Contrôle - sciences mathématique 2 - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 2 - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 2 - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation paramétrique de la droite, l'image de C, la probabilité.
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1. Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan.

2. Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan (P).

3. Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : 8 11 0x y z    .

4. Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est :

2

2 3 ,

3 4

x k

y k k

z k

    

  

.

5. Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

6. Affirmation 6 : la distance du point C au plan (P) est égale à 4 6 .

7. Affirmation 7: la sphère de centre D et de rayon 6

3 est tangente au plan (P).

8. Affirmation 8 : le point 4 2 5

; ; 3 3 3

E      

est le projeté orthogonal du point C sur le plan (P).

1. 45. Centres étrangers 06/2008 5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v ; l'unité graphique est 1 cm.

1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 2 4 8 0z z   . On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

2. On note A et B les points du plan d'affixes respectives : 2 2a i  et b a  . Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.

a. Déterminer l'affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle 2

 .

b. On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle 2

 ;démontrer que l’affixe d du point D

est 2 6d i  .

c. Placer les points C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

3.  étant un nombre réel non nul, on désigne par G le barycentre du système :

      , 1 ; , 1 ; ,A B C  .

a. Exprimer le vecteur CGen fonction du vecteur BA .

b. En déduire l'ensemble des points G lorsque  décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet

ensemble.

c. Pour quelle valeur de  a-t-on G D  ?

4. On suppose dans cette question que 2  .

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que 2 4 2MA MB MC   .

1. 46. Centres étrangers 06/2008 4 points

Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :

* les ingénieurs ; * les opérateurs de production ; * les agents de maintenance.

Il y a 8 % d'ingénieurs et 82 % d'opérateurs de production.

Les femmes représentent 50 % des ingénieurs, 25 % des agents de maintenance et 60 % des opérateurs de production.

Partie A

Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise. On note :

* Ml'événement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ;

* Ol'événement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ;

* I l'événement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ;

* Fl'événement : « le personnel interrogé est une femme ».

1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d'interroger :

a. un agent de maintenance ; b. une femme agent de maintenance ; c. une femme.

Partie B

Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue. Des études ont montré que sur une journée :

* la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,002 ;

* la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ;

* la probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04 .

On note :

* Al'événement : « l'alarme se déclenche » ; * Bl'événement : « une panne se produit ».

1. Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,037.

2. Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.

3. Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.

1. 47. Centres étrangers 06/2008 7 points

I. Restitution organisée des connaissances

Prérequis : on rappelle que : lim x

x

e

x   .

1. Démontrer que ln

lim 0 x

x

x  .

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : ln

lim 0 nx

x

x  .

II. Étude d'une fonction f

Soit f la fonction définie sur l'intervalle  0 ;  par :   2

ln x f x x

x   .

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j (unité graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle  0 ;  par   3 1 2lnu x x x   .

a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle  0 ;  .

b. Calculer  1u et en déduire le signe de  u x pour x appartenant à l'intervalle  0 ;  .

2. Étude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en 0 et en  .

b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f.

3. Éléments graphiques et tracés.

a. Démontrer que la droite   d'équation y x est asymptote oblique à la courbe (C).

b. Déterminer la position de (C)par rapport à   .

c. Tracer la courbe (C) et la droite   .

III. Calculs d'aires

On note  un nombre réel strictement positif et on désigne par  A l'aire, exprimée en unités d'aire,

de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite   et les droites d'équation x = 1 et x  .

1. On suppose dans cette question que 1  .

a. À l’aide d'une intégration par parties, démontrer que :   ln 1

1A

  

   .

b. Déterminer la limite l de  A lorsque  tend vers  .

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que 1

l A e

      

.

1. 11. La Réunion 06/2008

1. 48. La Réunion 06/2008 5 points

Tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.

Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.

1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.

a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité des événements suivants :

A : « il n'y a aucun stylo avec un défaut » ;

B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ;

C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».

2. En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut.

On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l'événement « le stylo présente un défaut », et E l'événement « le stylo est accepté ».

a. Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé.

b. Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.

c. Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à 10−3 près.

3. Après le contrôle on prélève successivement et avec remise huit stylos parmi les stylos acceptés.

Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement A calculée à la question 1. b. Quel commentaire peut-on faire ?

