Contrôle - sciences mathématique 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Contrôle de sciences mathématique 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle, la courbe représentative d’une fonction, le repère orthonormal.
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Baccalauréat

Terminale S septembre 2007

Polynésie

1. Exercice 1

7 points

On désigne par (E) l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle  0 ; 1 et vérifiant les conditions P1, P2 et P3 suivantes :

P1 : f est strictement croissante sur l’intervalle  0 ; 1 .

P2 :  0 0f  et  1 1f  .

P3 : Pour tout réel x de l’intervalle  0 ; 1 ,  f x x .

Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j du plan, on note (C) la courbe représentative d’une fonction f de

l’ensemble (E) et (D) la droite d’équation y x .

A toute fonction f de (E) on associe le nombre réel   1

0 fI x f x dx    .

1. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l’élimination des deux autres.

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Courbe n°1 Courbe n°2 Courbe n°3

b. Montrer que, pour toute fonction f de (E), 0fI  .

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle  0 ; 1 par   2 1xh x   (on rappelle que pour tout réel x, ln 22x xe ).

a. Montrer que la fonction h vérifie les conditions P1 et P2.

b. Soit  la fonction définie sur l’intervalle  0 ; 1 par   2 1xx x    .

Montrer que, pour tout x de  0 ; 1 ,   0x  (on pourra étudier les variations de  sur  0 ; 1 ). En déduire que la fonction h appartient à l’ensemble (E).

c. Montrer que le réel hI associé à la fonction h est égal à 3 1

2 ln 2  .

3. Soit P une fonction définie sur l’intervalle  0 ; 1 par   2P x ax bx c   où a, b et c sont trois

nombres réels avec 0 1a  . On se propose de déterminer les valeurs des réels a, b et c pour que la

fonction P appartienne à l’ensemble (E) et que P hI I .

a. Montrer que la fonction P vérifie la propriété P2 si et seulement si, pour tout réel de l’intervalle  0 ; 1 ,

   2 1P x ax a x   .

Montrer que toute fonction P définie sur  0 ; 1 par    2 1P x ax a x   avec 0 1a  appartient à (E).

b. Exprimer en fonction de a le réel PI associé à la fonction P.

c. Montrer qu’il existe une valeur du réel a pour laquelle P hI I . Quelle est cette valeur ?

2. Exercice 2

4 points

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 3.

On choisit le repère orthonormal ( ; , , )D i j k tel que 1

3 i DA ,

1

3 j DC ,

1

3 k DH .

E H

A D

G

F

C B

1. a. Donner les coordonnées des points A, C, E.

b. Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système {(C, 2) ; (E, 1)}.

c. Déterminer les coordonnées des vecteurs AE et DL .

2. Soit  ,a b un couple de réels. On note M le point de la droite  AE tel que AM aAE et N le point

de la droite  DL tel que DN bDL .

a. Montrer que le vecteur MN est orthogonal aux vecteurs AE et DL si et seulement si le couple  ,a b

vérifie le système 2 1

3 0

a b

a b

     

.

b. En déduire qu’il existe un seul point 0M de  AE et un seul point 0N de  DL tels que la droite

 0 0M N est orthogonale aux droites  AE et  DL .

c. Déterminer les coordonnées des points 0M et 0N puis calculer la distance 0 0M N .

3. Exercice 3

4 points

La végétation d’un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40 % de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.

On admet qu’au début de chaque année :

- chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

- chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

- chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.

La probabilité qu’une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type B est 0,3.

La probabilité qu’une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type A est 0,3.

Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.

Pour tout entier naturel n non nul, on note :

- An l’événement « la plante choisie la n-ième année est de type A »,

- Bn l’événement « la plante choisie la n-ième année est de type B »,

- Cn l’événement « la plante choisie la n-ième année est de type C ».

On désigne par pn, qn et rn les probabilités respectives des vénements An, Bn et Cn. Compte tenu de la

composition initiale de la végétation (année 0), on pose 0 0,40p  , 0 0,41q  et 0 0,19r  .

1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d’interro-gation par la probabilité correspondante. Aucune justification n’est demandée pour cette question.

2. a. Montrer que 1 0,363p  puis calculer 1q et

1r .

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non

nul : 1

1

0,6 0,3

0,3 0,6

n n n

n n n

p p q

q p q

  

  .

3. On définit les suites (Sn) et (Dn) sur par :

n n nS p q  et n n nD p q  .

a. Montrer que (Sn) est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que (Dn) est une suite géométrique de raison 0,3.

b. Déterminer les limites des suites (Sn) et (Dn).

c. En déduire les limites des suites (pn), (qn) et (rn).

Interpréter le résultat.

Début de l'année 1

Début de l'année 0

?

C

?

C

?

B

? A

?

C

?

B

?

C

?

B

? A

?

A

4. Exercice 4 (spécialistes)

5 points

Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies ci-dessous.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On considère un triangle OAB

et une similitude directe  de centre O, de rapport  et d’angle  .

Soit :

- les points A’ et B’ images respectives des points A et B par la similitude  ;

- les points I, milieu du segment [AB] et J, milieu du segment [AB’] ;

- le point M milieu du segment [AA’] ;

- le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB) et le point H’ image du point H par  .

Partie A : Etude d’un exemple

Dans cette partie, le point A a pour affixe 6 4i  , le point B a pour affixe 2 4i , et le point H a donc

pour affixe 4i .

La similitude  est la similitude directe de centre O, de rapport 1

2 et d’angle

2

 .

1. Déterminer les affixes des points A’, B’ et H’.

2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH’).

A B

y

H

v

u xO

Partie B : Etude du cas général

1. a. Montrer que H’ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (AB’).

b. Montrer que 1

2 MI AB . On admet que

1 ' '

2 MJ A B .

c. En déduire que 'MJ OH

MI OH  et que    , , ' 2 ,MI MJ OH OH k k    .

2. On appelle s la similitude directe qui transforme M en O et I en H. On note K l’image du point J par la similitude s.

a. Montrer que 'OK OH , puis que  , ' 0 2 ,OK OH k k    . b. En déduire que le point H’ est l’image du point J par la similitude s.

3. Montrer que    , ' , 2 ,IJ HH MI OH k k    . Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH’).

M

J

I H'

H

B'

A'

BA

O

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