Contrôle de sciences statistiques 5 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 5 - 1° partie, Exercices de Statistiques

PDF (605.2 KB)
13 pages
862Numéro de visites
Description
Contrôle de sciences statistiques 5- 1° partie - Fonction exponentielle. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la fonction définie, La droite D d’équation, l’équation.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 13
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Terminale S

Fonction exponentielle Exercices corrigés

1. 1. Fesic 1996, exercice 2 1 1. 2. Fesic 1996, exercice 3 1 1. 3. Fesic 1996, exercice 4 2 1. 4. Fesic 2000, exercice 6 3 1. 5. Fesic 2000, exercice 4 3 1. 6. Banque 2004 4 1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005 5 1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004 7 1. 9. Basiques 8 1. 10. Une fonction 9 1. 11. Un exercice standard 10 1. 12. Une suite de fonctions 12 1. 13. ln et exp 14

1. 14. Recherche de fonction 16 1. 15. Etude de fonction hyperbolique 18 1. 16. Une intégrale peu engageante… 19 1. 17. Tangente hyperbolique 22 1. 18. Tangente hyperbolique et primitives 23 1. 19. Antilles 09/2008 7 points 26 1. 20. ROC+fonction intégrale, Am. du Nord 2007 29 1. 21. Equation différentielle, équation fonctionnelle et sinus hyperbolique, La Réunion, juin 2004 31 1. 22. Exp, équation, suite réc, Am. du Sud, juin 2004 32 1. 23. Exp et aire 35 1. 24. Caractéristique de Exp et tangentes 36

1. 1. Fesic 1996, exercice 2

Soit f la fonction définie sur * par 3 ( )

xe f x

x  et C sa courbe représentative.

a. f est une bijection de * sur 3

; 27

e   

   .

b. La droite (  ) d’équation 3x  est axe de symétrie de la courbe C .

c. C admet une unique tangente parallèle à l’axe  Ox et elle est obtenue au point d’abscisse 3x  .

d. La tangente à C au point d’abscisse 1 a pour équation : 2y ex e   .

Correction

a. Faux : La fonction f est dérivable sur * et    

4

3

xe x f x

x

   , or pour x  [3, [ , '( ) 0f x  car

40 et 0xe x  et pour  0 , 3x   0f x  . f n’est pas monotone sur * et elle ne réalise donc pas une bijection.

b. Faux : Si la droite  d’équation 3x  est axe de symétrie de la courbe C alors f doit être paire dans

le repère    , , avec 3,0I i j I . Posons 3

y Y

x X

   

alors    

   

3 3

3 3 3 3

X Xe e Y f X f X

X X

  

       

.

Donc f n’est pas paire dans le repère  ; ,I i j avec I(3, 0).

c. Vrai :    

4

3 0

xe x f x

x

    pour x = 3 car 0xe  donc C admet une unique tangente parallèle à

l’axe  Ox et elle est obtenue au point d’abscisse x = 3.

d. Faux : La tangente à C au point d’abscisse 1 a pour équation :      1 1 1 2 3y f x f ex e       .

1. 2. Fesic 1996, exercice 3

Soit f la fonction définie sur par : 2

( ) 21

xe x f x

x

  

et C sa courbe représentative.

a. lim ( ) x

f x 

  .

b. La droite D d’équation 2

x y   est asymptote à C .

c. f est décroissante sur .

d. L’équation ( ) 0f x  a une unique solution sur .

Correction

a. Faux : 2 2 2

1 1 lim lim car lim 0

2 21 ( 1) ( 1)

x

x xx x x

e x x

x e x e x

        

   .

b. Vrai : 2

lim ( ) lim 0 2 1

x

x x

x e f x

x

 

         

donc la droite D d’équation 2

x y   est asymptote à C en

+ et elle est située au dessus de C car 2 1

xe

x

 >0.

c. Vrai : La fonction f est dérivable sur ;

2

2 2

( 1) (2 ) 1 '( )

2( 1)

x xe x e x f x

x

     

 soit

2 2

2 2 2 2

( 2 1) ( 1)1 1 '( )

2 2( 1) ( 1)

x xe x x e x f x

x x

         

  qui est toujours

strictement négative car somme de deux termes strictement négatifs. f est décroissante sur .

d. Vrai : La fonction f est dérivable et strictement décroissante sur , f(0)=1 positif et f(1)= 1 1

2 2e

donc négatif. f est donc bijective et il existe un unique réel  0 ;1  solution de l’équation ( ) 0f x  .

1. 3. Fesic 1996, exercice 4

Soit f la fonction définie par : ( ) ln(1 ) 1

x x

x

e f x e

e    

et C sa courbe représentative.

a. f est définie et dérivable sur , et pour tout x réel on a : 2

2

'( ) (1 )

x

x

e f x

e  

.

b. lim ( ) 0 x

f x 

 .

c. L’équation ( ) 0f x  n’a pas de solution réelle.

d. La droite D d’équation 1y x  est asymptote à C .

Correction

a. Faux :    

    2 2

2 21 0

11 1

x x x x x

xx x

e e e e e f x

ee e

       

 

.

b. Vrai :lim ln(1 ) 0 car lim 0 et ln1= 0 1

x x x

xx x

e e e

e     

 .

c. Vrai : D’après a.  0f x  donc f est strictement décroissante et d’après b)f tend vers 0 en – 

donc f < 0 sur et l’équation n’a pas de solution réelle dans 1

, 2

I        

.

d. Faux : lim lim 1

x x

xx x

e e

e  

xe

1 1 car lim = 0

1 1

xx

x e

e

 

      

lim ln(1 ) lim ln ( 1) lim ln( 1)x x x x

x x x e e e x e 

        

donc lim ln(1 ) lim 2 ln( 1)x x x

xe x x e

           et pour finir  lim ( ) 1

x f x x

     .

Conclusion : la droite D d’équation y=x+1 n’est pas asymptote à f(x) mais la droite d’équation 1y x 

est asymptote à f(x).

1. 4. Fesic 2000, exercice 6

Pour tout réel m, on considère l’équation (Em) : 2 2 0x xe e m   .

a. L’unique valeur de m pour laquelle x = 0 est solution de l’équation (Em) est m = 0.

b. Pour toute valeur de m, l’équation (Em) admet au moins une solution.

c. Si –1<m<0, l’équation (Em) a deux solutions positives.

d. Si m>0, l’équation (Em) a une unique solution.

Correction

a. Faux : Si x = 0 alors l’équation (Em) s’écrit 0 02 0e e m   soit 1m  .

b. Faux : Posons 0xX e  , on a alors l’équation 2 2 0X X m   où 4 4m   .

On obtient au moins une solution pour 1m  telles que 1 2 2 1

1 1 2

m X m

      et 2 1 1X m   .

Si m< –1 il n’y a pas de solution.

c. Faux : X1 est évidemment positive. Etudions le signe de 2X : 1 1 0 1 1 0m m m        .

Donc pour 1 0m   il y a deux solutions 1X et 2X positives et on obtient  1 ln 1 1 ln 1x m    soit

1 0x  et  2 ln 1 1 ln 1x m    soit 2 0x  .

d. Vrai : Si m>0, 1 1 0m   donc 2 0 xX e  n’a pas de solutions et 1 1 0m   par conséquent

 1 ln 1 1x m   .

1. 5. Fesic 2000, exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]0 ;  [ par : 1 ²

( ) x x

f x e x

     

et g définie par : g(x) = x3 – x2 – x – 1.

Répondre par vrai ou faux en justifiant sa réponse.

A. lim ( ) x

f x 

  .

B. la droite d’équation y = 0 est une asymptote à la courbe représentative de f quand f tend vers  .

C. La fonction dérivée de f et la fonction g ont le même signe.

D. La fonction f atteint un minimum pour x = 1.

Correction

A : FAUX

1 ² 1 lim ( ) lim lim 0x

x xx x x

x x f x e

x xe e

  

          

    car

1 lim 0

xx xe  et lim 0

xx

x

e  (théorème).

