Contrôle de sciences statistiques 6 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 6 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 6- 2° partie - Fonction exponentielle. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la fonction numérique définie, Contrôle de la première conjecture. Contrôle de la deuxième conjec...
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4. Quelle est l’aire en cm2 du domaine limité par la courbe de f, l’axe des abscisses, les droites d’équations x =  et x = − ?

Partie 3

1. a. Démontrer que l’équation 1

( ) 2

f x  a deux solutions dont l’une est −1. On notera  l’autre solution.

b. Donner un encadrement de  de largeur 10−2.

2. Soit a un élément de ]  ; 1[. Déterminer graphiquement en fonction de a, le nombre de solutions de l’équation f(x) = f(a).

4. 14. Problème expo, Pondichéry 2003

On considère la fonction numérique définie sur par 2

2 1( ) 2

x xf x x e   . Le graphique ci-dessous est

une représentation de cette fonction.

Au vu de cette courbe quelles conjectures pouvez-vous faire sur :

a. le sens de variation de f sur [−3 ; 2] ;

b. la position de la courbe par rapport à l’axe (xx) ?

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A : Contrôle de la première conjecture.

1. Calculer f'(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur

par 1( ) ( 2) 1xg x x e   

2. Etude du signe de g(x) pour x réel

a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers  .

b. Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

c. En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variation.

d. Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans . On note  cette solution. Montrer que 0,20 <  < 0,21.

e. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

3. Sens de variation de la fonction f sur

a. Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f’(x) ;

b. En déduire le sens de variation de la fonction f ;

c. Que pensez-vous de votre première conjecture ?

Partie B Contrôle de la deuxième conjecture

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal  ; ,O i j . On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).

1. Montrer que 3

( ) 2( 2)

f

 

  

.

2. On considère la fonction h définie sur l'intervalle [ 0 ; 1] par 3

( ) 2( 2)

x h x

x

 

 .

a. Calculer h'(x) pour x  [0 ; 1], puis déterminer le sens de variation de h sur [0 ; 1].

b. En déduire un encadrement de ( )f  .

3. a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

b. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : Tracé de la courbe.

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie  de C correspondant à

l'intervalle [−0,2 ; 0,4], dans le repère orthogonal  ; ,O i j avec les unités suivantes :

Sur l'axe (xx) : 1 cm représentera 0,05

Sur l'axe (y’y) : 1 cm représentera 0,001

1. Compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n.10−4 (n entier relatif).

x −0,20 −0,15 −0,10 −0,05 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

f(x)

2°- Tracer alors  dans le repère choisi.

Partie D : Calcul d'aire.

On désire maintenant calculer l'aire du domaine D fermé délimité par la courbe  , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x =1− ln(2).

1. A l'aide d'une double intégration par parties, déterminer une primitive sur de la fonction 2 xx e .

2. En déduire une primitive F de la fonction f.

3. Calculer alors en unité d’aire l’aire du domaine D et en donner une valeur approchée au cm2.

4. 15. Expo+equa diff second ordre+intégrale

Objectif du problème : Résolution d'une équation différentielle et étude d'une de ses solutions.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal  ; ,O i j (unité graphique : 2 cm).

Partie A

On considère l'équation différentielle : y'' + 2y´ + y = 2e– x (E)

1. Déterminer le réel a tel que la fonction y0 définie sur par 20( ) xy x ax e soit solution de l'équation

(E).

2. Démontrer que y, fonction numérique deux fois dérivable sur , est solution sur de (E) si et seulement si la fonction z définie par z = yy0 est solution de l'équation différentielle (E1) :

2 0z z z    .

3. On admet que les solutions de (E1) sont de la forme ( ) xz x e    : faire la vérification.

4. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).

5. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative dans le repère (O ; , )i j passe par le

point de coordonnées (–1 ; 0) et admet en ce point une tangente de vecteur directeur i .

Partie B

Soit f la fonction définie sur par 2( ) ( 1) xf x x e  ..

On note (C) la courbe représentative de f dans le repère (O ; , )i j .

1. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Déterminer la limite de f en  . Donner une interprétation graphique de ce résultat.

c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.

3. On se propose dans cette question d'étudier la position de (C) par rapport à (T).

a. On pose ( ) 1 xk x x e   .

Calculer k’(x) ; en déduire le sens de variation de k et son signe.

b. En déduire la position de (C) par rapport à (T).

4. Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci-dessous, tracer (T) et (C) dans le repère

(O ; , )i j .

x –2 –0,5 – 0,25

0,5 1 2 3 4 6

f(x)

Les valeurs de f(x) seront données à 10–2 près.

