Contrôle - sciences mathématique  17, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 17, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 17 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Distance point-droite, l’axe des abscisses, les droites d’équation.
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Terminale S

Terminale S septembre 2010

La Réunion

1. Distance point-droite, La Réunion sept. 2010, 5pts

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les plans Pet Qd’équations respectives : x + y + z = 0 et 2x + 3y + z − 4 = 0.

1. Montrer que l’intersection des plans Pet Qest la droite Ddont une représentation paramétrique est :

4 2

4

x t

y t

z t

     

 

t est un nombre réel.

2. Soit  un nombre réel.

On considère le plan P d’équation :     1 2 3 4 0x y z x y z         .

a. Vérifier que le vecteur  1 ;1 2 ;1n    est un vecteur normal du plan P .

b. Donner une valeur du nombre réel  pour laquelle les plans Pet P sont confondus.

c. Existe-t-il un nombre réel  pour lequel les plans Pet P sont perpendiculaires ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D’, intersection des plans Pet P–1.

Montrer que les droites Det D’ sont confondues.

4. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère le point A(1 ; 1 ; 1).

Déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite D.

Correction

1.  

4 2 0

, , 2 3 4 2 2 3 4 4 2 3 4 0

x y t x y t x t x y z

M x y z P Q x y t y t y t y t x y z

z t z t z t

                

                             

.

Ce sont bien les équations paramétriques d’une droite Dcontenant le point (–4 ; 4 ; 0) en posant t=0, et de vecteur directeur (–2 ; 1 ; 1).

2. a. On développe et on regroupe suivant les variables :

          

   

1 2 3 4 0 1 2 1 3 1 4 0

1 1 2 4 0,

x y z x y z x y z

x y z

        

  

                  

      

dont un vecteur normal est  1 ;1 2 ;1n    .

b. Les plans Pet P sont confondus si et seulement si les coefficients de leurs équations sont

proportionnels, soit : 1 1 2 1

1 1 1

     , ce qui conduit à 0  .

c. Un vecteur normal au plan Pest  1 ; 1 ; 1p  . P et P sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux

sont orthogonaux, soit . 0 1 1 2 1 0 1n p             .

3. Le plan P−1 d’équation −y +z +4 = 0 est perpendiculaire au plan P.

Comme à la question 1. il faut résoudre le système :

4 2 0

4 4 4 0

x y t x t x y z

y t y t y z

z t z t

           

               

, ce qui

redonne D.

4. Soit H et K les projeté orthogonaux de A respectivement sur Pet P−1 ; soit I le projeté orthogonal de A sur D. Les points A, H, K et I sont coplanaires : ils appartiennent au plan perpendiculaire à Pet P−1 contenant A. (AH) et (AK) perpendiculaires à deux plans perpendiculaires sont perpendiculaires.

Le quadrilatère AHIK est donc un rectangle.

On a   2 2 2

1 1 1 3 , P 3

31 1 1 d A AH

     

  et  1

2 2 2

1 1 4 4 , P 2 2

20 1 1 d A AK

      

  . D’après le

théorème de Pythagore :  2 2 2 3 8 11 ,D 11AI AH AK d A       .

Autre méthode : Soit M un point de D,

                2 2 2 2 2 2 2

... 4 2 1 4 1 1 5 2 3 1M AAM x x t t t t t t f t                    .

Dérivons :        4 5 2 2 3 2 1 12 24

' ... ...

t t t t f t

          s’annule pour t=–2 ; la distance est minimale

pour  0 ; 2 ; 2M  et vaut  2 11f   .

2. Exercice 2 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Dans une fête foraine, Luc décide de participer à un jeu qui se déroule de la manière suivante :

Luc tire au hasard un jeton dans une urne contenant quatre jetons rouges et deux jetons bleus.

• Si le jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s’arrête ; sinon, sans remettre dans l’urne le premier jeton tiré, il tire au hasard un deuxième jeton dans l’urne.

• Si le deuxième jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s’arrête ; sinon, sans remettre dans l’urne les deux jetons précédents, il tire au hasard un troisième jeton dans l’urne.

• Si le troisième jeton est bleu, Luc gagne et le jeu s’arrête ; sinon, le jeu s’arrête et Luc a perdu.

1. La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l’issue du deuxième tirage est :

19

15

2

5

11

15

4

15

2. La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l’issue du troisième tirage est :

1

5

1

2

2

15

1

9

3. La probabilité que Luc gagne à ce jeu après avoir effectué au moins deux tirages est :

3

5

4

15

7

15

1

3

4. La probabilité que Luc gagne à ce jeu, sachant qu’il a obtenu un jeton rouge au premier tirage est :

7

10

7

15 f

11

15

5

9

3. Exercice 3 (6 points)

Pour tout nombre réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur l’intervalle  0 ; par

    2ln 1kf x x kx   .

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonction fk en 0.

2. On rappelle que ln

lim 0 x

x

x  . Démontrer que

2

ln lim 0

x

x

x  . En déduire la limite de la fonction fk en

 .

3. Montrer que, pour tout nombre réel x strictement positif,   21 2

k

kx f x

x

   .

4. Pour un nombre réel k strictement positif on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction fk.

x 0 1

2k 

 f x

 1 ln 2 2

k

Justifier les renseignements sur les variations de la fonction fk figurant dans ce tableau.

5. On a tracé ci-dessous la courbe Ck représentative d’une fonction fk pour une certaine valeur du nombre

réel k strictement positif. Le point 1

1 ; 2

A      

appartient à la courbe Ck.

Quelle est la valeur du nombre réel k correspondant ? Justifier la démarche.

Partie B

Dans cette partie on pose 1

2 k  .

1. Calculer   1

1

2

ln x dx . On pourra utiliser une intégration par parties.

2. Calculer, en unité d’aire, la mesure de l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la

fonction 1/ 2f , l’axe des abscisses et les droites d’équation 1

2 x  et x = 1.

Correction

    2ln 1kf x x kx   .

Partie A

1. En 0 ln tend vers  donc kf également.

2. 2

ln 1 ln lim lim 0 0 0

x x

x x

x xx      . En mettant 2x en facteur, on a  

 2 2 2

ln 1 k

x f x x k

x x

       

: en

 l’intérieur de la parenthèse tend vers –k ; 2x tend vers  ; kf tend donc vers  .

3.   21 1 2

2k kx

f x kx x x

     .

4.

x 0 1

2k 

 f x

 1 ln 2

2

k

    2 1 2 1 21 2

0 0k

x k x kkx f x

x x

       ; seul le terme 1 2x k change de signe en 1 / 2k ,

positif avant, négatif après. En 0 la fonction n’est pas définie à cause de ln.

5. On doit avoir     1 1 1

1 ln 1 1 2 2 2

kf k k       .

Partie B

1. On pose ' 1

ln

u

v x

 d’où 1

'

u x

v x

 , soit

    1 1

1

1 11/ 2

2 2

1 1 1 1 1 1 ln ln 0 ln 1 ln 2

2 2 2 2 2 x dx x x x dx

x

          

   .

2.   11

3 1/ 21

1/ 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ln 2 ln 2 1 ln 2 0,2

2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 8 2 2 48 f x dx x x

                 

  .

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Unité graphique : 4 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle

que   2

' 1 2

z i z   .

1. Montrer que la transformation f est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle.

2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n,  1n nM f M  .On note zn l’affixe du point Mn.

a. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n,

3

4

i n

nz e

 .

b. Construire les points M0, M1, M2, M3 et M4.

c. Montrer que pour tout nombre entier naturel n, les points Mn et Mn+8 sont confondus.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Prouver que les triangles M0M1M2 et M7M0M1 ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle

que   2

' 1 4

z i z   .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f.

2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n,  1n nM f M  .On note zn l’affixe du point Mn.

a. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n,

3

4 1

2

i n

n n z e

 .

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points Mn et Mp sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

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