Contrôle de sciences statistiques 7 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 7 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 7 - 1° partie - fonctions diverses. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: le volume, les limites, le théorème des gendarmes.
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Terminale S

Analyse - fonctions diverses Exercices

1. 1. Divers 1 1. 2. Limites (c) 2 1. 3. Etudes 3 1. 4. QCM, Pondicherry 2006 (c) 5 1. 5. Qcm 1 (c) 6 1. 6. Qcm 2, Liban 2005 7 1. 7. Qcm 3, France rempl. 2005 8 1. 8. Qcm 4 (octobre 2012) (c) 9 1. 9. Polynômes (c) 10 1. 10. TVI et tangentes 11 1. 11. Fonction périodique-1 12 1. 12. Fonction périodique-2 12 1. 13. Un peu de trigo 12 1. 14. ROC+dérivées, France remplt 2007 13 1. 15. Dérivabilité 13 1. 16. Cubique et trigonométrie (c) 14 1. 17. Fonction rationnelle et composée de sinus (c) 16 1. 18. Fonction rationnelle de base 1 17 1. 19. Fonction rationnelle 2 (c) 18

1. 20. Fonction rationnelle-3 19 1. 21. Fonction rationnelle-4 19 1. 22. Fonction irrationnelle-1 19 1. 23. Fonction irrationnelle-2 20 1. 24. Fonction irrationnelle-3 20 1. 25. Fonction irrationnelle-4 21 1. 26. Fonction irrationnelle-5 21 1. 27. Fonction définie par morceaux 22 1. 28. Fonction paire, fonction impaire 22 1. 29. Triangle d’aire maximale (c) 23 1. 30. Cissoïde de Dioclès 26 1. 31. Strophoïde droite et inversion 27 1. 32. Sinus cardinal 28 1. 33. Arc tangente,N. Calédonie 2003 28 1. 34. Autour de sin(1/x) 29 1. 35. Suites et sinus 29 1. 36. Camion et Lapin, N. Caledonie 2005 (c) 30

1. 1. Divers

Exercice 1

Un triangle ABC est isocèle. Les mesures en centimètres des côtés sont AB = AC = 10 et BC = 12.

Soit M un point de [AB] tel que AM = x. Par M on mène la parallèle à (BC) qui coupe [AC] en N.

a. Déterminez x pour que le triangle AMN et le trapèze BMNC aient le même périmètre.

b. Déterminez x pour que les aires du triangle AMN et du trapèze BMNC soient égales.

Exercice 2

Si on augmente la vitesse d'un train de 10 km/h , on gagne 40 minutes sur le trajet effectué par ce train. Si on diminue la vitesse de 10 km/h, on perd une heure sur le même trajet. Quelle est la longueur du trajet ?

Exercice 3

On dispose d'une feuille de carton de 80 cm de long sur 50 cm de large avec laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour cela on découpe 4 carrés égaux aux quatre coins de la feuille puis on plie le carton suivant les segment [AB] , [BC] , [CD] et [DA]. On appelle x la mesure en cm du côté de chaque carré découpé.

A B

D C

a. Précisez entre quelles valeurs peut varier x pour que la boîte soit réalisable. On obtiendra un intervalle I.

b. Déterminez le volume V(x) en cm3 de la boîte obtenue en fonction de x. c. Etudiez les variations de V et en déduire la valeur de x pour laquelle V est maximal. Quelles sont les dimensions de la boîte obtenue ?

Exercice 4

On considère la figure (F) formée d'un rectangle ABCD et de quatre demi-disques extérieurs à ce rectangle et de diamètres respectifs AB, BC, CD et DA. On suppose que le rectangle a pour périmètre 200 cm. On appelle x la mesure, en cm, du côté AB.

1. Préciser entre quelles valeurs doit se trouver x pour que cette figure soit réalisable.

2. Déterminer l'aire de cette figure, notée S(x).

3. Pour quelle valeur de x cette aire est-elle minimale ? Quelle est alors la valeur de cette aire et la nature du rectangle ?

Exercice 5

On veut construire une rampe pour handicapés permettant de descendre une marche de hauteur 1 ; trouver une courbe permettant le tracé de la rampe de sorte qu’il n’y ait pas de point anguleux et que la pente maximale de la rampe soit de 10% ; on cherche l’emprise au sol de la rampe (la longueur 2l).

1. On choisit la fonction f représentant la rampe sous la forme    3 2( )f x ax bx cx d dans le repère

indiqué sur la figure.

Justifier que les conditions sur f sont alors

   

  

 

(0) 1, '(0) 0

(2 ) 0, '(2 ) 0

( ) 1/ 2, '( ) 0,1

f f

f l f l

f l f l

.

Déduisez-en les coefficients a, b, c et d en fonction de l. Appliquez la dernière condition pour donner une valeur minimale de l. Quelle est alors l’emprise minimale ?

2. On choisit une fonction de la forme  ( ) cos( )f x a bx c . Refaire le même travail.

3. Conclure.

1. 2. Limites (c)

Déterminer les limites suivantes :

a. 1

1

4 lim

1 ²x x

x

x 

 , b.

4 lim

1 ²x

x

x

 , c. lim 9 ² 3 3

x x x

   , d.

6

2sin( ) 1 lim

6x

x

x 

 .

e. Sachant que 0 ( ) 1 2sin 3f x x   sur l’intervalle ] 1 ; 10[ déterminer

3

lim ( ) x

f x

.

O 2l

1

1

Correction

a. 1

1

4 lim

1 ²x x

x

x 

  

 car  

1 1

lim 4 3 x x

x  

   et   1

1

lim 1 ² 0 x x

x

 

  ;

b. 4 1

lim lim lim 0 1 ² ²x x x

x x

x x x

  

   

   .

c.    

   

9 ² 3 3 9 ² 3 3 9 ² 3 9 ² lim 9 ² 3 3 lim lim

9 ² 3 3 9 ² 3 3x x x

x x x x x x x x

x x x x  

         

   

  9

lim 0 9 ² 3 3x x x

  

  .

d.

6 6 6

1 1 sin sin

2sin( ) 1 2 12 2lim lim lim 6 6 3

6 6 x x x

x x x

x x x

     

     

  

.

On pose f(x) = sin x, on a

1 sin ( ) ( )

2 6

6 6

x f x f

x x

 

 

 

et

6

( ) ( ) 6lim '( )

6

6 x

f x f

f

x

 

 

car f est dérivable en 6

 .

f ’(x) = cosx ;

6

2sin( ) 1 1 1 3 3 1 lim '( )

6 3 6 3 2 6 2 3x

x f

x



     

 .

e. 0 ( ) 1 2sin 3f x x   : par passage à la limite, qui conserve l’ordre, on a :

 

3 3 3

lim 0 lim ( ) 1 lim 2sin 3 x x x

f x x   

  

   ,

et d’après le théorème des gendarmes,  

3

lim ( ) 1 0 x

f x

  puisque

3

lim 2sin 3 0 x

x

 . On conclut donc :

3

lim ( ) 1 x

f x

 .

1. 3. Etudes

Pour chacune des fonctions suivantes :

- Expliciter l’ensemble de définition

- Déterminer le domaine de dérivabilité.

- Calculer la dérivée.

- Déterminer le sens de variation de f.

a. 3( ) 2 (1 3 ²)x f x x x

  , b. ² 3 6

( ) 1

x x x f x

x

  

, c.  ;

( ) 2 cos 1x f x x

  

 

Correction

a. 3( ) 2 (1 3 ²)f x x x  . f est définie et dérivable sur comme fonction polynôme.

3 2 2

2 2

'( ) 2(1 3 ²) 2 3 ( 6 ) (1 3 ²) 2(1 3 ²) (1 3 ² 18 ²)

2(1 3 ²) (1 21 ²) 2(1 3 ²) (1 21 )(1 21 )

f x x x x x x x x

x x x x x

           

      

f ’ est positive sur 1 1

[ ; ] 21 21

 , donc f y est croissante. Elle est décroissante ailleurs.

b. ² 3 6

( ) 1

x x f x

x

  

 . f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur \{1}.

2 2 2

(2 3)( 1) ( ² 3 6) 1 2 ² 2 3 3 ² 3 6 ² 2 3 '( )

( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x x x x f x

x x x

                

   .

Le numérateur est un polynôme du second degré qui ne s’annule jamais (<0) et le dénominateur est positif, donc la dérivée est strictement positive et la fonction f strictement croissante sur \{1}.

c. ( ) 2cos 1f x x  . Il faut étudier le signe de 2 cos x – 1.

1 2cos 1 0 2cos 1 cos ( 2 ) ( 2 )

2 3 3 x x x x k et x k

               .

f est donc définie sur ; 3 3

     

dérivable sur ; 3 3

     

.

1

2

1

2

( ) 2cos 1 (2cos 1)

1 sin '( ) ( 2sin )(2cos 1)

2 2cos 1

f x x x

x f x x x

x

   

     

Pour x  ]− /3 ; 0], la dérivée est positive (sin x est négatif) donc f est croissante, et pour x  [0 ;  /3], f est décroissante.

1. 4. QCM, Pondicherry 2006 (c)

4 points

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1.a. à 3.d. sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie en regard du numéro de l’affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.Chaque réponse convenable rapporte 0,4 points. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel x, xe désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a. Pour tous les réels a et b :     bab

ae e .

Affirmation 1. b. Pour tous les réels a et b : a

a b

b

e e

e

  .

Affirmation 1. c. La droite d’équation 1y x  est la tangente à la courbe représentative de la

fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Affirmation 2. b. Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

Affirmation 2. c. Si f est dérivable en a, alors la fonction

( ) ( )f a h f a h

h

  admet une limite finie

en 0.

3. On considère deux suites  nu et  nv définies sur .

Affirmation 3. a. Si lim nu   et lim nv   alors  lim 0n nu v  .

Affirmation 3. b. Si  nu converge vers un réel non nul et si lim nv   , alors la suite  n nu v ne

converge pas.

Affirmation 3. c.

Si  nu converge vers un réel non nul, si  nv est positive et si lim 0nv  , alors la

suite n

n

u

v

     

ne converge pas.

Affirmation 3. d. Si  nu et  nv convergent, alors la suite n

n

u

v

     

converge.

Correction

Affirmation 1. a. Faux : contre-exemple : si a = 2 et b = 3 alors    6 8 bab

ae e e e   .

Affirmation 1. b. Vrai : revoir le cours.

Affirmation 1. c. Faux : recalculez l’équation de la tangente : y ex .

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a. Vrai : sinon il n’y aurait pas cette définition de la dérivée…

Affirmation 2. b. Faux : contre exemple x .

Affirmation 2. c. Vrai : c’est du cours…

3. On considère deux suites  nu et  nv définies sur .

Affirmation 3. a. Faux : ça peut faire n’importe quoi…

Affirmation 3. b. Vrai : Par exemple, un = n+1 et vn = – n alors on a bien lim nu   et

lim nv   mais  lim 1 0n nu v   .

Affirmation 3. c. Vrai : la suite diverge vers l’infini en général.

Affirmation 3. d.

Faux : par exemple, ln

n

n u

n  et

1 nv

n  alors on a bien  nu et  nv qui

convergent mais lnn

n

u n

v  et donc n

n

u

v

     

diverge.

1. 5. Qcm 1 (c)

Dans chacun des énoncés suivants, cinq affirmations sont proposées. Pour chacune d’elles, répondre par VRAI ou FAUX. On ne demande pas de justifications. Les réponses inexactes seront pénalisées.

A. Pour toute fonction f continue sur [0 ; 1], à valeurs dans , on a :

1. Si  (0) 1f et (1) 1f alors il existe un unique x [0 ; 1], tel que ( ) 0f x .

2. Si f est strictement croissante sur [0 ; 1], alors pour tout   (0) ; (1)y f f il existe un unique x [0 ; 1]

tel que  ( )y f x .

3. Si (0) 0f et (1) 1f alors pour tout x [0 ; 1], ( )f x x .

4. Si f est dérivable sur [0 ; 1], (0) 0f et (1) 1f , alors pour tout x [0 ; 1], '( ) 0f x .

5. Si  (0) 1f et (1) 2f alors il existe  [0 ; 1] tel que  ( )f .

B. Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur . On note C la courbe représentative de f dans

un repère orthonormal. Soit T1 la droite d’équation  2y x et T2 celle d’équation  2 1y x . T1 est

tangente à C au point d’abscisse  1x et T2 est tangente à C au point d’abscisse x = 1. Alors :

1.  ( 1) 1f .

2. f est une fonction paire.

3. Il existe a [−1 ; 1] tel que '( ) 0f a .

4. Il existe b > 0 tel que f soit strictement croissante sur ]1− b ; 1+ b [.

5. Il existe c  [−1 ; 1] tel que f admette un minimum local en c.

Correction

A. 1. Faux : si  (0) 1f et (1) 1f , on est sûr que f s’annule,

mais rien ne dit qu’elle s’annule une seule fois…

2. Vrai : si on prend n’importe quelle valeur dans l’ensemble d’arrivée, comme f est monotone, il y aura un unique x correspondant (dont y est l’image par f).

3. Faux : ce serait un cas particulier…

4. Faux : rien ne dit que f ne peut être décroissante…

5. Vrai : lorsque x varie entre 0 et 1, f(x) varie entre −1 et 2, donc elle prend entre autres toutes les valeurs entre 0 et 1 ; il y a donc forcément une valeur de x pour laquelle f(x) = x (voir schéma).

B. T1 :  2y x et T2 :  2 1y x . T1 tangente à C en  1x et T2 tangente à C en x = 1.

1. Faux : si on fait x = −1 dans T1, on a y = 3 et non y = 1 si on avait  ( 1) 1f .

2. Faux : bof…

3. Vrai : comme f’ change de signe entre −1 (en −1 f’(−1)=−1, coeff. directeur de T1) et 1 (en 1, f’(1)=2, coeff. dir. de T2), elle s’annule quelque part.

4. Vrai : dans la mesure où le coefficient directeur de T2 est 2 et donc positif, aux alentours de 1 f sera strictement croissante sinon f ne serait pas dérivable en cet endroit (retour à la définition du nombre dérivé).

5. Vrai : toujours avec ces signes : f’ < 0 en −1 et f’ > 0 en 1 donc entre −1 et 1 f va changer de sens de variation et on aura certainement un minimum quelque part (décroissante puis croissante).

1. 6. Qcm 2, Liban 2005

4 points

Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention « vrai » ou « faux ».

Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.

1. « Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ;  [,

alors lim ( ) x

f x 

  ».

2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ;  [, g ne s’annulant pas :

« Si lim ( ) x

f x 

  et si lim ( ) x

g x 

  alors ( )

lim 1 ( )x

f x

g x   ».

3. « Si f est une fonction définie sur [0 ;  [ telle que 0 ( )f x x  sur [0 ;  [ alors lim ( ) 0 x

f x 

 ».

4. On considère un repère ( ; , )O i j du plan.

« Si f est une fonction définie sur *alors la droite d’équation x = 0 est asymptote à la courbe

représentative de f dans le repère ( ; , )O i j ».

5. « La fonction f définie sur par 2( ) ( 3 1) xf x x x e   est une solution sur de l’équation

différentielle ' (2 3) xy y x e   ».

6. Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et 2.

x=1

y=2

y=−1

y=x

« Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,2 et 1 alors G est le milieu du segment [CI] ».

7. Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, 2 et 1.

« L’ensemble des points M du plan tels que 3 2 1MA MB MC   est le cercle de centre G et de

rayon 1 ».

8. Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du plan.

« Le produit scalaire .MA MB est nul si et seulement si M = A ou M = B ».

1. 7. Qcm 3, France rempl. 2005

5 points

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.Aucune justification n’est demandée.

1. Soit z le nombre complexe de module 2 et d’argument 3

 . On a alors :

A : 14 128 3 128z i   . C : 14 64 64 3z i   .

B : 14 64 64z i  . D : 14 128 128 3z i   .

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d’affixe 3 et le point

T d’affixe 4i. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que 3 3 4z i   .

A : (E) est la médiatrice du segment [ST].

B : (E) est la droite (ST) ;

C : (E) est le cercle de centre  d’affixe 3 − 4i, et de rayon 3 ;

D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.

3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire

.AC CE est égal à :

A : 3 . B :−3 . C : 3 . D : 3

2  .

4. Une fonction g est définie sur l’intervalle ]  ; 0] par 2 2

( ) 3

x x g x

x

 

 ; soit  sa courbe

représentative dans un repère du plan.

A :  admet une asymptote d’équation y =−1.

B :  n’admet pas d’asymptote.

C :  admet une asymptote d’équation y = x.

D :  admet une asymptote d’équation y = 1.

5. Soit la fonction f définie sur par 2

0

( ) x

tf x e dt  . La fonction f’’, dérivée seconde de la fonction f sur , est définie par :

A : 2

0

''( ) 2 x

tf x te dt  . C : 2

''( ) 2 xf x xe  .

B : 2

0

( ) x

xf x e dx  . D : 2

''( ) xf x e .

1. 8. Qcm 4 (octobre 2012) (c)

Chaque question comporte 5 réponses, chacune vraie ou fausse.

Chaque bonne réponse rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point, pas de réponse : 0 point.

Répondre simplement en mettant V ou F sur votre copie pour chaque question. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur [–4 ;  [ dont la représentation graphique est donnée ci- contre.

On précise que pour tout

x  [−4 ; +[, ( ) 0f x  et

que la courbe de f ne passe pas en dessous de l’axe (Ox).

a. L'équation  f x x

admet au moins trois solutions sur

[– 4 ; +[.

b. La courbe de f a au plus deux tangentes parallèles à (y = x).

c. Lorsque  f x x , on a  ' 1f x  .

d. Pour tout a  [0 ;  [, l'équation  f x a admet au moins une solution dans [– 4 ; 6].

e. Il existe deux réels a et b tels que a est différent de b et    f a f b .

Question 2 : soit 3 2( ) (1 2 )f x x x  , définie sur . Alors :

a.   2'( ) 1 2 3 8f x x x x   . b. 0 est un extrémum de f sur .

c. Pour tout réel x, 3

( ) 8

f x f  

    

. d. La courbe de f a exactement deux tangentes

horizontales.

e. La courbe de f est en dessous de l’axe (Ox) lorsque 0x  .

Question 3 : soit   1

h x x x

  définie sur −{0} et (H) sa courbe représentative.

a. 1

( ) lim 2

1x

h x

x 

 . b. La courbe (H) est toujours en dessous de la droite

(y = x).

c. La courbe (H) ne coupe jamais la droite (x = 0). d. La fonction  cosh x a pour dérivée

1 sin cos

cos x x

x

    

  .

e. La fonction   cos h x a pour dérivée 2

1 1 1 sin x

xx

       

   .

Question 4

Soit la fonction définie par   2

2

2

1

x x f x

x

 

 et (C) sa courbe représentative.

a. Le signe de f  est celui de 2 1x x  .

6 4 1

y=x

-2 -4

b. (C) coupe la droite (y = 1) en au moins un point.

c. f est toujours décroissante.

d. Il existe deux points de (C) où la tangente à (C) est parallèle à (y = −x).

e. (C) coupe l’axe horizontal en –1 et 1.

Correction

Question 1

a. Vrai, la courbe de la fonction coupe la droite y=x 3 fois.

b. Faux : Il faut voir si  ' 1f x  quelque part : au moins 3 fois…

c. Faux :  ' 1f x  c’est quand la pente de la tangente est inférieure à celle de y=x et la courbe est sous

y=x : on voit qu’entre 1 et 1,6 environ ce n’est pas vérifié…

d. Faux : Si a est supérieur au maximum de f, l'équation  f x a n’a pas de solution.

e. Vrai : pour tous les a entre –4 et 6 on peut trouver au moins un b tel que    f a f b . Il suffit de

tracer la droite y=f(a) et de regarder les intersections avec C.

Question 2 : soit 3 2( ) (1 2 )f x x x 

a. Faux :       2 2 3 2'( ) 3 (1 2 ) 2 2 1 2 1 2 3 10f x x x x x x x x        .

b. Faux : en 0 f’ s’annule mais ne change pas de signe.

c. Faux : évident…

d. Faux, elle en a 3 : en x=0, 1/2 et 3/10.

e. Vrai : f est négative lorsque 3 0 0x x   .

Question 3 : soit     2

2

1 1 1 , ' 1

x h x x h x

x x x

      .

a. Vrai :  

    

 2

1 1 1 1

1 1 1( ) 1 lim lim lim lim 2

1 1 1x x x x

x x xh x x

x x x x x x   

      

   .

b. Faux :   1

0 0h x x x x

      : lorsque x<0 (H) est au-dessus de la droite (y = x).

c. Vrai : 0 est une valeur interdite !

d. Faux :        

2

1 cos ' cos ' ' cos sin 1

cos h x x h x x

x

             

.

e. Faux :          2 1 1

cos ' ' sin 1 sinh x h x h x x xx

                   .

Question 4 :   2

2

2

1

x x f x

x

 

 et (C) sa courbe représentative.

a. Vrai :        

 

 

 

2 2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2 2 1 ' ...

1 1

x x x x x x x f x

x x

        

 

b. Vrai :   2 2 1

1 2 1 2

f x x x x x       .

c. Faux : Le signe de 2 1x x  est + car son discriminant est <0 donc f est croissante sur chaque

intervalle où elle est définie.

d. Faux : la dérivée est positive et ne peut jamais valoir –1…

e. Faux : –1 et 1 sont les valeurs interdites de f. C coupe (Ox) en 0 et 2.

1. 9. Polynômes (c)

On considère les fonctions 1( ) 1P x x  , 2

2

1 ( ) 1

2 P x x x   et 2 33

1 1 ( ) 1

2 6 P x x x x    .

1. Etudier les variations de ces trois fonctions et préciser leurs positions relatives. Tracer leur courbes représentatives.

2. On cherche une racine de l’équation 3( ) 0P x  . Montrer que cette équation a une solution r unique.

Donner un encadrement de r à 10–2 près.

3. On pose t = – r ; montrer que t vérifie la relation 2

2

2 3

6

t t

t

 

 . Quelle autre équation que 3( ) 0P x

pourrait-on utiliser pour caractériser r ? Proposer une méthode de résolution graphique de l’équation précédente.

Correction

P1 est une droite, P2 une parabole de sommet (−1, 1/2), 2

3

1 ( ) 1 0

2 P x x x     .

On a les représentations immédiatement :

La fonction P3 est continue monotone strictement croissante de vers , elle s’annule donc une seule

fois. A la machine on a 3( 1,60) 0,0027P    et 3( 1, 59) 0,0041P   donc 1,60 1, 59r    .

3. On a donc  2 3 2 33 3 1 1 1

( ) 0 ( ) 1 6 6 3 2 6 6

P r P t t t t t t t           ; reprenons

2 3 2 2 3

2

2 3 6 6 3 0 6 6 3

6

t t t t t t t t

t

          

 .

C’est la même chose.

On peut donc résoudre l’équation précédente avec 2

2

2 3

6

r r

r

  

 en remettant −r à la place de t. Il suffit

donc de tracer la courbe 2

2

2 ( ) 3

6

r f r

r

 

 et la droite y r  et faire leur intersection.

1. 10. TVI et tangentes

On considère les fonctions numériques f et g définies par :

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