B : VRAI

La réponse est dans la question précédente ; comme lim ( ) 0 x

f x 

 , par définition, la droite d’équation

y = 0 est asymptote à la courbe.

C : VRAI

1 ² 1 ( ) x x x

x f x e e xe

x x

        

; f est dérivable sur *.

 3 21 1'( ) 1 ( ) ² ² ²

x x x x x x e ef x e e e xe x x x g x

x x x x

               .

Dans la mesure où on compare f et g sur l’intersection de leur domaine de définition ( *+), les deux fonctions ont le même signe.

D : FAUX

La fonction f ’ ne s’annule pas en 1, elle n’admet donc pas de minimum pour x = 1.

Remarque : f(1) = 0, la courbe coupe donc l’asymptote en 1, … mais aussi en –1.

1. 6. Banque 2004

Le plan est rapporté à un repère orthonormal  ; ,O i j .

Soit f la fonction définie sur par : 2 1

( ) 2,1 1,1 1,6 2

x xf x e e x    .

1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre [−5 ; 4] x [−4 ; 4]. Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

a. Sur les variations de la fonction f ?

b. Sur le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 ?

3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f.

a. Résoudre dans l’inéquation e2x − 2,1ex + 1,1 > 0 (on pourra poser xe X pour résoudre).

b. Etudier les variations de la fonction f.

c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.

4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3.

Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?

Correction

1.

2. a. f semble croissante.

b. L’équation f(x) = 0 semble avoir une seule solution en 0.

3. a. e2x − 2,1ex + 1,1 > 0 donne 2 2,1 1,1 0X X   ; cherchons les racines : 2 22,1 4, 4 0,01 (0,1)    

d’où les racines 1 1 2,1 0,1 2,1 0,1

1,1, 1 2 2

X X  

    ; on peut alors factoriser :

2 2,1 1,1 0 ( 1,1)( 1) 0 ( 1,1)( 1) 0x xX X X X e e           .

Les solutions sont alors ] ;1[ ]1,1 ; [ ]0 ;1[ ]1,1 ; [ ] ; 0[ ]ln(1,1) ; [x xe e x           .

b. 2 2 1

'( ) 2 2,1 1,1 2,1 1,1 2

x x x xf x e e e e      . Le signe de f’ est celui calculé précédemment.

c. 0 0 1

(0) 2,1 1,1.0 1,6 0, 5 2,1 1,6 0 2

f e e        ;

2ln(1,1) ln(1,1)1(ln(1,1)) 2,1 1,1ln(1,1) 1,6 0,0001588 2

f e e      .

Comme f(ln(1,1)) < 0, f s’annule en 0 puis une seconde fois pour une valeur de x supérieure à ln(1,1). Il y a donc deux solutions.

4. Il suffit de prendre ymin < f(ln(1,1)) et ymax > 0 comme ci-dessous. Par exemple [−0,0002 ; 0,0002] convient très bien.

1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005

5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ;  [ par      1 2 xf x x e   . Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm).

1. a. Étudier la limite de f en  .

b. Montrer que la droite  d’équation y = 2x −2 est asymptote à C .

c. Étudier la position relative de C et  .

2. a. Calculer  'f x etmontrer que    ' 2 1x xf x xe e    .

b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif,  ' 0f x  .

c. Préciser la valeur de  ' 0f , puis établir le tableau de variations de f .

3. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe C , la droite  et les droites d’équations x = 1 et x = 3.

4. a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à  .

b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite  .

Correction

1. a. En  , 1x  tend vers  et 2 xe tend vers 2 car xe tend vers 0 ; f a pour limite  .

b.  ( ) (2 2) ( 1) 2 2( 1) ( 1)( )x xf x x x e x x e           : avec les croissances comparées, xe emmène tout le monde vers 0, la droite  d’équation y = 2x −2 est bien asymptote à C .

c. Signe de ( ) (2 2) ( 1) xf x x x e     : lorsque 1x  c’est positif, donc C est au-dessus de  ; lorsque

1x  c’est négatif, donc C est en dessous de  .

3. a.    '( ) ( 1)' 2 ( 1) 2 ' 2 ( 1) 2 2x x x x x xf x x e x e e x e e xe                  d’où

'( ) 2(1 )x xf x xe e    .

b. Comme x est positif, 0xxe  et 00 0 1 1 0 1 0x x xx x e e e e              donc f’ est positive.

c. '(0) 0 2(1 1) 0f     .

2. Comme 1x  il faut calculer 3

1

( 1) xx e dx   : on pose 1 ' 1

' x x

u x u

v e v e 

      

     d’où

3 33 3 3 3 3 1 1 3

1 11 1

( 1) ( 1) 2 2 3x x x xx e dx x e e dx e e e e e e e                                    .

Comme l’unité d’aire est de 2 cm x 2 cm, soit 4 cm2, on a donc  1 3 23 4 0,87 cme e   .

3. a. La tangente à C est parallèle à  lorsque '( ) 2f x  : mêmes coefficients directeurs ; on a donc

'( ) 2 2 2 2 0 ( 2) 0 2x x x x xf x xe e xe e x e x                . Le point A a pour coordonnées 2 et

 2 2(2) (2 1) 2 2f e e      .

b. La distance du point A à la droite 0ax by c   est

2 2

A Aax by c

a b

 

; ici  a pour équation cartésienne 2 2 0x y  

d’où notre distance est

2 2

2 2

2.2 (2 ) 2

52 ( 1)

e e

   

 

, soit en cm :

2

2 5

e .

1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004

5 points

On considère la fonction f définie sur par ( ) x

x f x

e x  

. On note (C) sa courbe représentative dans le

plan rapporté au repère orthogonal ( ; , )O i j , l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm

sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur par ( ) 1xg x e x   .

1. Etudier les variations de la fonction g sur . En déduire le signe de g.

2. Justifier que pour tout x, 0xe x  .

Partie B

1. a. Calculer les limites de la fonction f en  et  .

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. a. Calculer '( )f x , f’ désignant la fonction dérivée de f.

b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

b. A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).

4. Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C).

Correction

Partie A

1. '( ) 1xg x e  est positive lorsque 0x  ; (0) 1 0 1 0g     : comme g est décroissante avant 0 et

croissante après, g est toujours positive.

2. Comme ( ) 0g x  , on a 1 0x xe x e x     (ceci montre que f est définie sur ).

Partie B

1. a. 1 1

lim ( ) lim lim 0

1 x xx x x

x f x

e x e

x

      

 

; 1 1

lim ( ) lim lim 1 0 1

1 x xx x x

x f x

e x e

x

       

 

.

b. On a une asymptote horizontale en  : 1y   et une autre en  : 0y  .

x

f

0

0



f’ +

−1



2. a. 2 2 2

1( ) ( 1) (1 ) '( )

( ) ( ) ( )

x x xx x

x x x

e x x e x ee x xe x f x

e x e x e x

        

   .

b. f’ est du signe de 1−x.

3. a. (0) '(0)( 0)y f f x y x     .

b. 2 ( )( 1)

( ) xx

x x x x

xg xx e xx x xe x f x x x

e x e x e x e x

         

    .

Comme g est positive, ainsi que xe x , ( )f x x est du signe de −x,

soit positif avant 0 (C est au-dessus de T), négatif après (C est en dessous de T).

4.

1. 9. Basiques

Exercice 1

Soient f et g les fonctions définies de ]0 ; +[ dans par :

1 1 ( ) 2

2 1

x

x

e f x x

e

   

 et 2( ) 2 5 2x xg x e e   .

a. Démontrer que 1 1 1

( ) 2 2 2 21 1

x

x x

e f x x x

e e      

 

b. Factoriser g(x).

c. Déterminer le signe de la dérivée de f.

Correction

a. 1 1 1 2 1 1

2 2 2 . ( ) 2 21 2( 1) 1

x x

x x x

e e x x x f x

e e e

         

  

x

f



0

1 

f’ − +

−1 0

1

1e

1 1 2 1 1 2 2 2 . ( )

2 21 2( 1) 1

x x x x

x x x

e e e e x x f x

e e e

          

   ;

b. 2( ) 2 5 2,x x xg x e e X e    , 5² 4 2 2 25 16 9 3²         , 5 3

4 X

  ,

1 1

2 2

2

1

2

x

x

X e

X e

 

  ,

1 ( ) 2( 2)( )

2

x xg x e e   .

c. 1 1

( ) 2 2 1x

f x x e

   

, 2 2 2

2 2 2 2 2

( )2( 1) 2( 2 1) 2 5 2 '( ) 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x xx x x

x x x x x

g xe e e e ee e e f x

e e e e e

            

    

est donc du signe de g(x) et f est donc négative entre ln 2 et – ln 2, positive ailleurs.

Exercice 2

Démontrer que quel que soit le réel x on a : ln( 1) ln(1 )x xe e x    .

Correction

1 1 ln( 1) ln(1 ) ln 1 (1 )

1 1

x x x x x x x x

x x

e e e e x x e e e e

e e

 

 

             

  1 1x xe e    .

Exercice 3

Résoudre les systèmes :

a. 2 3 5

3 2 3 24

x y

x y

      

b.

ln ln 2 ln 4

1x y

x y

e e e

    

 

Correction

2 3 1 4 2 32, 2 8, 3

3 2 3 33

x y x x

x y x

        

  

, 3 3 3

28 3 1 3 9y y

x x x

y

        

       , S = {(3 ;2)}.

2

1

2

ln ln 2 ln 4 ln ln 4

1 .x y x y

x y xy

e e e ee

 

      

    

, soit

1

16

1

2

xy

x y

 

     

.

Soit à résoudre l’équation : X² – SX + P = 0, 1 1 1 1

² 0 ( )² 0 2 16 4 4

X X X X x y           .

Or, bien évidemment, les valeurs négatives sont exclues car ln n’est pas définie sur  donc S = .

1. 10. Une fonction

On considère la fonction g définie sur par 2( ) ( 1) xg x x e  .

Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O ; , )i j , unité

graphique 2 cm.

1. Calculer la dérivée g’ de g. Montrer que g’(x) est du signe de (1 – x2). En déduire les variations de g.

2. Montrer que :

a. lim ( ) x

g x 

  .

b. lim ( ) 0 x

g x 

 et préciser l'asymptote à C correspondante.

3. Tracer la courbe C dans le repère (O ; , )i j . On placera en particulier les points de la courbe

d'abscisses respectives –2 ; –1 ; 0 ; 1 et 3.

4. a. Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de l'équation g(x) = k.

b. Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution  et une seule. Prouver que  appartient à l'intervalle [– 2 ; – 1].

c. Montrer que  vérifie la relation 21 2 .e

   

Correction

2( ) ( 1) xg x x e  .

1. 2( ) 2( 1) ( 1) ( ) ( 1) (2 1) ( 1)(1 )x x x xg x x e x e x e x x x e                .

2. a. 2 2lim ( ) lim limx X x x x

g x x e X e

       .

b. 2 2lim ( ) lim lim 0x X x x x

g x x e X e

      .

C a une asymptote horizontale en +∞.

4. a. Si k < 0, pas de solutions ; si k = 0, une seule solution : x = −1, si 0< k < 4/e, 3 solutions, si k = 4/e : deux solutions dont x = 1, enfin si k > 4/e, une seule solution.

b. Si x > −1, f(x) est toujours inférieur ou égal à 4/e (<2), donc f(x) = 2 n’a pas de solution sur [1 ; +∞[. Lorsque x < −1, f est continue monotone strictement croissante de ]−∞ ; −1[ vers ]0 ; +∞[. Comme 2 est dans cet intervalle, il existe une seule valeur de x pour laquelle f(x) = 2.

Claculons f(−2)=7,39 et f(−1)=0 ; comme 0 < 2 < 7,39 on a −2 <  < −1.

c. Nous savons que 2 2 1 2

( ) 2 ( 1) 2 ( 1) 2

1 2

e f e e

e

  

   

   

            

; comme  < −1 on

choisit la racine négative, soit 21 2 .e

   

1. 11. Un exercice standard

Soit kf la famille de fonctions définies sur [0, [ par 2( )

x kf x kx e

   où k est un réel strictement

positif quelconque et kg la famille de fonctions également définies sur [0, [ par ( ) 2 x

kg x kx e

  .

On note Ck la courbe représentative de kf dans le repère orthonormal  ; ,O i j , unité graphique : 2 cm.

1. Sens de variation de kg

a. Calculer la dérivée kg de kg ; vérifier que ( )kg x est toujours strictement positif.

b. Calculer la limite de ( )kg x quand x tend vers +.

c. Déduire de ce qui précède l’existence et l'unicité d'un nombre réel 0k  tel que ( ) 0k kg   . Donner

une valeur approchée à 10−1 près de 1 et de 2 .

d. Étudier le signe de ( )kg x sur [0, +[.

e. Montrer que ( ) ( )k kf x g x  ; en déduire le sens de variation de kf .

2. Comportement asymptotique de kf en +

a. Déterminer la limite de ( )kf x en +.

b. Déterminer le signe de 2( )kf x kx et sa limite en +. Interpréter graphiquement ce résultat ; on note

kP la courbe d'équation 2y kx .

3. Construction de kf .

a. Dresser le tableau de variation de kf . Préciser le signe de kf .

b. Préciser l’équation de la tangente T à Ck au point d’abscisse 0.

c. Prouver que ( ) ( 2)k k k kf k    .

d. On prend k = 1 : montrer que le point de coordonnées  1 1 1; ( )f  appartient à une parabole 1Q dont

on donnera l’équation. Tracer dans le même repère T, 1P , 1Q et 1C .

Correction

2( ) x

kf x kx e

  , ( ) 2 xkg x kx e

  .

1. Sens de variation de kg

a. ( ) 2 xkg x k e    est toujours >0 puisque xe l’est ainsi que 2k.

b. Comme xe tend vers 0 en  la fonction ( )kg x se comporte comme 2kx et tend donc vers  .

c. On a 0(0) 0 1kg e     qui est négatif et lim ( )k

x g x

   qui est positif ; comme gk est continue,

monotone strictement croissante elle s’annule une seule fois. Calculons des valeurs approchées de 1 ,

solution de 2 0xx e  : on a 10,351 0,352  .

x g1(x) x g2(x)

0,35172775 −1,612E−05 0,20335079 −0,00258881

0,35183246 0,00026696 0,20418848 0,00144524

De même on obtient la solution de 4 0xx e  : 20,203 0,205  .

d. Comme gk est croissante, on a ( ) ( ) 0k k k kx g x g     et

( ) ( ) 0k k k kx g x g    

e. Il est immédiat que ( ) 2 ( )xk kf x kx e g x     ; fk est donc

décroissante avant k et croissante après.

2. Comportement asymptotique de kf en +

a. Là encore xe tend vers 0 en  donc fk se comporte comme 2kx et tend donc vers  .

b. Comme 2( ) xkf x kx e   , cette expression est positive et tend vers 0 à linfini. La courbe Pk est donc

asymptote de Ck et Ck est au dessus de Pk.

3. Construction de kf .

a. Comme 2kx est positif ainsi que xe , ( )kf x est positive.

x

fk

0

0

k +∞

fk’ + −

( )k kf

1 

b. On a (0) 1kf    et (0) 1kf  d’où la tangente : 1y x   .

c. ( ) 0 2kk k kg e k     donc

2( ) 2 ( 2)k k k k k kf k k k        .

d. k = 1 : 21 1 1 1( ) 2f     donc  1 1 1; ( )f  appartient à la parabole d’équation 2 2y x x  .

Vous pouvez changer la valeur de k et voir également ce que fait fk lorsque k est négatif…

1. 12. Une suite de fonctions

Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction kf définie sur  0 ;  par

 ( ) ln xkf x e kx x   . Soit kC la courbe représentative de kf dans un repère orthogonal ( ; , )O i j (unités : 5 cm sur l’axe des abscisses, 10 cm sur celui des ordonnées).

Etude préliminaire

On considère la fonction g définie sur  0 ;  par ( ) ln(1 )g x x x   .

1. Etudier le sens de variation de g.

2. En déduire que, pour tout réel a positif ou nul, ln(1 )a a  .

Partie A : étude de f1

1. Calculer 1( )f x et en déduire le sens de variation de f1.

2. Montrer que, pour tout x de  0 ;  , 1( ) ln 1 x x

f x e

      

.

3. Dresser le tableau de variation de f1.

Partie B : étude et propriétés de fk

1. Calculer ( )kf x et en déduire le sens de variation de fk.

2. Montrer que, pour tout x de  0 ;  , ( ) ln 1k x x

f x k e

      

. En déduire la limite de fk en  .

3. a. Dresser le tableau de variation de fk.

b. Montrer que, pour tout réel x de [0, [ , on a ( )k k

f x e  .

4. Déterminer une équation de la tangente (Tk) au point d’abscisse 0 de Ck.

5. Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p < m. Etudier la position relative de Cp et Cm.

6. Tracer les courbes C1 et C2 ainsi que leurs tangentes en 0.

Partie C : majoration d’une intégrale

Soit  un réel strictement positif, on note ( )A  l’aire, en unités d’aire, du domaine délimitée par l’axe

des abscisses, la courbe Ck et les droites x = 0 et x  .

1. Sans calculer ( )A  , montrer que 0

( ) xA k xe dx

   .

2. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale 0

xxe dx

 .

3. On admet que ( )A  admet une limite en  . Montrer que lim ( )A k

 

 . Interpréter graphiquement

ce résultat.

Correction

Etude préliminaire

1. ( ) ln(1 )g x x x   sur [0 ; [ : 1 1 1

'( ) 1 0 1 1 1

x x g x

x x x

          

donc g est décroissante.

2. Comme (0) ln 1 0 0g    et que g est décroissante, on a ( ) 0g x  , soit ln(1 )x x  .

Partie A : étude de 1( ) ln( ) xf x e x x  

1. 1 1 1 1

( ) 1 x x x

x x x

e e e x x f x

e x e x e x

         

   ; le dénominateur est positif, le numérateur est positif lorsque

1x  . Donc f est croissante sur [0 ; 1], décroissante sur [1 ; [ .

2. Comme ln( )xx e , on a 1( ) ln( ) ln ln ln 1 x

x x

x x

e x x f x e x e

e e

                

. Lorsque x tend vers 

x

x

e tend vers 0 (croissances comparées) donc f1 tend vers ln1 = 0.

Partie B : Propriétés des fonctions fk

1. (1 )

( ) 1 x

k x x x

k xe k k kx f x

e kx e kx e kx

      

   ; comme k est strictement

positif, fk a le même sens de variation que f1.

2. Avec le même calcul que précédemment ( ) ln 1k x x

f x k e

      

qui

tend vers 0 lorsque x tend vers  .

3. a. Voir ci-contre.

b. Comme on le voit sur le T. V. on a

( ) (1) ln( ) 1 ln( ) ln ln ln 1k k e k k

f x f e k e k e e e

                

    ;

utilisons l’inégalité ln(1 )x x  avec k

x e  , on a ln 1

k k

e e

    

  d’où ( )k

k f x

e  .

4. En O, (0) ln 1 0kf   et (0) 1

k

k f k   d’où l’équation de la tangente : ( 0) 0y k x kx    .

x

fk

0

0

1 +∞

fk’ − +

ln(e+k)−1

0 0

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome