Contrôle de sciences statistiques 6 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 6 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 6- 1° partie - Fonction exponentielle. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Introduction à l’exponentielle, Une approche graphique des fonctions solutions, Utilisation de la...
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Terminale S

Fonction exponentielle Exercices

1. Introduction à l’exponentielle (simple) 1 1-a : Approche par les suites géométriques 1 1-b : Introduction de l'équa. diff. y'=ky 1 1-c : Une approche graphique des fonctions solutions de f'(x)=f(x) 2 1-d : Utilisation de la méthode d'Euler 2 1-e : Définition et premières propriétés de la fonction exponentielle 3

2. Introduction à l’exponentielle (difficile) 4 2-a : La méthode d’Euler 4 2-b : Résolution de y’ = y 5 2-c : Quelques propriétés de exp 6 2-d : Quelques résolutions avec utilisation de la méthode d’Euler 8

3. Exercices 9 3. 1. Un peu de théorie 9 3. 2. QCM 9 3. 3. QCM, Antilles 2006 10 3. 4. STL, France, Juin 2006 (10 points) 10 3. 5. STL, France, juin 2005, Biochimie–Génie biologique 11 3. 6. STL, France, juin 2005, (10 points) 11 3. 7. STL, France, sept. 2004 12 4. STL, France, juin 2004, Biochimie - Génie biologique 12 4. 8. STL, France, juin 2004, 13 4. 9. STL, France, juin 2004 14 4. 10. Étude+aire, Polynésie, nov 2010, 7 pts 14 4. 11. Famille de fonctions expo + intégrales 15 4. 12. Expo+suite integrales 16 4. 13. Problème expo, Amérique du Nord 1999 17 4. 14. Problème expo, Pondichéry 2003 18 4. 15. Expo+equa diff second ordre+intégrale 19 4. 16. Expo + acc finis 20 4. 17. Expo + suite intégrales 21 4. 18. Sous-tangente constante 22 4. 19. Expo + equa diff + intégrale, Asie 1999 22 4. 20. Equa diff : insectes 23 4. 21. Problème- expo, Djibouti 1995 24

4. 22. Deux exp pour le prix d’une, N. Calédonie 1996 24 4. 23. Exp+dérivabilité, La Réunion 2007 25 4. 24. Dérivabilité, Paris C 1979 25 4. 25. Equation diff+fonction+intégrale 26 4. 26. Etude+aire+volume révo., C. étrangers 2006 27 4. 27. Sol équation+vol de révolution, Antilles 2004 27 4. 28. Solution d’équa diff, Polynésie 2004 28 4. 29. Problème classique, Am. du Sud 2002 29 4. 30. Tangente hyperbolique, Polynésie 2002 30 4. 31. Etude de fonction 31 4. 32. Equation exponentielle+ROC+prise initiative 31 4. 33. Expo+ln 32 4. 34. Recherche d’une fonction + aire +suite 32 4. 35. Groupe 1 1996 34 4. 36. Acc. finis, N. Calédonie 1993 35 4. 37. Bac S, 1997 36 4. 38. Exponentielle de base quelconque 36 4. 39. Equa diff + cosh, Centres étrangers 2001 36 4. 40. Tangentes communes à ln et exp, 1996 37 4. 41. Exp et suites, La Réunion 2004 38 4. 42. Exp et suites, N. Calédonie 1996, 39 4. 43. Bac S 1995, plus classique, tu meurs (Corneille) 39 4. 44. Exp et radical 40 4. 45. Exp par morceaux, Bac E, Rennes 1976 40 4. 46. Un problème pas très marrant 40 4. 47. Autour de exp(1/x) 41 4. 48. Coûts de fabrication 41 4. 49. exp(−x²), Amérique du Sud 2005 42 4. 50. Exp+cos+suite, Polynésie rempl. 2005 43 4. 51. Exp+Intégrale, Polynésie sept 2006 44 4. 52. Equations+ROC, Asie 2007 45 4. 53. Equation+suite réc., C. étrangers 2007 45 4. 54. ROC+tangente+suite, N. Calédonie nov 2007 46 4. 55. ROC+suite intégrales, Liban 2010, 5 pts 47 4. 56. ROC+suite, N. Calédonie 11/2008 48 4. 57. Fonction+équa diff+aire, Antilles 2008 48 4. 58. ROC+paramètres, Asie 2008 48 4. 59. Famille fonctions+suite, C. étrangers 2009 50

1. Introduction à l’exponentielle (simple)

1-a : Approche par les suites géométriques

Une ville voit sa population augmenter de 10 % chaque année.

Le 31 décembre 1990, elle comptait u0 = 50 000 habitants. On note un le nombre d’habitants à la date du 31 décembre de l’année 1990 + n.

1. Calculer le nombre d’habitants de cette ville les 31 décembre 1991 et 1992. Quelle est la nature de la suite (un) ?

2. En déduire l’expression de un en fonction de n et le nombre d’habitants de cette ville le 31 XII 2003.

3. Placer sur un graphique les points de coordonnées (n ; un) pour n entier, 0 13n  . Proposer une méthode pour estimer le nombre d'habitants de cette ville à la fin du mois de juin de l'année 2003.

1-b : Introduction de l'équa. diff. y'=ky

L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c’est- à-dire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit 1023 ), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps  t à partir d’un instant t, rapporté au nombre total de

noyaux N(t) présents à l’instant t et au temps d’observation  t, est une constante  caractéristique du noyau en question.

On peut donc écrire : ( )

( )

N t t

N t

    ou encore )(

)()()( tN

t

tNttN

t

tN 

 

 .

En faisant tendre  t vers 0, on trouve alors '( ) ( )N t N t  ou encore )( )(

tN dt

tdN  .

Trouver les fonctions N qui satisfont cette condition , c’est résoudre l’équation différentielle 'y y  .

On peut pressentir que la donnée de la population N(0) = N0 au départ détermine parmi les solutions trouvées celle qui décrira l’évolution de N (l'unicité de la solution sera peut-être démontrée plus tard).

Le problème posé en termes mathématiques est alors le suivant :

Résoudre l’équation différentielleyy ' .

C’est à dire chercher les fonctions f dérivables sur qui vérifient que pour tout t , f’(t)=− f(t). Puis parmi celles-ci, celle qui vérifie f(0)= N0.

1-c : Une approche graphique des fonctions solutions de f'(x)=f(x)

Préambule: Nous considérons ici l'équation différentielle : y’ = y. Une fonction est une solution de cette équation différentielle, si elle est dérivable sur et que pour tout réel x, on a f'(x) = f(x).

On peut remarquer que si f est une solution de l'équation différentielle y' = y alors la fonction g définie par g(x) = kf(x) avec k un réel quelconque est également une solution et il existe alors une infinité de solutions à cette équation différentielle.

L'activité suivante conduit à une construction des courbes intégrales (ce sont les courbes des fonctions solutions de l'équation différentielle) et permet de visualiser que la donnée d'une valeur de la fonction (b = f(a)) détermine cette fonction.

Activité: Supposons que (a ; b) sont les coordonnées d'un point M appartenant à la courbe représentative C d'une solution de l'équation différentielle.

1. Commençons tout d’abord par le point M1 de coordonnées (0 ; 1). Déterminer une équation de la tangente en M1.

2. Soient M2, M3 et M4 les points de coordonnées respectives(−1 ; 2), (2 ; 1) et (0 ; −1). Déterminer une équation de la tangente en chacun de ces points. Une même courbe peut-elle passer par M1 et M4 ?

3. Démontrer que, dans le cas général l’équation de la tangente T à C en M est y bx ab b   .

Quelle remarque peut-on faire sur le coefficient directeur de cette tangente ?

M et M’ étant deux points de même ordonnée que peut-on dire des tangentes en M et M’ ?

4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal (unité 3 cm), on considère les points dont les

coordonnées (x ; y) vérifient 2 4x   , 2 2y   , 2

k x  et

'

2

k y  avec k et k’ entiers. Pour chacun de

ces points tracer un segment de tangente (environ 1 cm).

5. Admettons qu'il existe une unique fonction f solution vérifiant f(0) = 1 et pour tout réel x, f '(x) = f(x).

Construire une ébauche de la courbe représentative de cette fonction. Quelle valeur approchée de f(1) obtient-on ?

1-d : Utilisation de la méthode d'Euler

De nombreux phénomènes d’évolution sont modélisés par une fonction dérivable f dont la dérivée f’ est proportionnelle à la fonctionf elle-même (f’ = kf). Nous allons observer l’une d’elle par la méthode d’Euler.

Soit f une fonction dérivable sur vérifiant f(0) = 1 et pour tout x : f’(x) = f(x).

1. Montrer que, pour tous réels a et h (h voisin de 0), l’approximation affine de f en a,

s’écrit : ( ) ( ) (1 )f a h f a h    .

2. Appliquer cette formule avec a = 0, a = h, a = 2h, ... En déduire que, si l’on part de f(0), la suite des valeurs approchées de f(x) obtenues par laméthode d’Euler, avec le pas h, est une suite géométrique. Quelle est sa raison ?

3. Construire point par point sur le même graphique, une représentation graphique approchée de f en prenant un pas h de 0,5 puis de 0,1. Prolonger la courbe sur l’intervalle [−1 ; 2] avec la même méthode (pas h de 0,1).

A l’aide d’un tableur, on peut représenter cette fonction de manière encore plus précise et sur un intervalle plus large.

La fonction f est appelée fonction exponentielle.

4. Valeur approchée de f(1) : on se place sur l’intervalle [0 ; 1] que l’on subdivise en n intervalles. Le pas

h vaut donc ici 1

n .

a. Montrer que la valeur approchée de f(1) obtenue par cette méthode est 1

1

n

n

   

  .

b. Donner la valeur approchée de f(1) correspondant à n =10 000. On admettra que la suite de terme

général 1

1

n

n

   

  converge et on notera e sa limite.

1-e : Définition et premières propriétés de la fonction exponentielle

L’étude faite dans les questions précédentes nous amène à conjecturer l’existence de solutions à l’équation différentielle y’ = y (ce sont les fonctions dont on peut tracer les représentations graphiques de manière approchée en « suivant » les tangentes tracées en 3.). Cependant ces constatations ne constituent pas une preuve. Pour poursuivre notre étude nous sommes conduits à admettre un résultat :

« Il existe une fonction f dérivable sur qui est solution de y’ = y et qui vérifie f(0) = 1. »

Nous allons étudier dans la suite les conséquences de cette conjecture (dans la suite du problème f désignera toujours cette fonction).

1. Posons F(x) = f(x). f(−x). Calculer la dérivée de F. En déduire que f(x) n’est jamais nulle.

2. Supposons que g est une (autre) solution de y’ = y. Posons ( )

( ) ( )

g x h x

f x  .

a. Démontrer que h est dérivable sur et que h’(x) = 0.

b. En déduire que pour tout réel x, ( ) (0) ( )g x g f x  , puis que f est la seule solution de l’équation

différentielle qui prend la valeur 1 en 0.

3. Soit a un réel. On considère la fonction g définie par ( ) ( )g x f a x  .

Démontrer que g est une solution de l’équation différentielle y’ = y. En déduire que pour tout réels a et

b, on a : ( ) ( ) ( )f a b f a f b  .

4. a et b sont deux réels quelconques.

a. En utilisant judicieusement l’égalité démontrée à la question précédente et f(0)=1, calculer  f a et

 f a b .

b. Démontrer que pour tout n entier relatif      n

f na f a .

Correction

On part donc sur la constatation que f est solution de y’ = y , soit f’ = f et f(0) = 1.

1. F(x) = f(x). f(−x). La dérivée de  f x est  'f x  donc

                 ' ' ' ' 'F x f x f x f x f x f x f x f x f x           .

Comme    'f x f x et également    'f x f x   , on a          ' 0F x f x f x f x f x     donc

F est une constante. Par ailleurs  0 1f  donc      0 0 0 1F f f  .

Si il existe a tel que   0f a  alors on aurait   0F a  ce qui est impossible.

2. ( )

( ) ( )

g x h x

f x  avec g’ = g et f’ = f.

a.              

   

2 2

'( ) ' '( ) 0 cte

( )

g x f x g x f x g x f x g x f x h x h x

f x f x

       .

b.    

 

   

0 0 0 0

0 1

g g h g

f    donc      

 

         0 0 0 0

g x h x h g g g x g f x

f x       .

A priori  0g peut prendre n’importe quelle valeur ; si cette valeur était 1, on aurait    g x f x donc

f est la seule solution de l’équation différentielle qui prend la valeur 1 en 0.

3. ( ) ( )g x f a x  ,    '( ) '( )g x f a x f a x g x     donc g est une solution de l’équation y’ = y.

Prenons x b :                0 0g b f a b g f b f a f b f a f b      donc ( ) ( ) ( )f a b f a f b  .

4. a. On prend évidemment b a  :          

1 ( ) ( ) ( ) 0 1f a a f a f a f a f a f f a

f a           ; on

en tire alors    

 

 

1 ( ) ( ) ( )

f a f a b f a f b f a

f b f b      .

b. Par récurrence, on a       2

2f a f a a f a      ;

puis           1

( 1) n n

f n a f na a f a f a f a

           .

2. Introduction à l’exponentielle (difficile)

L’objectif de ce travail est de découvrir la fonction exponentielle réelle à travers la résolution d’une équation différentielle par la méthode d’Euler. La première partie doit vous permettre de maîtriser cette méthode avec le concours d’Excel, la deuxième permet de trouver la solution de l’équation différentielle, la troisième démontre certains résultats très importants quand à la quatrième on revient à la méthode d’Euler pour résoudre deux équations différentielles intéressantes.

2-a : La méthode d’Euler

Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue (notée généralement y) et ses dérivées (y’, y’’, …).

On dira que l’équation est linéaire et du premier ordre si on peut l’écrire  ' ( ) ( )y P x y Q x . L’équation est

sans second membre si Q(x) = 0. Par la suite k, k’, C désigneront des constantes, x la variable.

D’une manière générale si on a une équation différentielle (E) et que l’on nous donne une fonction f dont on demande si elle est solution, il suffit de calculer les dérivées nécessaires de f, de remplacer et de vérifier que f satisfait (E) (on arrive alors à une égalité du style 0=0).

1. On s’intéresse à la résolution de l’équation différentielle 'y ky k est un réel quelconque. En

revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que    ( ) (1 ) ( ) ( )y x h hk y x h h avec  

 0

lim ( ) 0 h

h .

2. On définit les suites (xn) et (yn) par 0x , 0y ,   1n nx x h et    1 (1 ) ( )n ny hk y h h . Donner

l’expression de xn en fonction de , h et n. En considérant que ( )h h est négligeable donner une

expression de yn en fonction de , h, k et n.

3. On prend  = 0 et  = 1.

a. Construire une feuille de calcul permettant de calculer les valeurs successives de xn et yn. Tracer les représentations graphiques Cn(xn, yn) obtenues dans les cas suivants avec un pas h = 0,02 :

k = −2 ; k = −0,5 ; k = 0 ; k = 0,5 ; k = 1 ; k = 2.

b. Toujours avec  = 0 et  = 1, justifier que quand k > 0 la fonction y est croissante, quand k = 0 la fonction y est constante et quand k < 0 la fonction y est décroissante.

c. En modifiant les valeurs de  et  dans la feuille de calcul déterminer les changements apportés par ces différentes valeurs aux courbes Cn.

2-b : Résolution de y’ = y

On note n! (ce qui se lit factorielle de n) le nombre 1.2.3...( 1).n n .

1. a. On se demande s’il existe une fonction polynôme satisfaisant à l’équation (1) 'y y avec (0) 1y .

Pour cela on pose 

 1

( ) N

n

n

n

P x a x . Calculez P’(x) et déduisez-en qu’aucune fonction polynôme (autre que

le polynôme nul) n’est solution.

b. On considère que dans P(x) N devient très, très grand. Montrez alors que si P était solution on aurait

 1

! na

n . On admettra que la fonction (si, si, ça représente bien une fonction) définie par

 1

1 ( )

!

n

n

f x x n

est solution de (1) (la fonction f ici définie a été trouvée par Newton aux débuts du calcul différentiel).

2. On revient à la méthode d’Euler : on considère les suites 0 0x , 0 1y ,   1n nx x h ,   1 (1 )n ny h y et

on pose pour une valeur xfixée  1

x h

n . On note alors  ( )n nx x x et  ( )n ny y x .

Montrez alors que                

      ( ) 1 1 ... 1 (1 )

1 2 n

x x x y x x

n n .

3. On s’intéresse au comportement de ( )ny x lorsque n tend vers l’infini.

a. Montrez que lorsque x est positif ou nul,        

( ) 1 ( )

n

n n

x y x w x

n et que lorsque x est négatif ou nul,

       

( ) 1 ( )

n

n n

x y x w x

n .

b. Montrez que 

 ( )

lim 1 ( )

n

n n

w x

y x . On admettra que pour n suffisamment grand les suites ( )nw x et ( )ny x sont

« équivalentes », c’est-à-dire qu’elles ont le même comportement.

4. Comportement de ( )nw x .

a. Démontrez par récurrence la propriété (P) :   (1 ) 1nu nu pour tout réel u > −1.

b. Sens de variation de wn : montrez que      

1 1 1 ( 1)

x x x

n n n n . Justifiez alors que si n > x > −n,

 

                  

             

1

11 1

1( ) 1 1 1 1 ( 1)( )

( 1) 1

n

nn n

n

x x x x w x

xn n n n x n n

n

puis en utilisant (P) que pour un entier n suffisamment grand, 

          

   

1

1( ) 1 1 ( )

n

n n

x x w x w x

n n x .

Concluez.

5. On considère 

      

( ) 1

n

n

x z x

n toujours avec n > x > −n.

a. Tracez avec l’aide de votre tableur préféré les suites ( )nw x et ( )nz x pour x = 2 puis pour x = −0,5.

Quelles conjectures pouvez-vous faire sur leur comportement ?

Les vraiment courageux peuvent s’attaquer aux questions d., e. et f.

b. Montrez que   1

( ) ( )

n

n

w x z x

; déduisez-en que ( )nz x est décroissante à partir d’un certain rang.

c. Montrez que         

2 2

2

( ) 1 1

( )

n

n

n

w x x x

z x nn ; qu’en déduisez-vous pour ( )nw x et ( )nz x ?

d. Montrez que    2

0 ( ) ( ) ( )n n n x

z x w x w x n

. Quelle est la limite de ( ) ( )n nz x w x quand n tend vers

l’infini ? Concluez !

6. On conclut donc de tout ceci à l’existence d’une limite commune aux suites ( )nw x et ( )nz x ; cette

limite est une fonction et est notée exp(x) (exponentielle de x) avec

 

           

   

1 exp( ) lim 1 lim 1

exp( )

n n

n n

x x x

n n x

Par définition des suites ( )ny x et ( )nz x on a exp(0) = 1.

On s’intéresse ici à la dérivée de exp (a priori exp doit être solution de y’ = y, donc sa dérivée doit être elle-même, sinon tout ce qu’on a fait n’aura servi à rien) : on cherche donc la limite de

 exp( ) exp( )x h x

h lorsque h tend vers 0.

a. Montrez que

                    

          

( ) 1 1 1 ( ) 1

1

n

n nn

n n

x h x h h y x h y x

xn n n x n

n

.

b. Montrez que lorsque n est suffisamment grand on a   

1 h

n x .

c. En utilisant la propriété (P) montrez que  

     

( ) ( ) 1n n nh

y x h y x n x

puis que

  

( ) ( ) ( )n n n

y x h y x n y x

h n x .

Lorsque n tend vers l’infini quelle inégalité obtenez-vous ?

On remplace h par −h dans l’inégalité précédente, ce qui donne

       exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( )x h x h x x x h h x

puis x par x + h :

       exp( ) exp( ) exp( ) (1 )exp( ) exp( )x h x h x h h x h x

En prenant h petit, 1−h >0 d’où        

1 exp( ) exp( ) exp( ) exp( )

1 1

h x h x x h x

h h . Il n’y a plus qu’à

conclure.

7. Nous savons maintenant que l’équation y’ = y avec y(0)=1 a au moins une solution. Est-ce la seule ?

a. On suppose qu’il existe une solution g autre que exp. Posons ( ) ( )exp( )f x g x x . Calculez f’(x).

b. Montrez que g est alors telle que '( ) 0g x . Que vaut g(x) ?

c. En utilisant f(0) = 1, montrez que f n’est autre que exp.

2-c : Quelques propriétés de exp

Les questions précédentes montrent deux définitions différentes de exp(x) :

  

   0 0

exp( ) lim ! !

n nN

N n n

x x x

n n et



    

  exp( ) lim 1

n

n

x x

n .

(La première définition n’a pas été justifiée proprement, ce sera l’objet d’un problème ultérieur).

1. Avec Excel tracez les deux suites représentant exp(1) pour n compris entre 0 et 200 ainsi qu’une droite horizontale représentant exp(1) (on l’obtient directement avec la fonction exp de Excel). Quelle

définition vous semble la plus efficace en terme de temps de calcul ? Le nombre exp(1) 2,7183... est

noté simplement e.

2. exp est toujours strictement positive

a. On suppose qu’il existe un réel  tel que exp() = 0, calculez  exp( )exp( ) ; concluez.

b. Comme exp est dérivable sur elle est continue sur . En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires montrez que exp(x) > 0 pour tout x réel.

c. Déduisez-en le sens de variation de exp.

3. Dérivée de exp(u)

En utilisant la dérivation des fonctions composées montrez que   exp( ) 'exp( )u u u .

4. La limite de exp en +∞ est +∞

En utilisant la propriété (P) montrez que 

 exp( ) lim(1 ) n

x nx ; déduisez-en la limite de exp en +∞.

Déterminez également  lim exp( ) x

x .

5. Cexp(kx) est la solution de y’ = ky

a. Calculez la dérivée de ( ) exp( )f x C kx et vérifiez que f est solution. Que vaut f si y(0) = 1 ?

b. Soit g une autre solution possible, on pose ( ) ( )exp( )g x h x kx ; montrez que g est constante. Concluez.

6. exp(a + b) = exp(a)exp(b)

Cette propriété fondamentale peut être montrée en utilisant les définitions à base de suites mais c’est un peu laborieux. On va utiliser le fait que exp(kx) est l’unique solution de y’ = ky avec y(0) = 1.

a. On montre d’abord que si exp(ax) est solution de f’ = af alors exp(a + b) = exp(a)exp(b) : soit g la

fonction définie par   ( ) exp( ) exp( )exp( )g x a x a x .

Montrez que '( ) ( )g x ag x , calculez g(0). Concluez.

b. On montre maintenant que si une fonction f est telle que f(a + b) = f(a)f(b) pour tous a, b réels alors f(x) = exp(kx).

Dérivez la relation f(a + x) = f(a)f(x) par rapport à x. Que se passe-t-il lorsque x = 0 ? Déduisez-en que f est solution de y’ = kyk = f’(0).

Pour quelques compléments :

http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/EDexp03.pdf

La relation précédente n’est jamais que la propriété bien connue des puissances : .a b a bu u u avec a, b rationnels. La définition de la fonction exponentielle étend alors aux puissances réelles cette propriété ;

comme on a par ailleurs exp(1) = e, on note en général exp( ) xx e où les règles de calcul habituelles sur

les puissances s’appliquent évidemment.

On peut se demander ce qui se passe si on étend la définition de x réel à x complexe dans 

  

   0 0

exp( ) lim ! !

n nN

N n n

x x x

n n par exemple ; on définit alors une fonction appelée exponentielle complexe

qui a les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle et on notera   exp( ) .z x iy x iyz e e e e . Dans le cas

où la partie réelle de z est nulle on retrouve la notation exponentielle vue dans les complexes d’où

   (cos sin ) cos sinz x x xe e y i y e y ie y . Cette fonction est fondamentale dans de nombreux domaines des

mathématiques et de la physique.

Voici quelques aperçus de l’exponentielle complexe… comme on ne peut la représenter qu’en 4 dimensions, il faut se faire une idée de sa structure à partir de projections dans l’espace 3D.

2-d : Quelques résolutions avec utilisation de la méthode d’Euler

1.  ' 'y ky k

On considère l’équation différentielle : (A)   ' 10 6y y y désigne une fonction de la variable t,

dérivable sur .

a. En utilisant la méthode d’Euler avec y(0) = 0 et un pas h = 0,01 tracer la courbe solution sur [0 ; 5].

b. Trouver K constante réelle telle que f(t) = K soit solution de(A).

c. On pose y = u + K ; montrer que y est solution de (A) si et seulement si u est solution de (B) : y’ = −10y.

d. Déterminer les solutions de (B), en déduire les solutions de (A).

e. En utilisant la même méthode qu’au III. 4. b montrer que les solutions trouvées sont les seules possibles. f. Déterminer la solution de (A) telle que f(0) = 0.

Tracez cette solution sur la même figure qu’à la question IV. 1. a. Représentez également l’écart entre la solution obtenue avec Euler et la solution exacte. Interprétez.

2. Etablissement d’un courant dans une bobine

Aux bornes d’une bobine de résistance R (exprimée en ohms) et d’inductance L (exprimée en henrys), on branche, à la date t = 0, un générateur de force électromotrice E (exprimée en volts). L’unité de temps est la seconde.

L’intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction dérivable du temps, notée i. A la date t = 0 l’intensité est nulle.

Au cours de l’établissement du courant, la fonction i est solution de l’équation différentielle :

Li’ + Ri = E (ou   di

L Ri E dt

).

Valeurs numériques : dans toute la suite, on prend R = 5, L = 0,5 et E = 3.

1. Déduire des questions précédentes l’expression de i(t) pour t > 0 .

2. Déterminer  lim ( ) t

i t . Donner une interprétation physique du résultat.

3. Au bout de combien de temps le courant atteint-il la valeur de 0,59 ampères (on cherchera la réponse avec Excel) ?

Voir également le sujet du bac national 2004

3. Exercices

3. 1. Un peu de théorie

A. On veut déterminer toutes les applications de l’ensemble des nombres rationnels dans l’ensemble

 des nombres réels telles que pour tout x et tout y dans : ( ) ( ) ( )f x y f x f y   .

1. Déterminer (0)f .

2. Pour tout nombre entier n , calculer ( )f n en fonction de (1)f .

3. Pour tout nombre entier  0n  , calculer 1

f n

     

en fonction de (1)f .

4. Pour tout p et tout q , 0q  , calculer p

f q

     

en fonction de (1)f .

5. Montrer que pour tout rationnel r : ( ) ( )f r f r   .

6. Conclure qu’il existe un nombre réel a tel que pour tout rationnel x , ( )f x ax .

B. On s’intéresse maintenant aux applications g de l’ensemble  des nombres réels strictement

positifs dans l’ensemble  des nombres réels telles que pour tout x et tout y dans  :

( ) ( ) ( )g xy g x g y .

1. Montrer que s’il existe un réel 0 0x  tel que  0 0g x  alors, pour tout 0x  ,   0g x  .

2. Montrer que s’il existe un réel 0 0x  tel que  0 0g x  alors (1) 1g  .

3. Montrer que s’il existe un réel 0 0x  tel que  0 0g x  alors, pour tout réel x >0, ( ) 0g x  .

4. On suppose qu’il existe 0 0x  tel que 0( ) 0g x  et on considère l’application ln expf g où ln est la

fonction logarithme népérien et exp la fonction exponentielle : f est-elle bien définie sur l’ensemble  ?

a. Montrer que f vérifie la propriété : pour tout x et tout y dans , ( ) ( ) ( )f x y f x f y   .

b. En déduire l’existence d’un réel a tel que, pour tout 0x  de la forme exp( )x y avec y ,

( ) exp( ln )g x a x .

3. 2. QCM

Répondre par Vrai ou Faux à chaque question sans justifier.

Chaque réponse juste rapporte 0,75 points ; toute réponse fausse coûte 0,5 points ; pas de réponse ne rapporte ni n’enlève rien. Si toutes les réponses sont justes un bonus de 1 point est donné.

Soit la fonction  ( ) 3 xf x x e   et C sa courbe représentative.

a. Pour tout 0, on a : ( ) 3.x f x x   

b. La droite d’équation 0y  est asymptote à la courbe C.

c. La dérivée de f est '( ) (2 ) xf x x e  .

d. La fonction f admet un unique extremum.

e. Pour tout réel 2m e , l’équation ( )f x m admet soit 0 soit 2 solutions.

f. La fonction ( ) ( 3) x

g x x e

   n’est pas dérivable en 0.

g. La fonction f est-elle une solution de l’équation différentielle ' 7 xy y e  ?

h. La valeur moyenne de f entre 0 et 1 est …

3. 3. QCM, Antilles 2006

3 points

Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.

1. L’équation 2 3 4 0x xe e   admet dans :

a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 solutions

2. L’expression xe

a. n’est jamais négative b. est toujours négative c. n’est négative que si x est positif

d. n’est négative que si x est négatif

3. 2 1

lim 2

x

xx

e

e

 

a. 1

2 b. 1 c. 2 d. 

4. L’équation différentielle y = 2y1 a pour ensemble de solutions :

a. 2 1xx ke

avec k  b.

1

2 1 x

x ke

avec k

c.

1

2 1 x

x ke

avec k

d. 2 1

2

xx ke

avec k

3. 4. STL, France, Juin 2006 (10 points)

On considère la courbe Creprésentant la fonction f définie sur par     2

1 xf x x e  dans le plan

rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O i j (unité graphique 2cm).

PARTIE A

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en  .

b. Montrer que si x est différent de zéro on a :   2 2

2 1 1xf x x e

x x

       

. En déduire la limite de la

fonction f en  . Interpréter graphiquement ce résultat.

2. a. Montrer que    21 xf x x e   .

b. Étudier le signe de  f x et en déduire le tableau de variations de la fonction f sur .

3. Déterminer une équation de la tangente Tà la courbe Cau point d’abscisse 0.

4. Étude de la position de Cpar rapport à T

a. Montrer que pour tout réel x on a :        1 1 xf x x x e g x    avec   1 xg x x e   .

b. Calculer g’(x) et étudier son signe.

c. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

d. En déduire le signe de g(x), puis de f(x) − (x +1).

e. En déduire la position de Cpar rapport à T.

f. Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci-dessous, tracer Tet Cdans le repère

( ; , )O i j .

Donner les valeurs de f(x) arrondies à 10−2 près.

x −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 3 4 6

f(x)

PARTIE B

a. Montrer que la fonction F définie par    2 4 5 xF x x x e    est une primitive de la fonction f. b. Calculer l’aire en cm2 de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe Cet la droite d’équation x = 3. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2 près.

3. 5. STL, France, juin 2005, Biochimie–Génie biologique

10 points

On considère la fonction f définie sur [0 ;  [ par :   4

4

3 1

1

x

x

e f x

e

 

 .

Cest sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique 5 cm).

1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur [0 ;  [.

2. Calculer la limite de f en  (on pourra montrer que   4

4

3

1

x

x

e f x

e

  

.

3. Donner les valeurs approchées à 10−2 près de f(x) pour les valeurs suivantes de x : 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 ; 1,2 et 1,4.

4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente Tà Cau point d’abscisse 0.

5. Tracer la courbe Cet sa tangente T.

6. Montrer que   3

3

3 x x

x x

e e f x

e e

 

 .

On considère la fonction F définie sur [0 ;  [ par    3ln 1x xF x e e   . Expliquer pourquoi F est une primitive de f sur [0 ;  [.

3. 6. STL, France, juin 2005, (10 points)

Partie A : Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels par   2

2 5

xxf x e

  .

On note Csa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité

graphique 2 cm.

1. a. Calculer la limite de f(x) quand x tend vers  .

b. Calculer la limite de f(x) quand x tend vers  .

c. En déduire l’équation d’une droite Dasymptote â la courbe C.

d. Calculer les coordonnées du point d’intersection A de la droite Det de la courbe C.

e. Déterminer la position relative de la courbe C par rapport â la droite D.

2. a. Calculer f ’(x).

b. Étudier le signe de f ’(x) et en déduire le tableau de variations de f sur .

3. Donner une équation de la tangente Tà la courbe Cau point d’abscisse 0.

4. a. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution x0 sur [2 ; 3].

b. Donner un encadrement de x0 à 10−2 près.

5. Tracer sur un même graphique la droite D,la tangente Tet la courbe C.

Partie B : Calcul d’aire

1. On considère la fonction g définie sur par   3

5

xxg x e

 .

a. Calculer g‘(x).

b. En déduire une primitive de f sur .

2. a. Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 2.

b. Calculer l’aire de la partie hachurée. Donner la valeur exacte en cm2, puis la valeur arrondie à 10−2 près.

3. 7. STL, France, sept. 2004

5 points

Soit f la fonction numérique de la variable x définie sur par   2

2 1x

f x e

  

.

On note Cla courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité

graphique 2 cm.

Partie A

1. a. Déterminer les limites de f(x) quand x tend vers  puis quand x tend vers  .

b. En déduire que la courbe Cadmet deux asymptotes Det Ddont on donnera les équations.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

3. Soit Tla tangente à la courbe Cau point I(0 ; 1). Déterminer une équation de la droite T.

4. a. Pour tout réel x, on appelle M le point de la courbe Cd’abscisse x et Mcelui d’abscisse −x. Démontrer que I(0 ; 1) est le milieu du segment [MM’].

b. Que représente le point I pour la courbe C?

5. Tracer les droites D, D, Tet la courbe C.

Partie B

1. Vérifier que, pour tout réel x,   2

1

x

x

e f x

e  

. En déduire une primitive F de f sur .

2.  désigne un réel inférieur ou égal à 1. On appelle  A  l’aire, en cm2, de la partie du plan,

ensemble des points M(x ; y) tels que : 1x   et  0 y f x  .

a. Calculer  A  en fonction de  .

b. Donner la valeur exacte de A(0) puis sa valeur arrondie au cm2.

c. Calculer  lim A

 

.

4. STL, France, juin 2004, Biochimie - Génie biologique

12 points

Partie A

Les êtres vivants contiennent du carbone 14 radioactif (constamment renouvelé) qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.

À leur mort, ce carbone 14 n’est plus renouvelé ; il est désintégré à une vitesse proportionnelle, à tout instant, au carbone 14 encore présent dans l’organisme. On montre que le coefficient de proportionnalité est voisin de 0,123.

Ainsi, la radioactivité du carbone 14 présent dans un organisme à l’instant t après sa mort (t exprimé en

milliers d’années), notée f(t), vérifie les deux conditions :    ' 0,123f t f t  et f(0) = 15,3.

Résoudre l’équation différentielle y =−0,123y et y(0) = 15,3.

Partie B

On étudie sur [0 ;  [ la fonction f définie par   0,12315,3 tf t e .

1. a. Calculer la limite de f quand t tend vers  .

b. En déduire l’existence d’une asymptote (que l’on précisera) à C,courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

2. a. Pour tout nombre t positif, calculer f ’(t ), où f désigne la dérivée de f.

b. Étudier le signe de f ’(t) et en déduire les variations de f sur [0 ;  [.

3. Construire Cen prenant 2 cm pour 5 milliers d’années en abscisses, 1 cm pour 1 unité en ordonnées (on placera les points d’abscisses : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 et 30).

4. Placer sur le dessin précédent la tangente T à Cau point d’abscisse 0.

Partie C

On considère que la fonction f donnée dans la partie B donne la radioactivité du carbone 14 dans un organisme après sa mort, en fonction de t (en milliers d’années).

1. On trouve dans une grotte des débris d’os présentant une radioactivité égale à 10,2 unités. Estimer l’âge de ces débris à l’aide d’une lecture graphique.

2. Lorsque la radioactivité devient inférieure à 1% de sa valeur initiale, le calcul de f(t) est entaché de trop d’incertitude pour permettre de dater raisonnablement à l’aide du carbone 14. Trouver à partir de quel âge un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.

4. 8. STL, France, juin 2004,

10 points

Partie A

On considère la fonction f définie sur par :    2 5 7 xf x x x e   .

1. On note Csa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité graphique 2 cm.

a. Déterminer la limite de f en  .

b. On rappelle que : lim 0n x x

x e 

 pour tout n entier naturel.

En remarquant que   2 5 7x x xf x x e xe e   , déterminer la limite de f en  . En déduire que Cadmet

une asymptote dont on donnera une équation.

2. a. Démontrer que pour tout x de on a :    2' 3 2 xf x x x e   . b. Déterminer le signe de f ’(x) puis les variations de f.

Dresser le tableau de variations de f (on donnera les valeurs exactes de f(1) et de f(2)).

3. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cau point d’abscisse 0.

b. Que peut-on dire de la tangente à Cau point d’abscisse 1 ? Et au point d’abscisse 2 ?

4. Reproduire puis compléter le tableau suivant :

x −2 −1 0 1 2 2,5

f(x)

On donnera des valeurs approchées à 10−2 près par défaut.

5. Construire la droite T et la courbe C.

Partie B

1. a. Hachurer sur le dessin la partie du plan comprise entre la courbe C, la droite d’équation x = 1 et les deux axes du repère. On appelle A son aire, en cm2.

b. En utilisant la partie A. montrer que pour tout x de l’intervalle [0 ; 1] on a :  7 3f x e  .

c. En déduire l’encadrement suivant :   1

0

7 3f x dx e  .

d. En utilisant l’encadremement ci-dessus justifier que l’aire A est comprise entre 28 et 33 cm2.

2. a. Soit g la fonction définie sur par :    2 7 14 xg x x x e   . Montrer que g est une primitive de f sur .

b. En déduire la valeur exacte de A puis la valeur arrondie à l’unité près.

4. 9. STL, France, juin 2004

10 points

On considère la fonction f définie sur ]0 ;  [ par :   1

2 1 1x

f x x e

   

.

On note Csa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées).

1. Déterminer la limite de f quand x tend vers 0, x réel positif. En déduire que Cpossède une asymptote dont on précisera l’équation.

2. Déterminer la limite de f en  . Montrer que la droite D d’équation y = 2x +1 est asymptote à C. Étudier la position de Cpar rapport à la droite D.

3. a. Calculer, pour tout x réel strictement positif, le nombre dérivé f ’(x). Montrer que, pour tout x réel

strictement positif,    

  2

1 2

2 ' 2

1

x x

x

e e

f x

e

    

  

.

b. Étudier le signe de f ’(x) sur l’intervalle ]0 ;  [.

En déduire le tableau de variations de f sur cet intervalle.

4. Tracer la courbe Cet ses asymptotes.

5. a. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x > 0,   1

x

x

ce f x ax b

e   

 .

b. Hachurer la partie du plan limitée par la courbe Cl’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3. Déterminer l’aire de cette partie du plan, exprimée en unités d’aire.

4. 10. Étude+aire, Polynésie, nov 2010, 7 pts

Partie 1

Soit g la fonction définie sur  0 ; par   1x xg x e xe   .

1. Déterminer la limite de g en  .

2. Étudier les variations de la fonction g.

3. Donner le tableau de variations de g.

4. a. Démontrer que l’équation   0g x  admet sur  0 ; une unique solution. On note  cette solution.

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de  .

c. Démontrer que 1

1 e

  

.

5. Déterminer le signe de  g x suivant les valeurs de x.

Partie 2

Soit A la fonction définie et dérivable sur  0 ; telle que   4

1x x

A x e  

.

1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul,  A x a le même signe que  g x , où g est la fonction définie dans la partie 1.

2. En déduire les variations de la fonction A sur  0 ; .

Partie 3

On considère la fonction f définie sur  0 ; par   4

1x f x

e  

. On note (C) sa courbe représentative

dans un repère orthonormé ( ; , )O i j . La figure est donnée ci-dessous.

Pour tout réel x positif ou nul, on note :

M le point de (C) de coordonnées (x ; f(x)),

P le point de coordonnées (x ; 0),

Q le point de coordonnées (0 ; f(x)).

1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse  .

2. Le point M a pour abscisse  . La tangente (T) en M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite (PQ) ?

Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

4. 11. Famille de fonctions expo + intégrales

On donne les courbes Cn représentatives des fonctions 1( ) n xnf x x e  sur [0 ; 1] avec 1n  (sur la figure

on s’est arrêté à n = 10, mais les représentations sont similaires).

On considère alors la suite d’intégrales 1

1

0

n x nI x e dx

  .

On rappelle que 2,718e et que ! 1.2.3.4....( 1).n n n  .

C1

C2

C3 C4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

y

x

1. a. Déterminez graphiquement la valeur des coefficients directeurs des tangentes aux courbes Cn en 0 pour n = 1 puis pour 2n  . Vérifiez vos résultats avec un calcul.

b. Donnez une interprétation géométrique de ( nI ). Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le

comportement de cette suite (sens de variation, convergence, limite) ?

2. On va montrer les résultats obtenus en 1.b.

a. Montrez que 1 2I e  au moyen d’une intégration par parties.

b. Montrez que ( nI ) est décroissante ; déduisez-en un encadrement de nI et concluez quand à sa

convergence.

c. Montrez que sur [0 ; 1] on a ( )n nnx f x ex  . En déduire que 1

1 1 n

e I

n n  

  . Quelle est la limite de

nI ? Déterminez la valeur de l’entier n0 tel que pour 0n n on est sûr que 210nI  .

3. On essaie d’obtenir une expression de nI .

a. Au moyen d’une intégration par parties, montrez que 1 ( 1) 1n nI n I    . Déduisez-en les valeurs

exactes de 2 3 4, ,I I I .

b. Il semble clair que nI peut se mettre sous la forme !n nI n e a  : déterminez une relation de

récurrence entre 1na  et na .

Montrez par récurrence que ! ! ! !

! ! ... 2! 3! 4! !

n

n n n n a n n

n        .

Déduisez-en que 1 1 1

lim 1 1 ... 2! 3! !n

e n

      .

4. 12. Expo+suite integrales

On considère la fonction f définie sur {1} par ( ) 1

xe f x

x

 

. On rappelle que 2,7183e .

La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-dessous.

On considère l’intégrale 0

1

( )J f t dt

  ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.

1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que l’on rendra avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.

2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que 1 2

e J  .

3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de 1er terme

1 et de raison x. Justifier alors l’égalité : 1

2 11 ... 1 1

n n xx x x

x x

       

.

4. En déduire que 0 1 2 ... n nJ u u u u R      où

0

1

k t ku t e dt

  et 0

1

1

( )nnR t f t dt

  .

5. Justifier l’encadrement 0 0

1 1

1 12

n n n

e t dt R t dt 

 

   ; en

déduire que 1

1 2( 1) n

e R

n n  

  . Quelle est la limite de nR

quand n tend vers l’infini ?

On pose dorénavant 0 1 ...n nS u u u    ; on voit donc que la

suite nJ S tend vers 0, soit que les valeurs successives de

nS constituent une « bonne » approximation de J.

x

f

−∞

0

1 +∞

f’ + +

−∞ 1

0

+∞ +∞ 0

6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer nS pour être sûr que 0nS est une valeur approchée de J à 10 −2

près ?

7. On s’intéresse de plus près à ku .

a. Calculer 0u .

b. En utilisant une intégration par parties montrer que 1( 1) k

k ku e ku    .

c. A l’aide de cette relation donner sous la forme k ka e b , où ka et kb sont deux entiers relatifs, la valeur

de 1 2 3 4, , ,u u u u et 5u . En déduire les valeurs de 4S et 5S . Donner une estimation de la précision obtenue

ainsi sur J.

4. 13. Problème expo, Amérique du Nord 1999

On considère la fonction numérique f définie sur ]  ; 1[ par

1

1 2

2 ( )

( 1)

x

xf x e x

 

.

On désigne par (  ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé

( ; , )O i j , l’unité graphique étant 2 cm.

Partie 1

1. a. Soit 2

1 X

x  

. Prouver l’égalité 2( ) 2

Xef x X e . En déduire la limite de f quand x tend vers 1 par

valeurs inférieures.

b. Déterminer la limite de f en  .

c. En déduire une asymptote à la courbe ( ).

2. a. Soit v la fonction numérique définie sur ]  ; 1[ par

1

1( )

x

xv x e

 . Calculer v’(x).

b. Démontrer que

1

1 4

4 '( )

( 1)

x

x x

f x e x

 

 

.

c. Etudier les variations de f.

d. Tracer la courbe ( ).

Partie 2

1. Déterminer une primitive de f sur ]  ; 1[.

2. Soit  un réel tel que 0 <  < 1. Déterminer 0

( ) ( )g f x dx

   .

3. Quelle est la limite de g lorsque  tend vers 1 ?

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