Contrôle de sciences statistiques 8 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 8 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 8 - 1° partie - Géométrie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: L’ensemble des points M, les quatre points coplanaires.
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Terminale S

Géométrie Exercices

1. 1. QCM, France 2009 1 1. 2. QCM,Pondicherry 2009 2 1. 3. QCM, France et La Réunion 2008 2 1. 4. QCM, Antilles - Guyane 06/2008 2 1. 5. QCM 3 1. 6. Fesic 2003 exo 16 4 1. 7. QCM, Am. du Nord 2007 4 1. 8. QCM, La Réunion 2006 5 1. 9. QCM espace Asie 2005 6 1. 10. QCM, Amérique du Nord 2004 7 1. 11. QCM, Asie 2004 7 1. 12. Vrai-Faux, Centres étrangers 06/2008 7 1. 13. Vrai-Faux justifié, Liban 2008 8 1. 14. Vrai-Faux justifié, Asie 2008 8 1. 15. Vrai-Faux justifié, Liban 2007 9 1. 16. VF justifié, Antilles-Guyane, sept 2010, 4 pts 9 1. 17. Exercice de base dans l’espace - 1 10 1. 18. Exercice de base dans l’espace - 2 10 1. 19. Exercice de base dans l’espace - 3 10 1. 20. Exercice de base dans l’espace - 4 11 1. 21. Exercice de base dans l’espace - 5 11 1. 22. Exercice de base espace - 6, N. Calédonie 2003 11 1. 23. Basique, Am. du Sud remplt 2007 11 1. 24. Basique+ROC, N. Calédonie 2007 12 1. 25. Divers, Am. du Sud 11/2008 12 1. 26. Basique, N. Calédonie 2009 12 1. 27. Intersections, Liban 2010 13 1. 28. Plans, Polynésie 2009 13 1. 29. Sphère, Polynésie 2010, 5 pts 14 1. 30. Classique, Centres étrangers 2009 14

1. 31. Plans et droites, La Réunion 2009 14 1. 32. Cube, Liban 2009, 15 1. 33. Cube, Am du Nord 2009 15 1. 34. Divers, Am. du Sud 11/2008 16 1. 35. Orthog. alignement, Polynésie 2008 16 1. 36. Pythagore, N. Calédonie 11/2007 17 1. 37. Volume tétraèdre 1 18 1. 38. Volume+Barycentre, Pondicherry 2007 18 1. 39. Distance point-droite, La Réunion sept. 2010 19 1. 40. Distance point-plan, France, sept. 2010, 4 pts 19 1. 41. Distance, Polynésie 2008 19 1. 42. Distance dans l’espace 20 1. 43. Distance minimale, Polynésie sept 2006 20 1. 44. Distance point-droite, France 09/2005 21 1. 45. Plans et droites, Antilles 2007 21 1. 46. Droites et plans de l’espace 22 1. 47. Plans de l’espace, bac S, 1997 22 1. 48. Equidistance de trois points, France sept 2006 23 1. 49. Barycentres+droite, C. étrangers 2006 23 1. 50. Barycentre espace, N. Calédonie 2004 24 1. 51. Barycentre espace, France 2001 24 1. 52. Tétraèdre orthocentrique, La Réunion 2005 25 1. 53. Aires et volumes 25 1. 54. Nombres complexes et produit scalaire. 26 1. 55. Lignes de niveau 27 1. 56. Conique - hors programme 27 1. 57. Projection d’un cercle dans l’espace - hors prog. 28 1. 58. Inversion 29 1. 59. Courbe paramétrée - hors programme 29 1. 60. Le théorème de Napoléon 1 30

1. 1. QCM, France 2009

4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la répons exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . On considère les points A(1 ; 2 ; –1), B(1 ; 1 ;

0), C(9 ; –1 ; –2), S(1 ; 1 ; 1).

On admet qu’une équation du plan (ABC) est x + 2y + 2z – 3 = 0.

1. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

a.

1

2 4 ,

1 3

x y

y t t

z t

     

   

b.

1

1 ,

3

x

y t t

z t

     

  

c.

1

1 2 ,

2

x

y t t

z t

    

 

2. Les coordonnées du point S’ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont :

a. 10 11 10

; ; 9 9 9

     

b. 5 1 1

; ; 9 9 9

     

c. 7 5 5

; ; 9 9 9

     

3. Le triangle ABC est :

a. isocèle b. rectangle en A c. rectangle en B

4. L’ensemble des points M de l’espace vérifiant 9MA MB MC   est :

a. un plan passant par S b. une sphère passant par S c. une sphère de centre S

1. 2. QCM,Pondicherry 2009

4 points

Dans un repère orthonormé de l’espace ( ; , , )O i j k , on considère les points : A de coordonnées (1, 1, 0),

B de coordonnées (2, 0, 3), C de coordonnées (0, –2, 5) et D de coordonnées (1, –5, 5).

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse :

Proposition 1 : L’ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que y = 2x + 4 est une droite.

Proposition 2 : La transformation qui, à tout point M de l’espace associe le point M’ tel que

' 2MM MA MB MC   est l’homothétie de centre G, où G désigne le barycentre du système {(A, 1), (B, 1), (C, 2)}, et de rapport 3.

Proposition 3 : A, B, C et D sont quatre points coplanaires.

Proposition 4 : La sphère de centre  de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d’équation : 2x + 2y + z + 3 = 0.

1. 3. QCM, France et La Réunion 2008

4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct  ; 2

AB AD    

  .

On note I son centre et J le milieu de [AI].

1. C est le barycentre des points pondérés (A, m),(B,1) et (D,1) lorsque :

a. m = − 2 b. m = 2 c. m = − 1 d. m = 3

2. a. B est l'image de C par la rotation de centre Iet d'angle 2

 .

b. Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est 2

3 .

c. Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.

d. J est l'image de I par la translation de vecteur 1 1

2 4 BA DB.

3. L'ensemble des points M du plan tels que MA MC AB  est :

a. la médiatrice de [AC]. b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI]. d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

4. L'ensemble des points M du plan tels que    2 . 0MA MB MD MA MC    est :

a. la médiatrice de [AC]. b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI]. d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

1. 4. QCM, Antilles - Guyane 06/2008

4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. L’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que : 2 6 2 7 0

3 5 0

x y z

x y z

         

est :

Réponse A : l’ensemble vide Réponse B : une droite

Réponse C : un plan Réponse D : réduit à un point.

2. Les droites de représentations paramétriques respectives :

1

1 ,

2 3

x t

y t t

z t

      

  

et

2 '

2 ' , '

4 2 '

x t

y t t

z t

      

  

, sont

:

Réponse A : parallèles et distinctes Réponse B : confondues

Réponse C : sécantes Réponse D : non coplanaires

3. La distance du point A(1 ; −2 ; 1) au plan d’équation 3 5 0x y z     est égale à :

Réponse A : 3

11 Réponse B :

3

11

Réponse C : 1

2 Réponse D :

8

11 .

4. Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d’équation 3 5 0x y z     a pour

coordonnées :

Réponse A : (3 ; 1 ; 5) Réponse B : (2 ; 3 ; 1)

Réponse C : (3 ; 0 ; 2) Réponse D : (−2 ; 3 ; −6 )

1. 5. QCM

Question 1 ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a. . ...AB AD

a) 2a b) 21

2 a c) 2a d)

21

2 a

Question 2 Si ( )u v w  et si ( )v u w  alors

a) ( )w u v  b) u v et u w c) v w

 d) u v mais pas

necessairement u w

Question 3 On considère un cube ABCDIJKL et on munit l’espace du repère  ; , ,A AB AD AI . La distance du point J au plan (BIK) est :

a) 3 b) 3

3 c)

3 3

2 d)

3

2

Question 4 Les plans P et P’ d’équations respectives : 3 5 2 1 0x y z    et 6 10 3 0x y z    sont des

plans :

a) orthogonaux b) parallèles c) sécants d) strictement parallèles

Question 5 On pose A(1 ; 0 ; −1), B(0 ; 1 ; 1), P (2 ; 0 ; 1), Q(1 ; 1 ; 0) et R(1 ; 0 ; 1). L’intersection de la droite (AB) avec le plan (PQR) est :

a) le point 2 1 2

; ; 3 3 3

     

b) la droite (AB) c) le point 1 2 1

; ; 3 3 3

     

d) n’existe pas

Question 6 On considère un cube ABCDEFGH et on munit l’espace du repère  ; , ,A AB AD AE . Le plan CFH a pour équation :

a) xy + z = 2 b) x + y + z = 2 c) x + yz + 2 = 0 d) x + yz = 2

Question 7 On considère un plan P d’équation x + 2yz – 4 = 0 et la droite (d) définie par le point

A(1 ; −3 ; 0) et le vecteur directeur ( 1 ; 0 ; 2)u   . Le plan P et la droite (d) sont sécants en un point dont

l’abscisse est :

a) 4 b) 0 c) −2 d) 1

Question 8 On considére trois plans d’équations respectives :

x + 2yz − 4 = 0 ; −2x + 3y + z –1 = 0 et –5x + 4y + 3z + 2 = 0 .

L’intersection de ces trois plans est :

a) vide b) un point

c) une droite de vecteur

directeur 5 1

; ;1 7 7

u       

d) une droite de vecteur

directeur 5 1

; ;1 2 2

u       

Question 9 Dans un repère orthonormé ( ; , , )O i j k , on considère les points A(1 ; 2 ; 3), B(−1 ; 0 ; −1) et

C(2 ; 1 ; −3). L’isobarycentre G du triangle OBC a pour coordonnées :

a) 1 1 4

; ; 3 3 3

     

b) 2 5

;1 ; 3 3

     

c) (−1 ; 0 ; 2) d) 1 1 2

; ; 3 3 3

     

Question 10 On peut caractériser la demi-droite [AB) comme étant l’ensemble des barycentres des points pondérés (A, a) et (B, b) avec a et b réels tels que a + b n’est pas nul et :

a) 0 a

a b

 b) a et b de même signe

c) a et b de signes opposés

d) 0 b

a b

Question 11

On considère un cube ABCDIJKL et on munit

l’espace du repère  ; ; ;A AB AI AD .

La distance JM du point J au plan (BIK) est :

A B

D C

JI

KL

O

M

a) 3 b)

3

3

c) 3 3

2 d)

3

2

Question 12

L'intersection des deux plans (P) et (P') d'équations respectives x + z – 1 = 0 et y + 2z + 4 = 0 est une droite dont une représentation paramétrique est :

a)

1

2

2

x t

y t

z t

   

   

b)

1

2 4

x t

y t

z t

    

  

c)

1

2 2

1

x t

y t

z t

    

   

d)

1

2 4

x t

y t

z t

     

 

1. 6. Fesic 2003 exo 16

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . On considère les points A(0 ; 4 ; −1),

B(−2 ; 4 ; −5), C(1 ; 1 ; −5), D(1 ; 0 ; −4) et E(2 ; 2 ; −1).

a. Une équation du plan (ABC) est 2x + 2yz − 9 = 0.

b. Le point E est projeté orthogonal de D sur (ABC).

c. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

d. Le point Ω(−1 ; 2 ; −3) est le centre d’une sphère passant par A, B, C et D.

1. 7. QCM, Am. du Nord 2007

3 points

Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Soit (P) le plan dont une équation est : 2 3 1 0x y z    . Soit A le point de coordonnées  1 ; 11 ; 7 .

Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P) a pour coordonnées  0 ; 2 ; 1 . »

2. On considère l’équation différentielle (E) : ' 2 2y y  .

On appelle u la solution de (E) sur vérifiant  0 0u  .

Proposition 2 : « On a ln 2 1

2 2 u  

   

. »

3. On considère la suite  nu définie par 0 2u  et pour tout entier naturel n, 1 7n nu u  .

Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 7nu  . »

Correction

Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P) a pour coordonnées  0 ; 2 ;1 . »

Calculons  1 ; 9 ; 6AH     et le vecteur normal à (P) :  2 ;1 ; 3n   . Ces deux vecteurs ne sont pas

colinéaires donc c’est faux.

Nota : on peut chercher les coordonnées de H : comme H est le projeté orthogonal de A sur (P), alors

et AH n sont colinéaires. Il existe donc un réel k tel que AH k n , c’est-à-dire

1 2

11

7 3

H

H

H

x k

y k

z k

  

     

ou

encore

1 2

11

7 3

H

H

H

x k

y k

z k

  

    

(1). De plus, H appartient à (P), alors :      2 1 2 11 3 7 3 1 0k k k       ,

14 7 0k   . On en déduit que 1

2 k  . En remplaçant dans (1), on obtient

23 11 2 ; ;

2 2

     

.

2. (E) : ' 2 2y y  .

Proposition 2 : « On a ln 2 1

2 2 u  

   

. »

Les solutions de (E) sont   2 2 2

1 2

x xu x Ce Ce     

; avec  0 0u  on a 1C   et

ln 2 2

2 ln 2

ln 2 1 1 1 1 1 1

2 2 2 u e

e

         

  donc vrai.

3. 0 2u  ; 1 7n nu u  .

Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 7nu  . »

0nu  est évident ; par récurrence : 0 2 7u   et 7 7 49 7 49 7n n nu u u      donc vrai.

1. 8. QCM, La Réunion 2006

4 points

Pour chacune des questions 1, 2, 3 et 4, parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu’il pense exactes. Aucune justification n’est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point. Toute réponse juste rapporte 0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. Soit P le plan d’équation 2x +3y +4z −1 = 0.

a. La distance du point O au plan P est égale à 1.

b. La distance du point O au plan P est égale à 1

29 .

c. Le vecteur 3

1 ; ; 2 2

n      

est un vecteur normal au plan P.

d. Le plan Q d’équation −5x + 2y + z = 0 est parallèle au plan P.

2. On désigne par P le plan d’équation 2x + yz = 0, et par D la droite passant par le point A(1 ; 1 ; 1) et

de vecteur directeur u (1 ; −4 ; −2).

a. La droite D est parallèle au plan P.

b. La droite D est orthogonale au plan P.

c. La droite D est sécante avec le plan P.

d. Un système d’équations paramétriques de D est  

1

1 4

1 2

x t

y t t

z t

     

  

.

3. On désigne par E l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que : x + y + z = 3 et 2xz = 1. Soit le point A(1 ; 1 ; 1).

a. L’ensemble E contient un seul point, le point A.

b. L’ensemble E est une droite passant par A.

c. L’ensemble E est un plan passant par A.

d. L’ensemble E est une droite de vecteur directeur u (1 ; −3 ; 2).

4. ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).

a. Le plan P contient toujours le point D.

b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.

c. Le plan P est toujours l’ensemble des points M de l’espace tels que : . .BM BC BA BC .

d. Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].

1. 9. QCM espace Asie 2005

3 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k on appelle D la droite d’équations

paramétriques

1 2

2

3

x t

y t

z t

    

   

et P le plan d’équation cartésienne x +2y −3z −1 = 0.

Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l’affirmation choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Numéro de la ligne

Affirmation A Affirmation B Affirmation C

1 Le pointM de coordonnées (1 ; 3 ; 2) appartient à D

Le pointN de coordonnées (2 ; 1 ; 1) appartient à D

Le pointR de coordonnées (3 ; 1 ; 4) appartient à D

2 Le vecteur u de coordonnées (1 ; 2 ; 3) est un vecteur

directeur de D

Le vecteur v de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteur

directeur de D

Le vecteur w de coordonnées (3 ; 1 ; 4) est un vecteur directeur de D

3 D est incluse dans PD est strictement parallèle à P

D est sécante à P

4 Le point G de coordonnées (1 ; 3 ; 2) appartient à P

Le pointH de coordonnées (1 ; 3 ; 2) appartient à P

Le point K de coordonnées (1 ; 3 ; 1) appartient à P

5 Le plan Q1 d’équation cartésienne

x +2y −3z +1 = 0

est perpendiculaire à P

Le plan Q2 d’équation cartésienne

4x −5y −2z +3 = 0

est perpendiculaire à P

Le plan Q3 d’équation cartésienne

3x +2y −z −1 = 0

est perpendiculaire à P

6 La distance du point T de La distance du point T de La distance du point T de

coordonnées (1 ; 3 ; 2) au

plan P est 14

coordonnées (1 ; 3 ; 2) au

plan P est 14

coordonnées (1 ; 3 ; 2) au

plan P est 2 3

1. 10. QCM, Amérique du Nord 2004

3 points

Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le

centre de gravité de ABC. Pour tout réel m, différent de 1

3  , on note Gm le barycentre du système de

points pondérés Sm = {(A, 1) ; (B, m) ; (C, 2m)}. Pour tout point M du plan on note

3 2MV MA MB MC   .

Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à 0.

Affirmation V ou F

G1 est le milieu du segment [CI].

G1 est barycentre de   2

, 2 ; , 3

J C      

   .

Pour tout point M , 2MV AB AC  .

Pour tout m, distinct de 1

3  , mAG est colinéaire à 1AG .

1/ 2IBG est un triangle rectangle.

Pour tout point P de (AG−1), il existe un réel m tel que P = Gm.

1. 11. QCM, Asie 2004

4 points

L’espace E est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On appelle P le plan d’équation 2x−y +5 = 0 et Q le plan d’équation 3x+y −z = 0.

1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :

2 5

5 5

x

y

z

   

  

où  est un nombre réel.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :

Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : 5x +5y −z = 0.

Soit Dla droite de l’espace de représentation paramétrique :

3

1

2 2

x

y

z

    

  

où  est un nombre réel.

Affirmation 2 : D et Dsont coplanaires.

1. 12. Vrai-Faux, Centres étrangers 06/2008

4 points

L'espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les points : A(2 ; 1 ; −1), B(−1 ; 2 ; 4), C(0 ; −2 ; 3), D(1 ; 1 ; −2) et le plan (P) d'équation

2 1 0x y z    .

Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et !’un des deux mots VRAI ou FAUX à la réponse choisie. Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point.

L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l’exercice est ramenée à 0.

1. Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan.

2. Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan (P).

3. Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : 8 11 0x y z    .

4. Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est :

2

2 3 ,

3 4

x k

y k k

z k

    

  

.

5. Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

6. Affirmation 6 : la distance du point C au plan (P) est égale à 4 6 .

7. Affirmation 7: la sphère de centre D et de rayon 6

3 est tangente au plan (P).

8. Affirmation 8 : le point 4 2 5

; ; 3 3 3

E      

est le projeté orthogonal du point C sur le plan (P).

1. 13. Vrai-Faux justifié, Liban 2008

5 points

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Soit z un nombre complexe d'argument 3

 .

Proposition 1 : « z100 est un nombre réel ».

2. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1 du plan telle que 1 1

z

z

 .

Proposition 2 : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ».

3. Soit r la rotation d'angle 2

  et dont le centre K a pour affixe 1 3i .

Proposition 3 : « l'image du point O par la rotation r a pour affixe    1 3 1 3i   ». 4. On considère l'équation (E) suivante :

2 2cos 1 0 5

z z  

     

.

Proposition 4 : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ».

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1, représenté ci- contre.

Proposition 5 : « le vecteur AG est normal au plan (BDE) ».

Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ».

H G

D C

F E

BA

1. 14. Vrai-Faux justifié, Asie 2008

4 points

A. Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausrse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exemple.

Rappel des notations :

* 1 2P P désigne l’ensemble des points communs aux plans P1 et P2.

* L’écriture 1 2P P  signifie que les plan P1 et P2 n’ont aucun point commun.

1. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : 1 2P P  et 2 3P P  , alors on peut

conclure que P1 et P3 vérifient 1 3P P  .

2. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : 1 2 3P P P   , alors on peut conclure

que P1, P2 et P3 sont tels que 1 2P P  et 2 3P P  .

3. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : 1 2P P  et 2 3P P  , alors on peut

conclure que P2 et P3 vérifient 2 3P P  .

1. Si P1 et P2 sont deux plans distincts et D une droite de l’espace vérifiant : 1P D  et 1 2P P  ,

alors on peut conclure que 2P D  .

B. Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonormal de l’espace on considère les trois plans suivants :

* P1 d’équation 0x y z   , * P2 d’équation 2 3 0x y z    , * P3 d’équation

2 4 3 0x y z    .

1. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’interseclion, notée  .

2. En déduire la nature de l’intersection 1 2 3P P P  .

1. 15. Vrai-Faux justifié, Liban 2007

5 points : Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère la droite (d) dont un système d’équations paramétriques est :

2 2

1 ,

3 5

2

t x

y t

t z

  

  

    

.

On note A le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1), B le point de coordonnées (4 ; −2 ; 2) et C le point de (d) d’abscisse 1.

1. Proposition 1 : « La droite (d) est parallèle à l’axe  ;O j ».

2. Proposition 2 : « Le plan Pd’équation x +3z − 5 = 0 est le plan passant par A et orthogonal à (d) ».

3. Proposition 3 : « La mesure de l’angle géométrique BAC est 3

 radians ».

4. Soit G le barycentre des points pondérés (A ; −1), (B ; 1) et (C ; 1).

Proposition 4 : « Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu ».

5. Proposition 5 : « La sphère de centre C et passant par B coupe le plan (P)d’équation x +3z − 5 = 0 ».

1. 16. VF justifié, Antilles-Guyane, sept 2010, 4 pts

L’exercice comporte quatre propositions indépendantes. Indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse choisie.

1. L’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe rapporté au repère orthonormé ( ; , )O u v ,

vérifiant 2 2z z i   est la droite d’équation y = x.

2. Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d’affixes a, b et c vérifiant

3 b a

c a

  

 alors A, B et C sont alignés.

3. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

La droite de l’espace passant par le point B de coordonnées (2 ; 3 ; 4) et admettant le vecteur  1 ; 2 ; 3u

comme vecteur directeur a pour représentation paramétrique :

1

2 1

3 1

x t

y t

z t

    

  

, t .

4. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

La sphère de centre A(1 ; 1 ; 1) et de rayon 10 est tangente au plan P d’équation x + y + z − 1 = 0.

1. 17. Exercice de base dans l’espace - 1

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . Les points A, B, C et D ont pour

coordonnées :

( 1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; 4), (1 ; 4 ; 2), (5 ; 2 ; 4)A B C D   

On considère les points I, J, K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment

[CD] et J est tel que 1

4 BJ BC .

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. a. Montrer que I, J et K ne sont pas alignés.

b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est 8 9 5 12 0x y z    .

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que (IJK) et (AD) sont sécants en un point L dont on donnera les coordonnées.

d. Déterminer la valeur du réel k tel que AL kAD .

1. 18. Exercice de base dans l’espace - 2

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . Les points A, B et C ont pour coordonnées :

( 1 ; 2 ;1), (1 ; 6 ; 1), (2 ; 2 ; 2)A B C   .

1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur

1

1

3

n

         

est normal au plan (ABC).

2. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (  ) orthogonale au plan (ABC) passant par le point D(0 ; 1 ; −1).

4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H avec le plan (ABC). Quelle est la distance de D au plan (ABC) ?.

5. Soit M un point quelconque de (DC) de paramètre t (soit DM tDC , t réel) ; vérifier que la distance

AM est minimale lorsque 5

14 t   . En déduire les coordonnées du point Q, projeté orthogonal de A sur

(DC).

1. 19. Exercice de base dans l’espace - 3

P1, P2 et P3 sont trois plans d’équations cartésiennes :

P1 : 2 5 0x y z   

P2 : 3 5 7 4 0x y z   

P3 : 3 0y z   .

1. Montrer que P1 et P2 sont perpendiculaires.

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