1. 49. La Réunion 06/2008 5 points

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur  0 ;  par :   2

ln x f x

x  .

Sa courbe représentative (C), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous.

1. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l'ensemble de définition ainsi que l'extremum.

Enoncer puis démontrer ces propriétés.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans î 'évaluation.

Existe-t-il des tangentes à la courbe (C) qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation.

Partie B

Soit g la fonction définie sur l'intervalle  0 ;  par   2

1

lnx t g x dt

t   .

1. a. Que représente f pour la fonction g ?

b. En déduire le sens de variations de g sur  0 ;  .

2. Interpréter géométriquement les réels  3g et 1

2 g      

.

3. a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que   ln 1

1 x

g x x

  

b. Déterminer la limite de g en  .

x 0 1 2e



 f x



1

2e

0

1. 50. La Réunion 06/2008 5 points

On considère la suite  n nu  définie par : 0 5u  et, pour tout entier 1n  , 1 2 6

1n nu u n n

       

.

1. a. Calculer 1u .

b. Les premières valeurs de nu sont données ci-dessous :

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nu 45 77 117 165 221 285 357 437 525 621

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite  n nd  définie par 1n n nd u u  .

2. On considère la suite arithmétique  n nv  de raison 8 et de premier terme 0 16v  . Justifier que la

somme des n premiers termes de cette suite est égale à 24 12n n.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : 24 12 5nu n n   .

4. Valider la conjecture émise à la question 1. b.

1. 51. La Réunion 06/2008 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Soit (C) le cercle de centre O et

de rayon 1.

On considère le point A de (C)d'affixe 3 i

Az e

 .

1. Déterminer l'affixe Bz du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle 2

3

 . Déterminer

l'affixe Cz du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle 2

3

 .

2. a. Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

3. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport −2.

a. Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par h.

b. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.

4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.

a. Donner l’écriture complexe de h.

b. Calculer A B Cz z z  . En déduire que A est le milieu du segment [QR].

c. Que peut-on dire de la droite (QR)par rapport au cercle (C) ?

1. 12. Liban 06/2008

1. 52. Liban 06/2008 4 points

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.

1. Soit R l'événement « le joueur obtient une boule rouge ». Montrer que p(R) = 0,15.

2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ?

Partie B

Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).

Soit x un entier naturel non nul.

Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.

On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2x, x−1et – 4.

1. Déterminer la loi de probabilité de G.

2. Exprimer l'espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x.

3. Pour quelles valeurs de x a-t-on E(G) > 0 ?

1. 53. Liban 06/2008 5 points

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. Soit z un nombre complexe d'argument 3

 .

Proposition 1 : « z100 est un nombre réel ».

2. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1 du plan telle que 1 1

z

z

 .

Proposition 2 : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ».

3. Soit r la rotation d'angle 2

  et dont le centre K a pour

affixe 1 3i .

Proposition 3 : « l'image du point O par la rotation r

a pour affixe    1 3 1 3i   ». 4. On considère l'équation (E) suivante :

2 2cos 1 0 5

z z  

     

.

Proposition 4 : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ».

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1, représenté ci- contre.

Proposition 5 : « le vecteur AG est normal au plan (BDE) ».

Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ».

H G

D C

F E

BA

1. 54. Liban 06/2008 6 points

Partie A. Démonstration de cours

Prérequis : définition d'une suite tendant vers  .

« Une suite tend vers  si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A »

Démontrer le théorème suivant : Une suite croissante non majorée tend vers  .

Partie B

On considère la fonction f définie sur l'intervalle  0 ;  par     2 1

ln 1 2

f x x x   .

La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle  0 ;  .

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

3. Tracer la droite (T) sur le graphique.

Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle  0 ;  ,la courbe (C) est située au dessus de la droite (T).

Partie C

On considère la suite  nu définie sur  par : 0 1u  et, pour tout entier naturel n,  1n nu f u  .

1. Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite  nu en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).

2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite  nu et son comportement lorsque n tend vers  ?

3. a. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1nu  .

b. Montrer que la suite  nu est croissante.

c. Montrer que la suite  nu n'est pas majorée.

d. En déduire la limite de la suite  nu .

1. 55. Liban 06/2008 5 points

On considère une fonction f dérivable sur l'intervalle  ;  . On donne le tableau de ses variations :

x  0 2 

 f x + + 0 −

 f x



0

21 e

1

Soit g la fonction définie sur  ;  par     0

x

g x f t dt  .

Partie A

1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C) susceptible de représenter f dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées).

2. a. Interpréter graphiquement  2g .

b. Montrer que  0 2 2,5g  .

3. a. Soit x un réel supérieur à 2. Montrer que   2

2 x

f t dt x  . En déduire que   2g x x  .

b. Déterminer la limite de la fonction g en  .

4. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle  ;  .

Partie B

On admet que pour tout réel t,    1 1tf t t e   .

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel x l'intégrale   0

1 x

tt e dt .

2. En déduire que pour tout réel x,    1 xg x x e  . 3. Déterminer la limite de la fonction g en  .

1. 13. France 06/2008

1. 56. France 06/2008 (c) 5 points

Les courbes (C) et (C’)données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal

( ; , )O i j , les fonctions f et g définies sur l'intervalle  0 ;  par :   lnf x x et     2

lng x x .

1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée. On note 1

ln e

I xdx 

et   2

1

ln e

J x dx  .

a. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle  0 ;  par   lnF x x x x  est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I.

b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que 2J e I  .

c. En déduire J.

d. Donner la valeur de A.

2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas.

Pour x appartenant à l'intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe (C) d'abscisse x et N le point de la courbe (C’)de même abscisse.

Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.

Correction

1. a. On dérive :   1

' 1 ln 1 ln 1 1 lnF x x x x x x

         donc F est une primitive de ln.

        1

ln 1 ln 1ln 1 1 1 e

I xdx F e F e e e        .

b & c. Posons ln

' ln

u x

v x

  

d’où

1 '

ln

u x

v x x x

 

   

et

        2 2

1 11 1

ln ln ln ln 1 0 0 2 2 e ee

e J x dx x x x x x dx I x e e I             

    .

Remarque : on n’a pas besoin de passer par I pour calculer J

d.  1 2 3A I J e e       .

2. Comme a priori on ne sait pas qui est au-dessus, il faut prendre la valeur absolue :

        2

ln ln ln ln 1MN g x f x x x x x      .

Sur [1 ; e] ln 0x  et ln 1 0x   donc     2

ln lnMN h x x x   . Sa dérivée vaut 1 1 1 2ln

2 ln x

x x x x

  

qui est nulle pour

1

2x e , ce qui donne la distance maximale

1

2 1

4 h e         

.

1. 57. France 06/2008 (c) 5 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal ( ; , , )O i j k ,on considère les points A(1, 1, 0), B(1, 2, 1) et

C(3, −1, 2).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2 3 0x y z    .

2. On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives 2 4 0x y z    et 2 3 2 5 0x y z    .

Démontrer que l'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D) dont une représentation

paramétrique est :

2

3 ,

x t

y t

z t

     

 

.

3. Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q)?

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.

Déterminer la distance du point A à la droite (D).

Correction

1. a.  0 ;1 ;1AB ,  2 ; 2 ; 2AC   , les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Soit  2 ;1 ; 1n   un vecteur normal à 2 3 0x y z    ; on a alors . 0 1 1 0n AB    et

. 4 2 2 0n AC     ; par ailleurs A vérifie 2 3 0x y z    . Donc (ABC) a pour équation

2 3 0x y z    .

2.

2 4 0 2 4 2 4 2

2 3 2 5 0 2 3 2 5 4 2 8 3 2 5 3

x y t x y t x y t x t

x y t x y t y t y t y

z t z t z t z t

                                        

         

.

3. Remplaçons :  2 3 0 2 2 3 3 0 4x y z t t t             ; les plans se coupent en un point :

 2 ; 3 : 4D .

4. On remarque que A est dans (Q), mais ça n’avance pas à grand chose. Il faut trouver le plan passant par A et orthogonal à (D) puis le point d’intersection E entre ce plan et (D) :

 D 1 ; 0 ;1u  ,      D. 0 1 .1 1 .0 0 .1 0 1 0AM u x y z x z            ;

on coupe avec (D) :   3

2 1 0 2

t t t       d’où 1 3

; 3 ; 2 2

E      

et

  2 2

21 3 34 1 3 1 0

2 2 4 AE

                  

.

1. 58. France 06/2008 (c) 5 points

La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre  où  est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout 0t  ,   0

t xP X t e dx    .

La fonction R définie sur l'intervalle [0 ;  [ par    R t P X t  est appelée fonction de fiabilité.

1. Restitution organisée de connaissances

a. Démontrer que pour tout 0t  on a   tR t e  .

b. Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout

réel 0s  , la probabilité conditionnelle  X tP X t s   ne dépend pas du nombre 0t  .

2. Dans cette question, on prend 0,00026  .

a. Calculer  1000P X  et  1000P X  .

b. Sachant que l'événement  1000X  est réalisé, calculer la probabilité de l'événement  2000X  .

c. Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Correction

1. a.        0 0

1 1 1

t x

t teR t P X t P X t e e e

 

  

              

   .

b.       

 

 

 

 

  t s

s X t t

P X t X t s P X t s e P X t s e P X s

P X t P X t e

 

  

 

             

  .

2. a.   1000 0,261000 1 1 0,23P X e e        .   0,261000 0,77P X e   .

b. Avec la question 1, on a       0,26

1000 2000 1000

X P X P X e 

    .

c. C’est encore la même chose…       0,26

2000 3000 1000

X P X P X e 

    .

Puisqu’il n’y a pas de mémoire, si l’agenda fonctionne pendant T, il fonctionnera pendant T+1000

toujours avec la probabilité 0,26e .

1. 59. France 06/2008 (c) 5 points

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 1 cm).

Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, 3 − i et 2.

À tout point M d'afïïxe z, on associe le point Md'affixe ztelle que 2' 4z z z  . Le point Mest appelé l'image de M.

1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.

2. Calculer les affixes des points Aet B’,images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe −5.

4. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a :   2

' 4 2z z   .

b. En déduire une relation entre ' 4z  et 2z  et, lorsque z est différent de 2, une relation entre

 arg ' 4z  et  arg 2z  .

c. Que peut-on dire du point Mlorsque M décrit le cercle (C) de centre I et de rayon 2 ?

5. Soient E le point d'affixe 32 2 i

e

 , J le point d'affixe −4 et El'image de E.

a. Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle  ,u IE .

b. Calculer la distance JEet une mesure en radians de l'angle  , 'u JE . c. Construire à la règle et au compas le point E’ ; on laissera apparents les traits de construction.

Correction

1. La figure est laissée au lecteur…

2. ' 4 2Az i   , ' 4 2Bz i   , les points Aet B’ sont confondus.

3. 2 2 1 24 5 4 5 0 16 20 4, 2 , 2z z z z z i z i                .

4. a.   22' 4 4 4 2z z z z      .

b.   2 2

' 4 2 2z z z     ,    arg ' 4 2arg 2z z   .

c. Lorsque M décrit le cercle (C) de centre I et de rayon 2, on a 2 2 ' 4 4z z     , le point M

parcourt le cercle (C’) de centre J le point d'affixe −4 et de rayon 4.

5. 3 32 2 2 2 2 i i

IE e e

 

     donc E est sur (C) et E’ est sur (C’).

     3 2

, arg 2 , ' 2 , 3 3

i

u IE e u JE u IE

   

         

.

c. La figure est laissée au lecteur… faut pas charrier…

1. 14. Polynésie 06/2008

1. 60. Polynésie 06/2008 4 points

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, 1"équation 2 6 13 0z z   .

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d'unité graphique 1 cm. On

considère les points A, B, C d'affixes respectives 3 2a i  , 3 2b i  , 4c i .

2. Faire une figure et placer les points A, B, C.

3. Montrer que OABC est un parallélogramme.

4. Déterminer l'affïxe du point  , centre du parallélogramme OABC.

5. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que 12MO MA MB MC    .

6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par  la partie imaginaire de l'affixe du point M. On

note N l'image du point M par la rotation de centre D et d'angle 2

 .

a. Montrer que N a pour affixe 5 5

2 2 i  .

b. Comment choisir  pour que N appartienne à la droite (BC) ?

1. 61. Polynésie 06/2008 4 points

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère les points A(1 ; 2 ; 3),

B(0 ; 1 ; 4), C(−1 ; −3 ; 2), D(4 ; −2 ; 5) et le vecteur  2 ; 1 ;1n  .

1. a. Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. Soit (  ) la droite dont une représentation paramétrique est :

2 2

1

4

x t

y t

z t

     

  

avec t .

Montrer que le point D appartient à la droite ( ) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).

3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.

1. 62. Polynésie 06/2008 5 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si. elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète. ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Soit f la fonction solution sur  de l'équation différentielle ' 2y y   telle que  ln 2 1f  .

Proposition 1 : « La courbe représentative de fadmet au point d'abscisse 0, une tangente

d'équation 2y x ».

2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle  ;A  où A est un réel strictement positif.

Proposition 2 : « Si  lim 0 x

f x 

 alors    lim 0 x

f x g x 

 ».

3. On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg.

Proposition 3 : « À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».

4. Soient A et B deux événements d'un même univers  muni d'une probabilité p.

Proposition 4 : « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(AB) = 0,8 ».

5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2 % de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99 % des pièces défectueuses et accepte 97 % des pièces non défectueuses.

On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.

Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 »,

1. 63. Polynésie 06/2008 7 points

Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

* Si 0u sur [a ; b] alors   0 b

a

u x dx  . * Pour tous réels  et 

        b b b

a a a

u x v x dx u x dx v x dx          .

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout

x de [a ; b],    f x g x , alors     b b

a a

f x dx g x dx  .

Partie B

On considère la fonction f définie sur  0 ;  par :    ln 1 xf x x e   . Sa courbe représentative (C) ainsi que la droite (D) d'équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

1. Montrer que f est croissante et positive sur  0 ;  .

2. a. Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite (D).

b. Étudier la position de (C) par rapport à (D).

3. Soit I l'intégrale définie par :     1 1

0 0

ln 1 xI e dx f x x dx        . On ne cherchera pas à calculer I.

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Montrer que pour tout réel 0t  , on a  ln 1 t t  . (On pourra étudier les variations de la fonction g

définie sur  0 ;  par    ln 1g t t t   )

On admettra que pour tout réel 0t  , on a  ln 1 1

t t

t  

 .

c. En déduire que pour tout x de  0 ;  , on a :  ln 1 1

x x x

x

e e e

e

  

   

 .

d. Montrer que 1 1

2 ln 1

1 I e

e

     

  .

e. En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.

4. On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à (C) et (D).

On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque ia distance MN est inférieure à 0,5 mm.

Déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. 15. Nouvelle Calédonie 03/2008

1. 64. Nouvelle Calédonie 03/2008 (c) 5 points

On considère la fonction f définie sur ]−1 ; 6[ par   9

6 f x

x  

. On définit pour tout entier n la suite (Un)

par  

0

1

3

n n

U

U f U

  

 .

1. La courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous accompagnée de celle de la droite d’équation y = x. Construire, sur ce graphique les points M0(U0 ; 0), M1(U1 ; 0), M2(U2 ; 0), M3(U3 ; 0) et M4(U4 ; 0).

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (Un) ?

2. a. Démontrer que si x < 3 on a alors 9

3 6 x

 

. En déduire que Un < 3 pour tout entier naturel n.

b. Étudier le sens de variation de la suite (Un).

c. Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ?

3. On considère la suite (Vn) définie par 1

3 n

n

V U

 pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 1

3  .

b. Déterminer Vn puis Un en fonction de n.

c. Calculer la limite de la suite (Un).

Correction

1. Voir la figure ci-dessous.

La suite semble croissante et converger vers le point (3 ; 3), soit vers une limite égale à 3.

2. a. Si x < 3, 1 1 9

3 6 3 3 6 3 6

x x x x

           

(on aurait pu utiliser les variations de f).

Par récurrence on a alors : U0< 3 par définition ; si 3nU  alors   9

3 6

n n

f U U

  

et donc 1 3nU   .

b.  

22

1

36 99

6 6 6

nn n n n n

n n n

UU U U U U

U U U

      

   qui est positif puisuqe 6nU  .

La suite est croissante.

c. Un est croissante et majorée, elle converge donc.

3. a. 1 1 1

3 3 3

n n n n n n

V U U U V V       

 ; on a donc en remplaçant :

1 1 1

9 9 9 39 1 9 1 9 3 3 3 3

1 16 3 1 3 1 3 1 6 3 3

n n n n

n n n n n n

n n

V V V U

U V V V V V

V V

  

                

  

,

soit 1 3 1 1

3 3

n n n

V V V

    ; (Vn) est une suite arithmétique de raison

1

3  .

b. 0 0

1 1

3 6 V

U   

 d’où 0

1 1 1 2

6 3 6 n

n V V nr n

        et

1 6 3 3

2 1 n

n

U V n

    

.

c. La limite de la suite (Un) est alors bien évidemment 3…

1. 65. Nouvelle Calédonie 03/2008 (c) 5 points

Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :

- pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris ;

- pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.

1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge de deux mois.

a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.

b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ?

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10−2 près.

3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté.

Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique, arrondie au centime.

Correction

1. a. Pour que le poisson soit toujours vivant il faut qu’il soit encore vivant sachant qu’il provient du 1er élevage ou qu’il soit vivant sachant qu’il provient du 2ème élevage : avec un arbre on a alors

         1 21 2 0,9 0,6 0,95 0,4 0,92E Ep V p V p E p V p E       .

b. Même type de calcul :          1 21 2 0,75 0,6 0,65 0,4 0,71E Ep R p R p E p R p E       .

c.          1 21 2 0,15 0,6 0,30 0,4 0,21E Ep G p G p E p G p E       ;

   

 

   

  11 1

1

0,15 0,6 0,43

0,21

E

G

p G p Ep E G p E

p G p G

      .

On remarquera qu’un poisson peut mourir, devenir Rouge ou devenir Gris : 0,08+0,71+0,21 = 1.

2. Schéma de Bernoulli/Loi binomiale : 5n  , 0,92p  , 3k  ;   3 2 5

3 0,92 0,08 0,05 3

P k  

     

.

3.  1 0,71p X   ,  0,25 0,21p X   ,  0,1 0,08p X    .

 E 0,71 1 0,25 0,21 0,1 0,08 0,75 centX        .

1. 66. Nouvelle Calédonie 06/2008 (c) 5 points

L’espace est rapporté à un repère ( ; , , )O i j k , orthonormé. Soit t un nombre réel.

On donne le point A(−1 ; 2 ; 3) et la droite D de système d’équations paramétriques :

9 4

6

2 2

x t

y t

z t

    

  

.

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance d entre le point A et la droite D.

1. a. Donner une équation cartésienne du plan P perpendiculaire à la droite D et passant par A.

b. Vérifier que le point B(−3 ; 3 ; −4) appartient à la droite D.

c. Calculer la distance dB entre le point B et le plan P.

d. Exprimer la distance d en fonction de dB et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de d.

2. Soit M un point de la droite D. Exprimer AM2 en fonction de t. Retrouver alors la valeur de d.

Correction

1. a. Un vecteur directeur de D est  4 ;1 ; 2 : 1 4

. 0 2 . 1 0 4 2 4 0

3 2

x

AM n y x y z

z

       

                  

.

b. Il faut trouver t :

3 9 4 3

3 6 3

4 2 2 3

t t

t t

t t

             

      

; on a la même valeur de t pour les trois lignes donc B est bien

sur la droite.

c. On applique la formule de la distance : 2 2 2

4 3 1 3 2 4 4 21 21

214 1 2 Bd

        

  .

d. A est sur le plan P, B est sur la droite D orthogonale à P, on utilise le théorème de Pythagore :

    2 22 2 2 2 2 2 22 1 7 21 54 21 33 33B BAB d d d AB d d                .

2.       2 2 22 2 2 29 4 1 6 2 2 2 3 100 80 16 16 8 4 4 1AM t t t t t t t t t                  , soit

 2 2117 84 21AM f t t t    ; le minimum de f est atteint lorsque  ' 0 84 42 0 2f t t t       , soit

une distance minimale  2 117 168 84 33d f      .

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