  et B le point d’affixe

 1 3 1 3b i    . Partie A : étude d’un cas particulier

On considère la rotation r de centre O et d’angle 2

3

 .

On note C le point d’affixe c image du point A par la rotation r et D le point d’affixe d image du point B par la rotation r.

La figure est donnée ci-contre.

1. a. Exprimer a

b a

 sous forme algébrique.

b. En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.

2. Démontrer que c = –2. On admet que d = –2–2i.

a. Montrer que la droite (AC) a pour équation

  3

2 3

y x  .

b. Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

D

u=120

B

A

i

j

y

C

xO

Partie B : étude du cas général

Soit  un réel appartenant à l’intervalle  0 ; 2 . On considère la rotation de centre O et d’angle  .

On note A’ le point d’affixe a′, image du point A par la rotation r, et B’ le point d’affixe b’, image du point B par la rotation r.

La figure est donnée ci-contre.

L’objectif est de démontrer que la droite (AA’) coupe le segment [BB’] en son milieu.

1. Exprimer a’ en fonction de a et  et b’ en fonction de b et  .

2. Soit P le point d’affixe p milieu de [AA’] et Q le point d’affixe q milieu de [BB’].

a. Exprimer p en fonction de a et θ puis q en fonction de b et  .

b. Démontrer que p a

q p b a

  

  .

c. En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).

d. Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA’).

B'

A'

u=100

B

A

i

j

y

xO

1. 78. Rotation+Cercle,Pondicherry 2009

5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique

2 cm.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives : a = 3 – i, b = 1 – 3i et c = –1 – i.

1. a. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ?

c. Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle  de centre O, dont on calculera le rayon.

2. Soit M un point quelconque du plan d’affixe notée m et N le point d’affixe notée n, image de A dans la

rotation r de centre M et d’angle de mesure 2

 .

a. Donner l’écriture complexe de la rotation r.

b. En déduire une expression de n en fonction de m.

3. On appelle Q le milieu du segment [AN] et q son affixe. Montrer que  1

2 2

i m q i

    .

4. Dans cette question, M est un point du cercle  .

a. Justifier l’existence d’un réel  tel que : 10 im e .

b. Calculer 2q i  . Quel est le lieu ' de Q lorsque M décrit le cercle  ?

1. 79. ROC + Similitude, Polynésie 2009, 5 points

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct. On supposera connus les résultats suivants :

• Pour tous points A, B et C du plan d’affixes respectives a, b et c, avec A C et A B :

b a AB

c a AC

 

 et  arg , 2

b a AB AC k

c a

     

  où k est un entier relatif ;

• Soit z un nombre complexe et soit  un nombre réel :

iz e si et seulement si 1z  et  arg 2z k    k est un entier relatif.

Démontrer que la rotation r d’angle  et de centre  d’ affixe  est la transformation du plan qui à

tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :  ' iz e z    .

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 1 cm).

Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que : ' 4 4z iz i   .

1. a. Déterminer l’affixe  du point  telle que  f   .

b. Montrer que, pour tout nombre complexe z on a :  ' 4 4z i i z i   .

c. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.

2. On note A et B les points d’affixes respectives a = 4 – 2i et b = –4 + 6i.

a. Placer les points A, B et  sur une figure que l’on completera au fur et à mesure des questions.

b. Déterminer les affixes des points A’ et B’ images respectives des points A et B par f.

3. On appelle m, n, p et q les affixes des points M, N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA’], [AB], [BB’] et [BA].

a. Déterminer m. On admettra que n = 1+7i, p = –3+3i et q = 1 – i.

b. Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.

c. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe q m

n m

 . En déduire la nature du quadrilatère

MNPQ.

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