Contrôle - sciences mathématique  11, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 11, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 11 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction définie, l'arbre de probabilités..
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Terminale S

Terminale S juin 2010

La Réunion

1. Exercice 1 (6 points)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par    1 ln 1f x x   . On note Cf sa courbe

représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . On note Dla droite d’équation y = x.

Partie A

1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f.

b. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

2. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par    g x f x x  .

a. Déterminer   1

lim x

g x 

.

b. Déterminer  ln 1

lim 1x

x

x

 . En déduire  lim

x g x

 .

c. Étudier le sens de variation de la fonction g puis dresser le tableau de variations de la fonction g.

d. Montrer que sur l’intervalle  1 ;  l’équation   0g x  admet exactement deux solutions  et  , avec  négative et  appartenant à l’intervalle [2 ; 3].

e. À l’aide des questions précédentes, déterminer le signe de g(x). En déduire la position relative de la courbe Cf et de la droite D.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (un) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : u0 = 2 et  1n nu f u  .

1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 2 nu   .

2. La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

2. Exercice 2 (4 points)

Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Partie I

On dispose d’un dé cubique Aparfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.

1. Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient noires.

2. Soit l’évènement C : « à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 7

18 .

3. Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes.

4. À l’issue d’un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?

Partie II

On dispose d’un second dé cubique Béquilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B puis

- si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé Bet on note la couleur de la face obtenue ;

- si la face obtenue est noire, on lance le dé Aet on note la couleur de la face obtenue.

1. a. Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation.

b. Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l’on a obtenu une face verte au premier lancer ?

2. Montrer que la probabilité d’obtenir deux faces vertes est égale à 4

9 .

3. Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer ?

3. Exercice 3 (5 points)

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On cherche à déterminer l’ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l’intervalle  0 ;  ,

vérifiant la condition (E) : pour tout nombre réel x strictement positif,     2 2' xxf x f x x e  .

1. Montrer que si une fonction f, définie et dérivable sur l’intervalle  0 ;  , vérifie la condition (E),

alors la fonction g définie sur l’intervalle  0 ;  par    f x

g x x

 vérifie : pour tout nombre réel x

strictement positif,   2' xg x e .

2. En déduire l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’intervalle  0 ;  qui vérifient la condition (E).

3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l’intervalle  0 ;  qui vérifie la condition (E) et qui

s’annule en 1

2 ?

Partie B

On considère la fonction h définie sur l’intervalle  0 ;  par   2 1

2 2

x eh x xe x  . On désigne par C sa

courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif x, le signe de h(x).

2. a. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale

1

22

0

xxe dx et en déduire   1

2

0

h x dx .

b. En déduire, en unité d’aire, la valeur exacte de l’aire de la partie du plan située en dessous de l’axe des abscisses et au dessus de la courbe C.

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

Partie I : Restitution organisée de connaissances

Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives a, b, c. On suppose que A et B sont distincts,

ainsi que A et C. On rappelle que     ; arg mod 2u AB b a   .

Montrer que    ; arg mod 2 c a

AB AC b a

  

    

.

Partie II

On considère le point A d’affixe 1 i .

On associe, à tout point M du plan d’affixe z non nulle, le point M’ d’affixe 1

' z i

z z

   .

Le point M’ est appelé le point image du point M.

1. a. Déterminer, sous forme algébrique, l’affixe du point B’, image du point B d’affixe i.

b. Montrer que, pour tout point M du plan d’affixe z non nulle, l’affixe z’ du point M’ est telle que ' 1z  .

2. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M’ est

telle que ' 1z  .

3. Quel est l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M’ est un nombre réel ?

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

Partie I : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

Prérequis : on rappelle que l’écriture complexe d’une similitude directe du plan est de la forme

'z z   où  est un nombre complexe non nul et  est un nombre complexe.

Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d’une part que les points A et C sont distincts et d’autre part que les points B et D sont distincts.

Démontrer qu’il existe une unique similitude directe s telle que s(A) = B et s(C) = D.

Partie II

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  ; ,A AB AD . On considère le point C tel que ABCD est un carré.

Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que    ; mod 2 2

ED EF

 .

1. a. Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l’exercice.

b. Préciser les nombres complexes a, b, c, d, e, f , g , affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G.

c. Montrer qu’il existe une unique similitude directe s du plan telle que s(D) = F et s(B) = D.

2. On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s.

a. Déterminer le rapport k et l’angle  de la similitude directe s.

b. Donner l’écriture complexe de cette similitude.

c. Déterminer, le centre - de la similitude directe s.

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