5.On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n non nul, par :

1

4 ( ) n

n n

u f t dt

  .

a. Représenter u3 sur le graphique précédent.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : 4 ( 1) 4 ( )nf n u f n   . En déduire le sens de

variation de (un).

c. Déterminer la limite de la suite (un).

4. 16. Expo + acc finis

Partie A

On considère la fonction g définie sur par 2( ) ( 1) xg x x e  .

Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O ; , )i j , unité

graphique 2 cm.

1. Calculer la dérivée g´ de g. Montrer que g´(x) est du signe de (1 – x2). En déduire les variations de g.

2. Montrer que :

a. lim ( ) x

g x 

  .

b. lim ( ) 0 x

g x 

 et préciser l'asymptote à C correspondante.

3. Tracer la courbe C dans le repère (O ; , )i j . On placera en particulier les points de la courbe

d'abscisses respectives –2 ; –1 ; 0 ; 1 et 3.

4. a. Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de l'équation g(x) = k.

b. Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution  et une seule. Prouver que  appartient à l'intervalle [– 2 ; – 1].

c. Montrer que  vérifie la relation 21 2 .e

   

Partie B

On appelle f la fonction définie sur l'intervalle I = [– 2 ; – 1] par : 2( ) 1 2 .

x

f x e  

1. Étude de f

a. Étudier les variations de f sur I.

b. En déduire que, pour tout élément x de I, f(x) appartient à I.

c. Montrer que, pour tout élément x de I, 1

'( ) . 2

f x e

d. On rappelle que ( )f   . En intégrant l’inégalité précédente, montrer que, pour tout élément x de I,

on a : 1

( ) . 2

f x x   

2. Approximation de  à l'aide d'une suite

Soit (un) la suite d'éléments de I définie par la relation de récurrence un + 1 = f(un) et la condition initiale

0

3

2 u   .

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : 1 1

. 2

n nu u    

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a 1

1 .

2 n n

u  

 

c. Prouver que la suite (un) converge, préciser sa limite et déterminer un entier n0 tel que 0n

u soit une

valeur approchée de  à 10 – 3 près. Calculer 0n

u .

4. 17. Expo + suite intégrales

Partie A

1. On considère la fonction g définie sur par : 1( ) xg x x e   .

a. Etudier les variations de g (on ne demande pas les limites). Calculer g(1), en déduire le signe de g.

b. En déduire que pour tout réel x, 1xxe e

  , puis que 1 0xxe  .

2. On désigne par f la fonction définie sur par 1

( ) 1 x

f x xe

 

. Soit C sa courbe représentative dans le

plan rapporté à un repère orthonormé (unités : 3 cm)

a. Vérifier que f est définie sur .

b. Déterminer les limites de f en  et  .

c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

d. Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer T puis C.

3. a. Déterminer les images par f des intervalles [0, 1] et [1,  [.

b. En déduire que 1 ( ) 1

e f x

e  

 pour tout x positif ou nul.

Partie B

Soit 1

( ) 1 x

f x xe

 

définie sur [0, 1]

1. Donner une interprétation géométrique du nombre 1

0

( )I f x dx  .

2. Soit n un nombre entier naturel non nul, et 1

0

n n

nxJ x e dx  .

a. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que 1 2

1J e

  .

b. On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b

et c tels que la fonction H(x) définie par 2 2( ) ( ) xH x ax bx c e   soit une primitive de 2 2( ) xh x x e . En

déduire que 2 2 1 5

1 4

J e

      

.

3. Pour tout entier n non nul, on pose 1 21 ...n nu J J J     .

a. Montrer que pour tout réel x,  

1

2 2 1

1 ... 1

n x

x x n nx

x

xe xe x e x e

xe

 

  

     

 .

b. En déduire que 1

1 ( 1)

0

( )n n xnI u x e f x dx      .

c. En utilisant A.1.b montrer que pour tout x positif ou nul : 1 ( 1) 1

1 0 n n x

n x e

e

  

   .

En déduire que  

1 ( 1) 10 ( ) 1

n n x

n x e f x

e e

    

puis un encadrement de nu . Déterminer lim n n

u 

.

4. Montrer que 2 2 2 1

( 1) u I u

e e   

 . Sachant que 2 1 21u J J   , trouver deux nombres d1 et d2 tels que

0< d1- d2<10–1 et d1<I< d2.

4. 18. Sous-tangente constante

Une propriété de la fonction exponentielle.

1. Tracer la courbe représentative C de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé sur l’intervalle [–2 ; 2] (unités : 2 cm par axe).

2. Tracer sur la même figure les tangentes à C aux points d’abscisses –1, 0 et 1. Mesurer à la règle la distance entre l’abscisse de chaque point et le point où les dites tangentes coupent l’axe horizontal. Que constatez-vous ?

3. Soit un point A de C d’abscisse a ; vérifier que l’équation de la tangente à C en A est (1 )a ay e x a e   .

En déduire que la distance cherchée au 2. est bien une constante que l’on déterminera.

4. On cherche maintenant s’il y aurait d’autres courbes présentant cette propriété, à savoir que la distance entre l’abscisse du point et le point d’intersection de la tangente à la courbe en ce point soit constante :

a. Ecrire l’équation de la tangente T au point a pour une courbe quelconque, déterminer l’abscisse u du point d’intersection de T avec (Ox), calculer la distance entre ces deux points et montrer que répondre à

la question revient à résoudre l’équation différentielle constante '

f

f  .

b. Conclure.

4. 19. Expo + equa diff + intégrale, Asie 1999

11 points

I. Résolution de l’équation différentielle (E) : ' 1y y x   .

1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer 1

( 1) x

te t dt .

2. Soit z une fonction dérivable sur , on pose ( ) ( ) xf x z x e . Montrer que f est solution de (E) si, et

seulement si, pour tout x réel, '( ) ( 1)xz x e x  .

3. A l’aide de la première question, déterminer toutes les fonctions z vérifiant '( ) ( 1)xz x e x  .

4. Déduire de la question précédente les solutions de (E). Déterminer la solution pour laquelle l’image de 1 est 0.

II. Etude d’une fonction

a

A

T

y=f(x)

Soit f la fonction définie sur par 1( ) 2 xf x x e    , (C) sa courbe représentative. Le plan est rapporté

au repère orthonormé ( ; , )O i j (unité graphique : 1 cm).

1. a. Etudier le sens de variation de f.

b. Préciser lim ( ) x

f x 

et lim ( ) x

f x 

.

2. a. Montrer que la droite (D) d’équation 2y x  est asymptote de la courbe (C).

b. Préciser la position de (C) par rapport à (D).

3. Tracer (D) et (C).

III. Calcul d’aires

Soit 0x un réel strictement positif.

1. On considère le domaine limité par (C), (D) et les droites 0x  et 0x x . Exprimer à l’aide de 0x

l’aire S1 de ce domaine.

2. On considère la fonction g définie par 1( ) xg x e  , donner une interprétation graphique de l’intégrale

ayant servi au calcul de S1 à l’aide de la courbe (Cg) de g (faire un schéma explicatif après avoir tracé rapidement (Cg)).

3. A est le point de coordonnées 0( ; 0)A x . B est le point de (Cg) d’abscisse 0x . (T) est la tangente à (Cg)

au point B, K est le point d’intersection de (T) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de K.

4. Calculer en unités d’aire l’aire S2 du triangle ABK. Vérifier que S1 + 2S2 = e.

4. 20. Equa diff : insectes

Le but de cet exercice est l’étude de la dynamique d’une population d’œufs et de larves de certains insectes en fonction du temps. Dans l’ensemble de cette modélisatuion, le temps est mesuré dans une unité choisie (par exemple le mois).

Partie A

La fonction N qui donne à l’instant t le nombre d’œufs vivants pondus est définie pour 0t  par 0,3

0( ) tN t N e où N0 désigne le nombre initial d’œufs au moment de la ponte (t=0). On prendra dans la

suite N0=1000.

1. Etudier la fonction N sur [0, [ (sens de variation, limites). Quelles interprétations concrètes tirez

vous de cette étude ?

2. Construire la représentation graphique(C) de N pour [0 ;15]t dans un repère orthogonal : 1 cm par

unité de temps en abscisse et 10cm pour 1000 en ordonnées.

3. Résoudre dans [0, [ l’équation 0 1

( ) 2

N t N . On notera t1 sa solution (que représente t1 ?) ; placer le

point de (C) d’abscisse t1 sur le graphique.

4. a est un réel strictement positif.

a. Calculer 0

( ) ( ) a

I a N t dt  en fonction de a. Déterminer la limite de I quand a tend vers +∞.

b. On considère que la durée de vie moyenne d’un œuf est donnée par lim ( ) a

E J a 

 où

0

( ) ( ) a

J a tN t dt  . Calculer J(a) au moyen d’une intégration par parties et en déduire la valeur de E.

Partie B

La fonction L qui donne, à l’instant t, le nombre de larves vivantes est solution dans [0, [ de

l’équation différentielle ' 0,5 0,2L N L  , soit (1) : 0,3'( ) 0,2 ( ) 500 tL t L t e  .

1. Résoudre l’équation différentielle '( ) 0,2 ( ) 0L t L t  .

2. Déterminer le réel K tel que la fonction f définie par 0,3( ) tf t Ke soit solution de (1). En déduire que

toutes les solutions de (1) sont de la forme 0,2 0,3( ) t tL t ke Ke   .

3. Déterminer la solution pour laquelle L(0)=N0.

4. 21. Problème- expo, Djibouti 1995

Soit f la fonction définie sur [0 ; [ par

1

2 3( ) 3 3 x

f x x e

   et g la fonction également définie sur

[0 ; [ par

1

3( ) 2 x

g x x e

  . On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormal

 ; ,O i j , unité graphique : 2 cm.

1. Sens de variation de g

a. Calculer la dérivée g' de g ; vérifier que  'g x est toujours strictement positif.

b. Calculer la limite de g quand x tend vers  .

c. Déduire de ce qui précède l’existence et l'unicité d'un nombre réel 0  tel que   0g   et montrer

que 0,4 0,5  .

d. Étudier le signe de  g x sur [0 ; [ .

e. Montrer que    'f x g x ; en déduire le sens de variation de f.

2. Comportement asymptotique de f en 

a. Déterminer la limite de f en 

b. Déterminer le signe de 2( ) ( 3)f x x  et sa limite en  ; interpréter graphiquement ce résultat ; on

note P la courbe d'équation 2 3y x  .

3. Signe de f

a. Dresser le tableau de variation de f

b. Prouver que l'équation   0f x  admet une solution non nulle a et une seule appartenant à

l'intervalle  ;  et montrer que 0,8 < a < 0,9.

c. Étudier le signe de  f x sur [0 ; [ .

4. Courbe

Tracer dans le repère orthonormal  ; ,O i j les courbes P et C. On précisera la tangente à C au point d'abscisse 0.

4. 22. Deux exp pour le prix d’une, N. Calédonie 1996

A. On désigne par f la fonction définie sur par 2( )

x

xf x e e  et on appelle C la courbe représentative

de f dans le repère orthonormal  ; ,O i j .

1. Étudier les variations de f. Préciser les limites de f en  et en  .

2. Déterminer le signe de f(x)en fonction de x.

3. Tracer la courbe C.

B. Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction g définie sur {0} par 2( ) ln

x

xg x e e  .

On note G la courbe représentative de g dans le repère  ; ,O i j .

1. Préciser les limites de g en  , en  et en 0.

2. Calculer g'(x)et déterminer le signe de g'(x)en utilisant le signe de f'(x)et le signe de f(x). Dresser le tableau de variation de g.

3. Démonter que pour tout x réel strictement positif, 2( ) ln 1

x

g x x e  

       

.

Montrer que la droite D d'équation y = x est asymptote à la courbe G. Étudier la position de la courbe G par rapport à D pour tout x réel strictement positif.

4. Démontrer que pour tout x réel strictement négatif : 2( ) ln 1 2

x x

g x e          

.

Montrer que la droite d d'équation 2

x y  est asymptote à la courbe G. Étudier la position de G par

rapport à d pour tout x réel strictement négatif.

5. Construire G, D et d (on utilisera un graphique différent de celui de la partie A).

4. 23. Exp+dérivabilité, La Réunion 2007

6 points

On considère la fonction f définie sur par :   1

x

x

xe f x

e  

si 0x  et  0 1f  .

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Établir que, pour tout nombre réel x non nul,   1

1 1x

f x x e

    

  . En déduire la limite de f en  .

2. Donner, sans démonstration, la limite suivante : 0

lim 1xx

x

e  et démontrer que f est continue en 0.

3. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a : 1xe x  , et que l’égalité n’a lieu que pour x = 0.

b. Calculer la dérivée 'f de la fonction f et déterminer la fonction g telle que, pour tout nombre réel x

non nul,    

  2

'

1

x

x

e g x f x

e

.

c. Donner le tableau des variations de f.

4. Soient x un nombre réel non nul et les points M(x ; f(x)) et M’(−x ; f(−x)) de la courbe C.

a. Établir que   1x

x f x

e  

 , puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM’).

b. On admet que la fonction f est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?

4. 24. Dérivabilité, Paris C 1979

L’objet de cet exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0 ;  [ par 1

( ) si 0 et (0) 1 te

g t t g t

    .

1. a. Établir que g est continue en 0.

b. Déterminer la limite de g en  .

2. a. Pour tout t> 0 , calculer g'(t) .

b. Prouver que pour tout 0 , 1 tt t e   .

c. En déduire le signe de g' et le sens de variation de g (on ne demande pas de construire la courbe représentative de g).

