Contrôle de sciences statistiques 7 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 7 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 7 -3° partie - fonctions diverses. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Présentation d’un exemple, Triangle d’aire maximale, la courbe entière.
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De même ces deux derniers polynômes donnent respectivement 00P , 01P , 10P et 11P selon le schéma

suivant :

P

0P 1P

00P 01P 10P 11P

000P 001P 010P 001P 100P 101P 110P 111P

… … … … … … … … … … … … … … … …

Présentation d’un exemple : avec 6 5 3 2( ) 5 3 4 2 1P x x x x x x      .

6 5 3 2( ) 5 3 4 2 1P x x x x x x     

30( ) 5 2 1P x x x   2

1( ) 3 4 1P x x x  

00( ) 1P x  01( ) 5 2P x x  10( ) 3 1P x x  11( ) 4P x  

000( ) 1P x  001( ) 0P x  010( ) 2P x  011( ) 5P x  100( ) 1P x   101( ) 3P x  110( ) 4P x   111( ) 0P x

b. Inversement, existe-t-il une fonction polynôme P vérifiant les conditions :

111( ) 4P x  ; 110( ) 0P x  ; 101( ) 0P x  ; 100( ) 3P x  ; 011( ) 5P x  ; 010( ) 3P x  ; 001( ) 1P x   ; 000( ) 6P x  ?

1. 29. Triangle d’aire maximale (c)

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé R=( ; , )O i j le cercle  de centre O et de

rayon 1. Soient les points de  : A (1 ; 0) et A’(−1 ; 0).

1. Par tout point H du segment [AA’], distinct de A et de A’ on mène la perpendiculaire  à la droite

(AA’). La droite  coupe le cercle  en M et M’. On pose OH x . Calculer l’aire du triangle AMM’.

2. Soit f la fonction définie sur [−1 ; 1] par    2( ) (1 ) 1f x x x et (C) sa courbe représentative dans R

(unités graphiques 4 cm).

a. Etudier la dérivabilité de f en −1 et en 1. En déduire les tangentes à (C) aux points d’abscisses −1 et 1.

b. Dresser le tableau de variations de f.

c. Tracer (C).

3. Montrer que le triangle AMM’ d’aire maximale est équilatéral.

4. a. Justifier que l’équation ( ) 1f x admet exactement deux solutions  et  ( < ) et donner en le

justifiant une valeur approchée de  à 10−3 près.

b. Discuter graphiquement suivant les valeurs de m réel le nombre de solutions de l’équation ( )f x m .

5. On considère la courbe (U) donnée par l’équation    2 2 2(1 ) (1 ) 0y x x . Montrer que (U) est

constituée de deux courbes (C) et (C’) , (C’) étant l’image de (C) par une transformation que l’on précisera.

K

M'

M

H

B

A' AO

Correction

1. On a OH x d’où avec Pythagore :

    2 2 2 21OM OH HM HM x .

L’aire de AMM’ est

     2 2 1 1

. ' (1 )2 1 (1 ) 1 2 2

AH MM x x x x .

2. f représente évidemment l’aire du triangle AMM’…

a. On calcule en 1 (à gauche car à droite la fonction n’existe pas) :

    

         

2

2

0 0 0

1 (1 )(1 ) (1) lim lim lim 2 0 h h h

h hf h f h h

h h ; la fonction est dérivable et il y a une

tangente horizontale en 1. De même à droite de −1 :

      

               

2 2

20 0 0 0

(2 ) 1 ( 1 )( 1 ) ( 1) (2 ) 2 (2 ) (2 ) lim lim lim lim

2h h h h

h hf h f h h h h h h

h h h h h h .

La fonction n’est pas dérivable, il y a une tangente verticale en −1.

b.        

        

2 2 2 2

2 2 2

(1 )( 2 ) (1 ) 2 1 '( ) 1

2 1 1 1

x x x x x x x f x x

x x x

qui a pour racines 1 et  1

2 .

    3 1 3 3

( 1/ 2) 1 2 4 4

f .

c. L’aire de AMM’ est maximale lorsque x = −1/2, soit lorsque le triangle est équilatéral (dans ce cas M

est à l’affixe 

 2

3

i

e ).

4. a. On a immédiatement que f(x) = 1 a comme solution 0 (f(0) = 1) et une autre solution . On met la machine en route : on a alors f(−0,8395288) = 0,99944395 < 1 et f(−0,83926702) = 1,00004531 > 1 par exemple. Grâce au théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que f vaut 1 entre ces deux valeurs

et donc   0,839 .

b. Lorsque m < 0 il n’y a pas de solution ; lorsque   3 3

0 4

m on a deux solutions, lorsque  3 3

4 m il y

a une seule solution (−1/2), enfin pour  3 3

4 m il n’y a pas de solution.

5. A partir de    2(1 ) 1y x x on élève au carré ce qui donne :    2 2 2(1 ) (1 ) 0y x x . En fait cette

courbe est la réunion de    2(1 ) 1y x x et de     2(1 ) 1y x x . Il suffit de symétriser la courbe de f

par rapport à (Ox) pour obtenir la courbe entière (très joli).

x

f

−1

0

−1/2 1

f− +

0 0

3 3

4

∞ 0

1. 30. Cissoïde de Dioclès

f est la fonction définie pour tout x de l’intervalle [0 ; 1[ par 3

( ) 1

x f x

x

 .

1. f est-elle dérivable en 0 ? Dressez le tableau de variation de f.

2. On note (C1) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

a. Ecrivez une équation de la tangente T à la courbe (C1) au point d’abscisse 1/2.

b. Sur le même graphique tracez (C1) et T, puis la courbe (C2) symétrique de (C1) par rapport à l’axe des abscisses.

Démontrez que « M(x ; y) appartient à 1 2C C   » est équivalent à « les coordonnées de M vérifient

l’équation E : x(x² + y²) – y² = 0 ».

La courbe  est appelée cissoïde de Dioclès.

3. Interprétation géométrique de (E).

I est le point de coordonnées (1 ; 0), (C) est le cercle de diamètre [OI] et  est la tangente à (C) au point I. (d) est la droite passant par O et de coefficient directeur t (t est un réel).

a. Déterminez les coordonnées de M, point d’intersection, autre que O, de (C) et (d).

b. Déterminez les coordonnées de M’, point d’intersection, autre que O, de  et (d).

c. Déterminez les coordonnées de M, point d’intersection de  et (d).

d. Démontrez que 'OM MN .

e. Déduisez-en un procédé permettant de construire  point par point à partir de M et N. Construisez  .

4. Prolongements

La droite (IM’) coupe l’axe des ordonnées en P.

a. Démontrez que 2. .NM NO NI NO NI  et que 2. .OM ON ON OI OI  .

b. Déduisez-en que 2 'NI OM NO  et que 2OI OM ON  . Démontrez que ' '

'

OP OM OM

NI M N OM   .

c. Déduisez des questions précédentes que 2 3OP OI IN  ou encore 3OP IN .

En choisissant OP = 2, il vient IN = 3 2 .

Expliquez comment la cissoïde de Dioclès permet de résoudre le problème suivant :

« Etant donné un cube d’arête a, construire l’arête x d’un cube dont le volume est le double du cube précédent. »

1. 31. Strophoïde droite et inversion

Dans le plan P rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , on considère le point A de coordonnées

(−1 ; 0).

Partie A

Soit  la fonction définie par 1

( ) 1

x x x

x

 

 pour [ 1 ;1[x  .

1. Etudier les variations de  et tracer sa courbe représentative S1. Préciser les tangentes ou demi-

tangentes à S1 aux points A et O.

2. Soit S2 l’image de S1 par la réflexion d’axe (Ox). Donner une équation de S2. Vérifier que la courbe

1 2S S S  a pour équation 3 2 2 2 0x xy x y    . Tracer S.

3. Soit  un réel non nul et N le point de coordonnées (0 ; ) . Ecrire une équation cartésienne, notée

(1), de la droite (AN) en fonction de  . Vérifier que le cercle C , de centre N, passant par O, a pour

équation :

(2) 2 2 2 0x y y   .

Pour tout  non nul, (AN) et C se coupent en deux points distincts d’ordonnée non nulle. Exprimer 

en fonction de x et y à l’aide de l’équation (2). Reporter l’expression trouvée dans (1) et vérifier que les

deux points d’intersection de (AN) et C appartiennent à S.

4. En déduire une construction de S, par points, à la règle et au compas (utiliser un logiciel de construction dynamique).

Partie B

M est un point de P ; on se propose d’étudier, s’ils existent, les points M’ de P vérifiant à la fois les deux conditions suivantes :

- A, M, M’ sont alignés

- . ' 0OM OM

Soit (C) le cercle de diamètre [OA].

1. Déterminer l’ensemble des points M’ dans chacun des cas suivants :

a. M est en O.

b. M est en A.

c. M est un point de (C) autre que O et A.

d. M est un point de l’axe des abscisses autre que O et A.

e. M est un point de l’axe des ordonnées autre que O.

2. On suppose que M n’est pas sur (C) ; montrer qu’il n’existe qu’un seul point M’ satisfaisant aux conditions. Donner une construction géométrique de M’.

3. Soit f l’application de P privé de (C) vers P privé de (C) qui à M associe M’. Montrer que f f Id .

Quelle conséquence en tirez-vous ?

Partie C

1. On appelle S* la courbe S privée de A et O. Déterminer une construction géométrique de l’image f(S*) de S*.

2. Exprimer les coordonnées de M’(x’ ; y’) en fonction des coordonnées de M(x ; y).

3. On considère la droite D* d’équation x = 1 et privée de son point d’ordonnée nulle. Déterminer une équation de son image f(D*). Tracer cette image.

4. On considère la courbe H ( 1

y x  ) . Donner une équation de son image f(H). La tracer.

http://www.mathcurve.com/courbes2d/strophoiddroite/strophoiddroite.shtml

m'

m

Q

P

N

O

A

1. 32. Sinus cardinal

On désigne par g la fonction définie sur [0 ; ] par ( ) cos sing x x x x  .

1. Etudier g et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de g sur [0 ; ] .

2. Soit f la fonction définie sur [ ; ]  par

(0) 1

sin ( ) si [ ; ]\ {0}

f

x f x x

x  

  

   

.

a. Montrer que f est paire. Qu’en déduit-on pour sa courbe représentative ( ) ?

b. Etudier les variations de f. On vérifiera particulièrement que f est continue en 0.

c. Prouver que pour tout réel x positif ou nul, on a 3 1

0 sin 6

x x x   . En déduire que f est dérivable à

droite de 0. Que peut-on dire sur la dérivabilité de f à gauche de 0 ?

d. Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1. 33. Arc tangente,N. Calédonie 2003

Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.

Pour tout entier naturel n, on définit sur la fonction numérique fn par :

0 2

1 ( )

1 f x

x  

et pour n entier naturel non nul 2

( ) 1

n

n

x f x

x  

.

On note Cn, la courbe représentative de fn, dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j ,

unité graphique : 4 cm.

On désigne par In l’intégrale 1

0

( )n nI f t dt  .

Partie A

1. a. Étudier les limites de f1 en  et en  . Quelle est la conséquence graphique de ces résultats ?

b. Étudier les variations de f1.

c. Tracer la courbe C1.

d. Calculer I1.

2. a. Étudier les limites de f3 en  .

b. Étudier les variations de f3.

c. Tracer la courbe C3 sur le même dessin qu’au 1. c.

3. Calculer I1+I3. En déduire la valeur de I3.

4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par les courbes C1, C3 et les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Partie B

Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère orthonormal ( ; , )O i j , unité

graphique : 4 cm.

1. a. Étudier les limites de f0 en  et en  .

b. Étudier les variations de f0.

2. Soit (an) la suite définie, pour n entier naturel non nul, par 2

0

1

1

n

na dt t

  .

a. Interpréter graphiquement an.

b. Montrer que la suite (an) est croissante.

c. Montrer que pour tout réel t : 2

1 1

1 t

 et en déduire que 1 1a  .

d. Montrer que pour tout réel t non nul : 2 2

1 1

1 t t

 et en déduire que pour tout entier naturel non nul,

2 1

1 1 1

1

n

dt nt

   .

e. Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier naturel n non nul, 2na  . Que

peut-on en déduire pour la convergence de la suite (an) ?

Partie C

Soit F la fonction telle que : F(0) = 0, F dérivable sur et 2

1 '( )

1 F x

x  

.

1. On pose, pour tout x de ; 2 2

     

, H(x) = F[tan(x)].

a. Calculer H(0).

b. Montrer que H est dérivable sur ; 2 2

     

et calculer H’(x).

c. En déduire que, pour tout x de ; 2 2

     

, H(x) = x.

d. Montrer que (1) 4

F   .

2. On pose, pour tout x réel positif ou nul, 1

( ) 1 2

x k x F F

x x

        

     .

a. Montrer que la fonction k est dérivable sur + et déterminer k’(x).

b. En déduire la valeur de 1 1

2 3 F F    

       

.

1. 34. Autour de sin(1/x)

La fonction f est définie par : 1

( ) 2 sinf x x x

    

  pour 0x  et (0) 0f  .

1. Etudier la continuité de f en 0.

2. Etudier la dérivabilité de f en 0.

3. Déterminer la fonction dérivée de f.

4. Montrer que la courbe de f est située dans une « bande ».

5. En quels points la courbe de la fonction coupera-t-elle l’axe des abscisses ?

1. 35. Suites et sinus

On considère les fonctions suivantes définies sur  0 ;  par :

  sinf x x x  ,   2 1

1 cos 2

g x x x    ,   3 1

sin 6

h x x x x    .

1. Etudier les variations de f ; en déduire que f est positive ou nulle sur  0 ;  .

2. a. De la même manière, justifier, en étudiant leurs variations, que g et h sont positives ou nulles sur

 0 ;  .

b. Déduisez en l’encadrement 3 1

sin 6

x x x x   pour 0x  .

3. On considère les suites un et vn définies pour tout entier naturel n non nul de la manière suivante :

2 2 2 2

1 2 3 sin sin sin ... sinn

n u

n n n n      et

2 2 2 2

1 2 3 ...n

n v

n n n n      .

a. Montrez que  

2

1

2 n

n n v

n

  et que vn converge vers

1

2 .

b. Montrez par récurrence que 3 3 3 41 2 ... n n    pour tout n entier naturel non nul.

c. Déduisez de l’inégalité du 2.b. que 2

1 1

6 n n nv u v

n     .

d. En déduire que un converge et déterminez sa limite.

1. 36. Camion et Lapin, N. Caledonie 2005 (c)

5 points

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui.

Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est à dire à . . . 30 km/h !

L’avant du camion est représenté par le segment [CC’] sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l’angle BAD  avec 0 2

   (en radians).

1. Déterminer les distances AD et CD en fonction de  et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2. On pose 7 4

( ) 2 tan 2 cos

f   

   .

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f( ) > 0.

3. Conclure.

Rappel :

La fonction tanx x est dérivable sur 0, 2

    

et a pour dérivée la fonction 2

1

cos x

x  .

Correction

1. On appelle v la vitesse du lapin, et donc 2v celle du camion.

4 m Camion 7 m

C

C’ A

B D

4 cos

cos cos

AB AB AD

AD

      d’où 1

D 4

cosLapin

A t

v v    .

tan 4tan BD

BD AB

    d’où 2 am am

7 4tan

2 2C ion C ion

CB BD t

v v v v

     .

2. Le temps mis par le camion doit être supérieur à celui mis par le lapin (si le lapin veut éviter le camion…), il faut donc

2 1

7 4tan 4 7 4tan 4 7 4 2tan 0 ( ) 0

2 cos 2 cos 2 cos t t f

v v

   

  

             .

3. A priori on ne sait pas trop résoudre l’inéquation proposée, on va plutôt regarder les variations de f :

2 2 2

4( sin )1 1 2sin '( ) 2 2

cos cos cos f t

 

  

     

qui s’annule pour 1

sin 2 6

     : lorsque

6

   ,

1 sin '( ) 0

2 f    , f croissante,

6

 donne

l’abscisse du maximum de f, qui est alors de

7 4 7 3 8 ( / 6) 2 tan 2 0,036

2 6 2 3 3cos 6

f

 

       .

Comme (0) 3,5 4 0,5 0f      et que

2

lim ( )f

 

  , la fonction s’annule deux fois : une première fois

vers 0,4, une deuxième vers 0,65 ; le lapin doit donc choisir un angle dans ces zones-là pour avoir une chance de survivre…

On peut essayer de résoudre directement : 7 sin 4 7 cos 4sin 8

( ) 2 2 cos cos 2cos

f   

   

      ;

utilisons les formules d’Euler :

2 2

2 2

1 2 7 cos 4sin 8 7 4 8 7 4 8

2 2 2 2 2

7 7 4 4 16 ;

2

i i i i i i i

i i i

i i i

i

e e e e ie i e ie

i ie ie ie

ie i e ie

ie

      

  

  

      

       

    

posons iz e , soit l’équation 2 2 27 7 4 4 16 0 (7 4) 16 7 4 0iz i z iz i z iz i           .

2( 16 ) 4(7 4)(7 4) 256 4( 49 16) ...i i i            ; on met les solutions sous la forme ie , les solutions

étant alors l’argument du résultat. Comme on peut le voir directement, avec Maple, ça tombe en deux coups de cuiller à pot :

> f:=z->7/2+2*tan(z)-4/(cos(z));

> v:=[solve(f(z)=0)];evalf(v);

:= f z   7

2 2 ( )tan z

4

( )cos z

:= v

 

 ,

  

 arctan

3

4 

  

 arctan

5

12

[ ],0.6435011088 0.3947911197

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