Contrôle - sciences mathématique 2 - 2° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 2 - 2° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 2 - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’évolution du nombre, le graphique, le modèle continu, le modèle discret.
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1. 28. Pondicherry 06/2008 (c) 4 points

On considère un tétraèdre ABCD. On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].

On désigne par G l’isobarycentre des points A, B, C et D.

1. Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.

Dans la suite de l’exercice on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques).

2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM.

b. En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales.

3. a. Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).

b. Quelle est la valeur du produit scalaire .IJ MK ? En

déduire que (IJ) est orthogonale à la droite (AB).

Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).

c. Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

D

C

B

A

Correction

1. G est le barycentre de {(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)} ; c’est donc celui de {(I, 2), (J, 2)}, de {(K, 2), (L, 2)} et de {(M, 2), (N, 2)} en utilisant les barycentres partiels. Donc G est sur chacune des droites (IJ), (KL) et (MN) qui sont bien sécantes en G.

A

B

C

D

I

J

K

L

M

N

G

Dans la suite de l’exercice on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques).

2. a. On a (IK) et (LJ) parallèles à (AC) par Thalès ainsi que 1

2 IK LJ AC  ; de même (JK) et (LI) sont

parallèles à (BD) et 1

2 JK LI BD  ; c’est donc un parallélogramme et comme AC = BD les quatre côtés

ont même longueur, c’est un losange. Le même raisonnement est valable pour les losanges IMJN et KNLM.

b. Dans un losange les diagonales sont orthogonales donc (IJ) et (KL) sont orthogonales. De même (IJ) et (MN) sont orthogonales et (KL) et (MN) sont orthogonales.

3. a. La droite (IJ) est orthogonale à (MN) et (KL), soit deux droites distinctes du plan (MKN). (IJ) est orthogonale au plan (MKN).

b. Évidemment . 0IJ MK  … et comme (MK) est parallèle à (AB), (IJ) est orthogonale à la droite (AB).

On rappelle qu’une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

(IJ) est orthogonale au plan (MKN), aux droites (ML) et (NK) et donc à la droite (CD).

c. G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD] si on a GA = GB et GC = GD.

Par exemple on a 2 2 2 2 2 2GA GI AI GI BI GB     car (GI) est orthogonale à (AB).

d. Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD, il faut montrer que GA GB GC GD   ; on a déjà GA = GB et GC = GD, il reste à montrer que GB GC , ou encore que (GK) est orthogonale à (BC), ce qui s’obtient comme précédemment.

1. 29. Pondicherry 06/2008 (c) 7 points

On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l’année.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : un modèle discret

Soit nu le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n.

On pose n = 0 en 2005, 0 1u  et, pour tout n >0,  1 1

20 10

n n nu u u   .

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par     1

20 10

f x x x  .

a. Étudier les variations de f sur [0 ; 20].

b. En déduire que pour tout x[0 ; 20],  f x  [0 ; 10].

c. On donne ci-dessus la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormal.

Représenter à l’aide de ce graphique les cinq premiers termes de la suite   0n n

u

sur l’axe des abscisses.

2. Montrer par récurrence que pour tout n , 10 10n nu u    .

3. Montrer que la suite   0n n

u

est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : un modèle continu

Soit  g x le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x. On pose x = 0 en 2005,  0 1g  et g

est une solution qui ne s’annule pas sur  0 ;  de l’équation différentielle (E) :   1

' 10 20

y y y  .

1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur  0 ;  et on pose 1

z y  .

a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle : (E1) :

1 1 '

2 20 z z   .

b. Résoudre l’équation (E1) et en déduire les solutions de l’équation (E).

2. Montrer que g est définie sur  0 ;  par   1

2

10

9 1 x

g x

e

.

3. Étudier les variations de g sur  0 ;  .

4. Calculer la limite de g en  et interpréter le résultat.

5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions ?

Correction

Partie A : un modèle discret

0 1u  ,    1 1

20 10

n n n nu u u f u    .

1. a.      2 1

20 0,1 2 ' 0,2 2 10

f x x x x x f x x         , positive lorsque 10x  , donc f est croissante

jusqu’à 10, décroissante après.

b. On a    0 20 0f f  et  10 10f  donc  0 10f x  lorsque x[0 ; 20].

c. Voir figure.

2. 1 0,1 1 19 1,9u     donc 0 10 10u u   .

Par ailleurs si 0 10nu  , alors comme f est croissante,       10 10 0 10n nf f u f u      . Il reste à

montrer que nu est croissante : si    1 1 1 2n n n n n nu u f u f u u u        .

3. nu est croissante et majorée, elle converge vers le point d’intersection entre la courbe de f et la droite

y x , soit 10.

Partie B : un modèle continu

1. a. 2

1 1 ' '

z z y y

y z z       , remplaçons dans (E) :

  2 2 2

1 ' 1 1 1 1 1 ' 10 10 '

20 20 2 202 20

z z y y y z z

z zz z z

              

  .

b. (E1) a comme solutions les fonctions

1 1

2 2 1 / 20 1

1 / 2 10

x x

z Ce Ce  

    

et donc les solutions de l’équation

(E) sont 1 1

2 2

1 1 10

1 10 1

10

x x

y z

Ce Ce  

  

 

.

2. Comme  0 1g  , on a 0

10 1 10 10 1 10 9

10 1 C C

Ce      

 et donc  

1

2

10

9 1 x

g x

e

.

3.  

1

2 1

2

2 2 1 1

2 2

1 10 9

2 45 ' 0

9 1 9 1

x

x

x x

e

e g x

e e

 

       

                    

donc g croit…

4. En 

1

2 x

e

tend vers 0 et g tend vers 10.

Il y a saturation du marché qui ne peut dépasser plus de 10 millions de foyers équipés.

5.   1 1

2 2 1

2

10 1 1 5 45 5 10 ln 9 2ln 9 4,39

9 2 9 1

x x

x

g x e e x x

e

 

             

, donc en 2010.

1. 30. Pondicherry 06/2008 (c) 5 points spécialistes

Partie A

On suppose connu le résultat suivant :

Une application f du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme 'z az b  , où *a et b .

Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe.

Démontrer que si A,B, A’ et B’ sont quatre points tels que A est distinct de B et A’ est distinct de B’, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’.

Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal direct ( ; , )O u v on considère les points A, B, C, D

d’affixes respectives 3Az i   , 1 3Bz i  , 3Cz i  et 1 3Dz i   .

1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes zA, zB , zC et zD.

b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).

c. Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient B

A

z

z . En déduire la

nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est 3' 2 i

z e z

 

  .

a. Déterminer les éléments caractéristiques de g.

b. Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par g des points A, C et O.

c. Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.

Correction

Partie A

Démonstration de cours : On a les affixes a, a’, b et b’. Si on a une similitude directe, celle-ci s’écrit

'z z   ; il suffit donc de trouver et  en fonction de a, a’, b et b’.

' ' ' ' '

' ' ' ' ( ) '

b a A A a a a a

b a B B b b b a b a

a a

    

    

         

                 

; valable si a b , soit A et B distincts.

Partie B

3Az i   , 1 3Bz i  , 3Cz i  et 1 3Dz i   .

1. a.

5

6 3 1

3 2 2 2 2

i

Az i i e

  

          

; 3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Bz i i e

  

        

;

6 3 1

3 2 2 2 2

i

Cz i i e

  

        

;

2

3 1 3

1 3 2 2 2 2

i

Dz i i e

  

          

.

b. Les points sont sur le cercle de centre O, de rayon 2 (cercle de diamètre [PQ]) ; B est un sommet de

triangle équilatéral, D est diamétralement opposé à B, A’ est sur la bissectrice de QOD et A est tel que

l’arc 'AQ QA ; C est diamétralement opposé à A (traits pointillés noirs sur la figure).

F

E

C

A

A'

a

Q

vu

D

B

P=JO

c. 0A Cz z  , 0B Dz z  , le milieu est O.

5 3 3

23 6 6 5

6

2

2

i ii i i

B

iA

z e e e e

z e

   

   

    donc (OA) et (OB) sont

orthogonales de même que (AC) et (BD). ABCD est un carré : diagonales se coupant à angle droit en leur milieu et de même longueur.

2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est 3' 2 i

z e z

 

  .

a. 3 3 1 3 1 3

2 1 2 2 2 2 2 2 2

i i

e i i e

 

         

                    

: g est la rotation de centre B,

d’angle 3

  .

b. J est déjà construit puisqu’il s’agit de P. Par ailleurs il s’agit de triangles équilatéraux : on construit les deux cercles de rayon AB, de centre A et de centre B ; une des deux intersections est E ; même chose avec les cercles de rayon BC, de centres B et C (en rouge et vert sur la figure).

c. E, J et F sont alignés : 3 32 2 i i

A AJE z e z e z

   

    ; 3 32 2 i i

C CJF z e z e z

   

    et C Az z  donc

JE JF JE FJ    : J est le milieu de [EF].

On aurait pu utiliser le fait que O est le milieu de A et C, soit en faisant la rotation on garde l’alignement et le milieu.

1. 7. Amérique du Nord 06/2008

1. 31. Amérique du Nord 06/2008 (c) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique : 4 cm.

On considère le point A d’affixe 2Az i  et le cercle ( ) de centre A et de rayon 2 .

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.

2. a. Déterminer les affixes des points d’intersection de ( ) et de l’axe ( ; )O u .

b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives 1Bz  et 3Cz  .

Déterminer l’affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle ( ).

3. Soit M le point d’affixe 3 6

5 5 i .

a. Calculer le nombre complexe D M

B M

z z

z z

 .

b. Interpréter géométriquement un argument du nombre D M

B M

z z

z z

 ; en déduire que le point M

appartient au cercle ( ).

4. On note (  ) le cercle de diamètre [AB]. La droite (BM) recoupe le cercle (  ) en un point N.

a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du point N.

5. On désigne par M’ l’image du point M par la rotation de centre B et d’angle 2

  .

a. Déterminer l’affixe du point M’.

b. Montrer que le point M’ appartient au cercle (  ).

Correction

1.

N

M

s=0,6

D

A

y

C

v

B xO

2. a.   a une équation de la forme       22 2

2 1 2 2x y     .

            2 2 2

3 12 1 2 2 1 ; ; ou

0 00 0

x xx y x M x y O u

y yy y

                   

       .

Par conséquent, les affixes des points d’intersection de   et de l’axe   ; O u sont respectivement 1 et 3.

b. D est diamétralement opposé à B sur   donc AD BA , d’où D A A Bz z z z   , soit

 2 2 2 1 3 2D A Bz z z i i       .

D a pour affixe 3 2i .

3. a.

   

 

   2 2

3 6 23 2 6 2 6 2 1 3 205 5 5 2 23 6 101 31 31 55 5

D M

B M

i i i i iz z i i

z z ii

          

          

 

, d’où 2D M

B M

z z i

z z

 

 .

b. Un argument de D M

B M

z z

z z

 est une mesure de l’angle  ,MB MD.

     , arg 2 2 2

MB MD i k k

    ; le triangle BMD est rectangle en M ; M appartient alors au

cercle de diamètre  BD , le point M appartient au cercle   .

4. a. Comme N appartient au cercle   , le triangle ANB est rectangle en N, les droites     et AN BM sont donc orthogonales.

De plus les droites  MD et  BM sont orthogonales d’après la question précédente.

Par conséquent, les droites  AN et  MD , orthogonales à la même droite, sont parallèles entre elles.

b. Dans le triangle BMD les droites     et AN MD sont parallèles et A est le milieu de  BD ; d’après

le théorème des milieux la droite  AN coupe le segment  MB en son milieu. Donc N est le milieu de

 MB ,

3 6 1

4 35 5

2 2 5 5

B M N

i z z

z i

      

    .

5. a L’écriture complexe de la rotation de centre B et d’angle 2

  est :  2e

i

B Bz z z z

 

    , c’est-à-dire

1z iz i     . Alors 3 6 11 2

1 5 5 5 5

Mz i i i i  

         

.

b. 11 11 2 2 1 6 3 2 6 6

. 2 1 1 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 25 25

AM BM        

                              

.

Le triangle ABM  est rectangle en M  et est inscrit dans le cercle de diamètre  AB . Par conséquent, le

point M  appartient au cercle   .

1. 32. Amérique du Nord 06/2008 (c) 5 points non spécialistes

Partie A

On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, 2 2.MD MA MI IA  .

2. En déduire l’ensemble (E) des points M de l’espace, tels que . 0MD MA  .

Partie B

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k , les points A, B, C et D ont pour coordonnées

respectives : A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0), C(0 ; 0 ; 4) et D(−5 ; 0 ; 1).

1. a. Vérifier que le vecteur

4

2

3

n

         

est normal au plan (ABC).

b. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite  , orthogonale au plan (ABC) et passant par D.

b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

d. Démontrer que le point H appartient à l’ensemble (E) défini dans la partie A.

Correction

Partie A

1.         2 2. . .MD MA MI ID MI IA MI IA MI IA MI IA        car I est le milieu de  AD . 2. M appartient à  E équivaut à . 0MD MA  , c’est-à-dire à 2 2 0MI IA  , ou encore à MI IA . Par

conséquent  E est la sphère de centre I et de rayon IA. Partie B

1. a. Les vecteurs et AB AC ont pour coordonnées respectives  3 ; 6 ; 0 et  3 ; 0 ; 4 .

 . 4 3 2 6 3 0 0n AB        et  . 4 3 2 0 3 4 0n AC         ; n est orthogonal aux deux vecteurs

et AB AC non colinéaires du plan  ABC . n est un vecteur normal au plan  ABC .

b. M un point de  ABC :  . 0 3 4 2 3 0 4 2 3 12 0AM n x y z x y z              .

2. a. Comme  est orthogonale au plan  ABC , elle a pour vecteur directeur n .

 

5 4 4 5

; ; 0 2 2 ,

1 3 3 1

x k x k

M x y z DM k n y k y k k

z k z k

      

               

.

b. Soit H le projeté orthogonal de D sur le plan  ABC . H est donc le point d’intersection de la droite 

et du plan  ABC . On remplace x, y et z dans l’équation de  ABC :

   4 4 5 2 2 3 3 1 12 0 29 29 0 1k k k k k            ; H a pour coordonnées  1 ; 2 ; 4 .

c.    2 2 2

4 2 3 12 20 0 3 12 29 , 29

29 294 2 3

D D Dx y z d D ABC

          

  .

d. HD =  4 ; 2 ; 3   et HA =  4 ; 2 ; 4  : . 16 4 12 0HD HA      , H appartient à  E .

1. 33. Amérique du Nord 06/2008 (c) 5 points spécialistes

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On nomme (S) la surface d’équation 2 2 2 1x y z   .

1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).

2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et (−1 ; 1 ; 1).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.

b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).

3. Determiner la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy).

4. a. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d’équation z = 68. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.

b. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.

On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c’est-à-dire tel que (a, b) soit solution du système

(1) :

 

2 2 4625

ppcm ; 440

a b

a b

a b

   

 

.

Montrer que si (a, b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.

Conclure.

Dans cette question toute trace de recherche même incomplete ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Correction

1. Si   ; ; M x y z appartient à  S , alors on a 2 2 2 1x y z   , soit   22 2 2 2 2 1x y z x y z       ,

c’est-à-dire que le point M  de coordonnées   ; ; x y z appartient également à  S et réciproquement.

Par conséquent, le plan d’équation 0z  , c’est-à-dire le plan  xOy , est un plan de symétrie de la

surface  S .

2. a.  

3 4 4 3

D 1 0 1 ,

3 4 4 3

x k x k

M AM k AB y k y k

z k z k

        

               

.

b. On remplace x, y et z dans l’équation de  S :

    2 22 2 2 2 2 24 3 1 4 3 16 24 9 1 16 24 9 1x y z k k k k k k                , ce qui est toujours vrai.

On en déduit que tout point de  D appartient à  S , la droite est incluse dans la surface  S .

3. Soit  P un plan parallèle au plan  xOy .  P a alors une équation de la forme z c où c est un

réel, soit 2 2 2 1x y c   qui est l’équation d’un cercle de centre  0 ; 0 ; c et de rayon 21 c , tracé

dans  P . La section de la surface  S par un plan parallèle au plan  xOy est un cercle.

4. a. Soit  C la courbe d’intersection de la surface  S et du plan d’équation 68z  .

D’après la question précédente  C est le cercle de centre  0 ; 0 ; 68 et de rayon 21 68 5 185  ,

tracé dans le plan d’équation 68z  .

b. Soit   ; a b une solution de  1 . Alors :

 

2 2 4625

ppcm ; 440

a b

a b

a b

   

 

.

d le PGCD de a et b divise a (et aussi 2a ) et divise b (et aussi 2b ), d’où d divise 2 2a b ; d divise 4625.

De plus, d divise le PPCM de a et b. Donc d divise 440, d est un diviseur commun de 440 et de 4625.

Or les diviseurs de 4625 sont : 1 ; 5 ; 25 ; 37 ; 125 ; 185 ; 925 et 4625.

Les diviseurs de 440 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 20 ; 22 ; 40 ; 44 ; 55 ; 88 ; 110 ; 220 et 440.

d ne peut être égal qu’à 1 ou à 5.

* 1d  ,    pgcd ; ppcm ; ab a b a b  , c’est-à-dire 1 440 440ab   .

a et b sont donc des diviseurs de 440 dont la somme des carrés est égale à 4625 et le produit à 440.

Or   2 2 2 2 4625 880 5505a b a b ab       ; ce qui est impossible car a b est un entier naturel (en

tant que somme de deux entiers naturels). Il n’y a dans ce cas aucun couple solution de ce système.

* Supposons que 5d  ; alors    pgcd ; ppcm ; ab a b a b  , c’est-à-dire 5 440 2200ab   .

a et b sont donc des diviseurs de 440 dont la somme des carrés est égale à 4625 et le produit à 2200.

Or   2 2 2 2 4625 4400 9025a b a b ab       , soit 95a b  .

Seul le couple  40 ; 55 est solution de ce système dans ce cas.

Il existe un seul point M de  C tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a b et

  ; 440ppcm a b  .

1. 34. Amérique du Nord 06/2008 (c) 6 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par   1

ln ln

f x x x

  .

On nomme (C) la courbe représentative de f et ( ) la courbe d’équation lny x dans un repère

orthogonal ( ; , )O i j .

1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en  .

2. a. Déterminer  lim ln x

f x x     . Interpréter graphiquement cette limite.

b. Préciser les positions relatives de (C ) et de ( ).

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le point O.

a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle  1 ;  . Démontrer que la tangente Ta à (C) au point

d’abscisse a passe par l’origine du repère si et seulement si    ' 0f a af a  .

Soit g la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par      'g x f x xf x  .

b. Montrer que sur  1 ;  , les équations   0g x  et     3 2

ln ln ln 1 0x x x    ont les mêmes

solutions.

c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur  par   3 2 1u t t t t    , montrer que la

fonction u s’annule une fois et une seule sur .

d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.

La courbe (C) et la courbe ( ) sont données ci-dessus. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réel m et l’équation  f x mxd’inconnue x.

Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10].

Correction

1. On a 1

f u u

  , avec   lnu x x , dérivable et qui ne s’annule pas sur  1 ;  . Donc f est dérivable

sur  1 ;  en tant que différence de deux fonctions dérivables sur  1 ;  .

2 2

1 u u f u u u

u u u

             

  avec  

1 u x

x   . Donc  

    2 2

1

1 1 1 1

ln ln

xf x x xx x

           

.

Comme 1x  , 1

0 x  et

  2

1 1 0

ln x   , c’est-à-dire   0f x  . f est strictement croissante sur  1 ; .

  1

1

lim ln 0 x x

x

 

 d’où  1

1

1 lim

lnx x

x 

  , donc   1

1

lim x x

f x  

  (par somme des limites).

 lim ln x

x 

  d’où  

1 lim 0

lnx x  , donc  lim

x f x

   (par somme des limites).

2. a.    1

lim ln lim 0 lnx x

f x x x 

      

  . Les courbes  C et   sont asymptotes en  .

b.   1

ln ln

f x x x

   ; or, pour 1x  , ln 0x  ; donc   ln 0f x x  ,  C est en dessous de   .

3. a. Ta a pour équation            y f a x a f a f a x f a af a        ; Ta passe par l’origine du

repère si          0 ' 0 0f a f a af a f a af a        .

b.   0g x  équivaut à     0f x xf x  ; or    

2

1 1 1

ln f x

x x

         

et   1

ln ln

f x x x

  , soit :

   

   

 

3 2

2 2 2

ln ln ln 11 1 1 1 1 ln 1 0 ln 1 0 0

ln lnln ln ln

x x x x x x

x x xx x x

                     

.

Par conséquent les équations   0g x  et     3 2

ln ln ln 1 0x x x    ont les mêmes solutions.

c.     23 2 1 1 3 1u t t t t t       .   0u t  pour t appartenant à   1

; 1 ; 3

        

et   0u t 

pour t appartenant à 1

; 1 3

     

.

x  1

3 

1



 u t + 0 − 0 +

u



22

27 

2



Avant 1 le maximum de u est négatif ; après 1, u passe de −2 à  , on en déduit que la fonction u

s’annule une seule fois sur .

d. Ta passe par l’origine du repère si     3 2

ln ln ln 1 0x x x    , c’est-à-dire si  ln 0u x  . Or la

question 3. c. prouve que cette équation n’admet qu’une solution, que l’on notera 0a , sur .

À l’aide de la calculatrice, on trouve 0 6,29a  : il n’existe qu’une seule tangente à (C) passant par

l’origine du repère.

4. Par lecture graphique : résoudre  f x mx revient à chercher l’intersection entre (C) et les droites

passant par l’origine et de pente m ; on a donc pour 1 10x  et  

0

10

10

f m  :

- si 0m m l’équation  f x mx admet une seule solution ;

- si  0 00,187 0,2m m f a    l’équation  f x mx admet deux solutions ;

- si  0m f a l’équation  f x mx n’admet aucune solution.

1. 35. Amérique du Nord 06/2008 (c) 4 points

On considère les suites  nx et  ny définies pour tout entier naturel n non nul par : 1

0

cosnnx t tdt  et 1

0

sinnny t tdt  .

1. a. Montrer que la suite  nx est à termes positifs.

b. Étudier les variations de la suite  nx .

c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite  nx ?

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 1

1 nx

n  

.

b. En déduire la limite de la suite  nx .

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,

   1 1 sin 1n nx n y     .

b. En déduire que lim 0n n

y 

 .

4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul,    1 1 cos 1n ny n x    . Déterminer lim n n

nx 

et

lim n n

ny 

.

Correction

1. a. Pour tout réel t de  0 ; 1 , cos 0t  et 0nt  ; la fonction cosnt t t est positive sur l’intervalle

 0 ; 1 . De plus, cette fonction est continue sur  0 ; 1 , par conséquent 1

0

cos 0nt t dt  , c’est-à-dire que

0nx  pour tout entier naturel n non nul.

b.

      1 1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0 0

cos cos cos cos cos 1 cos n n n n n n nn nx x t t dt t t dt t t t t dt t t t dt t t t dt   

              .

Sur  0 ; 1 , 1 0t  , 0nt  , cos 0t  , la fonction  1 cosnt t t t est négative et   1

0

1 cos 0nt t t dt  ,

1 0n nx x   :  nx est décroissante.

c. Comme  nx est décroissante et minorée par 0,  nx est convergente.

2. a. 0 cos 1t  , soit 0 cosn nt t t  et 1 1

0 0

0 cos n nt t dt t dt   . 11

1

0 0

1 1 1

1 1 1

n n nt dt t x

n n n

         .

b. Comme 1

0 1

nx n

  

et 1 1

lim lim 0 1n nn n   

 , d’après le théorème des gendarmes, lim 0n

n x

  .

3. a. 1

1 1

0

cos nnx t t dt

   . Posons   cosu t t  et   1nv t t  , alors   sinu t t et    1 nv t n t   :

       1 1 11

1 1 1 1 1

00 0 0

cos sin 1 sin sin 1 0 1 sin n n n nnx t t dt t t n t t dt n t t dt    

             

donc    1 1 sin 1n nx n y     .

b. On a   1sin 1

1

n n

x y

n

 

 et 1lim 0n

n x

  (d’après la question 2. b.) d’où :     1lim sin 1 sin 1n

n x

   .

De plus,  lim 1 n

n 

   ; donc, par quotient des limites, lim 0n n

y 

 .

4.    1 1 cos 1n ny n x    .

Alors  1 cos 1n n nnx y x   ; or 1lim 0n n

y  

 et lim 0n n

x 

 donc  lim cos 1n n

nx 

 .

On sait que   1sin 1

1

n n

x y

n

 

 , soit   1sin 1

1 n n

n ny x

n  

 ; comme     1lim sin 1 sin 1n

n x

   et

1 lim lim 1

11 1

n n

n

n

n

   

 

1

car lim 0 n n

   

  , on a par conséquent,  lim sin 1n

n ny

  .

1. 8. Antilles – Guyane 06/2008

1. 36. Antilles - Guyane 06/2008 6 points

Soit f la fonction définie sur  par :   2 3 9

3 2

x xf x e e   .

Partie A

Soit l’équation différentielle (E) : 3' 2 3 xy y e  .

1. Résoudre l’équation différentielle (E’) : ' 2 0y y  .

2. En déduire que la fonction h définie sur  par   2 9

2

xf x e est solution de (E’).

3. Vérifier que la fonction g définie sur  par   33 xg x e  est solution de l’équation (E).

4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E).

Partie B

On nomme Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité 1 cm.

1. Montrer que pour tout x de  on a :   2 3

3 2

x xf x e e   

    

.

2. Déterminer la limite de f en  puis la limite de f en  .

3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f.

4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.

5. Calculer  1f et tracer l’allure de la courbe Cf.

6. Déterminer l’aire A de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm2.

1. 37. Antilles - Guyane juin 2008 5 points

On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher.

U1 contient k boule blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires.

U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dans U1 et on la place dans U2. On tire ensuite, au hasard, une boule dans U2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note B1 (respectivement N1) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U1 ».

On note B2 (respectivement N2) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U2 ».

1. a. Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-contre.

b. Montrer que la probabilité de l’événement B2 est égale à 3 6

4 12

k

k

 .

Dans la suite on considère que k = 12.

Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.

Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

a. Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et −8.

b. Déterminer la loi de probabilité de la variable X.

B1

N1

B2

N2

B2

N2

c. Calculer l’espérance mathématique de X.

d. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.

Au début de chaque épreuve, l’urne U1 contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urne U2 contient 2 boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement B2 soit supérieure ou égale à 0,99.

1. 38. Antilles - Guyane 06/2008 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. L’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que : 2 6 2 7 0

3 5 0

x y z

x y z

         

est :

Réponse A : l’ensemble vide Réponse B : une droite

Réponse C : un plan Réponse D : réduit à un point.

2. Les droites de représentations paramétriques respectives :

1

1 ,

2 3

x t

y t t

z t

      

  

et

2 '

2 ' , '

4 2 '

x t

y t t

z t

      

  

, sont

:

Réponse A : parallèles et distinctes Réponse B : confondues

Réponse C : sécantes Réponse D : non coplanaires

3. La distance du point A(1 ; −2 ; 1) au plan d’équation 3 5 0x y z     est égale à :

Réponse A : 3

11 Réponse B :

3

11

Réponse C : 1

2 Réponse D :

8

11 .

4. Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d’équation 3 5 0x y z     a pour

coordonnées :

Réponse A : (3 ; 1 ; 5) Réponse B : (2 ; 3 ; 1)

Réponse C : (3 ; 0 ; 2) Réponse D : (−2 ; 3 ; −6 )

1. 39. Antilles - Guyane 06/2008 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v , le point A a pour affixe i.

On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z iassocie le point Md’affixe z’ telle que : 2

' z

z z i

  

.

Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M’ connaissant le point M.

1. Un exemple : on considère le point K d’affixe 1 + i.

a. Placer le point K.

b. Déterminer l’affixe du point Kimage de K par f.

c. Placer le point K’.

2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas

a. On considère le point L d’affixe 2

i . Déterminer son image L’ par f. Que remarque t-on ?

b. Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes.

3. Un procédé de construction

On nomme G l’isobarycentre des points A, M, et M’, et g l’affixe de G.

a. Vérifier l’égalité  

1

3 g

z i

 .

b. En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point du cercle de

centre O de rayon 1

3r .

c. Démontrer que    arg ;g u AM  .

d. Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon 1

2 .

On nomme D’ l’image deD par f. Déduire des questions précédentes la construction du point D’ et la réaliser sur la figure.

Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que u OIest partagé en six segments d’égale longueur.

v

u

z=0,3333333

A

IO

1. 9. Asie 06/2008

1. 40. Asie 06/2008 4 points

A. Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausrse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exemple.

Rappel des notations :

* 1 2P P désigne l’ensemble des points communs aux plans P1 et P2.

* L’écriture 1 2P P  signifie que les plan P1 et P2 n’ont aucun point commun.

1. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : 1 2P P  et 2 3P P  , alors on peut

conclure que P1 et P3 vérifient 1 3P P  .

2. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : 1 2 3P P P   , alors on peut conclure

que P1, P2 et P3 sont tels que 1 2P P  et 2 3P P  .

3. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant : 1 2P P  et 2 3P P  , alors on peut

conclure que P2 et P3 vérifient 2 3P P  .

1. Si P1 et P2 sont deux plans distincts et D une droite de l’espace vérifiant : 1P D  et 1 2P P  ,

alors on peut conclure que 2P D  .

B. Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonormal de l’espace on considère les trois plans suivants :

* P1 d’équation 0x y z   , * P2 d’équation 2 3 0x y z    , * P3 d’équation

2 4 3 0x y z    .

1. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’interseclion, notée  .

2. En déduire la nature de l’intersection 1 2 3P P P  .

1. 41. Asie 06/2008 5 points

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :

– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;

– chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :

– on tire au hasard une bille dans S1 ;

– on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;

– on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;

– etc.

Pour tout entier 1n  , on note En l’évènement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note  Enp sa probabilité.

1. Mise en évidence d’une relation de récurrence

a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de  1Ep ,  E 2 1

Ep ,  2E 1

Ep . En déduire la valeur de  2Ep .

b. À l’aide d’un arbre pondéré, exprimer  1Enp  en fonction de  Enp .

2. Étude d’une suite : on considère la suite  nu définie par : 1

1

2

5

1 2

5 5 n n

u

u u

 

    

pour tout 1n  .

a. Démontrer que la suite  nu est majorée par 1.

b. Démontrer que  nu est croissante.

c. Justifier que la suite  nu est convergente et préciser sa limite.

3. Évolution des probabilités  Enp

a. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités  Enp .

b. Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on :  0,49999 E 0,5np  ?

1. 42. Asie 06/2008 4 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour le dessin :

4 cmu  .

M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M’ le point d’affixe z’ telle que 1

'z z

  où z désigne le

conjugué du nombre complexe z.

A. Quelques propriétés

1. Soit z un nombre complexe non nul.

Déterminer une relation entre les modules de z et z’ puis une relation entre les arguments de z et z’.

2. Démontrer que les points O, M et M’ sont alignés.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l’égalité :   1

' 1 1z z z

   .

B. Construction de l’image d’un point

On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1.

On note (C) l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : 1 1z   .

1. Quelle est la nature de l’ensemble (C) ?

2. Soit M un point de (C) d’affixe z, distinct du point O.

a. Démontrer que ' 1 'z z  . Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Est-il vrai que si z’ vérifie l’égalité : ' 1 'z z  , alors z vérifie l’égalité : 1 1z   ?

3. Tracer l’ensemble (C) sur une figure. Si M est un point de (C) , décrire et réaliser la construction du point M’.

1. 43. Asie 06/2008 7 points

A. Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : lim x

x

e

x   . Démontrer que : lim 0x

x xe

  .

B. Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur  par :    1 xf x x e  . On note (C ) sa représentation graphique

dans un repère orthonormal ( ; , )O i j du plan. On prendra 4 cmpour unité graphique.

1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte clans la notation.

Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.

2. Tracer la courbe (C). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.

C. Étude d’une famille de fonctions

Pour tout entier relatif k, on note fk la fonction définie sur  par :    1 kxkf x x e  .

On note (Ck)la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas k = −1 a été traité dans la partie B, car on a f−1 = f et (C−1) = (C).

1. a. Quelle est la nature de la fonction f0 ?

b. Déterminer les points d’intersection des courbes (C0) et (C1).

Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe (Ck).

2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression :   1 1xx e  . En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes (Ck)et (Ck+1).

3. Calculer  kf x pour tout réel x et pour tout entier k non nul.

En déduire le sens de variation de la fonction fk suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas : k > 0 et k < 0.)

4. Le graphique précédent représente quatre courbes (E), (F), (H), et (K), correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2.

Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.

D. Calcul d’une aire plane

Soit  un réel strictement positif. La fonction f est celle définie dans la partie B.

1. l’aide d’une intégration par parties, calculer le nombre :     0

A f t dt

   .

2. Déterminer  lim A

 

. Interpréter graphiquement le résultat.

1. 10. Centres étrangers 06/2008

1. 44. Centres étrangers 06/2008 4 points

L'espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les points : A(2 ; 1 ; −1), B(−1 ; 2 ; 4), C(0 ; −2 ; 3), D(1 ; 1 ; −2) et le plan (P) d'équation 2 1 0x y z    .

Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et !’un des deux mots VRAI ou FAUX à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l’exercice est ramenée à 0.

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