Contrôle - sciences mathématique 2 - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 2 - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (749.3 KB)
21 pages
384Numéro de visites
Description
Contrôle de sciences mathématique 2 - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le projeté orthogonal, le repère orthonormal, la courbe.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 21
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

ANNALES BAC 2008

ANNALES BAC 2008 1 1. 1. Polynésie 09/2008 1 1. 2. France et La Réunion 09/2008 4 1. 3. Antilles 09/2008 7 1. 4. Nouvelle-Calédonie 11/2008 11 1. 5. Amérique du Sud 11/2008 16 1. 6. Pondicherry 06/2008 19 1. 7. Amérique du Nord 06/2008 28 1. 8. Antilles – Guyane 06/2008 37 1. 9. Asie 06/2008 39 1. 10. Centres étrangers 06/2008 42 1. 11. La Réunion 06/2008 45 1. 12. Liban 06/2008 47 1. 13. France 06/2008 50 1. 14. Polynésie 06/2008 53 1. 15. Nouvelle Calédonie 03/2008 56

Les exercices de spécialité, corrigés ou pas sont dans les fichiers d’exercices correspondants.

1. 1. Polynésie 09/2008

1. 1. Polynésie 09/2008 4 points

On rappelle que la probabilité d’un événement A sachant que l'événement B est réalisé se note  Bp A .

Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne :

- si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires ;

- si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.

On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.

On note :

* B1 l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » ;

* B2 l'événement : « on obtient une boule blanche au second tirage » ;

* A l'événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prend n = 10.

a. Calculer la probabilité  1 2p B B et montrer que  2 3

4 p B  .

b. Calculer  12Bp B .

c. Montrer que   3

10 p A  .

2. On prend toujours n = 10.

Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'événement A.

a. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près).

b. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.

Existe-t-il une valeur de n pour laquelle   1

4 p A  ?

1. 2. Polynésie 09/2008 5 points

On donne la propriété suivante : « Par un point de l'espace, il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »

Sur la figure donnée ci-dessous, on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1.

On a placé :

les points I et J tels que 2

3 BI BC et

2

3 EJ EH ;

le milieu K de [IJ].

On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

K

J

I

a=0,667

E H

A D

G F

CB

PARTIE A

1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F. En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.

2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).

4. a. Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.

b. En déduire que les points F, P et K sont alignés.

PARTIE B

L'espace est rapporté au repère orthonormal  ; , ,A AB AD AE . On appelle N le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note (x, y, 0) les coordonnées du point N.

1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.

2. a. Montrer que la droite (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).

b. Exprimer les produits scalaires .GN FI et .GN FJ en fonction de x et y.

c. Déterminer les coordonnées du point N.

3. Placer alors le point P sur la figure.

1. 3. Polynésie 09/2008 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l'ensemble (E) des suites  nx définies sur  et vérifiant la relation suivante : pour tout

entier naturel n non nul, 1 10,24n n nx x x   .

1. On considère un réel  non nul et on définit sur  la suite  nt par n

nt  . Démontrer que la suite

 nt appartient à l'ensemble (E) si et seulement si  est solution de l'équation 2 0,24 0    .

En déduire les suites  nt appartenant à l'ensemble (E).

On admet que (E) est l'ensemble des suites  nu définies sur  par une relation de la forme

   1,2 0,2 n n

nu     où  et  sont deux réels.

2. On considère une suite  nu de l'ensemble (E). Déterminer les valeurs de  et  telles que 0 6u  et

1 6,6u  u, =6,6.

En déduire que, pour tout entier naturel n,     39 3

1,2 0,2 7 7

n

nu    .

3. Déterminer lim n n

u 

.

Partie B

On considère la suite  nv définie sur  par : v0 = 6 et, pour tout entier naturel n, 2

1 1,4 0,05n n nv v v   .

1. Soit f la fonction définie sur  par   21,4 0,05f x x x  .

a. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 8].

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,10 8n nv v    .

2. En déduire que la suite  nv est convergente et déterminer sa limite l.

1. 4. Polynésie 09/2008 6 points (c)

On considère la fonction f définie sur  par    ln 2x xf x e e  . La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

Partie A - Étude de la fonction f

1. Montrer que, pour tout réel x,   2ln 1 2 xf x x e   .

On admet que, pour tout réel x,   2ln 2 xf x x e    .

2. Calculer  lim x

f x 

et montrer que la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (C).

Étudier la position relative de (C) et de (d).

3. Calculer  lim x

f x 

et montrer que la droite (d’) d'équation ln 2y x   est asymptote à (C).

4. Étudier les variations de la fonction f. Montrer que le minimum de la fonction f est égal à 3

ln 2 2

.

5. Tracer les droites (d) et (d’) sur la figure.

Partie B - Encadrement d'une intégrale

On pose   3

2

I f x x dx    .

1. Donner une interprétation géométrique de I.

2. Montrer que, pour tout  0 ;X  ,  ln 1 X X  .

En déduire que 3

2

2

0 2 xI e dx   et donner un encadrement de I d'amplitude 0,02.

Correction

Partie A

1.           2 2 2ln 2 ln 1 2 ln ln 1 2 ln 1 2x x x x x x xf x e e e e e e x e             .

Remarque : si on met en facteur xe à la place de xe , on a    2ln 2 xf x x e    .

2.      2lim lim ln 1 2 ln 1 2 0x x x

f x x e

           ;

     2lim lim ln 1 2 ln 1 2 0 0x x x

f x x e

         : la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (C).

3.      2lim lim ln 2 ln 2 0x x x

f x x e  

         ;

       2lim lim ln 2 ln 2 lim ln 2 0x x x x

f x x e f x x   

         : la droite (d’) ln 2y x   est

asymptote à (C).

4.   2

' 2

x x

x x

e e f x

e e

  

;   2 1

' 0 2 2 2 ln 2 ln 2 2

x x xf x e e e x x         .

          1 1

ln 2 ln 2 1/ 2 1/ 2 ln 2 ln 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 3/ 22 2

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 2 ln 2

2 f e e e e

  

                      

.

Partie B - Encadrement d'une intégrale

1. I représente l’aire comprise entre (C), la droite (y=x), les droites x=2 et x=3.

2.    2 2ln 1 ln 1 2 2x xX X e e      car 22 0xe  . Par ailleurs on a   0f x x I   .

    33 3 3

2 2 2 6 4

2 2 2 2

2 ln 1 2 2 0,015

2

x x xI f x x dx e dx e dx e e e      

                 ; 0,01 est une

estimation de I d'amplitude 0,02.

1. 2. France et La Réunion 09/2008

1. 5. France et La Réunion 09/2008 4 points

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.

Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.

La règle du jeu est la suivante :

• Le joueur mise 1 euro et lance la roue A.

• S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.

• S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.

1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Soient E et F les événements :

E : « à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » ;

F : « à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer que p(E) = 0,02 et p(F) = 0,17.

3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 euros ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 euros ; sinon il ne reçoit rien.

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel : le joueur mise 1 euro).

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l'espérance mathématique de X et en donner une interprétation.

4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

a. Démontrer que la probabilité pn qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que :  1 0,9 n

np   .

b. Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

1. 6. France et La Réunion 09/2008 3 points (c)

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ]0 ;  [

vérifiant l'équation différentielle (E) :       2' 2 1 8xf x x f x x   .

1. a. Démontrer que si f est solution de (E)alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ;  [ par

   f x

g x x

 est solution de l'équation différentielle (E’) : ' 2 8y y  .

b. Démontrer que si h est solution de (E’)alors la fonction f définie par    f x xh xest solution de (E).

2. Résoudre (E')et en déduire toutes les solutions de (E).

3. Existe-t-il une fonction f solution de l'équation différentielle (E)dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A (ln 2, 0) ? Si oui la préciser.

Correction

(E) :       2' 2 1 8xf x x f x x   .

1. a.    

     

2

' '

f x f x x f x g x g x

x x

    , d’où en remplaçant dans (E’) :

                 2 2

2

' 2 8 ' 2 8 ' 2 1 8

xf x f x f x xf x f x xf x x xf x x f x x

xx

           .

b. Même chose mais à l’envers.

2. ' 2 8y y  a comme solutions   2 2 8

4 2

x xy h x Ce Ce     .

Les solutions de (E) sont donc      2 4xf x xh x x Ce   .

3.    2ln 2ln 2 0 ln 2 4 0 4 4 1f Ce C C        ; la solution cherchée est    2 4xf x x e  .

1. 7. France et La Réunion 09/2008 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct  ; 2

AB AD    

  .

On note I son centre et J le milieu de [AI].

1. C est le barycentre des points pondérés (A, m),(B,1) et (D,1) lorsque :

a. m = − 2 b. m = 2 c. m = − 1 d. m = 3

2. a. B est l'image de C par la rotation de centre Iet d'angle 2

 .

b. Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est 2

3 .

c. Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.

d. J est l'image de I par la translation de vecteur 1 1

2 4 BA DB.

3. L'ensemble des points M du plan tels que MA MC AB  est :

a. la médiatrice de [AC]. b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI]. d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

4. L'ensemble des points M du plan tels que    2 . 0MA MB MD MA MC    est : a. la médiatrice de [AC]. b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI]. d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

1. 8. France et La Réunion 09/2008 4 points

On considère la suite numérique  nJ définie, pour tout entier naturel n non nul, par

1

1 n

t nJ e t dt

  .

1. Démontrer que la suite  nJ est croissante.

2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutît pas.

On définit la suite  nI , pour tout entier naturel n non nul, par   1

1 n

t nI t e dt

  .

a. Justifier que, pour tout 1t  , on a 1 1t t   .

b. En déduire que n nJ I .

c. Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite  nJ est majorée par un nombre réel (indépendant de n).

d. Que peut-on en conclure pour la suite  nJ ?

1. 9. France et La Réunion 09/2008 5 points (spé)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On réalisera une figure en

prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère le point A d'affixe 1Az  .

Partie A

k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k et d'angle 3

 . On

note 0A Aet pour tout entier naturel n,  1n nA f A  .

1. a. Étant donné un point M d'affixe z, déterminer en fonction de z l'affïxe z’ du point Mimage de M par f.

b. Construire les points 0A , 1A , 2A et 3A dans le cas particulier où k est égal à 1

2 .

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l'affixe zn du point An est égale à 3 in

nk e

.

b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point An appartient à la demi droite [ ; )O u et, dans ce

cas, déterminer en fonction de k et de n l'abscisse de An.

Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Désormais, k désigne un entier naturel non nul.

1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.

2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel k pour laquelle k6est un multiple de 2008.

3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point An appartient-il à la demi droite [ ; )O u avec pour

abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?

1. 10. France et La Réunion 09/2008 5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On réalisera une figure en

prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère les points A, B et I d'affixes respectives 1Az  , 5Bz  et 3Iz i  .

On note (C) le cercle de centre O et de rayon 1, (  ) la médiatrice de [AB]et (T) la tangente au cercle (C) en A.

À tout point M d'affixe z, différent de A, on associe le point Md'affixe ztelle que : 5

' 1

z z

z

  

.

Le point Mest appelé l'image de M.

Partie A

1. Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I’ image de I. Vérifier que I’ appartient à (C).

2. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B,on a : ' MB

OM MA  .

b. Justifier que pour tout point M distinct de A et B,on a :    ; ' ;OA OM MA MB . Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Dans la suite de l'exercice, M désigne un point quelconque de (  ).

On cherche à construire géométriquement son image M.

1. Démontrer que Mappartient à (C).

2. On note (d)la droite symétrique de la droite (AM)par rapport à la tangente (T). (d)recoupe (C) en N.

a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.

Après avoir justifié que    ; ;AO AN AM AB ,démontrer que    ; ;OA ON MA MB . b. En déduire une construction de M.

1. 3. Antilles 09/2008

1. 11. Antilles 09/2008 4 points

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

On définit :

– la suite (un) par : u0 = 13 et, pour tout entier naturel n, 1 1 4

5 5 n nu u   .

– la suite (Sn) par : pour tout entier naturel n, 0 1 0

...

n

n k n

k

S u u u u

     .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 12

1 5

n n u   . En déduire la limite de la suite

(un).

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).

b. Calculer Sn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (Sn).

Partie B

Etant donné une suite (xn), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considère la suite

(Sn) définie par

0

n

n k

k

S x

 .

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.

Proposition 1 : si la suite (xn) est convergente, alors la suite (Sn) l’est aussi.

Proposition 2 : les suites (xn) et (Sn) ont le même sens de variation.

1. 12. Antilles 09/2008 5 points (spé)

Partie A

On considère le système de congruences :    

 

2 mod 3

1 mod 5

n S

n

   

, où n désigne un entier relatif.

1. Montrer que 11 est solution de (S).

2. Montrer que si n est solution de (S) alors n − 11 est divisible par 3.

3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où k désigne un entier relatif.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z’ et g celle qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z’’ définies par :

1 3 '

2

i z z        

et 5'' i

z e z

 .

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g .

2. On considère les points A0 et B0 d’affixes respectives

2

3 0 2

i

a e

 

 et 50 4 i

b e

 

 .

Soient (An) et (Bn) les suites de points définies par les relations de récurrences :

An+1 = f(An) et Bn+1 = g(Bn).

On note an et bn les affixes respectives de An et Bn.

a. Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?

b. En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.

3. a. Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Indiquer une mesure de l’angle  2,n nOB OB  . c. En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.

4. a. Exprimer an et bn en fonction de n.

b. Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simultanément sur l’axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.

1. 13. Antilles 09/2008 7 points (c)

Soit f la fonction définie sur  par :   4

2 3

x

x

e f x x

e   

 .

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

d’unité graphique 2 cm.

1. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Démontrer que la droite D1 d’équation y = x +2 est asymptote à la courbe C.

c. Étudier la position de C par rapport à D1.

2. a. On note f’ la fonction dérivée de f. Calculer  f x et montrer que, pour tout réel x, on a :

  2

3 '

3

x

x

e f x

e

      

.

b. Étudier les variations de f sur  et dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. a. Que peut-on dire de la tangente D2 à la courbe C au point I d’abscisse ln3 ?

b. En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe C par rapport à D2.

4. a. Montrer que la tangente D3 à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour équation 1

1 4

y x  .

b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente D3 sur l’intervalle  ; ln 3 . On pourra

utiliser la dérivée seconde de f notée ''f définie pour tout x de  par :    

  3

12 3 ''

3

x x

x

e e f x

e

 

.

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C. Tracer la courbe C, les tangentes D2, D3 et les asymptotes à la courbe C .On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm.

6. a. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur  par :   3

x

x

e g x

e  

.

b. Soit  un réel strictement négatif.

On note  A  l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par D1, C et les droites d’équations x  et

x = 0. Montrer que    4ln 4 4ln 3A e    .

c. Calculer  lim A

 

.

Correction

  4

2 3

x

x

e f x x

e   

 .

1. a.   4 0

lim 2 0 3x

f x 

     

 .

b.    4

lim 2 lim 0 3

x

xx x

e f x x

e     

 .

c.   4

( 2) 0 3

x

x

e f x x

e     

 car 0xe  . C est au-dessus de D1.

2. a.      

   

 

   

 

 

2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 12 312 6 9 12 ' 1 4 1

3 3 3 3 3

x x x x x x x x x x x

x x x x x

e e e e e e ee e e e f x

e e e e e

             

    

.

b. f’ est positive sur , f est croissante.   1

lim 2 4 lim 4 1 3 xx x

f x e 

       

.

(Remarque : comme 4 4

lim lim 4 3 1 3

x

x xx x

e

e e   

  , la droite 2 4 2y x x     est asymptote en  .)

x  

 f x +

 f x 



3. a. D2 :   2

ln 3

ln 3

3 ' ln 3 0

3

e f

e

      

donc tangente horizontale.

b. Comme f est croissante, C est en-dessous de D2 lorsque x < ln3 et au-dessus lorsque x > ln3.

4. a.   2 20

0

3 2 1 ' 0

4 43

e f

e

             

,   4

0 2 1 1 3

f    

,      1

' 0 0 0 1 4

y f x f x     .

b. Posons             1 1

1 ' ' '' '' 4 4

g x f x x g x f x g x f x  

          

.

Sur l’intervalle  ; ln 3 ,    

  3

12 3 ''

3

x x

x

e e f x

e

 

est < 0, de même que g’’. g’ est décroissante et vaut 0

lorsque x = 0 ; g’ est donc positive avant 0, négative après 0 ; g est croissante avant 0, décroissante après 0 ; comme g(0)=0, g est toujours négative donc C est en dessous de D3.

x  0 ln3

g’’ – –

g

0

signe g’ + 0 –

g

0

signe g – 0 –

5.

6. a. La dérivée de 3xe  est xe , g est de la forme 'u

u , une primitive de g est  ln 3xe  .

b.             0 0 0

02 4 4 ln 3 4ln 3 4ln 3 3

x x

x

e A f x x dx dx e e e

e

                

   , soit

   4ln 4 4ln 3A e    .

c.    lim 4ln 4 4ln 0 3 4ln 4 4ln 3A

 

     .