3. On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. À cet effet on introduit la fonction h définie sur

[0,  [ par : 2

( ) 1 2

tth t t e    .

a. Calculer het h’’, ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0).

b. Prouver que pour tout 0t  , 3

0 ( ) 6

t h t  (1). Pour cela, on établira d’abord que 0 ''( )h t t  et on en

déduira un encadrement de h’ et de h.

c. Déduire de la relation (1) un encadrement de 2

1 te t

t

  . Prouver finalement que g est dérivable en 0 et

donner la valeur de g’(0).

4. Construire la courbe représentative C de g, le plan étant rapporté à un repère orthonormal  ; ,O i j .

4. 25. Equation diff+fonction+intégrale

Partie A

On se propose de résoudre sur l’équation différentielle (E) : y’ – 2y = 2(e2x – 1).

1. Montrer que la fonction h définie sur par : 2( ) 2 1xh x xe  est solution de l’équation différentielle

(E).

2. On pose : y = z + h. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle : ' 2 0z z  .

Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).

3. Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appelée g et étudiée dans la partie B.

Partie B

On considère la fonction g définie sur par 2( ) (2 1) 1xg x x e   .

1. Déterminer le sens de variation de g. Présenter son tableau de variation. En déduire le signe de g sur .

2. Résoudre dans l’inéquation : 1 ( ) 0g x  .

3. Calculer l’intégrale :

1

2

0

(1 ( ))g x dx .

4. Interpréter graphiquement les résultats des questions 2. et 3.

Partie C

On considère la fonction numérique f définie pour tout x réel par : 2 1

( ) xe

f x x

  .

1. a. Calculer les limites de f en  , en 0 et en  .

b. En déduire que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote que l’on précisera.

2. Déterminer le sens de variation de f et donner son tableau de variation (on pourra utiliser la partie B).

3. Soit (C) la courbe représentative de f dans le repère orthogonal ( ; , )O i j avec pour unités 4 cm en

abscisse et 2 cm en ordonnée.

Après avoir recopié et complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à 10−2 près, construire la courbe (C) pour les valeurs de x comprises entre – 2 et 1.

x –2 –1,5 –1 –0,5 –0,2 –0,1 – 0,05

0,05 0,1 0,2 0,5 1

f(x)

4. Soit f1 la fonction définie par 1

1

( ) ( ) si 0

(0) 2

f x f x x

f

  

 .

Cette fonction est définie et continue sur . En supposant que f1 est dérivable en 0, expliquer comment

on peut déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre dérivé 1(0)f  .

Faire cette lecture graphique. Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?

Partie D

On se propose de trouver un encadrement de l’intégrale 21

2

1xe J dx

x

   .

Montrer que pour tout x de [–2 ; –1] on a : 20,86 1 0,99xe

x x x

     .

En déduire un encadrement de J d’amplitude 0,1.

4. 26. Etude+aire+volume révo., C. étrangers 2006

6 points

On désigne par f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par   1

1 x f x

e  

.

On note Cla courbe representative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j , (unité graphique : 5 cm).

Partie A : étude de la fonction f

1. Vérifier que pour tout nombre réel x :   1

x

x

e f x

e  

.

2. Déterminer les limites de f en  et en  . Interpréter graphiquement les résultats obtenus. 3. Calculer f ’(x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur . 4. Dresser le tableau des variations de f.

5. Tracer la courbe C et ses asymptotes éventuelles dans le repère ( ; , )O i j .

Partie B : quelques propriétés graphiques. 1. On considère les points M et Mde la courbe Cd’abscisses respectives x et −x. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM’]. Que représente le point A pour la courbe C?

2. Soit n un entier naturel. On désigne par Dn le domaine du plan limité par la droite d’équation y = 1, la courbe Cet les droites d’équations x =0 et x = n, An désigne l’aire du domaine Dn exprimée en unité d’aire.

a. Calculer An.

b. Étudier la limite éventuelle de An, lorsque n tend vers  .

Partie C : calcul d’un volume

Soit  un réel positif, On note V( ) l’intégrale   0 2

f x dx

 

   . On admet que V( ) est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, de la portion de la courbe C obtenue pour 0x   .

1. Déterminer les nombres réels a et b tels que : pour tout nombre réel x,

   

2

2 211 1

x x x

x x x

e ae be

ee e

   

.

2. Exprimer V( ) en fonction de  .

3. Déterminer la limite de V( ) lorsque  tend vers  .

4. 27. Sol équation+vol de révolution, Antilles 2004

5 points

Soit f la fonction définie sur [0 ;  [ par   2xf x xe  .

Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.

Partie A

1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ;  [ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.

2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la fonction logarithme népérien ; on notera L cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l’équation f(x) = ln(x)

sur [1 ;  [.

b. Montrer que la fonction g définie sur ]0 ;  [ par : g(x) = ln(x)− f(x) est strictement croissante sur [1 ;  [.

En déduire que l’équation f (x) = ln(x) admet une unique solution  sur [1 ; +∞[.

c. Déterminer à 103 près une valeur approchée de  .

Partie B

1. À l’aide d’une double intégration par parties déterminer 3

2 2

0

xI x e dx  .

2. On définit le solide S obtenu par révolution autour de l’axe (Ox) de la courbe d’équation y = f(x) pour 0 3x  dans le plan (xOy) (repère orthonormal d’unité 4 cm).

On rappelle que le volume V du solide est donné en unités de volume par :   3

2

0

( )V f x dx  .

a. Exprimer V en fonction de I.

b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm3 près du volume du solide.

4. 28. Solution d’équa diff, Polynésie 2004

1. Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction fk définie sur par : 1

( ) 1

x

k x

ke f x x

ke

  

 .

a. Justifier que, pour rout réel k positif ou nul, la fonction fk est solution de l’équation différentielle :

(E) : 2y = (y x)2 +1.

b. En déduire le sens de variations de fk sur .

2. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . Sur la

figure ci-dessous on a représenté la droite D d’équation 1y x  , la droite D’ d’équation 1y x  et

plusieurs courbes Ck correspondant à des valeurs particulières de k.

Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe Cpassant par le point A de coordonnées (1 ; 1).

3. On remarque que, pour tout x réel, on a : 2

( ) 1 1

k x f x x

ke   

 (1) et

2 ( ) 1

1

x

k x

ke f x x

ke   

 (2).

En déduire pour tout k strictement positif :

- la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D’ ;

- les asymptotes de la courbe Ck.

4. Cas particulier : k = 1.

a. Justifier que f1 est impaire.

b. Soit la fonction F définie sur par 1 0

( ) ( ) x

F x f t dt  . Interpréter graphiquement le réel F(x) dans les deux cas : x >0 et x < 0. Déterminer alors la parité de F à l’aide d’une interprétation graphique.

c. Déterminer les variations de F sur .

d. En utilisant l’égalité (2), calculer explicitement F(x).

4. 29. Problème classique, Am. du Sud 2002

10 points

A. Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur par    1 1xg x e x   .

1. Étudier le sens de variation de g.

2. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [ 1,27 ; 1,28 ] ; on note a cette solution.

3. Déterminer le signe de g(x) sur ]  ; 0[. Justifier que g(x) > 0 sur [0 ; a[ et g(x) < 0 sur ]a ;  [.

B. Étude de la fonction f

f est définie sur par   2 1x

x f x

e   

.

On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( ; , )O i j ; unités graphiques :

1 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

1. Déterminer la limite de f en  et interpréter graphiquement ce résultat.

2. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Démontrer que la droite (d) d’équation y = x + 2 est une asymptote pour Cf.

c. Étudier la position de Cf par rapport à (d).

3. a. Montrer que la fonction dérivée de f a même signe que la fonction g étudiée dans la partie A.

b. Montrer qu’il existe deux entiers p et q tels que f(a) = pa + q.

c. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

4. Tracer la courbe Cf dans le repère avec ses asymptotes et sa tangente au point d’abscisse a.

C. Encadrements d’aires

Pour tout entier naturel n, tel que n 2 , on note Dn l’ensemble des points M(x, y) du plan, dont les coordonnées vérifient : 2  x n et 2  y f (x) et on appelle An son aire, exprimée en unités d’aire.

1. Faire apparaître D5 sur la figure.

2. Démontrer que pour tout x , tel que x 2, on a : 7

8 1

x x

x

x xe xe

e

   

.

3. On pose 2

n x

nI xe dx   . À l’aide d’une intégration par parties, calculer In en fonction de n.

4. Écrire un encadrement de An en fonction de In.

5. On admet que An a une limite lorsque n tend vers  . Déterminer la limite de In lorsque n tend vers  .

Que peut-on en déduire pour la limite de An lorsque n tend vers  ? Donner une interprétation géométrique de ce dernier résultat.

4. 30. Tangente hyperbolique, Polynésie 2002

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j , toutes les courbes demandées seront tracées

dans ce repère (unité graphique 4 cm).

Partie A - Étude d’une fonction

f est la fonction définie sur par 2

2

1 ( )

1

x

x

e f x

e

 

 ,  est sa courbe représentative dans le repère ( ; , )O i j .

1. Étudier la parité de f .

2. Montrer que pour tout x appartenant , −1 < f (x) < 1.

3. Quelles sont les limites de f en  et  ? En déduire les équations des asymptotes éventuelles à  .

4. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations ; en déduire le signe de  f x sur .

5. a.  étant un nombre appartenant à ]−1 ; 1[, montrer que l’équation  f x  admet une solution

unique x0. Exprimer alors x0 en fonction de  .

b. Pour 1

2   , donner une valeur approchée de x0 à 10−2 près.

Partie B - Tangentes à la courbe

1. Déterminer une équation de la tangente T1 à  au point d’abscisse 0.

2. Montrer que pour tout nombre t réel,     2

' 1f t f t     . En déduire un encadrement de f ’(t).

3. Pour x positif ou nul, déterminer un encadrement de 0

'( ) x

f t dt , puis justifier que 0  f (x)  x. Quelles sont les positions relatives de  et T1 ?

4. Déterminer une équation de la tangente T2 à  au point A d’ordonnée 1

2 .

5. Montrer que le point B de la courbe  , d’ordonnée positive, où le coefficient directeur de la tangente

est égal à 1

2 a pour coordonnées :   ln 1 2 ; 1 .

6. Tracer  , T1 et T2. On placera les points A et B.

Partie C - Calcul d’intégrales

1. Montrer que ( ) x x

x x

e e f x

e e

  

; en déduire une primitive de f.

2. Quelle est l’aire en cm2 de la surface comprise entre  , la droite d’équation y = x et les droites d’équations x =0 et x = 1 ? Hachurer cette surface sur la représentation graphique.

3. Calculer   1

2

0

( )f x dx .

4. En utilisant une intégration par parties, montrer que :    2 21

2

2 0

1 1 1 ( ) ln

21

e e f x dx

ee

          

 .

En déduire   1

2

0

( )x f x dx .

4. 31. Etude de fonction

On se propose d’étudier la fonction f définie sur [0 ;  [ par :

1 1

( ) ( 1)exp ( 1) xf x x x e x

       

  si x > 0 et f (0) = 0.

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j d’unité

4 cm.

1. Variations de f

a. Montrer que la dérivée f’ de f sur ]0 ;  [ est de la forme   1

exp Q x x

      

Q est une fonction

rationnelle.

b. Déterminer la limite de (1 ) tt e lorsque t tend vers  . En déduire que f est dérivable en 0 et

déterminer '(0)f .

c. Etudier le sens de variation de f.

d. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers  .

e. Démontrer que l’équation ( ) 2f x  ,  0 ;x  , admet une unique solution  dont on donnera un

encadrement à 10−1 près.

2. Etude d’une fonction auxiliaire

Soit  la fonction définie sur [0 ;  [ par : ( ) 1 (1 ) tt t e    .

a. Calculer la dérivée de  .

b. Prouver que, pour tout réel t positif ou nul, 0 '( )t t  .

c. En déduire que, pour tout réel t positif ou nul, ²

0 ( ) 2

t t  (1)

3. Etude de f au voisinage de 

a. A l’aide de l’encadrement (1) , établir que, pour tout réel x strictement positif : 1

0 ( ) 2

x f x x

   .

b. En déduire que (C) admet une asymptote (  ) au voisinage de  et préciser la position de (C) par rapport à (  ).

4. Etude de la tangente à (C) en un point

Soit a un élément de ]0 ;  [ , et (Ta) la tangente à (C) au point d’abscisse a.

a. Déterminer une équation cartésienne de (Ta).

b. Montrer que (Ta) coupe l’axe des abscisses (0 ; )i

au point d’abscisse 1 ²

a

a a  .

c. Construire (C) et (  ). On placera le point de (C) d’ordonnée 2 et on précisera les tangentes à (C) aux

points d’abscisses 1

3 , 1 et 3.

4. 32. Equation exponentielle+ROC+prise initiative

Le but des deux premières questions de cet exercice est l'étude, sur , de l'équation

(E) :3 4 5x x x 

1. Démontrer que (E) est équivalente à : 3 4

1 5 5

x x    

        

.

2. On considère la fonction f définie sur par : 3 4

( ) 5 5

x x

f x             

.

a. Question de cours : pour tout réel a strictement positif, on note af la fonction (exponentielle de base

a) définie pour tout réel x par : ln( ) x x aaf x a e  .

Démontrer que af est strictement croissante lorsque a est élément de ]1 ;  [, strictement décroissante

sur lorsque a est élément de ]0 ; 1[ et est constante lorsque a est égal à 1.

Étudier la limite de af en  , selon les valeurs de a.

b. Étudier le sens de variations de f.

c. Étudier la limite de f en  .

d. En déduire qu'il existe un unique x0 réel positif ou nul tel que 0( ) 1f x  . Donner la valeur de x0.

3. Questions avec « prise d'initiative »

a. Résoudre, sur , l'équation : 3 4 5 6x x x x   .

b. L'équation 3 4 5 6 7x x x x x    admet-elle une solution entière (x solution est un nombre entier) ?

4. 33. Expo+ln

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire g

Soit g la fonction numérique définie sur  par ( ) ln(1 2 ) 1 2

x x

x

e g x e

e    

,

1. Calculer g’(x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x de .

2. Déterminer la limite de g en  .

3. Dresser le tableau de variation de la fonction g. En déduire le signe de g(x).

Partie B : Étude de la fonction f

Soit f la fonction numérique définie sur par 2( ) ln(1 2 )x xf x e e  .

1. Calculer f’(x) et montrer que pour tout réel x, 2'( ) 2 ( )xf x e g x .

2. En posant 1 2 xX e  , montrer que 4 ln

( ) ( 1)²

X X f x

X X

 . En déduire la limite de f en 

3. En posant 2 xh e , calculer la limite de f en  .

4. Dresser le tableau de variation de f.

5. On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j (unités

graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).

a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.

b. Tracez la courbe C et la tangente T.

4. 34. Recherche d’une fonction + aire +suite

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j . L’unité graphique est 4 cm. On donne la courbe

(C) représentative d’une fonction f définie sur  par :

2( ) x xf x ae be cx    ,

expression dans laquelle a, b et c sont des constantes réelles, indépendantes de x, à déterminer.

A . Détermination de f

1. La courbe (C) est tangente à la droite (T) d’équation 1

2 2

y x  au point 1

0, 2

I    

  . En déduire une

expression de a et b en fonction de c.

2. La courbe (C) a pour asymptote en  la droite D d’équation 2y x . En déduire, pour tout réel x,

l’égalité suivante : 2 1

( ) 2 2

x xf x e e x    .

B. Étude de f

1. Déterminer les limites de f en  et en  .

2. Montrer que pour tout x de  l’égalité suivante est vérifiée : '( ) ( 1)(2 )x xf x e e    .

En déduire les variations de f. Quelles sont les coordonnées du point A de la courbe correspondant au minimum de f ?

3. Étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote D.

4. a. Démontrer que f s’annule une et une seule fois sur [0 ; 2] pour une valeur notée  .

b. Déterminer l’abscisse t du point d’intersection de (T) et de (Ox). Calculer f(t) et en donner une valeur approchée à 10−3 près. En déduire que  est inférieur à t.

c. A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de  d’amplitude 10−2 (on précisera la méthode utilisée).

5. Compléter la figure en traçant l’asymptote D, la tangente (T) et en mettant en évidence t et  .

C. Calcul d’aire

On note g la fonction définie sur par ( ) 2 ( )g x x f x  . Soit G une fonction telle que pour tout x de ,

'( ) ( )G x g x . On pose pour tout entier naturel : 16[ ( ) ( ln 2)]na G n G   .

1. Calculer an en fonction de n. Que représente na ?

2. Déterminer la limite de la suite ( )n na  .

3. a. Démontrer, pour tout n , l’inégalité suivante : 16(1 )nna e   .

b. En déduire une valeur de n vérifiant l’inéquation suivante : 15,99na  .

c. Est-ce la plus petite valeur de n solution de l’inéquation ?

4. 35. Groupe 1 1996

L’objet de ce problème est :

* d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +[ par 1

( ) x

x

e f x

e x

  

.

* de justifier rigoureusement le tracé de sa courbe C dans le plan muni d’un repère orthonormal

( ; , )O i j d’unité graphique 5cm.

* de détailler enfin certaines propriétés d’une suite de nombres réels construite à partir de f.

Partie A : Questions préliminaires

1. Soit g la fonction définie sur [0 ;  [ par ( ) 1xg x e x   .

a. Montrer que pour tout x>0 on a g’(x)>0. En déduire les variations de g sur [0 ;  [.

b. Calculer g(0). En déduire que pour tout x>0 on a g(x)>0.

2. Soit h la fonction définie sur [0 ;  [ par ( ) (2 ) 1xh x x e   .

a. Etudier la fonction h et dresser son tableau de variations.

b. Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution et une seule  sur [1 ; 2].

c. Donner un encadrement de  d’amplitude 10−2.

d. Préciser suivant les valeurs du réel positif x le signe de h(x).

Partie B : Etude de la fonction f et tracé de la courbe C

1. a. Justifier que f est définie en tout point de [0 ;  [.

b. Montrer que pour tout x  0 on peut écrire 1

( ) 1

x

x

e f x

xe

  

. En déduire lim ( ) x

f x 

et interpréter

relativement à C le résultat obtenu.

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