Contrôle de sciences statistiques 6 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 6 - 3° partie, Exercices de Statistiques

PDF (696.4 KB)
17 pages
205Numéro de visites
Description
Contrôle de sciences statistiques 6- 3° partie - Fonction exponentielle. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Etude de suite, Exponentielle de base quelconque, Tangentes communes.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 17
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

c. Montrer que 2

( ) '( )

( )x h x

f x e x

 

.

d. Etudier la fonction f et dresser son tableau de variation.

2. a. Montrer que pour tout x (1 ) ( )

( ) x

x g x f x x

e x

  

 .

b. En déduire suivant les valeurs du réel positif x la position de la courbe C par rapport à la droite  d’équation y = x.

3. a. Préciser la tangente à C en son point d’abscisse 0.

b. Tracer C en faisant figurer sur le dessin la droite  d’équation y = 1 ainsi que tous les éléments obtenus au cours de l’étude.

Partie C : Etude de suite

(un) est définie par 0

( ( ) 1) n

nu f x dx  .

1. Déterminer une primitive de la fonction f. En déduire l’expression de un en fonction de n.

2. Interpréter géométriquement le nombre réel –u1.

3. Déterminer lim n n

u 

(on pourra utiliser l’égalité ln( )nn e )

4. Interpréter géométriquement le nombre réel 1nu u puis le résultat obtenu dans la question

précédente.

4. 36. Acc. finis, N. Calédonie 1993

On appelle f la fonction définie sur [0 ; +[ par 1

( ) 2

xf x xe x  .

1. a. Calculer la dérivée de f ainsi que lim ( ) x

f x 

.

b. On appelle g la fonction définie sur [0 ; +[ par 1

( ) (1 ) 2

xg x x e   .

Etudier le sens de variation de g et montrer que l’équation ( ) 0g x  a une unique solution  sur [0 ; 0,5].

En déduire l’étude du signe de g(x) sur [0 ; +[ et les variations de f.

2. On appelle h la fonction définie sur l’intervalle I = [0 ; 0,5] par 1

( ) 1 2

xh x e  .

a. Montrer que  est l’unique solution sur I de l’équation h(x) = x.

b. Etudier les variations de h, en déduire que pour tout élément x de I, h(x) appartient à I.

c. Prouver que pour tout élément x de I on a –0,83  h’(x)  0.

En déduire que pour tout x de I on a ( ) 0,83h x x    .

(La suite n’est plus au programme depuis 2002 même si elle reste abordable).

3. On définit une suite ( )nu par 0

1

0

( )n n

u

u h u

 

 .

a. Montrer que pour tout entier n, un appartient à I, et que 1 0,83n nu u     .

b. En déduire que pour tout entier n, 1

(0,83) 2

n nu   .

c. Déterminer la limite de la suite (un).

4. Préciser un entier p tel que l’on ait 210pu    . Calculer up à l’aide de votre calculatrice (on en

donnera la partie entière et deux décimales). En déduire un encadrement de .

Montrer que 2

( ) 2(1 )

f

 

 

, et donner un encadrement de f ().

4. 37. Bac S, 1997

Partie A

Soit  la fonction définie sur par ( ) 1xx e x    .

1. Etudier le sens de variation de  et ses limites en  et  .

2. Montrer que l’équation ( ) 0x  admet une solution unique a sur [−2 ; −1] et que 1,28 1,27a    .

3. Etudier le signe de ( )x sur .

Partie B

Soit f la fonction définie sur par ( ) 1

x

x

xe f x

e  

et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un

repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité graphique 4 cm.

1. Montrer que 2

( ) '( )

( 1)

x

x

e x f x

e

 

 . En déduire le sens de variation de f.

2. Montrer que ( ) 1f a a  et en déduire un encadrement de f(a).

3. Soit T la tangente à C au point d’abscisse 0. Donner une équation de T et étudier la position de C par rapport à T.

4. Chercher les limites de f en  et  . Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à C et étudier la position de C par rapport à D.

5. Faire le tableau de variation de f.

6. Tracer sur un même graphique les droites T, D et la courbe C. La figure devra faire apparaître les points de d’abscisse comprise entre –2 et 4.

4. 38. Exponentielle de base quelconque

1. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

a. 2 12 3x x b. 2 5 x  c. 15 3x  d. 17 6

x

xx 

2. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes et calculer leur dérivée :

a. f définie par ln( ) xf x x b. g définie par ( ) (ln )xg x x .

4. 39. Equa diff + cosh, Centres étrangers 2001

Les objectifs du problème sont de déterminer la solution d'une équation différentielle (partie A), d'étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).

Partie A

On appelle (E) l'équation différentielle " 0y y  , où y est une fonction définie et deux fois dérivable sur

l'ensemble des nombres réels.

1. Déterminer les réels r tels que la fonction h définie par ( ) rxh x e soit solution de (E).

2. Vérifier que les fonctions  définies par ( ) x xx e e     , où  et  sont deux nombres réels, sont

des solutions de (E). On admettra qu'on obtient ainsi toutes les solutions de (E).

3. Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe passe par le point de coordonnées 3

ln 2 ; 4

     

et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 5

4 .

Partie B

On appelle f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par 1

( ) ( ) 2

x xf x e e  . On désigne

par C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Soit  un réel. Montrer que pour tout réel x, ( )f x  équivaut à 2 2 1 0x xe e   . En déduire que

l'équation ( )f x  a une unique solution dans et déterminer sa valeur en fonction de  .

2. a. Déterminer les limites de f en  et  .

b. Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de f sur .

3. a. Déterminer une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 0.

b. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur par ( ) ( )d x f x x  , préciser la position

de T par rapport à C.

c. Tracer T et C (unité graphique 2cm).

4. Soit D la partie représentant sur le graphique l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) telles

que 0 1, ( )x x y f x    . Hachurer le domaine D, calculer en cm2 l'aire de D.

Partie C

On cherche à déterminer les fonctions  dérivables sur l'ensemble des nombres réels, telles que

pour tout réel x :

0

( ) ( ) ( )

x

x x t t dt x     (H).

1. On suppose qu'il existe une telle fonction  .

a. Justifier que pour tout nombre réel x,

0 0

( ) ( ) ( )

x x

x x x t dt t t dt       . Calculer (0) .

b. Démontrer que pour tout nombre réel x,

0

'( ) 1 ( )

x

x t dt    . Calculer '(0) .

c. Vérifier que  est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la question A. 2.

2. a. A l'aide d'une intégration par parties, calculer

0

( )

x

t tt e e dt .

b. Démontrer que la fonction trouvée à la question 1.c. vérifie bien la relation (H).

4. 40. Tangentes communes à ln et exp, 1996

L'objectif est de déterminer les droites tangentes à la fois à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien et à celle de la fonction exponentielle. Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( ; , )O i j d'unité graphique 1 cm.

On note :

 et C les courbes d'équations respectives xy e et lny x ;

Ta la tangente à la courbe  en son point A d'abscisse a, a étant un nombre réel.

D la tangente à C en son point K d'abscisse  ,  étant un nombre réel strictement positif.

Les deux parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

Dans cette partie on recherche des tangentes aux courbes C et  qui sont parallèles ; puis à quelle condition une droite tangente à  est également tangente à C.

1. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite Ta. Déterminer de même une équation

cartésienne de la droite D .

b. Déterminer  en fonction de a pour que les droites Ta et D soient parallèles.

On notera b la valeur de  ainsi obtenue, B le point de la courbe C d'abscisse b et Db la tangente correspondante.

2. Montrer que les droites Ta et Db sont confondues si et seulement si :

ab e et ( 1) 1aa e a   .

Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les solutions de l'équation : 1

1

x xe x

  

(1).

Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout x différent de –1 par 1

( ) 1

xxf x e x

  

.

1. a. Montrer que ( ) 1f x  si et seulement si 1

1

x xe x

  

.

b. Etudier les variations de f sur [0 ;  [ et la limite de f en  .

c. Montrer que l'équation ( ) 1f x  admet dans [0 ;  [ une solution unique  dont on donnera un

encadrement à 10−1 près.

2. a. Pour tout nombre réel x différent de 1 et –1, calculer le produit ( ) ( )f x f x  .

b. Déduire des questions précédentes que l'équation (1) admet deux solutions opposées.

c. Déterminer les tangentes communes aux courbes C et .

3. Tracer dans le repère orthonormal ( , , )O i j les courbes C et  . On rappelle que ces courbes sont

symétriques par rapport à la droite d'équation y x . Tracer également les tangentes communes T et

T  . On prendra pour  la valeur approchée 1,55.

4. On appelle A le point de contact de T et  , B le point de contact de T et C, H le point de contact de

T  et  , K le point de contact de T  et C. Montrer que ces points ont pour coordonnées

1 ;

1 A

  

   

  ,

1 ;

1 B

 

   

  ,

1 ;

1 H

  

   

  ,

1 ;

1 K

 

     

. Démontrer que ABHK est un trapèze

isocèle.

4. 41. Exp et suites, La Réunion 2004

4 points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ;  [ par 22 1( ) 1 xf x x e   .

Son tableau de variations est le suivant :

x 0 1 

'f − 0 +

f

1

0

1

Sa courbe représentative C et son asymptote  , d’équation y = 1, sont tracées ci-dessous.

A -Lecture graphique

1.k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ;  [ de l’équation f(x) = k.

2. n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation 1

( )f x n

admet deux solutions distinctes.

B - Définition et étude de deux suites

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.Montrer que l’équation 1

( )f x n  admet deux solutions un et vn

respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ;  [.

2. Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et wn pour n appartenant à l’ensemble {2 ; 3 ;4}.

3. Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).

4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn). En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

4. 42. Exp et suites, N. Calédonie 1996,

Partie A

On considère la fonction f définie sur par 2( ) (1 2 ) xf x x e  .

1. Etudier les limites de f en  et en  .

2. Calculer '( )f x , étudier les variations de f, dresser son tableau de variation.

3. Tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal d'unité 2cm.

Partie B

La fonction f est toujours celle définie dans la partie A. On note (1) 'f f , (2) ''f f , (3)f , … ( )nf les

dérivées successives de f, n désignant un entier naturel non nul.

1. Calculer (2)f et (3)f .

2. Montrer par récurrence sur l'entier non nul n que ( ) 2( ) 2 (1 2 )n n xf x n x e   .

3. Pour tout n non nul, la courbe représentative de ( )nf admet une tangente horizontale en un point nM .

a. Calculer les coordonnées nx et ny de nM .

b. Vérifier que la suite ( )nx est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison.

Quelle est la limite de ( )nx ?

c. Vérifier que la suite ( )ny est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

Quelle est la limite de ( )ny ?

4. 43. Bac S 1995, plus classique, tu meurs (Corneille)

Dans ce problème, on étudie les fonctions f et g définies sur par : ( ) xf x xe et   2

( ) ( ) ( )g x f x f x  .

Partie A : étude de f

1. Justifier que f est dérivable sur , calculer sa dérivée 'f , étudier le sens de variation de f.

2. Déterminer les limites de f en  et  .

3. Donner le tableau de variation de f.

4. Montrer que l’équation 1

( ) 2

f x   admet une solution  unique sur , donner un encadrement de

 à 10−2 près.

Partie B : Etude de g

1. Justifier que g est dérivable sur et que l’on a pour tout x :  '( ) '( ) 1 2 ( )g x f x f x  .

2. Déterminer les limites de g en  et  .

3. Donner la tableau de variation de g (on calculera la valeur exacte de g( ) ).

4. a. Etablir que pour tout réel x, on a : ( ) (1 )x x xg x x xe xe e     .

b. Montrer que pour tout réel x, on a : 1 1x xxe x e    .

c. Préciser la position de la courbe de g par rapport à sa tangente à l’origine.

4. 44. Exp et radical

On appelle f la fonction définie sur [0 ;  [ par 1

( ) xe

f x x

   si 0x  , et (0) 0f  .

1. Prouver que 0

1 lim 1

t

t

e

t

  

2. En déduire la continuité de f en 0.

3. Etudier le signe de f(x).

4. Etudier la limite de f en  .

5. Montrer que l’on a pour tout 0x  : 1 2

'( ) 2

x xe xe f x

x x

    .

6. Etudier les variations de f à l’aide d’une fonction auxiliaire.

7. Etudier la dérivabilité de f en 0 (on sera amené à utiliser la question 1)

4. 45. Exp par morceaux, Bac E, Rennes 1976

On appelle f la fonction définie sur par :

1

( ) si 0

(0) 0

( ) si 0

x

x

f x xe x

f

f x xe x

  

 

  

.

1. Etudier les limites de f en  et  .

2. Etudier la continuité de f en 0.

3. Etudier la dérivabilité de f en 0.

4. Etudier les variations de f.

5. Montrer que la droite d’équation 1y x  est asymptote à la courbe de f (on sera amené à poser

1 )x

t  .

6. Tracer la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité 3 cm.

4. 46. Un problème pas très marrant

Pour chaque entier naturel n, on définit sur l’intervalle ]0 ;  [ la fonction fn par 1

( ) ln x

n

e f x n x

x

   .

Partie A : étude du cas particulier n = 0.

f0 est donc définie sur ]0 ;  [ par 0 1

( ) xe

f x x

  .

1. Justifier, pour tout réel u, l’inégalité 1ue u  . En déduire que pour tout réel x, 1 0xe x    , puis

que, pour tout réel x, 1 ( 1) 0xx e   .

2. Déterminer les limites de f0 en 0 et en  .

3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]0 ;  [, la dérivée de f0 est donnée par

' 0 2

( 1) 1 ( )

xe x f x

x

   . En déduire le sens de variation de f0.

4. Représenter la courbe C0 de f0 dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

Partie B : étude de la famille de fonctions fn pour 1n  .

On appelle Cn la courbe représentative de fn dans le repère précédent.

1. Déterminer le sens de variation de fn sur l’intervalle ]0 ;  [.

2. Déterminer les limites de fn en 0 et en  . En déduire que Cn possède une asymptote que l’on précisera.

3. Etudier les positions relatives des courbes Cn et Cn+1.

4. Montrer que toutes les courbes Cn passent par un même point B dont on précisera les coordonnées.

5. Pour tout entier naturel non nul n, montrer qu’il existe un unique réel an appartenant à ]0 ; 1[ tel

que ( ) 0n nf a  .

6. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1( ) ln( )n n nf a a  . En déduire que 1n na a  , puis que

la suite (an) est convergente.

7. a. En utilisant la partie A, montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; 1], 1

1 xe

e x

   .

b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, 1

ln( )n e

a n

  , puis que

1 e

n na e

 .

c. En déduire la limite de la suite (an).

8. Construire sur le graphique précédent les courbes C1 et C2.

4. 47. Autour de exp(1/x)

1. Soit  l’application de {0} dans définie par :

1 1

( ) 1 1xx e x

        

.

a. Etudier les limites de  aux bornes du domaine de définition.

b. Montrer que

1

3

(2 1) '( ) x

x x e

x

   et en déduire les variations de  . Construire le tableau de variations

de  et en déduire que ( )x est strictement positive sur {0}R .

2. Soit f l’application définie dans par : 1

( )

1 x

x f x

e

si 0x  et (0) 0f  .

a. Montrer que f est continue en 0.

b. Etudier la dérivabilité de f en 0 et en donner les conséquences graphiques.

c. Etudier les variations de f (on sera amené à utiliser le 1. pour trouver le signe de f’). Donner le tableau de variations de f.

d. Construire la courbe de la fonction f.

4. 48. Coûts de fabrication

A. Etude d’une fonction :f est la fonction définie sur I = [0 ;  [ par : 10

( ) 1x

x f x

e  

.

1. a. Démontrer que pour tout réel x de I, 2

10 '( ) ( )

( 1)x f x g x

e

 où g est une fonction définie sur I que l’on

déterminera.

b. Démontrer qu’il existe un réel  unique de I tel que ( ) 0g  . Donner un encadrement de 

d’amplitude 10−1.

c. En déduire le tableau de variations de f et démontrer que ( ) 10( 1)f    .

Construire la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d’unités 2 cm.

B. Application économique : après avoir lancé la fabrication d’un nouvel objet, une entreprise a réalisé une étude qui a montré que le coût total de fabrication C(q) en milliers d’euros pouvait être assez

bien décrit par la fonction : ( )q f q q , f étant la fonction de la partie A et q le nombre d’objets

fabriqués exprimé en centaines.

1. a. Sur la figure de la question A. 2., représenter la courbe de la fonction C sur l’intervalle [0 ; 10].

b. A combien peut-on évaluer le coût de fabrication de 300 objets ?

2. Le coût unitaire est donné par ( )

( ) 100

u

C q C q

q  . A l’aide de la calculatrice, estimer à partir de combien

d’objets fabriqués le coût unitaire est inférieur à 12 euros.

4. 49. exp(−x²), Amérique du Sud 2005

7 points

Partie A

On considère les fonctions f et g définies sur par 2

( ) xf x e et 22( ) xg x x e .

On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal

( ; , )O i j , dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera complétée et rendue avec la

copie.

1. Identifier Cf et Cg sur la figure fournie (justifier la réponse apportée).

2. Étudier la parité des fonctions f et g.

3. Étudier le sens de variationde f et de g . Étudier les limites éventuelles de f et de g en  .

4. Étudier la position relative de Cf et Cg.

Partie B

On considère la fonction G définie sur par 22

0

( ) x

tG x t e dt  .

1. Que représente G pour la fonction g ?

2. Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d’aires.

3. Étudier le sens de variations de G sur .

On définit la fonction F sur par : pour tout réel x, 2

0

( ) x

tF x e dt  .

4. Démontrer, que, pour tout réel x, 21

( ) ( ) 2

xG x F x xe     

; (on pourra commencer par comparer les

fonctions dérivées de G et de 21

( ) 2

xx F x xe     

.

On admet que la fonction F admet une limite finie l en  , et que cette limite l est égale à l’aire, en

unités d’aire, du domaine A limité par la courbe Cf et les demi-droites [ ; )O i et [ ; )O j .

5. a. Démontrer que la fonction G admet une limite en  que l’on précisera.

b. Interpréter en termes d’aires le réel   1 22

0

1 tN t e dt  .

c. En admettant que la limite de G en  représente l’aire P en unités d’aire du domaine D limité par la

demi-droite [ ; )O i et la courbe Cg justifier graphiquement que :

  1 22

0

1 2

t lN t e dt  

(on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie).

Annexe

4. 50. Exp+cos+suite, Polynésie rempl. 2005

5 points

L’annexe se rapporte à cet exercice. Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j .

Soit la fonction f définie sur [0 ;  [ par ( ) cos(4 )xf x e x et  sa courbe représentative tracée dans le

repère ( ; , )O i j ci-dessous. On considère également la fonction g définie sur [0 ;  [ par ( ) xg x e et

on nomme Csa courbe représentative dans le repère ( ; , )O i j .

1. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ;  [, ( )x xe f x e    .

b. En déduire la limite de f en  .

2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes  et C.

3. On définit la suite  nu sur par 2

nu f n  

    

.

a. Montrer que la suite  nu est une suite géométrique. En préciser la raison.

b. En déduire le sens de variation de la suite  nu et étudier sa convergence.

4. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ;  [,  '( ) cos(4 ) 4sin(4 )xf x e x x   .

b. En déduire que les courbes  et Cont même tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès du coefficient directeur de la droite Ttangente à la

courbe  au point d’abscisse 2

 . Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant Tet C.

4. 51. Exp+Intégrale, Polynésie sept 2006

7 points

1. Soit f la fonction définie sur par :    3 22 4 xf x x x e  . a. Déterminer les limites de f en  et en  .

b. Calculer f ’(x) et montrer que    22 5 4 xf x x x x e     . c. Dresser le tableau de variations de f .

d. Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j (unité graphique : I

cm).

2. Pour *n ,on pose 1

0

n x nI x e dx

  .

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

b. On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2, 1 1

n nI nI e

  . Déterminer I2 et I3.

c. Soit A l’aire, exprimée en cm2, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe (C ) et les droites d’équation x = 0 et x = 1. Calculer A.

3. Soit u une fonction définie et dérivable sur . On définit la fonction v sur  0 ;  par

  1

v x u x

      

.

a. On suppose que u est croissante sur l’intervalle [a ; b] (où 0 < a < b). Déterminer le sens de variation

de v sur 1 1

; b a

    

.

b. On définit maintenant la fonction g par   1

g x f x

      

sur  0 ;  , où f est la fonction définie dans

la question 1. Déterminer les limites de g en 0 et en  .

c. Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle  0 ;  .

4. 52. Equations+ROC, Asie 2007

7 points

On désigne par a un réel strictement positif et différent de 1.

On se propose de rechercher, dans l’intervalle  0 ;  , les solutions de l’équation Ea : a xx a .

I. Étude de quelques cas particuliers

1. Vérifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l’équation E2.

2. Vérifier que le nombre a est toujours solution de l’équation Ea.

3. On se propose de démontrer que e est la seule solution de l’équation eE .

On note h la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par   lnh x x e x  .

a. Question de cours : On rappelle que lorsque t tend vers  , alors te

t tend vers  .

Démontrer que ln

lim 0 x

x

x  .

b. Déterminer les limites de h en 0 et  .

c. Etudier les variations de h sur l’intervalle  0 ;  .

d. Dresser le tableau des variations de h et conclure quant aux solutions de l’équation eE .

II. Résolution de l’équation Ea

1. Soit x un réel strictement positif. Montrer que x est solution de l’équation Ea si et seulement si x est

solution de l’équation : ln lnx a

x a  .

2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle  0 ;  par :   ln x

f x x

 .

a. Déterminer les limites de f en 0 et  . Donner une interprétation graphique de ces deux limites.

b. Etudier les variations de f sur l’intervalle  0 ;  .

c. Dresser le tableau des variations de la fonction f.

d. Tracer la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j , unité : 2 cm.

3. Justifier à l’aide des résultats précédents les propositions (P1) et (P2) suivantes :

(P1) : si  0 ; 1a , alors Ea admet l’unique solution a ;

(P2) : si    1 ; ;a e e   , alors Ea admet deux solutions a et b, l’une appartenant à l’intervalle ]1 ; e[

et l’autre appartenant à l’intervalle  ;e  .

4. 53. Equation+suite réc., C. étrangers 2007

7 points

Le but de l’exercice est demontrer que l’équation (E) : 1xe x  , admet une unique solution dans

l’ensemble des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.

I. Existence et unicité de la solution

On note f la fonction définie sur par :   xf x x e  .

1. Démonter que x est solution de l’équation (E) si et seulement si f (x) = 0.

2. Étude du signe de la fonction f.

a. Etudier le sens de variations de la fonction f sur .

b. En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur , notée  .

c. Démontrer que  appartient à l’intervalle 1

;1 2

    

.

d. Étudier le signe de f sur l’intervalle  0 ; .

II. Deuxième approche

On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :   1

1 x x

g x e

  

.

1. Démontrer que l’équation f (x) = 0 est équivalente à l’équation g (x) = x.

2. En déduire que  est l’unique réel vérifiant :  g   .

3. Calculer  'g x et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle  0 ; .

III. Construction d’une suite de réels ayant pour limite 

On considére la suite (un) définie par : u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par :  1n nu g u  .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 10 n nu u    .

2. En déduire que la suite (un) est convergente. On note l sa limite.

3. Justifier l’égalité :  g l l . En déduire la valeur de l.

4. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u4 arrondie à la sixième décimale.

4. 54. ROC+tangente+suite, N. Calédonie nov 2007

6 points

Partie A : question de cours

1. Soit f une fonction réelle définie sur [a ;  [. Compléter la phrase suivante :

«On dit que f admet une limite finie l en  si . . . . . . .»

2. Démontrer le théorème « des gendarmes » : soient f, g et h trois fonctions définies sur [a ;  [ et l un nombre réel.

Si g et h ont pour limite commune l quand x tend vers  , et si pour tout x assez grand

     g x f x h x  , alors la limite de f quand x tend vers  est égale à l.

Partie B

Soit f la fonction définie sur par   1xf x e x   et soit (C) sa courbe représentative dans un repère

orthonormal du plan. La droite (D) d’équation 1y x   est asymptote à (C).

On a représenté ci-dessous la courbe (C) et la droite (D).

1. Soit a un nombre réel. Écrire, en fonction de a, une équation de la tangente (T) à (C) au point M d’abscisse a.

2. Cette tangente (T) coupe la droite (D) au point N d’abscisse b. Vérifier que 1b a   .

3. En déduire une construction, à effectuer sur la figure ci-dessous, de la tangente (T) à (C) au point M d’abscisse 1,5. On fera apparaître le point N correspondant.

Partie C

1. Déterminer graphiquement le signe de f.

2. En déduire, pour tout entier naturel non nul n,les inégalités suivantes :

(1)

1 1

1ne n

  et (2)

1

1 1

1 1

ne n

   

 .

3. En utilisant l’inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nul n : 1

1

n

e n

    

  .

4. En utilisant l’inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nul n : 1

1 1

n

e n

       

.

5. Déduire des questions précédentes un encadrement de 1

1

n

n

   

  puis sa limite en  .

4. 55. ROC+suite intégrales, Liban 2010, 5 pts

Partie A

Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants :

* 0 1e  . * Pour tous réels x et y, x y x ye e e   .

1. Démontrer que pour tout réel x, 1x x

e e

  .

2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,   n

x nxe e .

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : 1

0 1

nx

n x

e u dx

e

 

 .

1. a. Montrer que u0 + u1 = 1.

b. Calculer u1. En déduire u0.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, 0nu  .

3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 1 1 n

n n

e u u

n

   .

b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, 1 n

n

e u

n

  .

4. Déterminer la limite de la suite (un).

4. 56. ROC+suite, N. Calédonie 11/2008

3 points

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  0 ;  par   1x

x f x

e  

.

1. Restitution organisée de connaissances : La fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable

sur  vérifiant    

 

'

0 1

g x g x

g

  



pour tout x .

Démontrer que 0

1 lim 1

h

x

e

h

  .

2. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Déterminer la limite de la fonction f en  .

Partie B

Soit (un) la suite définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par :

1 2 1 1

1 ...

n

n n n nu e e e

n

          

.

1. Démontrer que

1 2 1

1

1 1 ...

1

n

n n n

n

e e e e

e

 

    

puis en déduire que   1

1nu e f n

     

  .

2. En déduire, en utilisant aussi la partie A, que la suite (un) converge vers e – 1.

4. 57. Fonction+équa diff+aire, Antilles 2008

6 points

Soit f la fonction définie sur  par :   2 3 9

3 2

x xf x e e   .

Partie A

Soit l’équation différentielle (E) : 3' 2 3 xy y e  .

1. Résoudre l’équation différentielle (E’) : ' 2 0y y  .

2. En déduire que la fonction h définie sur  par   2 9

2

xf x e est solution de (E’).

3. Vérifier que la fonction g définie sur  par   33 xg x e  est solution de l’équation (E).

4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E).

Partie B

On nomme Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité 1 cm.

1. Montrer que pour tout x de  on a :   2 3

3 2

x xf x e e   

    

.

2. Déterminer la limite de f en  puis la limite de f en  .

3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f.

4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.

5. Calculer  1f et tracer l’allure de la courbe Cf.

6. Déterminer l’aire A de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm2.

4. 58. ROC+paramètres, Asie 2008

7 points

A. Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : lim x

x

e

x   . Démontrer que : lim 0x

x xe

  .

B. Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur  par :    1 xf x x e  . On note (C ) sa représentation graphique

dans un repère orthonormal ( ; , )O i j du plan. On prendra 4 cmpour unité graphique.

1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte clans la notation.

Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.

2. Tracer la courbe (C). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.

C. Étude d’une famille de fonctions

Pour tout entier relatif k, on note fk la fonction définie sur  par :    1 kxkf x x e  .

On note (Ck)la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas k = −1 a été traité dans la partie B, car on a f−1 = f et (C−1) = (C).

1. a. Quelle est la nature de la fonction f0 ?

b. Déterminer les points d’intersection des courbes (C0) et (C1).

Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe (Ck).

2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression :   1 1xx e  . En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes (Ck)et (Ck+1).

3. Calculer  kf x pour tout réel x et pour tout entier k non nul.

En déduire le sens de variation de la fonction fk suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas : k > 0 et k < 0.)

4. Le graphique précédent représente quatre courbes (E), (F), (H), et (K), correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2.

Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.

D. Calcul d’une aire plane

Soit  un réel strictement positif. La fonction f est celle définie dans la partie B.

1. l’aide d’une intégration par parties, calculer le nombre :     0

A f t dt

   .

2. Déterminer  lim A

 

. Interpréter graphiquement le résultat.

4. 59. Famille fonctions+suite, C. étrangers 2009

6 points

Soit n un entier naturel. On note fn la fonction définie sur l'ensemble  des nombres réels par :

  1

nx

n x

e f x

e

  

.

On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal ( ; , )O i j . Les courbes C0 , C1 , C2et

C3 sont représentées ci-dessous :

Partie A : Quelques propriétés des fonctions fn et des courbes Cn

1. Démontrer que pour tout entier naturel n les courbes Cn ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.

2. Étude de la fonction f0

a. Étudier le sens de variation de f0.

b. Préciser les limites de la fonction f0 en  et  . Interpréter graphiquement ces limites.

c. Dresser le tableau de variation de la fonction f0 sur .

3. Étude de la fonction f1

a. Démontrer que    0 1f x f x  pour tout nombre réel x.

b. En déduire les limites de la fonction f1 en  et  , ainsi que son sens de variation.

c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes C0 et C1.

4. Étude de la fonction fn pour n > 2

a. Vérifier que pour tout entier naturel n > 2et pour tout nombre réel x, on a :    1

1 n n xnx

f x e e

 

 .

b. Étudier les limites de la fonction fn en  et en  .

c. Calculer la dérivée  nf xet dresser le tableau de variations de la fonction fn sur .

Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions fn

On pose, pour tout entier naturel n :   1

0 n nu f x dx  .

1. Calculer u1 puis montrer que 0 1 1u u  . En déduire u0.

2. Démontrer que, pour tout entier n : 1

0

0 nxnu e dx    .

3. Calculer l'intégrale 1

0

nxe dx . En déduire que la suite  nu est convergente et préciser sa limite.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome