Contrôle de sciences statistiques 5 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 5 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 5- 2° partie - Fonction exponentielle. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: La limite, la fonction numérique.
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5. Calculons        ( ) ( ) ln ln ln lnx x x xm pf x f x e mx x e px x e mx e px           . Cette expression est positive lorsque x xe mx e px m p     . Donc dans le cas présent Cp est en dessous de Cm.

6. A la fin.

Partie C

1. Comme on doit calculer 0 0 0

( ) ( ) ln( ) ln 1xk x kx

A f x dx e kx xdx dx e

  

  

          

, chose à priori

impossible, on majore fk par ln 1 x

x x

kx kx kxe

e e

      

d’où 0 0

( ) x xA kxe dx k xe dx  

     .

2. On intègre par parties avec , ' 1u x u  et ' ,x xv e v e    , soit

0 00 0

0 1 ( )x x x xxe dx xe e dx e e e e I   

                                .

3. La limite de ( )I  est assez évidente : e   tend vers 0 lorsque  tend vers  , ( )I  tend donc vers 1.

Par conséquent comme ( ) ( )A kI  , on a à la limite ( )A k  .

Sur la figure la courbe la plus basse correspond à k = 1, la plus haute à k = 10.

1. 13. ln et exp

D’après Paris, Bac C, 1974

Soit f la fonction numérique définie sur R par :

2( ) ln( 1)x xf x e e  

le symbole ln désignant le logarithme népérien.

1. Montrer que 2 1x xe e  est strictement positif pour tout réel x. Étudier les variations de la fonction f.

Soit (C) la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la fonction f.

2. Préciser les limites de f en + et −

3. Vérifier que 2( ) 2 ln(1 )x xf x x e e     et montrerque f(x) − 2x tend vers une limite lorsque x tend

vers +. En déduire l’asymptote correspondante de (C).

4. Construire la courbe (C) (on précisera la tangente au point de (C) d'ordonnée nulle).

5. Déterminer, en utilisant la courbe (C),le nombre de solutions réelles de l'équation d'inconnue x :

2 71 8

x xe e  

a. par le calcul,

b. en utilisant la courbe (C).

Correction

1. 2 21 1x xe e X X     en posant xX e . On a alors 3 0    donc le trinômes est positif ainsi que 2 1x xe e  .

2

2 2

(2 1)2 '( )

1 1

x xx x

x x x x

e ee e f x

e e e e

  

    donc f’ est du signe de 2 1xe  . Ce terme est positif lorsque

1 1 ln ln 2

2 2

xe x x      . Par ailleurs  2ln 2 ln 2 1 1 3( ln 2) ln 1 ln 1 ln 4 2 4

f e e   

          

.

2. En  c’est facile car 2xe et xe tendent vers 0. On a donc f qui tend vers ln1=0.

En  2 1x xe e  se comporte comme 2xe et tend donc vers  .

3. 2

2 2 2 2 2

2

1 ( ) 2 ln( 1) ln( ) ln ln[( 1) ] ln(1 )

x x x x x x x x x x

x

e e f x x e e e e e e e e

e

     

               

.

Les termes 2xe et xe tendent vers 0 à l’infini, donc ( ) 2f x x tend vers ln1=0. La droite 2y x est donc

asymptote de (C).

4. La tangente en 0 est ( )y x . Figure à la fin.

5. L’équation 2 7

1 8

x xe e   est équivalente à ( ) ln(7 / 8)f x  . Comme 3 7

1 4 8   , on a

3 7 ln ln 0

4 8   , il y

a donc deux solutions.

Par le calcul on pose xX e , ce qui donne l’équation 2 2 7 1

1 0 0 8 8

X X X X        , 1 1

1 2 2

   

d’où les racines 1 1 1 1 1 1

ln 2 22 2 2 2

X x  

       

et 2 1 1 1 1 1

0 ln 2 22 2 2 2

X x  

        

.

1. 14. Recherche de fonction

Sur la feuille ci-jointe, figurent la courbe représentative (C) dans le repère orthonormé ( ; , )O i j d'une

fonction f définie et dérivable sur ainsi que son asymptote (D) et sa tangente (T) au point d'abscisse O.

On sait que le point J(0 ; 1) est le centre de symétrie de la courbe (C), que l'asymptote (D) passe par les points K(–1 ; 0) et J et que la tangente (T) a pour équation y = (1 – e)x + 1.

1. Déterminer une équation de (D).

2. On suppose qu'il existe deux réels m et p et une fonction  définie sur telle que, pour tout réel x,

f(x) = mx + p +  (x) avec lim ( ) 0 x

x 

 .

a. Démontrer que m = p = 1.

b. En utilisant le point J, montrer que, pour tout réel x, on a f(x) + f(–x) = 2.

c. En déduire, après avoir exprimé f(x) et f(–x), que la fonction  est impaire.

d. Déduire de la question b. que f ', dérivée de f, est paire.

3. On suppose maintenant que, pour tout réel x, 2

( ) ( ) xx ax b e   où a et b sont des réels.

a. En utilisant la parité de  , démontrer que b = 0.

b. Calculer f '(x).

c. En utilisant le coefficient directeur de (T), démontrer que a = –e.

d. Démontrer que 2 1( ) 1 xf x x xe    .

x

f

−∞

0

−ln2 +∞

f’ + −

ln(3/4)

0 

Correction

1. La droite (D) passe par les points J(0 ; 1) et K(–1 ; 0), une équation est donc y = x + 1.

2. a. lim ( ) 0 lim ( ) ( ) 0 x x

x f x mx p  

     , c'est-à-dire que la droite d'équation y = mx + p est

asymptote à la courbe en  , c'est la droite (D). Donc m = p = 1.

b. Le point J est centre de symétrie de la courbe, on a donc la relation :

f(xJ + x) – yJ = yJf(xJx) , ou encore :

( ) ( )

2

J J

J

f x x f x x y

   

En remplaçant par les coordonnées de J, on obtient :

f(0 + x) – 1 = 1 – f(0 – x)

ou encore f(x) + f(–x) = 2.

W

x0

xx

y0

f x x( + )0

f x -( )0 x

c. f(x) = x + 1 +  (x), f(–x) = –x + 1 +  (–x) donc f(x) + f(–x) = 2 +  (x) +  (–x).

Or, on sait que f(x) + f(–x) = 2, on en déduit que  (x) +  (–x) = 0, ou encore que  (x) = –  (–x),

c'est-à-dire que la fonction  est impaire.

d. f(x) + f(–x) = 2, donc, en dérivant chaque terme : f '(x) – f '(–x) = 0, soit f '(x) = f '(–x). Conclusion f ' est paire. Attention, la dérivée de f(–x) est – f '(–x) (dérivation des fonctions composées).

2. a. 2 2

( ) ( ) ( ) ( )x xx ax b e x ax b e         ; comme  est impaire, on a ax + b = –ax + b, soit b = 0.

b. 2 2 2 22( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( 2 ) 1 (1 2 )x x x xf x x x x axe f x x ae ax x e a x e                     .

c. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0, soit J, est f '(0) = (1 – e) (équation de (T)).

On a donc l'égalité : '(0) 1 1f a e a e       .

d. Il reste à conclure : 2 2

( ) 1 1x xf x x axe x exe       .

1. 15. Etude de fonction hyperbolique

Soit f l’application de  0 ;  dans définie par 1 1

( ) 2 2 1

x

x

e f x x

e

  

 , et g l’application de dans

définie par 2( ) 2 5 2x xg x e e   .

Partie A

1. Montrer que, pour tout x de  0 ;  , on a 1 1

( ) 2 2 1x

f x x e

   

.

2. Montrer que pour tout x de  0 ;  on a 1

( ) 2 2 1

x

x

e f x x

e   

 .

3. Résoudre l’équation g(x) = 0 puis factoriser g(x).

Partie B : Etude de f

1. Calculer les limites de f en 0 et en  .

2. a. Montrer que la droite (D) d’équation 1

2 2

y x  est asymptote à la courbe (C) représentative de f.

b. Etudier la position de (C) par rapport à (D).

3. Montrer que la fonction dérivée de f est du signe de la fonction g de la partie A et dresser le tableau de variation de f.

4. Réprésenter (C) et ses asymptotes dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm)

5. a. Etudier graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, l’intersection de (C) et de la droite (Dm) d’équation y = 2x + m.

b. Démontrer par le calcul ces résultats (on pourra utiliser le A.1.).

Partie C : Calcul d’aire

1. En reconnaissant la forme '( )

( )

u x

u x , déterminer les primitives sur  0 ;  de la fonction

1

x

x

e x

e  .

2. En déduire, en utilisant A.2., les primitives sur  0 ;  de 1

( ) (2 ) 2

f x x  .

3. Calculer l’aire du domaine plan limité par (C), (D) et les droites d’équation x = ln 2 et x = ln 4.

Correction

Partie A : Il suffit de « partir de l’expression de droite » dans chaque cas, les résultats sont immédiats.

Partie B :

1. Pour x >0, 1xe  donc 0

0

lim 1 0x

x x

e  

  ; comme 0

0

lim 1 2x

x x

e  

  on en déduit que 0

0

1 lim

1

x

xx x

e

e 

  

 et comme

2x tend vers 0, f tend vers  en 0+. En  numérateur et dénominateur sont équivalents à xe donc le

quotient tend vers 1 et f tend vers  en se comportant comme 1 1

2 .1 2 2 2

x x   .

2. a. 1 1

( ) 2 2 1x

f x x e

        

tend évidemment vers 0 à l’infini donc asymptote.

b. 1 0 0xe x    donc ( C ) est au-dessus de (D).

3. f est la somme de deux fonctions dérivables et est donc dérivable. On dérive à partir de

1 1 ( ) 2

2 1x f x x

e   

 :

2 2

2 2 2 2

( )2 4 2 2 3 2 ( ) 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x

x x x x

g xe e e e e e f x

e e e e

           

    .

f’ est donc du signe de ( 2)(2 1)x xe e  , or 2 0 ln 2xe x    et 2 1 0 ln 1/ 2 ln 2xe x      .

x 0 ln2 

ex − 2 − 0 +

2ex − 1 + +

f  − +

f

 

f(ln2)

4. ( C ) admet deux asymptotes : la droite d’équation (x=0) et la droite ( D ).

0

2

4

6

8

1 2 3 4 x

5. a. m représente l’ordonnée à l’origine de la droite, ces droites sont toutes parallèles.

Si 1

2 m  , la droite (Dm) est parallèle à (D) et située sous (D) donc elle ne coupe pas ( C ) ; si

1

2 m  on

voit que (D) ne coupe pas ( C ), c’est l’asymptote ; si 1

2 m  , il semble que la droite (Dm) coupe ( C ) en un

seul point.

b. 1 1 1 1 2 2 1

( , ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 11 1

x x m x x

m M x y D C x x m m e e

m me e

               

   .

Donc il faut 2 1 1 1

0 ; ; 2 1 2 2

m m

m

                   

et comme x doit être positif :

2 1 2 1 2 1 2 1 1 ln 0 1 0

2 1 2 1 2 1 2

m m m m x m

m m m

              

    .

Partie C

1.  ln 1 1

x x

x

e dx e K

e   

 car 1 0xe   .

2. 1 1

( ) 2 1 ( ) 2 ln( 1) ' 2 21

x x

x

e f x x f x x dx e x K

e

                      

.

3. Comme (C) est au-dessus de (D) , l’aire cherchée vaut

ln 4 ln 4

ln 2ln 2

1 ( ) 2 ln( 1) ln 3 ln 4 ln 1 ln 2 ln 3 ln 2

2

xf x x dx e x                   .

1. 16. Une intégrale peu engageante…

1. On considère la fonction numérique f définie sur [1 ; [ par 1 1

( ) expf x x x

    

  .

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( ; , )O i j du plan.

Pour tout réel 1  , on considère les intégrales

2 1 ( )J dx

x

    et

2 1 1 ( ) expK dx

x x

 

    

  .

Le but de l’exercice est d’étudier, sans chercher à la calculer, l’intégrale ( )K  .

a. Déterminer la limite de f en  . Interpréter graphiquement le résultat.

b. Montrer que la dérivée de f peut s’écrire 2

1 1 1 '( ) exp

x f x

x xx

         

    . En déduire le sens de variation

de f.

c. Donner l’allure de la courbe C.

2. a. Interpréter géométriquement le nombre ( )K  .

b. Soit 1  , montrer que 1 1 1

exp ( ) exp 2 2

K   

        

    .

c. En déduire que 1

( ) 2

K e  .

3. a. Calculer ( )J .

b. Démontrer que pour tout réel 1  , 1 1

exp ln(2) ( ) exp ln(2) 2

K   

        

    .

4. Démonstration de cours. Démontrer le théorème suivant :

Soient u, v et w des fonctions définies sur [1 ; [ telles que pour tout réel 1x  , ( ) ( ) ( )u x v x w x  .

S’il existe un réel l tel que lim ( ) x

u x l 

 et lim ( ) x

w x l 

 alors lim ( ) x

v x l 

 .

5. Déduire de ce qui précède la limite de ( )K  lorsque  tend vers  .

Correction

1. [1 ; [ , 1 1

( ) expf x x x

    

  . 1  ,

2 1 ( )J dx

x

    et

2 1 1 ( ) expK dx

x x

 

    

  .

a. En  1/x tend vers 0 donc f tend vers 0.e0 = 0. L’axe horizontal est une asymptote de (C).

b. 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) exp exp exp 1 exp

x f x

x x x x x x xx x x x

                                                

                    .

Comme x est supérieur à 1, f’ est toujours négative et f est décroissante.

c.

2. a. 2 1 1

( ) expK dx x x

 

    

  correspond à l’aire comprise entre la courbe (C) l’axe (Ox) et les droites

x  , 2x  .

b. Sur l’intervalle  , 2  , f est décroissante et on a

1 1 1 1

2 1 2

1 1 1 1 (2 ) exp ( ) ( ) exp

2 2

x x

f f x f

   

     

   

     

              

.

Intégrons cette inégalité : 2 21 1 1 1

exp ( ) exp 2 2

dx K dx  

  

   

        

     . Or on a

  2 1 1 1 1 1 1

exp 2 exp exp 2 2 2 2 2 2

dx

  

    

             

      ,

  2 1 1 1 1 1

exp 2 exp expdx

  

    

             

     

d’où 1 1 1

exp ( ) exp 2 2

K   

        

    .

c. Comme 1 1 1

0 1 2 x      ,

1 1 1 1 exp(0) exp ( ) exp exp(1)

2 2 2 K

 

          

    , soit

1 ( )

2 K e  .

3. a.   2

21 2 ( ) ln ln 2 ln ln ln 2J dx x

x

 

 

   

       .

b. Comme on a 1 1 1

0 1 2 x      , on a

1 1 1 1 exp exp exp

2 e

x 

              

      , soit en multipliant par

1/x : 1 1 1 1 1 1 1 1

exp exp exp 2

e x x x x x x 

              

      puis en intégrant :

1 1 ln 2 (ln 2)exp ( ) (ln 2)exp ln 2

2 K e

 

          

    .

4. Démonstration de cours : il faut s’attendre à tout avec les méchants professeurs de maths…

5. Lorsque  tend vers  , 1

exp 2

     

et 1

exp 

     

tendent vers e0 = 1. La limite est donc ln2.

1. 17. Tangente hyperbolique

Dans tout le problème  ; ,O i j est un repère orthonormé du plan P.

On note f la fonction définie sur R par ( ) 1 x

xe f x

e

  

. On appelle C la courbe représentative de f dans le

repère  ; ,O i j .

Partie A

1. Etude de f:

a. Calculer les limites de f en  et  . Justifier vos calculs.

b. Préciser les équations des asymptotes.

2. Donner l’expression de f ’(x) où f ’ est la dérivée de f. Dresser le tableau de variation de f. Préciser f(0).

3. Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse x=0 ; on note T0 cette tangente.

4. Courbe :

a. Soit x un réel quelconque. Calculer f(x)+f(– x).

b. Quelle propriété de symétrie peut on déduire de la question précédente ?

c. Tracer C, ses asymptotes et la tangente T0 .

Partie B

1. a. Soit ( ) 1 xu x e  . Calculer u’(x).

b. En déduire la primitive F de f qui prend la valeur – ln2 en x=0.

2. a. On pose 1

0

( )A f x dx  . Calculer A.

b. Déterminer le réel c tel que A=lnc.

3. Pour tout entier naturel n non nul on pose

1 1

1 ( )nn

n

v f x dx

  .

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. Calculer lim n n

v 

.

Correction

Partie A

1. a. Remarquons de suite que 1

( ) 1 1 1x x

x x xe e e f x

x xe e e e 

       

donc la limite en  est 1

0 

et la

limite en  est 1

1 0 1

 

.

b. Les asymptotes sont y = 0 en  et y = 1 en  .

2. 2 2

( 1)' '( )

( 1) ( 1)

x xe e f x

x xe e

    

  qui est évidemment strictement négative.

1 (0)

2 f  .

3. 1 1

'(0)( 0) (0) 4 2

y f x f x      .

4. a. 1 1 2

( ) ( ) 1 1 1 (1 )(1 ) 1 1

x x

x x x x

x x x xe e e e e e f x f x

x xe e e e e e 

             

       .

b. Le point de coordonnées 1

0 ; 2

     

est un centre de symétrie de C.

c.

Partie B

1. a. ( ) 1 xu x e  . '( ) xu x e  .

b. On remarque que '

( ) 1 x

xe u f x

ue

    

donc les primitives de f sont de la forme

 ( ) ln ln 1 xF x u K e K       .

En 0, on a  (0) ln 2 ln 1 1 0F K K       .

2. a. & b.       1 1

1 0

100

2 2 ( ) ln 1 ln 1 ln 1 ln ln

11

x eA f x dx e e e ee

              

.

3.     1 1 11 1

1 0 0

1 1

2 ( ) ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln

1

n n n n n

n

v f x dx e e e e A e

     

 

                          

 .

On pouvait s’attendre au résultat car

1 1 1

1 0

( ) ( )n n

n

f x dx f x dx

   .

1. 18. Tangente hyperbolique et primitives

A. Une fonction

Soit f la fonction définie sur par : ( ) 4 1

xe f x

xe

On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O ; i, j )

(unité graphique : 2 cm)

1. Déterminer les limites de f en  et en  .En déduire les droites asymptotes à C.

2. Etudier les variations de f et en dresser son tableau de variations.

3. Démontrer que le point d'intersection A de C et de l'axe des ordonnées est centre de symétrie pour C.

4. Donner une équation de la tangente à C en A.

5. Tracer sur un même graphique : C, sa tangente au point A, et ses droites asymptotes.

B. Sa dérivée

On considère la fonction f ', dérivée de f. On note C’ sa courbe dans ( O ; i, j ).

1. En utilisant le fait que C admet le point A comme centre de symétrie, justifier que f’' est une fonction paire.

2. Déterminer les limites de f ' en  et en  . En déduire les droites asymptotes à C’.

3. Montrer que 2

''( ) 4 3(1 )

x xe e f x

xe

 

 ; étudier les variations de f' et dresser son tableau de variations.

4. Tracer C’ sur le même graphique que C.

5. Justifier la position de C’ par rapport à C.

C. Une de ses primitives

1. a. Justifier que f admet des primitives sur .

1. b. Soit F, la primitive de f sur qui s'annule pour x = 0, et soit  sa courbe représentative dans un

repère orthonormal ( O ; u, v ) (unité graphique : 2 cm).

Quel est le sens de variation de F ?

2. Expliciter F(x), pour tout x réel.

3. a. Déterminer les limites de F en  et en  . En déduire une propriété de la courbe  .

3. b Démontrer que la droite  d'équation y = 4x – 4 ln2 est asymptote à  .

4. Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.

5. Tracer  et ses asymptotes sur une autre feuille de papier millimétré.

Correction

A. La fonction f

1. 1

1 1

xe x xe e

  

, 1

lim 1 1

xex

   

, lim ( ) 4f x x

  

, lim 0 lim ( ) 0x e f x x x

    

.

La courbe C admet donc deux asymptotes horizontales : la droite d'équation y = 4 en  et la droite d'équation y = 0 en  .

2. xx e est définie et dérivable sur ; 1xx e  est définie et dérivable sur et n’est jamais nulle.

Donc f est dérivable sur , et

   

( 1) . '( ) 4 4

2 2 1 1

x x x x xe e e e e f x

x xe e

   

 

: f'(x) > 0 pour tout x réel, donc f

est strictement croissante sur .

Tableau de variations de f :

x  

f'(x) +

f(x) 4

0

3. xA = 0 et yA = f(0) = 2 : pour montrer que le point A est centre de symétrie de C, montrons que, pour

tout x réel, * xA – x Df et xA +x  Df : vrai car Df = R

* f(xA –x) + f(xA +x) = 2yA

2( 1) ( 1) ( ) ( ) 4 4 4 4 4

1 1 ( 1)( 1) 2

x xx x x xx x e ee e e ee e f x f x

x x x x x xe e e e e e

               

         

C.Q.F.D.

4. f'(0) = 1 : l'équation de la tangente à C en A est donc : y – 2 = 1(x – 0) soit : y = x + 2.

B. Sa dérivée

1. f' est définie sur . De plus, on sait que pour tout x réel, f(−x) + f(x) = 4, soit en dérivant :

'( ) '( ) 0 '( ) '( )f x f x f x f x      : f' est une fonction paire.

2.

  '( ) 4 4

2 2(1 )1

x xe e f x

xx ee

  



donc lim '( ) 0f x x

 

; de plus, lim '( ) 0f x x

 

: C’ admet donc

une asymptote horizontale, d'équation y = 0, en  et en  .

3.    

 

2 1 2 1 ( 1) 2

'''( ) 4 4 4 3( 1)1

x x x x x x x x xe e e e e e e e e f x

xx ee

        



, 2

''( ) 4 3( 1)

x xe e f x

xe

 

.

f''(x) est du signe de 2x xe e : 2 20 2 0x x x xe e e e x x x        .

Tableau de variations de f' :

x  0 

f''(x) + 0 −

f'(x) 1

0 0

5. Il semble que C se trouve au-dessus de C’. Pour le montrer, étudions le signe de f(x) – f'(x) :

     

2( 1) ( ) '( ) 4 4 4 4

2 22( 1)1 1 1

x x xx x xe e ee e e f x f x

xx x xee e e

      

  

; f(x) – f'(x) > 0 donc C est au-

dessus de C’.

C. Une de ses primitives

1. a. f est dérivable sur , donc elle admet une infinité de primitives.

1. b. Soit F une primitive de f sur . f est sa dérivée, et f(x) > 0 pour tout x réel donc F est une fonction strictement croissante sur

2. On reconnaît dans l'écriture de f(x) le modèle : f(x) = '( )

4 ( )

u x

u x , avec u(x) = ex + 1

Les primitives F de f sur sont donc de la forme :  ( ) 4 ln 1 ,xF x e K K    . Or, pour tout x réel, ex + 1 > 0 donc  ( ) 4 ln 1 ,xF x e K K    . De plus, F(0) = 0 donc : 4 ln (2) + K = 0 ; c'est à dire K = −4ln 2. Il vient donc : F(x) = 4ln(ex + 1) – 4ln 2.

3.a. lim ( ) ; lim ( ) 4 ln 2F x F x x x

     

.  admet donc une asymptote horizontale, d'équation

y = −4 ln 2 , en  .

3.b. Etude de l'asymptote oblique en  :

lim ( ( ) (4 4 ln 2)) lim (4 ln( 1) 4 ln 2 4 4 ln 2) lim (4 ln( (1 )) 4 )

lim (4 4 ln(1 ) 4 ) lim (4 ln(1 )) 0

x x xF x x e x e e x x x x

x xx e x e x x

            

         

 admet donc une asymptote oblique, d'équation y = 4x − 4 ln 2 , en +.

4. Tableau de variations de F :

x  

f(x) +

F(x) 

− 4 ln 2

Graphiques

X

Y

O 2

2 X A

Y = f (x)

Y = f ‘ (x)

Asymptote horizontale : y = 0

Asymptote horizontale : y = 4

Y

O

X2

2 Asymptote oblique : y = 4x - 4ln 2

Y = F (x)

Asymptote horizontale : y = - 4ln 2

1. 19. Antilles 09/2008 7 points

Soit f la fonction définie sur  par :   4

2 3

x

x

e f x x

e   

 .

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

d’unité graphique 2 cm.

1. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Démontrer que la droite D1 d’équation y = x +2 est asymptote à la courbe C.

c. Étudier la position de C par rapport à D1.

2. a. On note f’ la fonction dérivée de f. Calculer  f x et montrer que, pour tout réel x, on a :

  2

3 '

3

x

x

e f x

e

      

.

b. Étudier les variations de f sur  et dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. a. Que peut-on dire de la tangente D2 à la courbe C au point I d’abscisse ln3 ?

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