Contrôle de sciences statistiques 8 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Contrôle de sciences statistiques 8 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Contrôle de sciences statistiques 8 - 3° partie - Géométrie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Plans et droites, Droites et plans de l’espace, Equidistance de trois points.
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1. 44. Distance point-droite, France 09/2005

5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. On considère le plan Ppassant par le point B(1 ; 2 ; 1) et de vecteur normal  2 ;1 ; 5n  et le plan R

d’équation cartésienne x + 2y − 7 = 0.

a. Démontrer que les plans Pet Rsont perpendiculaires.

b. Démontrer que l’intersection des plans Pet Rest la droite  passant par le point C(1 ; 4 ; 1) et de

vecteur directeur u (2 ; 1 ; 1).

c. Soit le point A(5 ; –2 ; –1).

Calculer la distance du point A au plan P, puis la distance du point A au plan R.

d. Déterminer la distance du point A à la droite  .

2. a. Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt de coordonnées (1 + 2t ; 3 − t ; t). Déterminer en fonction

de t la longueur AM. On note ( )t cette longueur. On définit ainsi une fonction  de dans .

b. Étudier le sens de variations de la fonction  sur ; préciser son minimum.

c. Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.

1. 45. Plans et droites, Antilles 2007

5 points

L’espace est rapporté au repère orthonormé ( ; , , )O i j k . On considère les points A(3 ; 0 ; 6) et I(0 ; 0 ;

6) ; on appelle (D) la droite passant par A et I .

On appelle (P) le plan d’équation 2 6 0y z   et (Q) le plan d’équation 2 12 0y z   .

1. Démontrer que (P) et (Q) sont perpendiculaires.

2. Démontrer que l’intersection des plans (P) et (Q) est la droite (D).

3. Démontrer que (P) et (Q) coupent l’axe  ;O j et déterminer les coordonnées des points B et C,

intersections respectives de (P) et (Q) avec l’axe  ;O j .

4. Démontrer qu’une équation du plan (T) passant par B et de vecteur normal AC est

4 2 12 0x y z    .

5. Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan (T) sont sécants en un point H dont on déterminera les coordonnées.

6. Que représente le point H pour le triangle ABC ? Justifier.

(D)

(Q)

(P)O B

x

z

y

I

C

A

1. 46. Droites et plans de l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . On appelle P le plan d’équation 2 5 0x y  

et P’ celui d’équation 3 0x y z   .

1. Montrer que P et P’ sont sécants suivant une droite D dont une représentation paramétrique est

5 2

5 5

x t

y t

z t

   

  

t est un réel quelconque.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :

* D est parallèle au plan R d’équation 5 5 0x y z    .

* Soit D’ la droite de représentation paramétrique

3

1

2 2

x u

y u

z u

    

  

u est un réel quelconque. Les droites D

et D’ sont coplanaires.

1. 47. Plans de l’espace, bac S, 1997

Soit ( , , , )O OA OB OC un repère orthonormal direct de l'espace.

1. Soit G l'isobarycentre de A, B, C. Donner les coordonnées de G et montrer que la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC).

2. On considère les points '(2;0 ;0)A , '(0 ;2;0)B , '(0 ;0 ;3)C .

a. Montrer que le vecteur

3

3

2

n

         

est orthogonal au plan (A'B'C').

b. En déduire une équation cartésienne du plan (A'B'C').

c. Donner un système d'équations paramétriques de la droite (AC).

d. Déterminer les coordonnées du point K commun à la droite (AC) et au plan (A'B'C').

3. a. Vérifier que le point L commun à la droite (BC) et au plan (A'B'C') a pour coordonnées (0 ;4; 3)L  .

b. Montrer que les droites (AB), (A'B'), (KL) sont parallèles.

c. Caractériser l'intersection des plans (ABC) et (A'B'C') à l'aide de points déjà définis .

4. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de O sur le plan (A'B'C').

1. 48. Equidistance de trois points, France sept 2006

6 points

On considère dans l’espace un cube de 3 cm de côté, noté ABCDEFGH et représenté ci-dessous.

G

F

H

E

B

C

D

A

Soit I le barycentre des points pondérés (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et K celui de (G ; 2) et (C ; 1).

On veut déterminer l’ensemble des points M équidistants de I, J et K. On note  cet ensemble.

1. Placer les points I, J et K sur la figure de l’annexe qui sera rendue avec la copie.

2. Soit  le point de  situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK ?

Pour la suite de l’exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal 1 1 1

; , , 3 3 3

A AD AB AE      

.

3. Donner les coordonnées des points I, J et K.

4. Soit P(2 ; 0 ; 0) et Q(1 ; 3 ; 3) deux points que l’on placera sur la figure. Démontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK).

5. Soit M un point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z).

a. Démontrer que M appartient à  si, et seulement si, le triplet (x ; y ; z) est solution d’un système de deux équations linéaires que l’on écrira. Quelle est la nature de  ?

b. Vérifier que P et Q appartiennent à  . Tracer  sur la figure.

6. a. Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan.

b. Déterminer alors les coordonnées exactes de  .

1. 49. Barycentres+droite, C. étrangers 2006

5 points

ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté ici.

L’espace est rapporté au repère orthonormal

 ; , ,A AB AD AE . Partie A : un triangle et son centre de gravité

1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.

a. Calculer les coordonnées de I.

b. Démontrer que 1

3 AI AG . Que peut-on en déduire

pour les points A, I, G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan

H G

D C

F E

BA

(BDE).

Partie B : une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux points Mk et Nk, ainsi qu’un plan Pk de la façon suivante :

* Mk est le point de la droite (AG) tel que kAM k AG ;

*Pk est le plan passant par Mk et parallèle au plan (BDE) ;

* Nk est le point d’intersection du plan Pk et de la droite (BC).

1. Identifier 1 3

P , 1 3

M , et 1 3

N en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance 1 1 3 3

M N .

2. Calcul des coordonnées de Nk.

a. Calculer les coordonnées de Mk dans le repère  ; , ,A AB AD AE .

b. Déterminer une équation du plan Pk dans ce repère.

c. En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1 ; 3k −1 ; 0).

3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk) est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distance MkNk est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan 1 2

P . Tracer la droite 1 1 2 2

M N        

sur la même figure.

1. 50. Barycentre espace, N. Calédonie 2004

On considère Ie cube ABCDEFGH ci-contre.

O1 et O2 sont Ies centres des carrés ABCD et EFGH, et I est Ie centre de gravité du triangle EBD.

Soit m un nombre réel et Gm le barycentre du système de points pondérés : {(E ; 1), (B ; 1 − m), (G ; 2m − 1), (D ; 1 − m)}.

Partie A

1. Justifier l’existence du point Gm.

2. Préciser la position du point G1.

3. Vérifier que G0 = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés.

E H

A D

G

F

C B

4. Démontrer que 2mAG mAO . En déduire l’ensemble des points Gm lorsque m parcourt l’ensemble

des nombres réels.

5. a. Vérifier que les points A, Gm , E et O1, sont coplanaires.

b. Déterminer la valeur de m pour laquelle Gm se trouve sur la droite (EI).

Partie B

Dans cette question, l’espace est rapporté au repère orthonormal  ; , ,A AB AD AE .

1. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EBD). En déduire une équation cartésienne du plan ABD.

2. Déterminer les coordonnées du point Gm.

3. Pour quelles valeurs de m, la distance de Gm au plan (EBD) est-elle égale à 3

3 ?

1. 51. Barycentre espace, France 2001

Soient trois points de l’espace A, B et C non alignés et k un réel de l’intervalle [−1 ; 1]. On note Gk le

barycentre du système 2{( , 1), ( , ), ( , )}A k B k C k  .

1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G−1.

2. a. Montrer que pour tout réel k de [−1 ; 1], on a l’égalité : 2 1

k

k AG BC

k

  

.

b. Etablir le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1 ; 1] par 2

( ) 1

x f x

x  

 .

c. En déduire l’ensemble des points Gk quand k décrit l’intervalle [−1 ; 1].

3. Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que

2 2MA MB MC MA MB MC     .

4. Déterminer l’ensemble F des points M de l’espace tels que

2 2MA MB MC MA MB MC     .

5. L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . Les points A, B et C ont pour coordonnées

respectives (0 ; 0 ; 2), (−1 ; 2 ; 1) et (−1 ; 2 ; 5). Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme ci- dessus.

a. Calculer les coordonnées de G1 et G−1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.

b. Calculer le rayon du cercle  , intersection de E et F.

1. 52. Tétraèdre orthocentrique, La Réunion 2005

4 points

On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.

Partie A

On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k on donne les points

A(3 ; 2 ; 1), B(6 ; 1 ; 1), C(4 ;3 ; 3) et D(1 ; 5 ; 1).

1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : 2x −3y +4z −13 = 0.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

c. Calculer le produit scalaire .BH CD .

d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?

2. On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0; 1; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?

1. 53. Aires et volumes

Soit ABCD un tétraèdre tel que (AB) et (CD) soient orthogonales et BC = BD.

A

B

C

D

A'

On note A’ le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ACD

Partie A

1. a. Démontrer que (CD) est perpendiculaire au plan (ABA’).

b. Que représente (BA’) dans le triangle BCD ? Que peut-on en déduire pour A’ ?

c. En déduire la nature du triangle ACD et du plan (ABA’).

2. Démontrer que :  CD. CA DB 0  . 3. Soit G le barycentre du système de points pondérés {(A ; −1) ; (B ; 2) ; (C ; 1) ; (D ; 1)}.

Démontrer que G appartient au plan (ABA’) et préciser les coordonnées du point G dans le repère

(A' ; A'B A'A), .

Caractériser l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que :

   MA+ 2MB+ MC+ MD 2MB MC MDk    , k . Caractériser l’ensemble (F) des points M de l’espace tels que :

2 MA 2MB MC MD 3 2MB MC MD       .

Partie B

Soit (O ; , , )i j k un repère orthonormal de l’espace (unité graphique : 1 cm).

On donne les points : A(1 ; 3 ; −2), B(1 ; 1 ; 0), C(4 ; 0 ; −2) et D(2 ;  ; 2).

1. a. Déterminer le réel  pour que le tétraèdre ABCD vérifie les données de l’exercice.

b. Déterminer les coordonnées de A’ milieu de [CD].

2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABA’).

3. Déterminer la distance du point C au plan (ABA’).

4. a. Calculer la valeur de cosABA' et en déduire la valeur de sin ABA' .

b. En déduire l’aire du triangle ABA’.

5. Calculer le volume du tétraèdre AA’BC et en déduire le volume du tétraèdre ABCD.

6. a. Déterminer les coordonnées du point G (Partie A. 3.)

b. Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble (F). (Partie A 3. c.)

1. 54. Nombres complexes et produit scalaire.

Données :

OAB est un triangle quelconque direct, dans le plan orienté. OBCU et ONPA sont des carrés construits extérieurement au triangle OAB. OUGN est un parallélogramme.

But de l’exercice :

Démontrer , en utilisant plusieurs méthodes, que le triangle CGP est rectangle isocèle en G.

G

U

C

B

PN

O A

Méthode 1 : Avec les nombres complexes :

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, quelconque, (inutile de le tracer) et on note a, b, c, p, u, g et n les affixes respectives des points A, B, C, P, U, G, et N.

a. Calculez c, p, u, g et n en fonction de a et b.

b. Concluez en utilisant ces calculs.

Méthode 2 : Avec le produit scalaire

a. Démontrez que GC NO OB  et GP UO OA  .

En déduire que les droites (GP) et (GC) sont orthogonales (on utilisera une des définitions du produitscalaire).

b. Montrez que GC = GP en utilisant la relation d’Al -Kashi dans deux triangles bien choisis. Concluez.

Méthode 3 : Avec les outils d’un élève de Seconde .

Faites cette démonstration en utilisant des triangles isométriques ainsi que des considérations élémentaires sur les angles.

1. 55. Lignes de niveau

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = a et AC = 2a.

I désigne le milieu de [AC] et G est le barycentre du système {(A ; 3) ; (B ; 2) ; (C ; 1)}.

1. Construire le point G et préciser la nature du quadrilatère ABIG. Exprimer en fonction de a les distances GA, GB et GC.

2. À tout point M du plan, on associe le nombre réel :

f(M) = 3MA2  2MB2 + MC2.

a. Exprimer f (M) en fonction de MG et de a.

b. Déterminer et construire l'ensemble ( ) des points M du plan tels que : f (M) = 2a2.

3. À tout point M du plan, on associe maintenant le nombre réel :

h(M) = 3MA2  2MB2  MC2.

a. Démontrer qu'il existe un vecteur U 

non nul tel que : h(M) = MB.U − 2a2.

b. On désigne par (  ) l'ensemble des points M du plan tels que : h(M) = 2a2.

Vérifier que les points I et B appartiennent à (  ), préciser la nature de cet ensemble. Construire (  ).

4. (  ) et ( ) sont sécants en deux points E et F. Montrer que les triangles GEC et GFC sont équilatéraux.

1. 56. Conique - hors programme

On considère deux points distincts donnés F et F' du plan orienté. On note O le milieu de [FF'] et  la

médiatrice de ce segment. On pose c = OF. On note A et B les points de  tels que OA = OB = c.

On note s la symétrie centrale de centre F et r la rotation de centre F et d'angle dont une mesure est 2

 .

Soit D et D' les droites symétriques de D par rapport à F et F'.

Ces différents éléments sont placés sur la figure ci-dessous. Il convient de reproduire cette figure sur la copie.

1. a. On considère les points P = r (A) et Q = s (A). Prouver que r (Q) = B.

Déterminer la nature du quadrilatère APQB et tracer ce quadrilatère sur la figure.

b. Déterminer les images respectives du segment [AB] par s, par r et par r o s.

c. À tout point N du segment [AB], on associe les points H = s(N), I = r (N) et J=r(H)=(r o s) (N).

Déterminer la nature du quadrilatère NIHJ et tracer ce quadrilatère sur la figure.

2. On note  le cercle de centre N et de rayon NI.

a. Montrer que, pour tout point M du plan, MH2 + MN2 = 2(MF2 + NF2).

b. En déduire que  est l'ensemble des points M du plan vérifiant MH2  2MF2 = 0.

3. On note K la projection orthogonale de H sur  et on pose  = ON où 0    c.

Exprimer NK en fonction de , puis NF et NI en fonction de  et de c. En déduire que le cercle  coupe la droite (HK) en deux points M1 et M2 distincts ou confondus.

4. Prouver que 1

1

M F 1 .

M H 2 

En déduire que lorsque N parcourt le segment [AB], les points M1 et M2 appartiennent à une ellipse E dont F est un foyer et dont on précisera l'excentricité et la directrice associée à F.

Placer les sommets de E et tracer cette ellipse.

1. 57. Projection d’un cercle dans l’espace - hors prog.

Sur la figure ci-après, ABCD est un tétraèdre régulier :

AB = AC = AD = BC = CD = DB = d, où d est un réel strictement positif.

On nomme I le milieu de [BC] et A´ le centre de gravité du triangle BCD. La droite (AA´) est alors orthogonale au plan (BCD) (propriété admise).

On désire tracer l'image du cercle circonscrit au triangle ABC par la projection orthogonale sur le plan (BCD).

1. On désigne par (C) le cercle circonscrit au triangle ABC.

a. En se plaçant dans le plan (ABC), représenter en vraie grandeur le triangle ABC et le cercle (C) (on

prendra pour cette figure : d = 8 cm). On nomme  le centre du cercle (C).

b. Exprimer le rayon R de (C) en fonction de la distance d.

c. On nomme E le point défini par : 4

3 AE AI . Démontrer que [AE] est un diamètre de (C).

2. On désigne par p la projection orthogonale sur le plan (BCD). On nomme ´ et E´ les images

respectives de  et E par p.

a. En se plaçant dans le plan (BCD), représenter en vraie grandeur le triangle BCD (d = 8 cm).

Préciser les images par p des points A, B, C et I.

b. Démontrer que 1

' ' 3

I IA  uuur uur

et que ´ est le milieu de [E’A’].

c. On nomme F et G les extrémités du diamètre de (C) parallèle à (BC).

On désigne respectivement par F´ et G´ leurs images par p.

Montrer que la droite (F´G´) est parallèle à (BC) et que F´G´ = FG.

3. L'image du cercle (C) par la projection p est une courbe  contenant les points A’, E’, F’ et G’.

a. Quelle est la nature de la courbe ?

b. Tracer  sur la figure 2 (on précisera les tangentes à  aux points A´, E´, F´ et G´).

1. 58. Inversion

Soit S un point du plan et (C) le cercle de centre S de rayon a ; on considère la transformation f suivante qui à tout point M du plan associe M‘ tel que :

M'

T

M

S

* si M est un point du plan extérieur à (C) alors M’ est la projection orthogonale du point de contact T de la tangente à (C) issue de M sur la droite (SM) ,

* si M est à l’intérieur de (C), T est l’intersection entre la perpendiculaire à (SM) passant par M et (C) et M’ est l’intersection entre la tangente à (C) passant par T et (SM).

1. Vérifier que f est une involution : f f Id ; quelle est la réciproque de f ?

2. On prend S à l’origine du plan et a quelconque. Déterminer l’écriture complexe de f.

3. Déterminer l’image d’une droite par f : deux cas suivant qu’elle passe par S ou pas.

4. Image d’un cercle par S : deux cas : de centre S ou pas.

1. 59. Courbe paramétrée - hors programme

Le plan est muni d’un repère orthonormal  , ,O i j (unité graphique 3 cm). Soit C la courbe dont une représentation paramétrique est :

cos ( )

2 cos

sin ( )

2 cos

x

y

 

 

  

    

1. a. Comparer les points M de paramètres  et  . Quelle conclusion peut on en tirer pour C ?

Expliquer alors comment on peut obtenir C à partir de la construction de C1 correspondant à  0,  .

b. Etudier les variations des fonctions x et y sur  0, . En déduire que C admet une tangente en chacun de ses points. Préciser les points de C1 où la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées.

c. Préciser les points d’intersection de C1 avec l’axe vertical et donner une équation cartésienne de la tangente en ce point.

d. Tracer la courbe C en faisant apparaitre les éléments précédents.

2. M désignant le point de paramètre  , exprimer en fonction de  la distance OM et la distance de

M à la droite d’équation x = 1. En déduire que M appartient à une conique E dont on précisera le

foyer, la directrice et l’excentricité. Préciser son centre, ses sommets, ses axes de symétrie. Donner une

équation cartésienne de E dans le repère  ; ,O i j .

1. 60. Le théorème de Napoléon 1

G''

G'

G

l

i

k

C'

B'

A'

u=60

C

BA

Le théorème de Napoléon (déjà connu à son époque …)

On se place dans le plan complexe avec A(0), B(1) et C(u) ; on construit sur chaque côté du triangle ABC un triangle équilatéral à l’extérieur : donner les affixes des points A’, B’ et C’.

Soient G, G’ et G’’ les centres de gravité des triangles BCA’, ACB’ et ABC’. Montrer que GGG’’ est un triangle équilatéral.

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