1. 14. Antilles 09/2008 4 points

On dispose de deux urnes U1 et U2.

L’urne U1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

L’urne U2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urne U1, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne U1 puis de tirer au hasard une bille de l’urne U2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne U2.

À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.

On note

V1 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dans U1 »

V2 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dans U2 ».

Les évènements V1 et V2 sont indépendants.

1. Montrer, à l’aide d’un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est p = 0,06.

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10–4 près.

4. On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.

On note pn la probabilité que l’une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant pn >0,99.

1. 4. Nouvelle-Calédonie 11/2008

1. 15. N. Calédonie 11/2008 3 points (c)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère les points : A(3 ; −2 ; 1)

B(5 ; 2 ; –3), C(6 ; −2 ; −2), D(4 ; 3 ; 2).

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle.

2. a. Montrer que le vecteur  2 ;1 ; 2n est un vecteur normal au plan (ABC).

b. En déduire une équation du plan (ABC).

c. Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.

3. Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume.

Correction

1.

3 1

0 , 4

3 1

AC BC

                    

d’où . 0AC AB , les points ne sont pas alignés car les vecteurs sont

orthogonaux et 9 9 3 2AB   , 1 16 1 3 2BC     .

2. a. . 6 0 6 0n AC     , . 2 4 2 0n BC     .

b.      . 0 2 3 1 2 2 1 0 2 2 6 0AM n x y z x y z             .

c.   2 2 6 9

, 3 34 1 4

D D Dx y z d D ABC

     

  .

3.     1 1 3 2 3 2

, 3 9 3 3 2

V d D ABC Aire ABDC

       .

1. 16. N. Calédonie 11/2008 5 points (c)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v .

1. On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2 + 2i, zB = 2i et zC = 2 ainsi que le cercle  de centre A et de rayon 2.

La droite (OA) coupe le cercle  en deux points H et K tels que OH < OK. On note zH et zK les affixes respectives des points H et K.

a. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

b. Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.

c. Justifier, à l’aide des notions de module et d’argument d’un nombre complexe, que   42 2 2 i

Kz e

 

et   42 2 2 i

Hz e

  .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe 0z  associe le point

M’ d’affixe z’ telle que : 4

'z z

  .

2. a. Déterminer et placer les points images de B et C par f.

b. On dit qu’un point est invariant par f s’il est confondu avec son image. Déterminer les points invariants par f.

3. a. Montrer que pour tout point M distinct de O, on a : ' 4OM OM  .

b. Déterminer  arg 'z en fonction de  arg z .

4. Soient K’ et H’ les images respectives de K et H par f.

a. Calculer OK’ et OH’.

b. Démontrer que   3

4 ' 2 2 2

i

Kz e

  et   3

4 ' 2 2 2

i

Hz e

  .

c. Expliquer comment construire les points K’ et H’ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.

Correction

1. a.

K'

H' K

H

A

y

C'

B

C

v

u xO

b. 2 2OA  ; 2 2 2OK OA r    , 2 2 2OH OA r    .

c.    

, 4. 2 2 2

ii u OA

Kz OK e e

   ;    

, 4. 2 2 2

ii u OA

Hz OH e e

   .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe 0z  associe le point

M’ d’affixe z’ telle que : 4

'z z

  .

2. a. ' 4 4

2 2

B B B

z i z z i

      , '

4 4 2

2 C

C

z z

      .

b. 2 4

4 2z z z i z

        .

3. a. ' ' ' 4 4OM OM z z zz       .

Montrer que pour tout point M distinct de O, on a :

b.        arg ' arg 4 arg argz z z    

4. a.  

  2

4 2 2 24 ' 4 ' 2 2 2

2 2 2 2 2 4

OK OK OK

        

, 4

' 4 ' 2 2 2 2 2 2

OH OH OH      

.

b.    ' 3

arg arg 4 4

K Kz z  

      et pareil pour H.   3

4 ' 2 2 2

i

Kz e

  et   3

4 ' 2 2 2

i

Hz e

  .

c. 'OK OH et 'OH OK ; K’ et H’ sont sur la droite y x  .

