Contrôle de sciences statistiques 4 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 4 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 4 - 3° partie - Nombres Complexes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Rotation et homothétie, Homothéties, 3ème degré+Hyperbole.
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4. Démontrer que les droites (BA) et ( N) sont perpendiculaires.

1. 80. Homothétie+rotation, Polynésie, nov 2010, 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , (unité : 1 cm).

On fera une figure que l’on complétera au fur et àmesure des questions.

On considère les points A, B, S et  d’affixes respectives a = −2 + 4i, b = −4 + 2i, s = −5 + 5i et

2 2i   .

Soit h l’homothétie de centre S et de rapport 3.

On appelle C l’image du point A par h et D l’image du point B par h.

1. a. Déterminer l’écriture complexe de h.

b. Démontrer que le point C a pour affixe c = 4 + 2i et que le point D a pour affixe d = −2−4i.

2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Démontrer que la droite ( S ) est la médiatrice du segment [AB].

4. Soit P le milieu du segment [AC].

a. Déterminer l’affixe p du point P.

b. Démontrer que 1

2

p i

d b

   

 . En déduire une mesure de l’angle  ,BD P .

5. Soit Q le milieu du segment [BD]. Que représente le point  pour le triangle PQS ?

1. 81. Rotation et homothétie

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( ; , )O u v ayant comme unité graphique

2cm.

1. a. Résoudre dans l’équation : 2 2 3 4 0z z   .

b. On pose 3a i  et 3b i  , exprimer a et b sous forme exponentielle.

c. Placer A(a) et B(b) dans le repère précédent.

2. a. Soit r la rotation de centre O et d’angle 3

 .

Donner l’expression complexe de r, puis déterminer l’image A’ de A par cette rotation (On exprimera a’ sous forme algébrique et exponentielle). Placer A’ dans le repère précédent.

b. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport 3

2  . Donner l’expression complexe de h, puis

déterminer l’image B’ de B par cette homothétie (On exprimera b'sous forme algébrique et exponentielle). Placer Bdans le repère précédent.

1. 82. Homothéties

On considère deux cercles (C) et (C’) de centres respectifs O et O’ et de rayons respectifs r et 2r,tangents extérieurement en A, de diamètres respectifs [AB] et [AA’].

Soit M un point quelconque de (C) , distinct de A et B, et M’ le point de (C’) tel que le triangle AMM’ soit rectangle en A (on prendra pour la figure r = 2cm).

1. a. Déterminer en justifiant les réponses :

- le rapport de l’homothétie h1 de centre A qui transforme (C) en (C’).

- le centre I de l’homothétie h2, distincte de h1 qui transforme (C) en (C’). Placer I sur la figure.

b. On note M1 = h1(M). Montrer que M1 est le point de (C’) diamétralement opposé à M’. Déterminer h2(M) et en déduire que la droite (MM’) passe par un point fixe lorsque M décrit le cercle (C) privé des points A et B.

2. Soit  le milieu de [MM’]. Montrer que  appartient à un cercle fixe dont on donnera le centre et le rayon.

3. On considère le repère orthonormé direct du plan complexe constitué par O et les vecteurs OA et OC

(orthogonal à OA , et de longueur 1, on considère donc que r = 1). Soit M d’affixe z un point de (C). On a

donc    , [0,2 ]iz e .

a. Calculer en fonction de z les affixes des points M1 puis M’. En déduire l’affixe de I.

b. Vérifier que

  

  

  

 

2 2

2 2

1

1

i i i

i i i

e e e

e e e

pour tout  . Montrer que l’angle ( , ')AM AM est droit.

1. 83. Rotation-translation

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que AB =

AC et  , (2 ) 2

AB AC   . Soient I, J et K les milieux respectifs

de [BC], [CA] et [AB].

On appelle R la rotation de centre I et d’angle 2

 , T la

translation de vecteur 1

2 BC et on pose f = R o T et g = T o R.

1. Déterminer l’image de K par f et l’image de J par g. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f et g.

K

J I

B

AO

2. Déterminer la nature de la transformation g o f−1. Chercher l’image de A par cette transformation et caractériser alors g o f−1.

Soit M un point du plan, M1 l’image de M par f et M2 l’image de M par g.

3. Déterminer g o f−1(M1). Quelle est la nature du quadrilatère ACM2M1 ?

4. On choisit le repère  ; ,A AB AC . Déterminer les affixes des points I, J et K. Donner l’expression

complexe de f et celle de g. Déterminer les affixes de AC et 1 2M M . Conclure.

1. 84. Rotations, Paris 1996

Dans le plan orienté on considère un triangle isocèle ABC tel que AB = AC et  , 4

AB AC   . Soit I le

point tel que le triangle CAI soit rectangle isocèle avec  , 2

CA CI

  .

Pour la figure que l’on complétera au fur et à mesure de l’exercice, on prendra AB = 5 cm.

1. On appelle rA la rotation de centre A qui transforme B en C et rC la rotation de centre C et d’angle 2

  .

On pose C Af r r .

a. Déterminer les images par f de A et B.

b. Démontrer que f est une rotation dont on précisera l’angle et le centre O. Placer O.

c. Quelle est la nature du quadrilatère CABO ?

2. Soit s la similitude de centre O qui transforme A en C. On appelle C’ l’image de C par s, H le milieu du segment [BC] et H’ son image par s.

a. Donner une mesure de l’angle de s. Montrer que C’ appartient à (OA).

b. Donner l’image par s du segment [OA] et montrer que H’ est le milieu de [OB].

c. Montrer que (C’H’) est perpendiculaire à (OB). En déduire que C’ est le centre du cercle circonscrit au triangle OCB .

1. 85. Varignon, N. Calédonie 2004 - 4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On considère le quadrilatère ABCD tel que  , [2 ]AB AD   ,  , [2 ]CD CB   , 0    , 0    .

On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que

   , 2 3

DC DP   ,    , 2

3 DA DQ

  ,    , 2

3 BA BM

  ,    , 2

3 BC BN

  .

Soit a, b, c et d les affixes respectives des points A, B, C et D, m, n, p et q les affixes respectives des points M, N, P et Q.

1. Démontrer les relations suivantes :

 3 i

m e a b b

   ,  3 i

n e c b b

   ,  3 i

p e c d d

   ,  3 i

q e a d d

   .

2. En utilisant les relations précédentes :

a. Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme.

b. Démontrer que l’on a :    , 2 3

AC QP   , AC= QP,    , 2

3 NP BD

  et NP = BD.

3. Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère

ABCD vérifient AC= BD et    , 6

AC BD   .

1. 86. 3ème degré+Hyperbole, Am Nord 2004 - 5 pts

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. On veut résoudre dans l’équation (E) : z3 + 4z2 + 2z − 28 = 0.

a. Déterminer deux réels a et b tels que l’équation (E) s’écrive : (z −2)(z2+ az + b) = 0.

b. Résoudre (E).

2. On note (H) l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant : 2 24 4z z   .

a. On note x et y les parties réelle et imaginaire de l’affixe z d’un point M. Montrer que : M appartient à (H) si et seulement si x2 − y2 = 4.

b. Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2, 3 5i  , 3 5i  .

Vérifier que A, B et C appartiennent à (H).

3. Soit r la rotation de centre O et d’angle 4

  .

a. Déterminer les affixes de A’, Bet C’, images respectives de A, B et C par la rotation r (on donnera ces affixes sous la forme algébrique).

b. On note Ml’image par r du point M d’affixe z. On note zl’affixe de M’. Les parties réelle et imaginaire de z sont notées x et y, celles de zsont notées xet y’. On note (H’) l’ensemble des points du plan dont l’antécédent par r est un point de (H).

- Exprimer x et y en fonction de xet y’.

- En utilisant la question 2. a. prouver que : Mappartient à (H’) si et seulement si xy = −2.

4. Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A’, B’, C’, la courbe (H’), puis la courbe (H).

1. 87. Conjugué, Centres étrangers 2004 - 4 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , unité graphique : 2 cm. On appelle A le point

d’affixe 2i. À tout point M du plan d’affixe z, on associe le point Md’affixe ' 2 2z z i   .

1. On considère le point B d’affixe b = 3 2i.

Déterminer la forme algébrique des affixes aet bdes points Aet Bassociés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2. Montrer que si M appartient à la droite (  ) d’équation y = −2 alors Mappartient aussi à ( ).

3. Démontrer que pour tout point M d’affixe z , ' 2 2 2z i z i   ; interpréter géométriquement cette

égalité.

4. Pour tout point M distinct de A on appelle  un argument de z +2i.

a. Justifier que  est une mesure de l’angle  ;u AM .

b. Démontrer que    2 ' 2z i z i  est un réel négatif ou nul.

c. En déduire un argument de z +2i en fonction de  .

d. Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM’) ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point Massocié au point M.

1. 88. ROC+homographie, La Réunion 2010, 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

Partie I : Restitution organisée de connaissances

Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives a, b, c. On suppose que A et B sont distincts,

ainsi que A et C. On rappelle que     ; arg mod 2u AB b a   .

Montrer que    ; arg mod 2 c a

AB AC b a

  

    

.

Partie II

On considère le point A d’affixe 1 i .

On associe, à tout point M du plan d’affixe z non nulle, le point M’ d’affixe 1

' z i

z z

   .

Le point M’ est appelé le point image du point M.

1. a. Déterminer, sous forme algébrique, l’affixe du point B’, image du point B d’affixe i.

b. Montrer que, pour tout point M du plan d’affixe z non nulle, l’affixe z’ du point M’ est telle que ' 1z  .

2. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M’ est

telle que ' 1z  .

3. Quel est l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M’ est un nombre réel ?

1. 89. Transf. + ROC, Pondicherry 2007, 5 pts

1. Dans cette question il est demandé au candidat d’exposer des connaissances.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Soit R la rotation du plan de

centre  , d’affixe  et d’angle de mesure  . L’image par R d’un point du plan est donc définie de la manière suivante :

-  R   ;

- pour tout point M du plan, distinct de  , l’image M’ de M est définie par 'M M  et

   , ' 2M M     .

On rappelle que pour des points A et B d’affixes respectives a et b, AB b a  et

    , arg 2u AB b a   .

Question : montrer que les affixes z et z’ d’un point quelconque M du plan et de son image M’ par la

rotation R sont liées par la relation  ' iz e z    .

2. On considère les points I et B d’affixes respectives 1Iz i  et 2 2Bz i  . Soit R la rotation de centre

B et d’angle de mesure 3

 .

a. Donner l’écriture complexe de R.

b. Soit A l’image de I par R. Calculer l’affixe Az de A.

c. Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle

rectangle en A. Donner une mesure de l’angle  ,OA OB .

d. En déduire une mesure de l’angle  ,u OA .

3. Soit T la translation de vecteur IO . On pose  'A T A .

a. Calculer l’affixe 'Az de A’.

b. Quelle est la nature du quadrilatère OIAA’ ?

c. Montrer que 12

  est un argument de 'Az .

1. 90. Transf.+médiatrice, C. étrangers 2005 - 5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , unité graphique 8 cm.

On appelle A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 1. On appelle El’ensemble des points du plan distincts de A, O et B.

À tout point M d’affixe z appartenant à E, on associe le point N d’affixe 2z et le point P d’affixe 3z .

1. Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts.

2. On se propose dans cette question de déterminer l’ensemble Cdes points M appartenant à Etels que le triangle MNP soit rectangle en P.

a. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si et seulement si

2 2 1 1z z   .

b. Démontrer que 2 2

1 1z z   équivaut à 1 1 1

2 2 4 z z

       

    .

c. En déduire l’ensemble Ccherché.

3. Soit M un point de Eet z son affixe, on désigne par r le module de z et  l’argument de z avec

 ;     .

a. Démontrer que l’ensemble Fdes points M de Etels que l’affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points).

b. Représenter les ensembles Cet Fdans le repère ( ; , )O u v .

c. Déterminer les affixes des points M de Etels que le triangle MNP soit rectangle en P, l’affixe de P étant un réel strictement positif.

1. 91. Fonction complexe, France 2009, 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 2 cm).

On associe à tout point M d’affixe z non nulle, le point M’ milieu du segment [MM1] où M1 est le point

d’affixe 1

z . Le point M’ est appelé l’image du point M.

1. a. Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation 1 1OM OM  et que les angles

 1;u OM et  ;u OM vérifient l’égalité des mesures suivante    1; ;u OM u OM  à 2 près. b. Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. Construire le point A’ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

2. a. Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M’ a pour affixe 1 1

' 2

z z z

      

.

b. Soient B et C les points d’affixes respectives 2i et –2i. Calculer les affixes des points B’ et C’ images respectives des points B et C.

c. Placer les points B, C, B’ et C’ sur la figure.

3. Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ =M.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M’ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d’affixes respectives –1 et 1.

1. 92. Transf. non linéaire, Liban 2007 - 5 pts

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z non nulle associe le point M’ = f(M) d’affixe z

tel que :  ' 2 z

z z z

  .

Le cercle C1, de centre O et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en annexe, que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

Pour z complexe non nul, on note iz re , r étant lemodule de z et  un argument de z.

1. Montrer que  ' 2 iz r e  .

2. Déterminer l’affixe a’ du point A’, image par f du point A d’affixe a = 3.

3. Soit B le point d’affixe 3b i   .

a. Écrire b sous forme exponentielle.

b. Déterminer l’affixe b’ du point B’, image du point B par f.

4. Placer A, B, A’ et B’ sur la figure.

5. a. Déterminer l’ensemble Edes points M du plan privé du point O dont l’image par f est O.

b. Représenter Esur la figure.

6. Montrer que le cercle C1 est l’ensemble des points M du plan distincts de O tels que f(M) =M.

7. Pour cette question, M est un point du plan, distinct de O, n’appartenant pas au cercle C1.

On appelle I le milieu du segment [MM’] où M’ est l’image de M par f.

a. Montrer que I appartient à C1.

b. Montrer que I appartient à la demi-droite [OM).

c. Sur la figure donnée est placé un point nommé M1. Construire le point M’1, image par f du point M1.

M1

y

x

y

A

j

i xO

1. 93. Transformation, Antilles 2008

5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v , le point A a pour affixe i.

On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z iassocie le point Md’affixe z’ telle que :

2

' z

z z i

  

.

Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M’ connaissant le point M.

1. Un exemple : on considère le point K d’affixe 1 + i.

a. Placer le point K.

b. Déterminer l’affixe du point Kimage de K par f.

c. Placer le point K’.

2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas

a. On considère le point L d’affixe 2

i . Déterminer son image L’ par f. Que remarque t-on ?

b. Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes.

3. Un procédé de construction

On nomme G l’isobarycentre des points A, M, M’ et g l’affixe de G.

a. Vérifier l’égalité  

1

3 g

z i

 .

b. En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point du cercle de

centre O de rayon 1

3r .

c. Démontrer que    arg ;g u AM  .

d. Marquer un point D sur le cercle de centre A et de rayon 1

2 . On nomme D’ l’image de D par f. Déduire

des questions précédentes la construction du point D’ et la réaliser sur la figure.

Sur la figure ci-dessous le segment [OI] tel que u OIest partagé en six segments d’égale longueur.

v

u

z=0,3333333

A

IO

1. 94. Fonction carré, Liban 2009, 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’ affixes respectives : 3 3

2 2 Az i   , B Az z et zC = –3.

Partie A

1. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

2. Placer les points A, B et C.

3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M’ d’affixe 2 1

' 3

z iz .

On note O’, A’, B’ et C’ les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C.

1. a. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A’, B’ et C’.

b. Placer les points A’, B’ et C’.

c. Démontrer l’alignement des points O, A et B’ ainsi que celui des points O, B et A’.

d. Soit G l’isobarycentre des points O, A, B et C. On note G’ le point associé à G par f. Déterminer les affixes des points G et G’.

Le point G’ est-il l’isobarycentre des points O’, A’, B’ et C’ ?

2. Démontrer que si M appartient à la droite (AB) alors M’ appartient à la parabole d’équation

21 3

3 4 y x   . (On ne demande pas de tracer cette parabole)

1. 95. f(z)=z²+1, N. Calédonie 2003 - 5 pts

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v .

On considère la transformation ponctuelle f qui, à tout point M d’affixe z associe le point Md’affixe zdéfinie par : z = z2 +1.

1. Déterminer les antécédents du point O.

2. Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.

3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?

4. Soit A le point d’affixe   2

1 2

Az i  . Déterminer l’affixe du point Aimage de A par f puis prouver

que les points O, A et Asont alignés.

5. Soit  un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2 [ et N le point d’affixe ie .

a. Montrer que N appartient au cercle ( ) de centre O et de rayon 1.

b. Lorsque  varie, montrer que N’, image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Vérifier que  2cosON ON  . En déduire que les points O, N et Nsont alignés.

d. Expliquer la construction du point N’.

1. 96. f(z)=z², Polynésie 2004 - 5 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra 2 cm pour unité graphique.

Pour tout point M d’affixe z on considère les points M’ et M’’ d’affixes respectives ' 2z z  et 2''z z .

1. a. Déterminer les points M pour lesquels ''M M .

b. Déterminer les points M pour lesquels '' 'M M .

2. Montrer qu’il existe exactement deux points M1 et M2 dont les images 1 1 2 2, , ,M M M M    appartiennent

à l’axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées.

3. On pose z x iy  où x et y sont des nombres réels.

a. Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe ''

'

z z

z z

 .

b. En déduire l’ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M, M’ et M’’ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur.

4. On pose 3 iz e où 0 ; 2

       

.

a. Déterminer l’ensemble  des points M d’affixe z ainsi définis et chacun des ensembles  et  des points M’ et M’’ associés à M.

b. Représenter  ,  et  sur la figure précédente.

c. Dans cette question 6

   . Placer le point M3 obtenu pour cette valeur de  , et les points 3M  , 3M 

associés. Montrer que le triangle 3 3 3M M M  est rectangle. Est-il isocèle ?

1. 97. Napoléon, Antilles 2004 - 5 pts

Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA’, ACB’et ABC’. On considère respectivement les points P, Q et R, centres de gravité respectifs des triangles BCA’, ACB’et ABC’.

On note a, b, c, a’, b’, c’, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, A’, B’, C’, P, Q et R.

1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C’est l’image de A dans une rotation d’angle de mesure dont on précisera le centre.

b. Montrer que a’ + b’ + c’ = a + b + c.

2. En déduire que p + q + r = a + b + c.

3. En déduire que les triangles ABC, A’B’C’et PQR ont même centre de gravité.

4. Montrer que : 3(q − p) = (b’ − c)+(c − a’)+(a − b).

On admettra que, de même :

3(r − p) = (a − c) + (b − a’) + (c’ − b).

R

P

Q

u=1

B'

C'

A'

C

B A

5. Justifier les égalités suivantes :      3 3 3' ; ' ' ; ' i i i

a c e b c b a e c a c b e a b

  

         .

6. Déduire des questions 4. et 5. que le triangle PQR est équilatéral.

1. 98. f(z)=z²−4z+6, Polynésie 2004

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On désigne par A et B les points d’affixes

respectives 2 et 3.

On fera un dessin (unité graphique : 2 cm) qui sera complété selon les indications de l’énoncé.

On désigne par f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ défini

par l’égalité : 2' 4 6z z z   .

1. Cette transformation admet-elle des points invariants ?

2. a. Déterminer le(s) point(s) admettant l’origine O comme transformé.

b. On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives : 1 2 2z i  et 2 2 2z i  . Déterminer la

forme algébrique du complexe 1

1

3z

z

 , donner son argument et en déduire la nature du triangle OBM1.

c. Démontrer, sans nouveau calcul, que les points O, B, M1 et M2 appartiennent à un même cercle (C) que l’on précisera et construira. Placer les points M1 et M2.

3. a. Vérifier que pour tout point M du plan d’affixe z on a : 2' 2 ( 2)z z   .

b. On désigne par ( ) le cercle de centre A et de rayon 2 . Justifier que les points M du cercle ( ) sont

caractérisés par une affixe z vérifiant : 2 2 iz e  , où  désigne un réel de l’intervalle ] ; ]  .

c. Montrer, à l’aide des deux questions précédentes, que si M appartient au cercle ( ) , alors l’affixe z’ de

M’ vérifie : 2' 2 2 iz e   .

d. En déduire que M’ est situé sur un cercle ( ') dont on précisera le centre et le rayon. Construire ' .

e. Déterminer l’angle orienté ( ; ')u AM en fonction de ( ; )u AM .

4. Application : On appelle D le point d’affixe 2 6

2 2

i d

   ; D’ est son image par f.

a. Ecrire sous forme exponentielle le complexe 2d  . En déduire que D est situé sur le cercle ( ) .

b. A l’aide de la question 3. d. donner une mesure de l’angle ( ; ')u AD et placer le point D’ sur le dessin.

c. Démontrer que le triangle OAD’ est équilatéral.

1. 99. Projection orthogonale, Am. du Sud 2003

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 4 cm).

Soit I le point d’affixe 1. On note (C)le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre  .

Partie I : On pose 0 1 1

2 2 a i  et on note A0 son image.

1. Montrer que le point A0 appartient au cercle C.

2. Soit B le point d’affixe b, avec b = −1+2i, et Ble point d’affixe btelle que b = a0b.

a. Calculer b’.

b. Démontrer que le triangle OBBest rectangle en B’.

Partie II : Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. À tout point M d’affixe z non nulle, on associe le point Md’affixe ztelle que z = az.

1. On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM’ soit rectangle en M’.

a. Interpréter géométriquement 1

arg a

a

     

.

b. Montrer que   1' , ' arg 2 ,aM O M M k k a

  

     

.

c. En déduire que le triangle OMMest rectangle en Msi et seulement si A appartient au cercle Cprivé de O et de I.

2. Dans cette question, M est un point de l’axe des abscisses, différent de O. On note x son affixe. On choisit a de manière que A soit un point de Cdifférent de I et de O.

Montrer que le point Mappartient à la droite (OA). En déduire que Mest le projeté orthogonal de M sur cette droite.

1. 100. f(M)=MA.MB, Antilles 2002

Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal ( ; , )O u v direct, (unité graphique : 5 cm), on

considère les points A et B d’affixes respectives 1Az i  et 1 1

2 2 Bz i   . On désigne par (C ) le cercle de

centre O et de rayon 1.

1. Donner la forme trigonométrique de zA et celle de zB.

2. Dans la suite de l’exercice, M désigne un point de (C ) d’affixe ie ,  0 ; 2  .

On considère l’application f qui tout point M de (C ), associe ( )f M MA MB 

a. Montrer, pour tout  , l’égalité suivante : 2 1 2i ie ie   .

b. Montrer l’égalité suivante : 2 1 3

( ) 1 2 2

i if M e i e   

      

.

c. En déduire l’égalité suivante : 2

1 3 ( ) 2sin

4 2 f M

      

  .

3. a. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe deux points M de (C), dont on donnera les coordonnées, pour lesquels f(M) est minimal. Donner cette valeur minimale.

b. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe un seul point M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f (M) est maximal. Donner cette valeur maximale.

1. 101. Hyperbole+rotation, Polynésie 09/2005 - 7 pts

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 1 cm).

Partie A

Dans le repère ( ; , )O u v , on considère la courbe Hd’équation 2 2 16y x  .

1. Montrer que Hest la réunion de deux courbes Cet Coù Cest la courbe représentative de la fonction f

définie sur par 2( ) 16f x x  et où Cest l’image de Cpar une transformation simple que l’on

précisera.

2. Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation).

a. Montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote de C.

b. Tracer Hdans le repère ( ; , )O u v .

On nomme A et B les points de la courbe H d’abscisses respectives 3 et 3. On considère le domaine D

du plan constitué des points M(x ; y) vérifiant 3 3x   et 2 16 5x y   . Hachurer le domaine Det

exprimer l’aire de Dà l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d’angle 4

 .

1. a. Donner l’écriture complexe de r .

b. On désigne par xet y’ les coordonnées du point M’, image par r du point M(x ; y) du plan.

Vérifier que

 

 

1 '

2

1 '

2

x x y

y x y

  

     

. Déterminer les coordonnées des points Aet B’, images respectives de A et

B par la rotation r. Placer les points Aet Bdans le repère ( ; , )O u v .

2. Soit H’l’hyperbole d’équation xy = 8.

a. Tracer H’dans le repère ( ; , )O u v .

b. Montrer que H’est l’image de H par la rotation r.

3. Soit Dl’image de Dpar la rotation r. On admet que Dest l’ensemble des points M(x ; y) du plan

vérifiant 2 4 2x  et 8

5 2y x x    .

a. Hachurer D’.

b. Calculer l’aire de D’ exprimée en cm2. En déduire une valeur approchée à 10−3 près de l’aire de D.

1. 102. Conique

Dans le plan complexe, on considère l’ensemble E des points M d’affixe z tels que

2 2 2 2(1 ) (1 )z i z i    

a. Déterminer et construire E.

b. Déterminer et construire l’ensemble F des points M tels que [ (1 )][ (1 )] 8z i z i    

c. Vérifier qu’il existe un point de E F où les deux courbes ont même tangente.

1. 103. Spirale

Dans cet exercice on essaie de calculer la longueur d’une portion de spirale. La figure jointe au sujet sera complétée au fur et à mesure des besoins et rendue avec la copie.

1. On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j de sorte que le point A ait

pour affixe 1.

a. Donner sous forme algébrique et sous forme exponentielle l’affixe du point B du cercle de centre O, de

rayon 1, tel que ( , ) (2 ) 4

OA OB   .

b. Calculer la distance AB à 10−2 près. En considérant que l’arc AB du cercle trigonométrique a une

longueur de 4

 , donner alors une valeur approchée de  à l’aide de la distance AB.

c. Placer sur la figure le point M1, image de A par la rotation R de centre O et d’angle 8

 , placer de même

les points Mk tels que 1 ( )k kM R M  avec 1 15k  . Que peut-on dire de M16 ?

d. On appelle z1 l’affixe de M1 ; montrer que 2 4 1

i

z e

 et vérifier que 1 2 2 2 2

2 2 z i

    . Calculer

alors la distance AM1 à 10−3 près et donner une nouvelle valeur approchée de  .

2. On construit maintenant les points Nk de la manière suivante : N0=A et pour tout k, 1 15k  ,

1

3

4 k kON ON  et Nk appartient au segment [OMk].

a. Placer sur la figure les point Nk , 1 16k  . Que peut-on dire de N16 ? Quelle est la nature de la suite

k kd ON ? Exprimer sous forme trigonométrique l’affixe Zk des points Nk.

b. Justifier que les triangles 1k kN ON  sont tous semblables. Quelle est la nature de la suite

1k k kD N N  ? Donner son expression en fonction de k et de D0 ; exprimer en fonction de k et D0 la

somme 0 1 ...n nS D D D    où n est un entier quelconque.

c. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la longueur 0 0 1D N N , en déduire une valeur approchée

à 10−3 près de la longueur de la ligne polygonale 0 1 2 15 16...N N N N N . Quelle est la limite de Sn lorsque n

tend vers l’infini ? Quelle signification concrète a cette limite ?

B

A

O

Figure à compléter.

1. 104. Courbe paramétrée+conique (prog. 1985)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; u

, v

), unité graphique : 2 cm.

1. Étude d'une courbe paramétrée (C)

On considère la courbe (C) définie paramétriquement par :

2

2

( ) 2

( ) 2

t x f t t

t y g t t

   

      



.t

a. Étudier conjointement les variations sur R des fonctions f et g.

b. Préciser les points de (C) où la tangente est parallèle à l'un des axes de coordonnées.

c. Préciser les points d'intersection de (C) avec chacun des axes Ox et Oy.

Donner un vecteur directeur des tangentes aux points obtenus. Dessiner (C).

2. On se propose de démontrer que la courbe (C) est une parabole, en étudiant son image par une transformation particulière du plan.

a. Le plan est assimilé au plan complexe. On considère l'application R qui, à tout point M du plan

d'affixe z, associe le point M' d'affixe : (1 )

' . 2

i z z

 

Quelle est la nature de R ? Déterminer ses éléments géométriques.

b. Calculer en fonction de t l'affixe de M' lorsque M est le point d'affixe : f(t) + ig(t). En déduire l'expression en fonction de t des coordonnées x' et y' du point M´.

c. Écrire une équation cartésienne de la courbe (C') image par R de la courbe (C). Représenter (C') sur la même figure que (C). Pourquoi peut-on affirmer que (C) est une parabole ?

1. 105. Hyperbole et complexes

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On désigne par M, N, P trois points distincts de ce plan d'affixes respectives m, n, p.

1. Démontrer que le triangle MNP est rectangle en N si et seulement si le complexe p n

i m n

 est un réel

non nul.

2. Dans cette question, M, N, P sont d'affixes respectives z, z2, z4.

a. Quelles conditions doit vérifier z pour que M, N, P soient distincts deux à deux ?

b. Démontrer que l'ensemble des points M d'affixe z = x + iy du plan tels que le triangle MNP soit

rectangle en N est une conique  d'équation 2

21 1

2 4 x y      

  , privée de deux points que l'on précisera.

3. Préciser la nature de  et déterminer ses éléments géométriques (sommets, foyers, excentricité, asymptotes).

4. Représenter  et mettre en place sur la figure les sommets, les foyers et les asymptotes de  .

1. 106. Bissectrice (recherche)

Soit a et b deux nombres réels, on considère les nombres complexes z et z' de module 1 et d'arguments respectifs a et b.

1. Montrer, en utilisant la forme exponentielle de z et z', que 2( ')

'

z z

zz

 est un réel positif ou nul.

2. En déduire que arg [z + z'] = 1

2 (arg [z] + arg [z']).

3. On appelle M et M' les images de z et z' dans le plan muni d'un repère orthonormé direct de centre O et N le point tel que OMNM' soit un parallélogramme. Interpréter géométriquement l'égalité précédente à l'aide de ces points.

1. 107. Birapport

Quelques définitions :

- On dira qu’une application f est involutive si et seulement si f o f = Id.

- Quatre points A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si ils appartiennent au même cercle  .

- On montre que quatre points A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si    , ( , )AC AD BC BD  (attention, ce sont des angles de droites…)

On désigne par P le plan complexe, par  le point d’affixe i et P’=P−{ }. M un point quelconque de P’ a pour affixe z.

Pour tout réel non nul m, on désigne par fm l’application de P’ dans P’ telle que

: ( ) ( ) /m m

f M z M z z i z i

     

.

1. On suppose m donné. Montrer que fm est involutive. Déterminer l’ensemble des points invariants par

fm. Démontrer que pour tout point M de P’, les points  , M et M’ sont alignés et que .M M m  

(produit scalaire).

2. Soit m et  deux réels non nuls. Pour tout point M de P’, on désigne par M’ le point fm(M) et par M’’ le point ( ')f M . Montrer que M’’ est l’image de M par une transformation que l’on précisera. Quelle est la

nature de cette transformation ?

3. Le nombre m est toujours supposé fixé. Soit A, B, C, D quatre points distincts de P’, d’affixes respectives a, b, c et d.

On appelle birapport de ces quatre points, noté (A, B, C, D), le nombre complexe ( )( )

( )( )

c a d b

c b d a

 

  .

a. Démontrer que (A, B, C, D) = (C, D, A, B).

b. Démontrer que (A, B, C, D) est un nombre réel si et seulement si les points A, B, C et D sont alignés ou cocycliques.

c. On désigne par A’, B’, C’, D’ les images respectives des points A, B, C et D par fm. Montrer que (A, B, C, D) et (A’, B’, C’, D’) sont conjugués.

4. Déduire de la question précédente que, quels que soient les points M et N appartenant à P’, les points M, N, M’ et N’ sont alignés ou cocycliques.

5. On désigne par  une droite ou un cercle du plan P et par 1 son intersection avec P’. Démontrer que

l’image de 1 par fm est l’intersection d’une droite ou d’un cercle avec P’.

1. 108. Triangles équilatéraux, Am. du Sud 1992

Dans la figure ci-contre, ABC et DEF sont deux triangles équilatéraux direct, BDEG et CDFH sont des parallélogrammes. Le but de l’exercice est de prouver que le triangle AGH est équilatéral.

On appelle a, b, c, d, e, f, g, h les affixes des points A, B, C, D, E, F, G, H.

Première méthode :

1. a. Démontrer que 3 ( ) i

c a e b a

   .

b. Exprimer (fd) en fonction de (ed).

2. a. En déduire l’expression de g et h en fonction b, c, d, e, f.

b. Montrer que  3 i

h a e g a

   , conclure.

Deuxième méthode :

1. On appelle R la rotation de centre D, d’angle 3

 , t1 la

translation de vecteur BD , t2 la translation de vecteur DC . Donner l’expression complexe de R, t1, t2.

G

H

F

E

D

C B

A

2. On appelle T la transformation 2 1T t R t .

a. Donner l’expression complexe de T, en déduire la nature de T.

b. Déterminer  T B et le centre de T. Déterminer enfin  T G et conclure.

1. 109. Somme de distances, Asie 2010, 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . L’unité graphique est 1 cm. On

note i le nombre complexe demodule 1 et d’argument 2

 .

On considère les points A, B, C et P d’affixes respectives : a = −2, 2 2 3b i  , 3 3 3c i  et p = 10.

PARTIE A : Étude de la configuration

1. Construction de la figure.

a. Placer les points A et P dans le repère.

b. Déterminer les modules des nombres complexes b et c.

c. Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.

2. Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.

3. On note rA la rotation de centre A et d’angle 3

 .

a. Vérifier que l’image Q du point C par rA a pour affixe : 4 4 3q i   .

b. Vérifier l’égalité : q = −2b. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ?

4. Soit R le symétrique de C par rapport à O.

a. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O.

b. Établir que : AP = BQ = CR.

PARTIE B

On note f l’application qui, à tout point M du plan, associe le réel f(M) défini par : f(M) = MA+MB+MC.

1. Calculer f(O).

2. Soient M un point quelconque et N son image par la rotation rA.

Démontrer que : MA =MN puis que MC = NQ.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point M du plan,   12f M  .

1. 110. Produit de distances, C. étrangers 1991

Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C, D d’affixes respectives 1, i, –1, –i.

1. Montrer que le point M d’affixe le nombre complexe iz re est sur le cercle de centre B et de rayon 1

si et seulement si 1

cos 2

r   ou 0r  .

2. Montrer que le produit P MA MB MC MD    est égal à 4 1P z  .

3. En déduire une condition (portant sur r et  ) pour que P soit égal à 1.

4. Déterminer les points M de l’axe des réels tels que P est égal à 1.

5. Déterminer les points M du cercle de centre O, de rayon 1 tels que P est égal à 1.

1. 111. Logarithme complexe, EFREI 2001

On note * l'ensemble des nombres complexes privé du nombre complexe nul.

Tout nombre complexe z non nul peut s'écrire de façon unique (cos sin )z r i   lorsqu'on suppose que

 vérifie les inégalités      et que r>0.

Dans cet exercice, on étudie l'application F de * dans qui associe à tout nombre complexe non nul

(cos sin )z r i   le nombre complexe lnZ r i  .

On propose de transformer au moyen de F des régions de * .

1. Déterminer les images par F des demi-cercles de centre O, tracés dans * de rayon R et dont les extrémités sont placées sur l'axe des imaginaires aux points d'affixes iR et –iR. Déterminer de même les images des segments de droite portés par des demi-droites d'origine O et dont aucune des extrémités n'est située en O.

2. On définit la région D limitée par les demi-droites (  1 et  2 d'origine O telles que 1 1( , )Ox  

et 2 2( , )Ox   où on suppose que 1 et 2 appartiennent à ; 2 2

      

et vérifient 2 1  et par les deux

arcs de cercles ( a ) et ( b ) de centre O et de rayons a et b entièrement situés dans le secteur limité par

les deux demi-droites précédentes. Dessiner cette région qui est donc un « secteur de couronne

circulaire ». Définir l'image de la frontière de cette région qui est donc constituée de deux arcs de cercles et de deux segments. Montrer que l'intérieur de cette région D est transformé par F en l'intérieur d'un

rectangle que l'on définira précisément à l'aide des angles 1 et 2 et des réels a et b.

3. Déterminer les conditions liant 1 et 2 d'une part et a et b d'autre part pour que ce rectangle soit

centré en O. On pose alors 2  et R = a. Trouver la relation entre  et R pour que ce rectangle

devienne un carré de centre O.

4. Soit le cercle C qui passe par O et qui est centré au point d'affixe 1.

En utilisant son équation cartésienne, trouver la relation fournissant r en fonction de  pour qu'un

point d'affixe (cos sin )z r i   appartienne à ce cercle. On suppose ; 2 2

         

.

L'image par F d'un point quelconque de C étant défini par son affixe X + iY, déterminer X en fonction de Y.

Étudier les variations de X en fonction de Y et, en prenant garde à l'échange des coordonnées, dessiner la courbe image de C par F.

Définir l'image par F de la région D' intérieure à ce cercle et comprise entre deux arcs de cercle de rayon

R et 1

R .

5. Soit la parabole (P) d'équation y2 = 2x. Déterminer la relation entre  et r pour qu'un point d'affixe

(cos sin )z r i   appartienne à cette courbe. Soit alors la région D" comprise dans l'intérieur de cette

parabole et entre deux cercles de rayons R et 1

R .

L'image d'un point x + iy de la portion de parabole (P) comprise entre les deux arcs de cercle précédents étant désignée par X + iY, exprimer X en fonction de Y Étudier les variations de X en fonction de Y et en déduire l'image de cette portion de la parabole (P).

Sans prétendre à la précision, dessiner l'allure de l'image de la région D".

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