Contrôle de sciences statistiques 5 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 5 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 5- 3° partie - Fonction exponentielle. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les variations de la fonction, la primitive de la fonction, la tangente horizontale.
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b. En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe C par rapport à D2.

4. a. Montrer que la tangente D3 à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour équation 1

1 4

y x  .

b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente D3 sur l’intervalle  ; ln 3 . On pourra

utiliser la dérivée seconde de f notée ''f définie pour tout x de  par :    

  3

12 3 ''

3

x x

x

e e f x

e

 

.

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C. Tracer la courbe C, les tangentes D2, D3 et les asymptotes à la courbe C .On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm.

6. a. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur  par :   3

x

x

e g x

e  

.

b. Soit  un réel strictement négatif.

On note  A  l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par D1, C et les droites d’équations x  et

x = 0. Montrer que    4ln 4 4ln 3A e    .

c. Calculer  lim A

 

.

Correction

  4

2 3

x

x

e f x x

e   

 .

1. a.   4 0

lim 2 0 3x

f x 

      

 .

b.    4

lim 2 lim 0 3

x

xx x

e f x x

e     

 .

c.   4

( 2) 0 3

x

x

e f x x

e     

 car 0xe  . C est au-dessus de D1.

2. a.      

   

 

   

 

 

2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 12 312 6 9 12 ' 1 4 1

3 3 3 3 3

x x x x x x x x x x x

x x x x x

e e e e e e ee e e e f x

e e e e e

             

    

.

b. f’ est positive sur , f est croissante.   1

lim 2 4 lim 4 1 3 xx x

f x e 

         

.

(Remarque : comme 4 4

lim lim 4 3 1 3

x

x xx x

e

e e   

  , la droite 2 4 2y x x     est asymptote en  .)

x  

 f x +

 f x





3. a. D2 :   2

ln 3

ln 3

3 ' ln 3 0

3

e f

e

      

donc tangente horizontale.

b. Comme f est croissante, C est en-dessous de D2 lorsque x < ln3 et au-dessus lorsque x > ln3.

4. a.   2 20

0

3 2 1 ' 0

4 43

e f

e

             

,   4

0 2 1 1 3

f    

,      1

' 0 0 0 1 4

y f x f x     .

b. Posons             1 1

1 ' ' '' '' 4 4

g x f x x g x f x g x f x  

          

.

Sur l’intervalle  ; ln 3 ,    

  3

12 3 ''

3

x x

x

e e f x

e

 

est < 0, de même que g’’. g’ est décroissante et vaut 0

lorsque x = 0 ; g’ est donc positive avant 0, négative après 0 ; g est croissante avant 0, décroissante après 0 ; comme g(0)=0, g est toujours négative donc C est en dessous de D3.

x  0 ln3

g’’ – –

g

0

signe g’ + 0 –

g

0

signe g – 0 –

5.

6. a. La dérivée de 3xe  est xe , g est de la forme 'u

u , une primitive de g est  ln 3xe  .

b.             0 0 0

02 4 4 ln 3 4 ln 3 4 ln 3 3

x x

x

e A f x x dx dx e e e

e

                

   , soit

   4 ln 4 4 ln 3A e    .

c.    lim 4ln 4 4ln 0 3 4ln 4 4ln 3A

 

     .

1. 20. ROC+fonction intégrale, Am. du Nord 2007

7 points

1. Restitution organisée de connaissances.

L’objet de cette question est de démontrer que lim x

x

e

x   .

On supposera connus les résultats suivants :

* la fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa fonction dérivée ;

* 0 1e  ;

* pour tout réel x, on a xe x ;

* soient deux fonctions  et  définies sur l’intervalle  ;A  où A est un réel positif. Si, pour tout x

de  ;A  , on a    x x  et si  lim x

x 

  alors  lim x

x 

  .

a. On considère la fonction g définie sur  0 ;  par   2

2

x xg x e  .