1. 17. N. Calédonie 11/2008 5 points (spé)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct  ; ;O OI OJ . On considère les points A et B

d’affixes respectives zA = 2 et 3

2 Bz i  .

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

On note s1 la similitude directe de centre A qui transforme M en B.

On note s2 la similitude directe de centre O qui transforme B en N.

On considère la transformation 2 1r s sr.

Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

1. À l’aide des transformations.

a. Donner l’angle et le rapport de s1 et de s2.

b. Déterminer l’image du point M puis celle du point I par la transformation r.

c. Justifier que r est une rotation d’angle 2

 dont on précisera le centre.

d. Quelle est l’image du point O par r ?

e. En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

2. En utilisant les nombres complexes.

a. Donner les écritures complexes de s1 et s2. On utilisera les résultats de la question 1. a.

b. En déduire les affixes zM et zN des points M et N.

c. Donner, sans justification, l’affixe zP du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

1. 18. N. Calédonie 11/2008 4 points

Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et G.

On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après être passée par un noeud.

Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie c’est- à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

A

B (0 pt) C (10 pts)

D (0 pt) E (10 pts) F (0 pt) G (10 pts)

8

9

8

9 8

9

1

9

1

9

1

9

1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance de X.

c. Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.

2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes.

On considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie.

a. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

b. Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

1. 19. N. Calédonie 11/2008 5 points

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  0 ;  par f(x) = lnx – 2 + x.

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en  .

2. Étudier le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution  dans l’intervalle  0 ;  .

Donner un encadrement du nombre  à 10–2 près.

Partie B

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j .

On considère sur le graphique ci-dessus, la courbe représentative C de la fonction ln, ainsi que la droite D d’équation y = 2 − x. On note E le point d’intersection de la courbe C et de la droite D.

On considère l’aire en unités d’aire, notée A, de la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et au dessous de la courbe C et de la droite D.

1. Déterminer les coordonnées du point E.

2. Soit 1

lnI xdx

  .

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Calculer I , en fonction de  , à l’aide d’une intégration par parties.

c. Montrer que I peut aussi s’écrire 2 1I      sachant que f( ) = 0.

3. Calculer l’aire A en fonction de  .

1. 20. N. Calédonie 11/2008 3 points

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  0 ;  par   1x

x f x

e  

.

1. Restitution organisée de connaissances :

La fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable sur  vérifiant    

 

'

0 1

g x g x

g

  



pour tout

x .

Démontrer que 0

1 lim 1

h

x

e

h

  .

2. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Déterminer la limite de la fonction f en  .

Partie B

Soit (un) la suite définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par :

1 2 1 1

1 ...

n

n n n nu e e e

n

          

.

1. Démontrer que

1 2 1

1

1 1 ...

1

n

n n n

n

e e e e

e

 

    

puis en déduire que   1

1nu e f n

     

  .

2. En déduire, en utilisant aussi la partie A, que la suite (un) converge vers e – 1.

1. 5. Amérique du Sud 11/2008

1. 21. Amérique du Sud 11/2008 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v , on considère les points A, B, C

d’affixes respectives a = –1+2i, b = 1+3i, c = 4i.

1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

2. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.

a. Quel est l’ensemble des points M du plan distincts de A dont l’affixe z est telle que I

A

z z

z z

 soit un réel

?

b. Déterminer l’unique réel x tel que I

A

x z

x z

 soit un réel.

c. Soit AI

z l’affixe du vecteur AI ; donner une forme trigonométrique de AI

z .

3. a. Soit G le point d’affixe –3. Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.

b. Soit r1 la rotation de centre G et d’angle de mesure 4

  . Déterminer l’écriture complexe de r1.

4. Soit A’, B’ et C’ les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a’, b’ et c’ leurs affixes.

Quelle est l’image par r1 de l’axe de symétrie du triangle ABC ? En déduire que ' 'b c .

1. 22. Amérique du Sud 11/2008 5 points

Une unité de longueur étant choisie dans l’espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que :

AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD]. L’espace est muni du repère orthonormé  ; , ,A AB AI AE .

I

H

GF

E

D

CB

A

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à 1

3 .

b. Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.

En exprimant V d’une autre façon, calculer la distance d du point G au plan (FIH).

3. Soit le vecteur n de coordonnées (2 ; 1 ; –1).

a. Montrer que le vecteur n est normal au plan (FIH).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).

c. Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan (FIH).

4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?

b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.

c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

Soit  la sphère de centre G passant par K. Quelle est la nature de l’intersection de  et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection).

1. 23. Amérique du Sud 11/2008 5 points (spé)

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Soit Dla droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur u de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soit D’ la droite dont une représentation paramétrique est :

'

1 ', '

2

x t

x t t

z

    

 

.

Le but de l’exercice est d’étudier l’ensemble Sdes points de l’espace équidistants de Det de D’.

1. Une équation de S

a. Montrer que Det D’ sont orthogonales et non coplanaires.

b. Donner une représentation paramétrique de la droite D.

Soit M un point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z) et H le projeté orthogonal de M sur D.

Montrer que MH a pour coordonnées ; ; 2 2 2

x y x y z

     

  .

En déduire MH2 en fonction de x, y et z.

Soit K le projeté orthogonal de M sur D’. Un calcul analogue au précédent permet d’établir que :

    2 22 1 2

2 MK x y z    ,

relation que l’on ne demande pas de vérifier.

c. Montrer qu’un point M de coordonnées (x ; y ; z) appartient à Ssi et seulement si 1

4 z xy  .

2. Étude de la surface S

a. On coupe Spar le plan (xOy). Déterminer la section obtenue.

b. On coupe Spar un plan Pparallèle au plan (xOy). Quelle est la nature de la section obtenue ?

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

On coupe Spar le plan d’équation x + y = 0. Quelle est la nature de la section obtenue ?

1. 24. Amérique du Sud 11/2008 3 points

Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur  0 ;  , positive sur  1 ;  , et vérifie :

* ln1 = 0 ;

* pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy) = lnx +ln y ;

* pour tout réel strictement positif x,   1

ln 'x x

    ;

* ln(2)  0,69 à 10–2 près.

1. On considère la fonction f définie sur  0 ;  par   lnf x x x  .

a. Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur  0 ;  .

b. En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1,  ln

0 x x

x x   .

c. En déduire que ln

lim 0 x

x

x  .

2. Soit n un entier naturel non nul.

On considère la fonction fn définie sur  0 ;  par :   1

ln n

n

x f x

x

 .

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en  de la fonction fn.

1. 25. Amérique du Sud 11/2008 7 points

1. Résoudre l’équation différentielle : 2 ' 0y y  (E), dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable

sur .

2. On considère l’équation différentielle :  22 ' 1 x

y y e x

   (E’)

a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur  par :    22 x

f x e mx px

  soit

solution de (E’).

b. Soit g une fonction définie et dérivable sur .

Montrer que g est solution de l’équation (E’) si et seulement si g – f est solution de l’équation (E).

Résoudre l’équation (E’).

3. Étudier les variations de la fonction h définie sur  par :    221 2 4

x

h x e x x

  .

4. Déterminer les limites en  et en  de la fonction h.

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j , on note C la courbe représentative de h et 

celle de la fonction : 2 x

x e

 .

a. Étudier les positions relatives de C et  .

b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique.

1. 6. Pondicherry 06/2008

1. 26. Pondicherry 06/2008 (c) 4 points

1. Soit f la fonction définie sur  1 ;  par   1x

x f x

e  

et soit H la fonction définie sur  1 ;  par

    1

x

H x f t dt  .

a. Justifier que f et H sont bien définies sur  1 ;  .

b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal  ; ,O i j du plan. Interpréter en termes d'aire Ie nombre  3H .

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre  3H .

a. Montrer que pour tout réel 0x  , 1 1

x

x x

x e x

e e

 

 

.

b. En déduire que     3 3

3 1 1

1 1 3ln 1 ln 1 ln 1 xf x dx e dx

ee

                

.

c. Montrer que si 1 3x  , alors   3 1 1

ln 1 ln 1 ln 1xe e e

              

.

d. En déduire un encadrement de   3

1

ln 1 xe dx , puis de   3

1

f x dx .

Correction

1. a.   1x

x f x

e  

,     1

x

H x f t dt  : comme 0 xe  sur , 1 0xe   donc f existe et est continue sur

; f a donc une primitive F et      1H x F x F  existe sur .

b. Grâce au cours nous savons que      ' ' 0H x F x f x   .

c.  3H est l’aire, exprimée en unités d’aire,de f, l’axe (Ox) les droites 1x  et 3x  .

2. a. Multiplions  f x par xe au numérateur et au dénominateur :

    11

x x x

x x x xx x

xe e e f x x x

e e e ee e

  

     

  .

b. On reconnaît dans 1

x

x

e

e

 la dérivée de ln 1 xe ; il faut donc intégrer par parties en posant :

u x , ' 1

x

x

e v

e

  

, soit ' 1u  , ln 1 xv e  ;

par ailleurs 1 0 1 0 0x xe e x x          donc  ln 1 xv e  :

            3 3 33

3 1

11 1 1

ln 1 ln 1 3ln 1 ln 1 ln 1x x xf x dx x e e dx e e e dx                   .

c. La fonction  1 xe est strictement positive si 1 3x  ;   ln 1 ' 0 1

x x

x

e e

e

 

   

 donc  ln 1 xe

est croissante sur  1 ; 3 d’où      1 3ln 1 ln 1 ln 1xe e e       .

d. On intègre :           3

1 3

1

3 1 ln 1 ln 1 3 1 ln 1xe e dx e         , soit

      3

3 1

1

2ln 1 ln 1 2ln 1xe e dx e          ,

d’où               3

3 1 3 3 1 1

1

3ln 1 ln 1 2ln 1 3ln 1 ln 1 2ln 1e e e f x dx e e e                 et

enfin     3 3 3 33 3

1 1 3 2 3 2 1 1

1 1 1 1 ln 3ln ln 3ln ln

1 1

e e e e f x dx f x dx

e e e e e e

 

 

                                          .

1. 27. Pondicherry 06/2008 (c) 5 points non spécialistes

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :

1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA, zB et zC trois points A, B et C. Alors

B C

A C

z z CB

z z CA

 

 et   arg , 2B C

A C

z z CA CB

z z

   

  .

2. Soit z un nombre complexe et soit θ un réel : iz e si et seulement si 1z  et  arg 2z k   , où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle  et de centre  d’affixe  est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que

 ' iz e z    .

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe ( ; , )O u v d’unité graphique 2 cm, on considère les

points A, B, C et D d’affixes respectives 3Az i   , 1 3Bz i  , 3Cz i  et 1 3Dz i   .

1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes zA, zB , zC et zD.

b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère ( ; , )O u v ?

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. On considère la rotation r de centre B et d’angle 3

  . Soient E et F les points du plan définis par :

E = r (A) et F = r (C).

a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le repère précédent ?

b. Donner l’écriture complexe de r.

c. Déterminer l’affixe du point E.

Correction

Partie A

Démonstration de cours : la rotation r d’angle  et de centre  d’affixe  envoie M(z) sur M’(z’) de

sorte que  

 

' 1' '

1. ' , ' '

arg

i i

z M M z z

e z e z M M zz

z

 

   

  

       

                 

.

Partie B

3Az i   , 1 3Bz i  , 3Cz i  et 1 3Dz i   .

1. a.

5

6 3 1

3 2 2 2 2

i

Az i i e

  

          

; 3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Bz i i e

  

        

;

6 3 1

3 2 2 2 2

i

Cz i i e

  

        

;

2

3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Dz i i e

  

          

.

b. Les points sont sur le cercle de centre O, de rayon 2 (cercle de diamètre [PQ]) ; B est un sommet de

triangle équilatéral, D est diamétralement opposé à B, A’ est sur la bissectrice de QOD et A est tel que

l’arc 'AQ QA ; C est diamétralement opposé à A (traits pointillés noirs sur la figure).

F

E

C

A

A'

a

Q

vu

D

B

PO

c. Le quadrilatère ABCD est un rectangle (c’est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu et les deux diagonales sont de même longueur). C’est même un carré car les diagonales sont à angle droit (calculer l’angle).

2. a. Puisqu’il s’agit de triangles équilatéraux, on construit les deux cercles de rayon AB, de centre A et de centre B ; une des deux intersections est E ; même chose avec les cercles de rayon BC, de centres B et C (en rouge et vert sur la figure).

b.    3 1 3' ' 1 3 1 3 2 2

i

B Bz z e z z z i i z i

   

             

.

c.    1 3 1 31 3 1 3 3 1 3 1 3 2 2 2 2

E A Ez i i z i z i i i i    

                        

, soit

3 3 1 3 1 3 3 3 1 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 Ez i i i i i i              .

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome