Contrôle de sciences statistiques 8 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 8 - 2° partie, Exercices de Statistiques

PDF (303.2 KB)
10 pages
118Numéro de visites
Description
Contrôle de sciences statistiques 8 - 2° partie - Géométrie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Exercice de base dans l’espace, L’espace est muni d’un repère orthonormal.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 10
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

2. Déterminer une équation paramétrique de l’intersection D de P1 et P2.

3. En déduire que P1, P2 et P3 ont un unique point commun et calculer ses coordonnées.

1. 20. Exercice de base dans l’espace - 4

Soit le plan P d’équation 2 3 1 0x y z    et le point A (1 ; 4 ; 1).

1. Déterminer la distance du point A au plan P.

2. Calculer le rayon de l’intersection de la sphère de centre A et de rayon 5 avec le plan P.

1. 21. Exercice de base dans l’espace - 5

Soit ABCD un losange de centre O avec OB = 2OA.

1. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que   2 2 = 0MA MC MD MB MC MD    .

2. Déterminer l’ensemble des points M tels que : 2 2 2 22 6MA MC MD OA    .

1. 22. Exercice de base espace - 6, N. Calédonie 2003

5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne 20x +9y +12z −180 = 0.

d. Montrer que le système

0

4 3 0

20 9 12 180 0

x

y z

x y z

   

    

a une solution unique. Que représente cette

solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2. c. ?

1. 23. Basique, Am. du Sud remplt 2007

5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. On considère le point A de coordonnées (−2 ; 8 ; 4) et le vecteur u de coordonnées (1 ; 5 ; −1).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur u .

2. On considère les plans (P) et (Q) d’équations cartésiennes respectives x −y − z = 7 et x − 2z = 11.

Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d’intersection, notée (d’).

Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de (d’).

3. Démontrer que les droites (d) et (d’) ne sont pas coplanaires.

4. On considère le point H de coordonnées (−3 ; 3 ; 5) et le point H’ de coordonnées (3 ; 0 ; −4).

a. Vérifier que H appartient à (d) et que H’ appartient à (d’).

b. Démontrer que la droite (HH’)est perpendiculaire aux droites (d) et (d’).

c. Calculer la distance entre les droites (d) et (d’), c’est-à-dire la distance HH’.

5. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que 126MH HH   .

1. 24. Basique+ROC, N. Calédonie 2007

4 points

Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. Question de cours : Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal

 , ,n a b c et un point  0 0 0 0, ,M x y z .

2. On considère les points A(1 ; 2 ; −3), B(−3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; −1).

a. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

b. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x − y + z + 3 = 0.

c. Soit I le point de coordonnées (−5 ; 9 ; 4). Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite D passant par I et perpendiculaire au plan (ABC).

d. Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droite D et du plan (ABC).

e. En déduire la distance du point I au plan (ABC).

1. 25. Divers, Am. du Sud 11/2008

5 points

Une unité de longueur étant choisie dans l’espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que :

AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD]. L’espace est muni du repère orthonormé  ; , ,A AB AI AE .

I

H

GF

E

D

CB

A

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à 1

3 .

b. Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.

En exprimant V d’une autre façon, calculer la distance d du point G au plan (FIH).

3. Soit le vecteur n de coordonnées (2 ; 1 ; –1).

a. Montrer que le vecteur n est normal au plan (FIH).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).

c. Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan (FIH).

4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?

b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.

c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

Soit  la sphère de centre G passant par K. Quelle est la nature de l’intersection de  et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection).

1. 26. Basique, N. Calédonie 2009

5 points

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k . Soit les points : A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0

; 3) et 2 2 1

; ; 3 3 9

E    

  .

On se propose de déterminer de deux façons la distance E du point E au plan (ABC).

1. a. Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.

b. Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). Montrer que n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x + 6y + 4z − 12 = 0.

d. Déduire des questions précédentes la distance E .

2. a. Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique :

1

2 ,

5 4

9 3

x t

y t t

z t

      

    

, est perpendiculaire

au plan (ABC) et passe par le point E.

b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).

c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance E .

1. 27. Intersections, Liban 2010

4 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2).

1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :

1 2

2 3 ,

1

x t

y t t

z t

      

   

.

2. On note (D’) la droite ayant pour représentation paramétrique :

2

1 2 ,

x k

y k k

z k

     

 

.

Montrer que les droites (D) et (D’) ne sont pas coplanaires.

3. On considère le plan (P) d’équation 4x + y + 5z + 3 = 0.

a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D).

b. Montrer que le plan (P) et la droite (D’) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.

4. On considère la droite ( ) passant par le point C et de vecteur directeur  1 ;1 ; 1w  .

a. Montrer que les droites (  ) et (D’) sont perpendiculaires.

b. Montrer que la droite (  ) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.

1. 28. Plans, Polynésie 2009

5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les points : A(1 ; –1 ; 3), B(0 ; 3 ; 1), C(6 ; –7 ; –1), D(2 ; 1 ; 3) et E(4 ; –6 ; 2).

1. a. Montrer que le barycentre du système {(A, 2), (B, –1), (C, 1)} est le point E.

b. En déduire l’ensemble  des points M de l’espace tels que 2 2 21MA MB MC   .

2. a. Montrer que les points A, B et D définissent un plan.

b. Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD).

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

b. Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD).

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que le plan (ABD) et l’ensemble  , déterminé à la question 1., sont sécants. Préciser les éléments caractéristiques de cette intersection.

1. 29. Sphère, Polynésie 2010, 5 pts

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère :

- les points A(1 ; 1 ; 1)et B( 3 ; 2 ; 0);

- le plan (P)passant par le point B et admettant le vecteur AB pour vecteur normal ;

- le plan (Q)d’équation : 2 4 0x y z    ;

- la sphère (S)de centre A et de rayon AB.

1. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P)est : 2 8 0x y z    .

2. Déterminer une équation de la sphère (S).

3. a. Calculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q)est tangent à la sphère (S).

b. Le plan (P)est-il tangent à la sphère (S)?

4. On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q),noté C, a pour coordonnées (0 ; 2 ; −1).

a. Prouver que les plans (P)et (Q)sont sécants.

b. Soit (D)la droite d’intersection des plans (P)et (Q).

Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D)est : 12 5

4 3

x t

y t

z t

   

  

avec t .

c. Vérifier que le point A n’appartient pas à la droite (D).

d. On appelle (R)le plan défini par le point A et la droite (D). L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?

« Tout point du plan (R)est équidistant des points B et C ».

Justifier votre réponse.

1. 30. Classique, Centres étrangers 2009

5 points

On se propose dans cet exercice d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace. L'espace est rapporté à

un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , orthonormal. On considère les points A(3, 4, 0) ; B(0, 5, 0) et

C(0, 0, 5). On note I le milieu du segment [AB].

1. Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère ( ; , , )O i j k .

2. Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles. Quelle est la nature du triangle ABC ?

3. Soit H le point de coordonnées 15 45 45

, , 19 19 19

     

.

a. Démontrer que les points H, C, I sont alignés.

b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

4. Calculs d'aire et de volume.

a. Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.

b. Déterminer la distance du point O au plan (ABC).

c. Calculer l'aire du triangle ABC.

1. 31. Plans et droites, La Réunion 2009

5 points

Soient A(1 ; 2 ; 0), B(2 ; 2 ; 0), C(1 ; 3 ; 0) et D(1 ; 2 ; 1) quatre points de l’espace muni d’un repère

orthonormal ( ; , , )O i j k .

(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; (Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; (R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A.

1. Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne 1 0x y   .

On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne 2 0y z    et que le plan (R) a pour équation

cartésienne 1 0x z    .

2. a. Résoudre le système :

1 0

2 0

1 0

x y

y z

x z

            

.

b. En déduire que l’intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2 ; 3 ; 1).

c. Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD). En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).

3. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères ( ; , )O i j , ( ; , )O i k et

( ; , )O j k .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

a. Montrer que tout point M de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

b. Existe-t-il des points de l’espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ?

1. 32. Cube, Liban 2009,

4 points

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )A AB AD AE .

1. a. Déterminer les coordonnées des points I et J.

b. Vérifier que le vecteur DJ est un vecteur normal au

plan (BGI).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

d. Calculer la distance du point F au plan (BGI).

2. On note (  ) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

a. Donner une représentation paramétrique de la droite (  ).

b. Montrer que la droite (  ) passe par le centre K de la face ADHE.

c. Montrer que la droite (  ) et le plan (BGI) sont sécants

en un point, noté L, de coordonnées 2 1 5

; ; 3 6 6

     

.

d. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ?

JI

H G

D C

F E

BA

1. 33. Cube, Am du Nord 2009

5 points

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].

L’espace est rapporté au repère orthonormal

( ; , , )A AB AD AE .

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K dans ce repère.

2. Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.

3. a. Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).

c. Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).

4. Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G. Soit L le centre du carré DCGH.

a. Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].

b. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectés de coefficients que l’on précisera.

K

J

I

H G

D C

F E

BA

1. 34. Divers, Am. du Sud 11/2008

5 points

Une unité de longueur étant choisie dans l’espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD]. L’espace est muni du repère orthonormé  ; , ,A AB AI AE .

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH

est égal à 1

3 .

b. Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.

En exprimant V d’une autre façon, calculer la distance d du point G au plan (FIH).

3. Soit le vecteur n de coordonnées (2 ; 1 ; –1).

a. Montrer que le vecteur n est normal au plan (FIH).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).

I

H

GF

E

D

CB

A

c. Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan (FIH).

4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?

b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.

c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

Soit  la sphère de centre G passant par K. Quelle est la nature de l’intersection de  et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection).

1. 35. Orthog. alignement, Polynésie 2008

5 points

On donne la propriété suivante : « Par un point de l'espace, il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »

Sur la figure donnée ci-dessous, on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1.

On a placé :

les points I et J tels que 2

3 BI BC et

2

3 EJ EH ;

le milieu K de [IJ].

On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

K

J

I

a=0,667

E H

A D

G F

CB

PARTIE A

1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F. En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.

2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).

4. a. Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.

b. En déduire que les points F, P et K sont alignés.

PARTIE B

L'espace est rapporté au repère orthonormal  ; , ,A AB AD AE .

On appelle N le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note (x, y, 0) les coordonnées du point N.

1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.

2. a. Montrer que la droite (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).

b. Exprimer les produits scalaires .GN FI et .GN FJ en fonction de x et y.

c. Déterminer les coordonnées du point N.

3. Placer alors le point P sur la figure.

1. 36. Pythagore, N. Calédonie 11/2007

5 points

Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de ce tétraèdre.

1. a. Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC) ? Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC) ?

b. Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On peut démontrer de façon analogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis.

c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

2. L’espace est maintenant muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j k .

On considère les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par O et orthogonale au plan (ABC).

c. Démontrer que le plan (ABC) et la droite (d) se coupent en un point H de coordonnées

36 18 12 ; ;

49 49 49

     

.

3. a. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

b. Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l’aire du triangle ABC.

c. Vérifier que le carré de l’aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre.

1. 37. Volume tétraèdre 1

L'espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct (O, OI, OJ, OK) , on considère le cube de

sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est jointe sur la feuille annexe.

On note A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par : 2

KB KN. 3 

On appelle P le plan passant par les points O, A et B.

1. a.Préciser les coordonnées des points A et B.

b. Déterminer les coordonnées d’un vecteur u

orthogonal à OA et OB .

2. a.Montrer que l'aire du triangle OAB vaut 14

. 6

b. Le point 1

C 1 ; ;1 3

     

appartient-il à P ? Justifier votre réponse.

3. On considère le tétraèdre OABK.

a. Montrer que son volume vaut 1

9 .

b. En déduire la distance du point K au plan P.

N.B. : On rappelle que le volume d'un tétraèdre est le tiers du produit de l'aire d'une base par la longueur de la hauteur correspondante.

J

N M

R

L K

IO

u=90

1. 38. Volume+Barycentre, Pondicherry 2007

4 points

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère le plan P d’équation 2 2 4 0x y z    et les points A de coordonnées  3, 2, 6 , B de

coordonnées  1, 2, 4 et C de coordonnées  4, 2, 5 .

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.

b. Vérifier que ce plan est P.

2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

b. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite  passant par O et perpendiculaire au plan P.

c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK.

d. Calculer le volume du tétraèdre OABC.

3. On considère dans cette question le système de points pondérés         , 3 , , 1 , , 1 , , 1S O A B C .

a. Vérifier que ce système admet un barycentre qu’on notera G.

b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à  OI .

c. Déterminer la distance de G au plan P.

4. Soit  l’ensemble des points M de l’espace vérifiant 3 5MO MA MB MC    . Déterminer  .

Quelle est la nature de l’ensemble des points communs à P et  ?

1. 39. Distance point-droite, La Réunion sept. 2010

5 pts

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les plans Pet Qd’équations respectives : x + y + z = 0 et 2x + 3y + z − 4 = 0.

1. Montrer que l’intersection des plans Pet Qest la droite Ddont une représentation paramétrique est :

4 2

4

x t

y t

z t

     

 

t est un nombre réel.

2. Soit  un nombre réel.

On considère le plan P d’équation :     1 2 3 4 0x y z x y z         .

a. Vérifier que le vecteur  1 ;1 2 ;1n    est un vecteur normal du plan P .

b. Donner une valeur du nombre réel  pour laquelle les plans Pet P sont confondus.

c. Existe-t-il un nombre réel  pour lequel les plans Pet P sont perpendiculaires ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D’, intersection des plans Pet P–1.

Montrer que les droites Det D’ sont confondues.

4. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère le point A(1 ; 1 ; 1).

Déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite D.

1. 40. Distance point-plan, France, sept. 2010, 4 pts

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Soit (P) le plan d’équation 3x + y z – 1 = 0 et (D) la droite dont une représentation paramétrique est

1

2

2

x t

y t

z t

    

   

t désigne un nombre réel.

1. a. Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan (P) ? Justifier.

b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans le plan (P).

2. Soit (Q) le plan passant par le point C et orthogonal à la droite (D).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan (Q).

b. Calculer les coordonnées du point I, point d’intersection du plan (Q) et de la droite (D).

c. Montrer que 3CI  .

3. Soit t un nombre réel et Mt le point de la droite (D) de coordonnées (– t + 1 ; 2t ; – t + 2).

a. Vérifier que pour tout nombre réel t , 2 26 12 9tCM t t   .

b. Montrer que CI est la valeur minimale de CMt lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels.

1. 41. Distance, Polynésie 2008

4 points

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère les points A(1 ; 2 ; 3),

B(0 ; 1 ; 4), C(−1 ; −3 ; 2), D(4 ; −2 ; 5) et le vecteur  2 ; 1 ;1n  .

1. a. Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. Soit (  ) la droite dont une représentation paramétrique est :

2 2

1

4

x t

y t

z t

     

  

avec t .

Montrer que le point D appartient à la droite ( ) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).

3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.

1. 42. Distance dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal on considère le point ( 1 ;1 ; 3)A  et la droite D ayant

pour représentation paramétrique

1 2

2 ,

2 2

x t

y t t

z t

     

  

; le but de l’exercice est de calculer de deux

manières différentes la distance d du point A à la droite D.

1. Soit M un point de D, on pose 2( )f t AM ; calculer f(t) en fonction de t, déterminer le minimum de f

et en déduire d.

2. Soit P le plan passant par A et perpendiculaire à D :

a. déterminer un vecteur normal de P, donner une équation cartésienne de P, trouver un point M0 de D.

b. Calculer la distance Pd de M0 à P ainsi que 0AM . Exprimer d en fonction de Pd et 0AM , en déduire

d.

1. 43. Distance minimale, Polynésie sept 2006

5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Soit (P1) le plan d’équation cartésienne −2x + y + z − 6 = 0 et (P2) le plan d’équation cartésienne x − 2y + 4z − 9 = 0.

1. Montrer que (P1) et (P2) sont perpendiculaires. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non nul à l’un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l’autre.

2. Soit (D) la droite d’intersection de (P1) et (P2). Montrer qu’une représentation paramétrique de (D) est :

7 2

8 3 ,

x t

y t t

z t

       

 

.

3. Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coordonnées (−9 ; −4 ; −1).

a. Vérifier que A n’appartient ni à (P1), ni à (P2).

b. Exprimer AM2 en fonction de t .

c. Soit f la fonction définie sur par   22 2 3f t t t   .

Étudier les variations de f. Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale ? Dans la suite, on désignera ce point par I. Préciser les coordonnées du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.

a. Déterminer une équation de (Q).

b. Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome