Contrôle de sciences statistiques 7 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 7 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 7 - 2° partie - fonctions diverses. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Fonction périodique-1, Fonction périodique-2, Formules d’addition, Equation et inéquation, Fonction ...
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21 1( ) 3

f x x x x

       

et 3 2( ) 2 1g x x x  

1. Montrer que pour tout 0x  , les nombres f'(x) et g(x) ont le même signe.

2. Etudier les variations de g sur . En déduire que l'équation g(x) = 0 admet dans une solution

unique , avec 0 <  < 1. (On ne cherchera pas à calculer . Préciser le signe de g suivant les valeurs de x.

3. Dresser le tableau des variations de la fonction f . On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité 3 cm), par I le point de (C) d'abcisse −1 et par J le point de (C) d'abcisse +1.

a. Vérifier que la droite (IJ) est tangente en J à (C).

b. Déterminer une équation de la tangente (T) en I à (C) .

c. Etudier la position de (C) par rapport à (T).

4. Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C) (on prendra 2/3 comme valeur

approchée de ).

1. 11. Fonction périodique-1

Soit f la fonction définie sur par : 2( ) sin sinf x x x 

1. Prouver que la droite d’équation 2

x   est axe de symétrie de la courbe (C) de f.

2. Justifier que l’intervalle d’étude de f peut se limiter à ; 2 2

      

.

3. Etudier sur cet intervalle les variations de f et construire son tableau de variations.

4. Déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe au point d’abscisse 0.

5. Construire la courbe de f sur l’intervalle 3

; 2 2

      

(on utilisera un repère d’unités : 8 cm pour 

sur l’axe des abscisses et 2 cm pour 1 sur l’axe des ordonnées ). Faire figurer (T) sur la figure.

1. 12. Fonction périodique-2

On considère l’application f de dans définie par 2( ) (2 ) si [0 ; 2]

( 2) ( )

f x x x x

f x f x x

    

    .

1. Etudier la restriction f0 de f à l’intervalle [0 ; 2]. Construire la courbe représentative C de f0.

2. Comment peut-on déduire de C la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n ; 2n+2] ?

3. Démontrer que si x est dans [2n ; 2n+2] alors 2( ) ( 2 ) (2 2 )f x x n n x    .

4. f est-elle continue sur ? Dérivable sur ?

1. 13. Un peu de trigo

1. Résoudre dans , puis dans  ;   , l’équation : tan 3 3x  .

2. Formules d’addition.

a. Rappeler les formules exprimant cos(a + b), cos(ab), sin(a + b) et sin(ab) en fonction de cos a, sin a, cos b et sin b.

b. En utilisant 3

 et

4

 , déterminer les valeurs exactes de cos

7

12

 et de sin

12

 .

3. Equation et inéquation.

a. Résoudre dans  puis dans  ;   : cos 3x = sin x.

b. Résoudre dans  puis dans  ;   : 2 1 3

cos 2 4

x  .

4. Fonction Tangente.

a. Rappeler la définition de la fonction tangente ainsi que la formule liant cos2 x à tan2 x.

b. Sachant que 6

tan 5 2 5 5

   , calculer

6 cos

5

 et

6 sin

5

 .

NB : On pourra remarquer que (1 + 5 )2 = 6 + 2 5 .

5. Formules et valeurs remarquables

Rappeler les trois formules liant cos 2x à sin x et cos x ; en déduire les valeurs exactes de 5

cos 8

 et

5 sin

8

 .

6. Equations et inéquations

a. Résoudre dans  puis dans  ;   les équations suivantes :

* sin 2x = cos 3x * 1

cos tan tan cos

x x x x

   * sin 2x + cos 2x = 1.

b. Résoudre dans  ;   les inéquations suivantes :

* 3

cos 2

x  . * 22sin 1 0x   .

1. 14. ROC+dérivées, France remplt 2007

5 points

Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

1. Restitution organisée de connaissances

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse.

Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.

P : Soit f la fonction définie sur par   nf x x; alors f est dérivable sur , de dérivée 'f donnée sur

par :   1' nf x nx  .

Q : Soit u une fonction dérivable sur et soit f la fonction définie sur par nf u ; alors f est

dérivable sur , de dérivée 'f donnée par 1' nf nu  .

2. On désigne par g la fonction définie sur  1 ; 1 par  0 0g  et   2

1 '

1 g x

x

 où 'g désigne la

dérivée de la fonction g sur  1 ; 1 ; on ne cherchera pas à expliciter  g x .

On considère alors la fonction composée h définie sur  ; 0 par    cosh x g x .

a. Démontrer que pour tout x de  ; 0 on a  ' 1h x  , où 'h désigne la dérivée de h.

b. Calculer 2

h      

puis donner l’expression de  h x .

1. 15. Dérivabilité

Soit f la fonction définie par 2( ) (2 ) 4f x x x   et (C ) sa courbe représentative.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. a. Justifier que f est dérivable sur ]–2 ; 2[.

b. Déterminer la fonction dérivée de f et montrer que, sur ]–2 ; 2[, '( )f x est du signe de 2 2x x  .

3. Etudier la dérivabilité de f en 2x   , puis en 2x  ; donner une interprétation graphique des résultats obtenus.

4. Donner alors le tableau de variations de f .

5. Construire (C).

1. 16. Cubique et trigonométrie (c)

Soit f la fonction numérique définie par :  ( ) 1f x x x .

1. a. Déterminer l’ensemble de définition de f .

b. Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c. Montrer que f est dérivable sur   ; 1 et que 

 

2 3 '( )

2 1

x f x

x pour tout 1x .

d. Dresser le tableau de variation de f.

e. Représenter graphiquement la fonction f.

2. a. Montrer que l’équation 

 1

( ) 3 3

f x admet une seule solution 1x dans   ; 0 et que   1 1

0 3

x .

b. Montrer que l’équation  1

( ) 3 3

f x admet exactement deux solutions 2x et 3x dans  0 ;1 et que

   2 3 2

0 1 3

x x . Donner une valeur décimale approchée à 310 près de 1x .

3. a. On pose   3 1

( ) 2 3

u x . Montrer que l’équation (E) :   1

1 3 3

x x est équivalente à (E’) :

  38 6 1 0u u .

b. Pour i = 1, 2, 3, on pose   3 1

( ) 2 3

i iu x . Montrer qu’il existe un unique réel  i de [0 ; ] tel que

 cosi iu .

c. Prouver que    3cos3 4cos 3cos pour tout  réel.

(On rappelle que cos(a+b) = cosa.cosb – sina.sinb et sin 2a = 2sina.cosa)

d. Déduire des questions précédentes que (E’) est équivalente à l’équation   1

cos3 2

. Résoudre cette

équation dans [0 ; ] et en déduire les valeurs exactes de x1, x2 et x3.

Correction

1. a.  ( ) 1f x x x , Df = ]−∞ ; 1].

b.     

         

0 0 0

(1 ) (1) (1 ) (1 )( ) lim lim lim h h h

f h f h h h h

h h h h . Donc pas dérivable, tangente verticale en 1.

c. f est un produit de fonctions dérivables donc dérivable.   

       

2(1 )1 2 3 '( ) 1

2 1 2 1 2 1

x x x f x x x

x x x .

d.    2 2 2

(2 / 3) 1 3 3 3 3

f .

La limite en −∞ est évidemment −∞.

x

f

−∞

0

2/3 1

f− +

−∞ 0

2

3 3

2. a. Comme f est strictement croissante dans   ; 0 et que l’ensemble des images est également

  ; 0 , on est sûr que l’équation 

 1

( ) 3 3

f x a une seule solution 1x dans l’intervalle de départ

  ; 0 . Après il faut calculer   

           

1

1 1 1 2 1 1 ( ) (0) 0

3 3 3 3 3 3 3 f f x f ce qui justifie

l’encadrement de x1.

b. Entre 0 et 1, f est croissante puis décroissante et est toujours positive. Son maximum est 2

3 3 qui est

supérieur à 1

3 3 ; il existe donc bien deux valeurs de x dans  0 ;1 pour lesquelles 

1 ( )

3 3 f x ; de plus

ces deux valeurs encadrent l’abscisse du maximum de f, soit 2/3.

A la calculatrice on a 1

3 3 = 0,19245009 et f(0,217)=0,19201741, f(0,218)=0,19277907 ; ces deux valeurs

encadrent x1.

3. a. 3 1 2 1

( ) 2 3 3 3

u x u x     ; par ailleurs si on élève au carré :

2

2 31 1 2 1 2 1 11 (1 ) 1 ... 8 6 1 0 27 3 3 273 3

u u x x x x u u

                    

    .

b.   3 1

( ) 2 3

i iu x . Pour que  cosi iu , il faut et il suffit que

2 1 2 1 2 1 1 1 1 . 1 .1 1

3 3 3 3 3 3 3 i i iu u x                 .

C’est bien le cas donc il existe un unique réel  i de [0 ; ] tel que  cosi iu .

c. On calcule avec les formules d’addition :

2 2 3cos 3 cos(2 ) cos 2 cos sin 2 sin (2cos 1)cos 2(1 cos )cos 4cos 3cos                      .

d. On pose donc cosu  dans (E’) :

3 3 3 18 6 1 0 8 cos 6 cos 1 0 2(4cos 3 cos ) 1 cos 3 2

u u                 .

Les solutions de   1

cos3 2

sont 2

3 (2 ) 3 9 3

     

        

  . On ne garde que 3 des solutions (par ex.

les positives), ce qui donne 1 2 3 2 7 4 13

, , 9 9 3 9 9 3 9

                d’où en remontant les solutions

exactes : 1 2 3 2 1 2 7 1 2 13 1

cos , cos , cos 3 9 3 3 9 3 3 9 3

x x x   

      . Il peut être judicieux de vérifier à la

calculatrice…

1. 17. Fonction rationnelle et composée de sinus (c)

A. Soit f la fonction définie sur { 2}  par 21

( ) 2

x f x

x

  

.

1. Pour tout x réel différent de −2, trouver trois réels a, b , c tels que ( ) 2

c f x ax b

x   

 .

2. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal.

3. Montrer que si (C) admet un centre de symétrie, alors on peut déterminer son abscisse. Démontrer que (C) admet un centre de symétrie.

B. Soit  la fonction définie sur par 21 sin

( ) 2 sin

t t

t

  

.

1. Pour tout réel t, montrer que ( ) ( )t t    . Expliquer comment l’étude des variations de  sur

; 2 2

     

permet de construire la courbe représentative de  .

2. a. On pose 3 2a   . Justifier l’existence et l’unicité de 0 ; 2 2

t   

    tel que 0sin( )t a .

b. En utilisant  comme composée de fonctions, étudier les variations de  sur 0; 2

t     

puis sur

0 ; 2

t  

   .

c. Soit ' la dérivée de  . Pour tout nombre réel t, prouver l’égalité : '( ) '(sin )cost f t t  . Retrouver

alors les valeurs pour lesquelles '( )t s’annule sur ; 2 2

     

.

d. Tracer la courbe représentative de  sur 3

; 2 2

     

.

Correction

A. 1. 22

1 1 (2 ) 22 2

( ) 2 0 2 2 2 2

32 1

a a ax a b x b cc ax ax bx b c

f x ax b a b b x x x

cb c

             

                   

.

Donc 3

( ) 2 2

f x x x

    

(on utilise cette écriture de f par la suite).

2.    2

2 2 2

3 2 3 23 ( 2)3 '( ) 1 0

( 2) ( 2) ( 2)

x xx f x

x x x

          

   .

Asymptote : 2y x   , etc.

3. Le centre de symétrie de (C) s’il existe est au milieu des extrema, soit en A(−2 ; 4). Montrons que A est

bien centre de symétrie : ( 2 ) ( 2 )3 3

( 2 ) ( 2 ) 4 4 8 4 2

f x f x f x f x x x

x x

                   , c’est bon.

B. 1. On sait que sin( ) sint t   donc ( ) ( )t t    . Si on sait tracer  pour 2 2

t      alors on sait le

faire pour 3

2 2 2 2 2 2 t t t

                       , on sait donc le faire entre

2

  et

3

2

 ,

soit sur un intervalle de longueur 2 . Or sin a pour période 2 , on sait alors tracer  sur .

2. a. Il est immédiat que 1 1a   , il existe donc une unique valeur t0 de ; 2 2

     

qui a pour image a

par sin (lire sur le cercle trigonométrique).

b. Pour 0 2

t t     , comme sin est croissante, on a 0sin sin sin 1 sin 3 2

2 t t t a

             

.

Comme ( ) (sin )t f t  , que sin est croissante et que f est croissante entre −1 et a, on a  croissante sur

0; 2

t     

.

Sur 0 ; 2

t  

   , sin reste croissante mais f est décroissante donc  est décroissante.

c. On peut faire un calcul direct :

2 2 22 2

2 2

2sin cos (2 sin ) cos cos 4sin 2sin (1 sin )1 sin cos ( ) '( ) cos

2 sin 2 sin (2 sin ) (2 sin )

t t t t t t t tt t t t t

t t t t  

               

, soit

2

2

1 4sin sin '( ) cos

(2 sin )

t t t t

t

   

 , soit '( ) cos '(sin )t tf t  .

On peut également utiliser la dérivation des fonctions composées auquel cas le résultat est immédiat :

'( ) (sin )' '(sin ) cos '(sin )t t f t tf t   .

Sur ; 2 2

     

, cost est positif, le signe est donc celui de f’, ce qui redonne bien les résultats précédents.

1. 18. Fonction rationnelle de base 1

Soit f la fonction définie par 2 2 5

( ) 1

x x f x

x

  

 et (C) sa courbe représentative.

1. Déterminez a, b et c tels que ( ) 1

c f x ax b

x   

 .

2. Calculez f'(x), déduisez en les variations de f. Déterminez ses limites, ainsi que son tableau de variation.

3. Déterminez la position de (C) par rapport à la droite (D) d'équation y = ax+b. Tracez D et C.

x

f



0

−2 

f+ −



+ − 0



 

2 3 2 3 

4 2 3

4 2 3

1. 19. Fonction rationnelle 2 (c)

Partie A

Soit  la fonction numérique de la variable réelle x telle que :   

 

3 ² ( )

² 1

x ax b x

x .

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de  soit tangente au point I de

coordonnées (0 ; 3) à la droite (T) d’équation y = 4x + 3.

Partie B

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que :  

 

3 ² 4 3 ( )

² 1

x x f x

x et (C) sa courbe

représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Montrer que pour tout x réel, on a ( ) ² 1

x f x

x

  

 ;  et  étant deux réels que l’on déterminera.

2. Etudier les variations de f. Préciser ses limites en l’infini et en donner une interprétation graphique. Dresser le tableau de variations de f.

3. Déterminer l’équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d’abscisse 0. Etudier la position de (C) par rapport à (T).

4. Démontrer que I est centre de symétrie de (C).

5. Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé.

Correction

Partie A

  

 

3 ² ( )

² 1

x ax b x

x est tangente en I si  (0) 3 et  '(0) 4 (même coefficient directeur que la droite T).

  (0) 3b et       

    

2 2

2 2

(6 )( 1) 2 (3 3) '( ) '(0) 4

( 1)

x a x x x ax x a

x .

Partie B

1.      

      

         

2 2

2

( 1) ( ) 3, 4

² 1 ² 1 1

x x x x x f x

x x x .

2.    

   

2 2

2 2 2 2

4( 1) 4 (2 ) 4( 1) '( )

( 1) ( 1)

x x x x f x

x x d’où les racines −1 et 1. Négatif à l’extérieur, positif à l’intérieur.

A l’infini   2 2

4 4 4

1

x x

x x x qui tend vers 0 donc f tend vers 3, asymptote horizontale y = 3.

3. La tangente a évidemment pour équation y = 4x + 3. On fait le signe de

          

  

2 3

2 2 2

4 4 4 ( 1) 4 ( ) (4 3) 3 4 3

1 1 1

x x x x x f x x x

x x x

qui est du signe de −x, soit (C) est au dessus de (T) pour  0x et en-dessous pour  0x .

4. Pour que le point ( , )u v soit centre de symétrie de (C) il faut que    ( ) ( ) 2f u x f u x v ; ici ça

donne :          2 2

4 4 ( ) ( ) 3 3 6 2.3

1 1

x x f x f x

x x , ok !

1. 20. Fonction rationnelle-3

Soit f la fonction définie sur par 2

1 ( )

1 f x

x x   

.

1. Etudier f et tracer sa courbe représentative ( ) dans un repère orthonormé (unités : 5 cm).

2. On note A et B les points de ( ) d’abscisses respectives 0 et 1. Tracer la droite (AB) ainsi que les

tangentes à ( ) en A et en B. Etudier la position de ( ) par rapport à (AB) et à ces deux tangentes.

1. 21. Fonction rationnelle-4

1. Soit g la fonction définie sur  par :   34 3 8g x x x   .

a. Etudier le sens de variation de g sur .

b. Démontrer que l’équation   0g x  admet dans  une unique solution que l’on note  . Déterminer un encadrement de  d’amplitude 10−2.

c. Déterminer le signe de g sur .

2. Soit f la fonction définie sur [1 ;  [ par : 3

2

1 ( )

4 1

x f x

x

 

 .

a. Démontrer que le signe de  'f x est le même que le signe de  g x sur [1 ;  [.

b. En déduire le sens de variation de f sur [1 ;  [.

c. En utilisant la définition de  , démontrer que :   3

8 f   . En déduire un encadrement de  f  .

1. 22. Fonction irrationnelle-1

On munit le plan d’un repère orthonormé ( ; , )O i j ; soit f la fonction définie sur [0 ;1] par

( ) 2 1f x x x   .

On appelle ( ) sa courbe représentative.

Partie A

1. Etudier les variations de f.

2. Démontrer que pour tout x de [0 ; 1] on a ( )f f x x . En déduire que la courbe ( ) est symétrique

par rapport à la droite y = x.

3. Construire ( ) .

Partie B

Onconsidère les points 1

; 0 2

A     

  et

1 0 ;

2 B   

   

où  est un réel de l’intervalle 1 1

; 2 2

    

. On

note ( )D la droite passant par ces deux points.

1. Déterminer une équation de ( )D sous la forme ( ) ( ) ( ) 0a x b y c     où a, b et c sont trois fonctions

de  .

2. Soit ( )D la droite d’équation ( ) ( ) ( ) 0a x b y c       où a’, b’ et c’ sont les dérivées des fonctions a,

b et c. Vérifier que pour toute valeur de  , ( )D et ( )D sont sécantes en un point M .

3. Montrer que les coordonnées de M sont 2 2

1 1 ,

2 2 x y  

              

.

4. Démontrer que lorsque  décrit 1 1

; 2 2

    

, M décrit la courbe ( ) de la première partie.

5. Démontrer que la droite ( )D est tangente à ( ) au point M .

1. 23. Fonction irrationnelle-2

Soit n un entier naturel et fn la fonction définie sur [0 ; 1] par  ( ) (1 ) n

nf x x x x . On note Cn sa courbe

représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 10 cm).

1. Montrer que C0 est un demi-cercle de rayon 1/2 , dont on précisera le centre.

2. Soit 1n .

a. Calculer ( )nf x pour 0 < x < 1 et montrer que ( )nf x et   

1 ( ) ( 1)

2 n n x ont même signe.

b. Etudier la dérivabilité de fn en 0 et 1. c. Donner le tableau de variations de fn (on ne demande pas le calcul du maximum de fn).

3. Soit   0 ;1x et  0n ; étudier le signe de fn+1(x) − fn(x) ; en déduire les positions relatives des courbes Cn et Cn + 1.

4. Tracer sur la même figure les courbes C0, C1, et C2.

1. 24. Fonction irrationnelle-3

Soit la fonction numérique f définie sur [1 ;  [ par 21 1

( ) 2

x f x x

x

   , de courbe représentative C

dans un repère orthonormal  ; ,O i j (unité 2 cm).

1. a. Démonter que la droite D d’équation 2y x + 2 = 0 est asymptote « oblique » à C quand x tend vers  .

b. Justifier que pour tout x [1 ;  [, 2 1

1 x

x

  . En déduire la position relative de C et D sur [1 ;  [.

2. a. Justifier que pour tout h > 0 : 2

(1 ) (1) 1 2

2 (1 ) 2

f h f h

h h h h

    

  .

b. Calculer : 0

(1 ) (1) lim h

f h f

h

  . Interpréter le résultat pour f en x0=1. Donner une interprétation

graphique de ce résultat.

3. Soit la fonction numérique g définie sur ]1 ;  [ par 2 2( ) 1 2g x x x   .

a. Calculer g( 2 ).

b. Monter que g est strictement croissante sur ]1 ;  [ (on ne calculera pas les limites de g).

Déduire de ce qui précède le signe de g sur ]1 ;  [.

4. Calculer  'f x . Montrer que 'f est du signe de g sur ]1 ;  [. Dresser le tableau de variation

complet de f sur [1 ;  [.

5. Représenter graphiquement la courbe C (avec asymptote et tangentes.).

1. 25. Fonction irrationnelle-4

Partie A

Soit g la fonction définie sur  0 ;  par    2 2g x x x  .

1. Etudier les variations de g sur  0 ;  .

2. Démontrer que l’équation   4g x  admet, sur  0 ;  , une unique solution  dont on donnera une valeur approchée à 10−2.

3. En déduire la résolution de l’inéquation   4g x  sur  0 ;  .

Partie B

Soit f la fonction définie sur \{0} par   2 2x

f x x x

   et (Cf) sa courbe représentative dans un

repère orthonormal (unité 1 cm).

1. Etudier la parité de f.

2. Déterminer   0

0

lim x x

f x  

et  lim x

f x 

, en déduire   0

0

lim x x

f x  

et  lim x

f x 

.

Peut-on en déduire une ou plusieurs droites asymptotes à la courbe (Cf) ?

3. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe (Cf) en  , en déduire l’équation d’une droite asymptote à (Cf) en  .

4. a. Démontrer que f est dérivable sur les intervalles  ; 0 et  0 ;  puis que  2

2 2

2 '( )

2

g x f x

x x

 

.

b. Déduire de la partie A que  'f x > 0 sur ;   .

c. En déduire les variations de f sur  0 ;  puis sur \{0}. Dresser le tableau de variations complet de

f sur \{0}.

5. Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse 2 .

6. Tracer la courbe (Cf) en vous aidant de tous les renseignements obtenus précédemment.

1. 26. Fonction irrationnelle-5

Soit f la fonction définie par 2( ) 6f x x x x   .

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Déterminer les limites de f en  et en  .

Peut-on en déduire l’existence d’une ou plusieurs asymptotes à la courbe (Cf) représentative de f ?

3. a. Démontrer que la droite  : y = 2x – 3 est asymptote oblique à la courbe (Cf) en  .

b. Etudier les positions relatives de la droite  et de la courbe (Cf) sur  ; 0 et sur  6 ;  .

4. a. Etudier la dérivabilité de la fonction f en 0 et en 6.

b. Quelles sont les conséquences graphiques des ces calculs ?

1. 27. Fonction définie par morceaux

Soit f la fonction définie sur  par :

 

 

2( ) 3 si ;1

(1) 2

( ) 1 2 si 1;

f x x x

f

f x x x

     

  

     

1. f est-elle continue en x = 1 ?

2. f est-elle dérivable en x = 1 ?

3. Quelles conséquences graphiques peut-on tirer des résultats précédents ? Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. (Aucune étude de variations n’est demandée.)

1. 28. Fonction paire, fonction impaire

Partie préliminaire

Soit :f  une fonction quelconque.

a. On définit deux fonctions de  dans associées à f, notées respectivement fp et fi par :

  1

( ) ( ) ( ) 2

pf x f x f x   et   1

( ) ( ) ( ) 2

if x f x f x   .

Montrer que fp est une fonction paire et fi est une fonction impaire.

b. Supposons qu’il existe une fonction paire g et une fonction impaire h, définies de  dans , telles que

f g h  . Montrer que nécessairement pg f et ih f .

c. Déduire des questions précédentes que toute fonction f de  dans  se décompose de manière unique en somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Les fonctions fp et fi sont appelées respectivement « partie paire » et « partie impaire » de f.

1. Etude de deux cas particuliers

a. Fonction polynomiale.

On considère la fonction polynomiale P définie par : 6 5 3 2( ) 5 3 4 2 1P x x x x x x      .

Vérifier que la partie paire Pp et la partie impaire Pi de la fonction P sont des fonctions polynômes dont on donnera l’expression.

Quelle remarque peut-on faire sur la partie paire et sur la partie impaire d’une fonction polynôme ?

b. Fonction exponentielle.

Dans cette question, on pose ( ) exp( )f x x et l’on note respectivement ch et sh les fonctions fp et fi

associées.

i/ Calculer les dérivées ch’ et sh’.

ii/ Montrer que pour tout réel x, on a : 2 2ch ( ) sh ( ) 1x x  .

iii/ Montrer que, pour tout réel x, on a : 2ch(2 ) 2ch ( ) 1x x  et sh(2 ) 2sh( )ch( )x x x .

Note : à cause de certaines analogies frappantes dans les relations précédentes avec cosinus et sinus, les fonctions ch et sh sont appelées respectivement « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique ».

2. Détermination d’une solution d’équation « fonctionnelle différentielle ».

Soit :f  une fonction deux fois dérivable sur  et vérifiant pour tout réel x :

2"( ) ( )f x f x x x    .

a. Montrer que chacune des fonctions fp et fi associées à f est solution d’une équation différentielle du second ordre.

b. Déterminer une fonction polynomiale vérifiant chacune des équations différentielles précédentes. En déduire une solution particulière de l’équation (E).

3. Décomposition et ramification d’une fonction polynôme.

a. Montrer que pour toute fonction polynôme P peut s’écrire de manière unique sous la forme 2 2

0 1( ) ( ) ( )P x P x xP x  où P0 et P1 sont des fonctions polynômes. (Utiliser la question 1.)

P donne donc naissance à deux polynômes P0 et P1.

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