Montrer que pour tout x de  0 ;  ,   0g x  .

b. En déduire que lim x

x

e

x   .

2. On appelle f la fonction définie sur  0 ;  par   2 1

4

x

f x xe

 . On appelle C sa courbe

représentative dans un repère orthogonal ( ; , )O i j . La courbe C est représentée ci-dessous.

a. Montrer que f est positive sur  0 ;  .

b. Déterminer la limite de f en  . En déduire une conséquence graphique pour C.

c. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur  0 ;  .

3. On considère la fonction F définie sur  0 ;  par     0

x

F x f t dt  .

a. Montrer que F est une fonction croissante sur  0 ;  .

b. Montrer que   2 21 2

x x x

F x e e  

   .

c. Calculer la limite de F en  et dresser le tableau de variations de F sur  0 ;  .

d. Justifier l’existence d’un unique réel  tel que   0, 5F   . A l’aide de la calculatrice, déterminer une

valeur approchée de  à 10−2 près par excès.

4. Soit n un entier naturel non nul. On note An l’aire en unités d’aire de la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations 0x  et x n . Déterminer le plus petit entier

naturel n tel que 0, 5nA  .

Correction

1. On numérote les propriétés :

(1) la fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa fonction dérivée ;

(2) 0 1e  ;

(3) pour tout réel x, on a xe x ;

(4) soient deux fonctions  et  définies sur l’intervalle  ;A  où A est un réel positif. Si, pour tout

x de  ;A  , on a    x x  et si  lim x

x 

  alors  lim x

x 

  .

a. La dérivée de g est  ' xg x e x  (utilisation de (1)) qui est positive (utilisation de (2)) ; par ailleurs

 0 1g  (utilisation de (3)), soit   1g x  et donc   0g x  .

b. On a donc 2

2 2

x x x e xe

x    ; comme

2

x tend vers  en  , lim

x

x

e

x   (utilisation de (4)).

2.   2 1

4

x

f x xe

 .

a. L’exponentielle est toujours positive ; sur  0 ;  , il en est de même de 1

4 x donc   0f x  .

b. On pose 2

x X  ,    

1 lim lim 0

2

X

x X f x f x Xe

     (croissances comparées). La courbe de f admet

l’axe (Ox) comme asymptote horizontale.

c.    2 2 2 1 1 1

2 4 2 8

x x x

f x e xe x e    

         

donc positive avant 2, négative après.   1 1 1

2 2 2

f e e

  .

x 0 2 

 'f x + −

 f x

0

1

2e

0

3. a.    'F x f x (cours…) qui est positive sur  0 ;  comme le montre le tableau de variation.

b. Soit on intègre par parties, soit on dérive   2 21 2

x x x

F x e e  

   en vérifiant que  0 0F  .

  0 00 1 0 1 1 0F e e      ;    2 2 2 2 1 1 1 1

2 2 2 2 4

x x x x x

F x e e e xe f x      

            

.

c. Tous les termes contenant 2 x

e

tendent vers 0 donc F tend vers 1.

x 0 

 f x +

 F x

0

1

d. F est monotone strictement croissante, continue sur  0 ;  ; 0 0, 5 1  , il existe donc un unique

 dont l’image par F est 0,5. La calculatrice donne :  3,35 0, 499f  et  3,36 0, 501f  ; on prend

3,36  .

4.      0nA F n F F n   ; on a donc 0, 5nA  lorsque n  , soit pour 4n  .

1. 21. Equation différentielle, équation fonctionnelle et sinus hyperbolique, La Réunion, juin 2004

6 points

On désigne par f une fonction dérivable sur et par f’ sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :

(1) Pour tout nombre réel x,     2 2

'( ) ( ) 1f x f x  .

(2) '(0) 1f

(3) La fonction f’ est dérivable sur .

On rappelle que la dérivée de nu est 1' nnu u  .

1. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, '( ) 0f x  .

b. Calculer f(0).

2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :

(4) Pour tout nombre réel x, ''( ) ( )f x f x .

où ''f désigne la dérivée seconde de la fonction f.

3. On pose 'u f f  et 'v f f  .

a. Calculer u(0) et v(0).

b. Démontrer que 'u u et 'v v  .

c. En déduire les fonctions u et v.

d. En déduire que, pour tout réel x, ( ) 2

x xe e f x

  .

4. a. Etudier les limites de la fonction f en  et  .

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

5. a. Soit m un nombre réel. Démontrer que l’équation ( )f x m a une unique solution  dans .

b. Déterminer cette solution lorsque m = 3 (on en donnera une valeur approchée décimale à 10−2 près).

Correction

1. a.     2 2

'( ) ( ) 1f x f x  : ce nombre est toujours strictement positif (à cause du 1), il ne peut

s’annuler.

  2

'( ) 0 '( ) 0f x f x   .

b. Comme '(0) 1f  , en remplaçant x par 0 dans (1), on a 21 ( (0)) 1 (0) 0f f    .

2.     2 1 2 1

2 ''( ) '( ) 2 '( ) ( ) 0 2 ''( ) '( ) 2 '( ) ( ) 0 ''( ) ( )f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x          après simplification

par 2 '( )f x qui n’est pas nul.

3. a. (0) '(0) (0) 1u f f   , (0) '(0) (0) 1 0 1v f f     .

b. ' '' ' 'u f f f f u     et ' '' ' 'v f f f f v      .

c. xu Ce ; avec (0) 1u  , on a C = 1 ; de même xv Ce ; avec (0) 1v  on a xv e .

d. Au final '

2 ( ) 2'

x x x x x x

x x

u e f f e e e f e e f x

v e f f e

 

 

            

    

.

4. a. 1

lim ( ) lim ( 0) 2 2

x x

x x

e e f x

 

      ,

1 lim ( ) lim (0 )

2 2

x x

x x

e e f x

 

      .

b.  1'( ) 0 2

x xf x e e   .

x  

f '(x) +

f(x)





5. a. Deux possibilités : par lecture du TV, par le calcul.

Comme f est continue, monotone strictement croissante de vers , elle est bijective et l’équation f(x) = m a une unique solution pour tout m.

Par le calcul : on pose xe X , ce qui donne 2 1 1

2 1 0 2

X m X mX X

        

  : 24 4 0m    d’où

2 2 2 2

1 2

2 4 4 2 4 4 1 0, 1 0

2 2

m m m m X m m X m m

              .

On revient à xe : on ne peut avoir 2 xe X il reste simplement  2 21 ln 1xe m m x m m       .

b. Avec la première manière on le fait à la calculatrice et on trouve 1,82. La deuxième méthode donne

ln(3 10) .

1. 22. Exp, équation, suite réc, Am. du Sud, juin 2004

7 points

Soit la fonction f définie par ( ) xf x xe sur [0 ; [ .

On note  la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé ( ; , )O i j (unité

graphique : 10 cm).

Partie A

1. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

c. construire  .

2. a. Montrer que pour tout réel m de l’intervalle 1

0 ; e

     

, l’équation ( )f x m admet deux solutions.

b. Dans le cas où 1

4 m  , on nomme  et  les solutions, (avec  <  ). Déterminer un encadrement

d’amplitude 10−2 de  .

c. Résoudre l’équation ( )f x m dans le cas où m = 0 et 1

m e  .

Partie B

On considère la suite ( )nu définie sur par 0

1 un

n n

u

u u e

 

 



où  est le réel défini à la question A. 2. b.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0nu  .

b. Montrer que la suite ( )nu est décroissante.

c. La suite ( )nu est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

2. On considère la suite ( )nw définie sur par lnn nw u .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a 1n n nu w w   .

b. On pose 0 1 ...n nS u u u    . Montrer que 0 1n nS w w   .

c. En déduire lim n n

S 

.

3. On considère la suite ( )nv définie sur par son premier terme 0v , 0 0v  , et pour tout entier n, par

1 vn

n nv v e

  . Existe-t-il une valeur de 0v différente de  telle que, pour tout entier 1n  , on ait

n nu v ? Si oui, préciser laquelle.

Correction

Partie A

1. a. lim ( ) lim lim 0x X x x X

f x xe Xe

       .

b. '( ) (1 )x x xf x e xe x e      . L’ex ponentielle est positive, f’ est du signe de 1 − x.

c.

x 0 1 

f  + −

f

0

1

e

0

2. a. La droite d’équation y m coupe la courbe  en deux points, l’équation ( )f x m a donc bien deux

solutions. Plus scientifiquement, lorsque m est dans 1

0 ; e

     

, il a deux antécédents par f : un antécédent

entre 0 et 1 car f est croissante et continue de ]0 ;1[ vers 1

0 ; e

     

, l’autre entre 1 et  car f est continue,

monotone, décroissante de ]1 ; [ vers 1

0 ; e

     

.

b. On cherche quand f(x) encadre 1/4 : f(0,3573) = 0,2499 et f(0,3574) = 0,25001.

c. ( ) 0f x  a l’unique solution 0 (tableau de variation) et 1

( )f x e  a pour unique solution 1.

Partie B 0

1 un

n n

u

u u e

 

 



a. Comme 0 0u   et que si 0nu  alors 0 un

nu e   , il est clair que 0nu  pour tout n.

b. On peut faire 1 ( 1) u un n

n n n n nu u u e u u e  

      ; or 0 0 1 1 0 u un n

n nu u e e  

         donc la

suite ( )nu est décroissante.

c. ( )nu est décroissante et minorée par 0, elle converge donc. Soit l sa limite, on a

0

1 0

l

l

l le l

e l

   

    ; la seule possibilité est que 0l  .

2. lnn nw u .

a. Prenons le logarithme de 1 1 1ln ln ln ln u un n

n n n n n n n n nu u e u u e u u w w u  

           , soit

1n n nu w w   .

b. 0 1 0 1 1 2 1 1 0 1... ...n n n n n n nS u u u w w w w w w w w w w                 .

c. Comme nu tend vers 0, nw tend vers  , donc nS tend vers  .

3. En fait à partir de 0u  on a 1 1

( ) 4

u f   ; mais 1

( ) 4

f   , donc si l’on prend 0v  , à partir du

rang 1 les deux suites seront confondues.

1. 23. Exp et aire

Soit la fonction f définie sur par   2 1x

x f x

e   

.

On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( ; , )O i j ; cette

représentation est fournie ci-dessous.

1. Déterminer la limite de f en  et interpréter graphiquement ce résultat.

2. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Démontrer que la droite (d) d’équation y = x + 2 est une asymptote pour Cf.

c. Étudier la position de Cf par rapport à (d).

3. Pour tout entier naturel n, tel que n 2 , on note Dn l’ensemble des points M(x, y) du plan, dont les coordonnées vérifient : 2  x n et 2  y f(x)et on appelle An son aire, exprimée en unités d’aire.

a. Faire apparaître D5 sur la figure.

b. Démontrer que pour tout x , tel que x 2, on a : 7

8 1

x x

x

x xe xe

e

   

.

c. On pose 2

n x

nI xe dx   . À l’aide d’une intégration par parties, calculer In en fonction de n.

d. Écrire un encadrement de An en fonction de In.

e. On admet que An a une limite lorsque n tend vers  . Déterminer la limite de In lorsque n tend vers  .

Que peut-on en déduire pour la limite de An lorsque n tend vers  ? Donner une interprétation géométrique de ce dernier résultat.

Correction

1. En  , on a 1 1

0 /x x

x

e e x   

 d’où f tend vers 2.Asymptote horizontale 2y  .

2. a. En  , xe tend vers 0, f tend vers  .

b.      1

2 2 2 1 1 1

x x

x x x

x x ex xe f x x x

e e e

         

   tend vers 0 lorsque x tend vers  .

(d) est une asymptote pour Cf en  .

c. Le signe de    2 1

x

x

xe f x x

e   

 est celui de x, donc lorsque x est positif, Cf est au dessus de (d),

lorsque x est négatif Cf est en dessous de (d).

3. a. C’est la zone comprise entre la courbe, les droites x = 2, x = 5 et y =2.

b. Comme 1x xe e  , on a 1 1

1 1

x

x x x x

x x xe

e e e e

     

; pour l’inégalité de gauche, dvisons par x :

 7 1 7 7 7 7 1 11 1 1 ln 7 ln 7 8 8 8 8 8 8 71

x x x x x x

x e e e e e e x x

e

                     

.

Or 2x  , c’est donc vrai.

c. 2 2 22 2

( 1) 3 n nn n

x x x x x n nI xe dx xe e dx xe e n e e

                          .

d. On a   1 1

2 2 2 2 2

7 7 ( ) 2

8 8

n n n n n x x

n n n nx x

x x A f x dx dx xe dx dx xe dx I A I

e e

 

               .

e. Lorsque n tend vers  , In tend vers 23e (croissances comparées). Par conséquent la limite de nA

est comprise entre 2 7

3 8

e et 23e . Ceci donne un encadrement de l’aire comprise entre Cf, x = 2 et y = 2.

1. 24. Caractéristique de Exp et tangentes

1. Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité 2 cm tracer la courbe représentative (C) de la fonction

exponentielle ( xx e ) sur l’intervalle  2 ; 2 .

2. Tracer sur la même figure les tangentes à (C) aux points d’abscisses 1 1x   , 2 0x  et 3 1x  .

Chacune de ces tangentes coupe l’axe horizontal en un point d’abscisse 1x  , 2x  , 3x  .

Mesurer à la règle les trois distances i ix x , i = 1, 2, 3. Que constatez-vous ? (Les trois longueurs

mesurées doivent apparaître clairement sur le graphique.)

3. Soit A un point de (C) d’abscisse a. Vérifiez que l’équation de la tangente (T) en A à (C) a pour

équation  1a ay e x a e   . Justifiez alors que le résultat du 2. est bien une constante que l’on précisera par le calcul.

4. On cherche désormais s’il y aurait d’autres courbes présentant cette propriété : soit une fonction f de courbe représentative (C), A un point de (C) d’abscisse a, (T) la tangente en A à (C) et a’ l’abscisse du point d’intersection entre (T) et (Ox) quand il existe. On note f’ la fonction dérivée de f.

a. Donner l’équation de la tangente (T).

b. Exprimer a’ en fonction de a,  f a et  'f a . En déduire 'a a .

c. Soit k une constante réelle. Montrer que  

  '

f a a a k k

f a    

 . Résoudre cette équation et conclure.

Correction

1.

2. Les trois longueurs mesurées valent 1.

3.   af a e ,  ' af a e ;          ' 1a a a ay f a x a f a e x a e e x a e         .

Le point d’intersection entre (C) et (Ox) a pour abscisse x0 :    

0 0

1 1 0 1

a a a

a

a e e x a e x a

e

       

d’où la distance entre a et x0 :  0 1 1a x a a     .

4. a.      'y f a x a f a   .

b. Le point d’intersection entre la tangente et (Ox) a pour abscisse a’ :

       

 

 

  0 ' ' ' '

' '

f a f a f a a a f a a a a a

f a f a           .

c. On a donc bien  

  '

f a a a k k

f a    

 . En fait il s’agit simplement de l’équation différentielle

1 'y y

k

dont les solutions sont de la forme   1

x kf x Ce .

Par exemple pour la situation de départ on avait 1k  (   xf x e ) et l’écart mesuré était bien de 1. Ceci caractérise d’ailleurs les fonctions exponentielles.

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