Contrôle - sciences mathématique  20, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 20, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 20 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées, les quatre probabilités, l'encadrement du nombre.
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Terminale S

Terminale S novembre 2010

Amérique du Sud

1. Exercice 1, 6 points

On admet que si D et D’ sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite  perpendiculaire à D et D’. Si  coupe D en le point I et D’ en le point J, la distance IJ est appelée distance de D à D’.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On note D la droite des abscisses et D’ la droite de représentation paramétrique 3 3 ,

1

x t

y t t

z t

     

  

.

1. Justifier que les droites D et D’ ne sont pas coplanaires.

2. On considère la droite  perpendiculaire commune à D et D’. Prouver qu’il existe deux

réels b et c tels que le vecteur w bj ck  soit

un vecteur directeur de  .

3. a. Vérifier que le plan P d’équation :

3 0y z   est un plan contenant la droite D.

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droite D’ et du plan P.

c. Justifier que la droite passant par J, de

vecteur directeur w est sécante à D en un point I et qu’elle est la perpendiculaire commune à D et D’.

d. En déduire la distance de D à D’.

2. Exercice 2, 5 points

Un internaute souhaite faire un achat par l’intermédiaire d’Internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un canadien et un indien présentent le matériel qu’il souhaite acquérir. L’expérience a montré que la probabilité qu’il utilise chacun de ces sites vérifie les conditions suivantes (les initiales des pays désignent les évènements « l’achat s’effectue dans le pays ») :

   P F P A ,     1

2 P F P C et    P C P I .

1. Calculer les quatre probabilités P(F), P(A), P(C) et P(I).

2. Sur chacun des quatre sites, l’internaute peut acheter un supplément pour son matériel. Ses expériences précédentes conduisent à formuler ainsi les probabilités conditionnelles de cet évènement, noté S :

  0,2FP S  ;   0,5AP S  ;   0,1CP S  ;   0,4IP S  .

a. Déterminer  P S A .

b. Montrer que   17

60 P S  .

c. L’internaute a finalement acheté un supplément. Déterminer la probabilité qu’il l’ait acheté sur le site canadien.

3. Sur 1 000 internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante :

Sites européens Site canadien Site indien

Effectif d’acheteurs 335 310 355

a. On note respectivement f1, f2 et f3 les fréquences associées aux effectifs précédents. On pose : 3 2

2

1

1

3

k

k

k

d f

    

   .

Calculer d2 puis 1000d2.

b. On simule 3 000 fois l’expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi {1 ; 2 ; 3} avec équiprobabilité. Pour chacune de ces simulations on obtient une valeur de 1000d2. Voici les résultats :

Minimum Premier

décile Premier quartile

Médiane Troisième

quartile Neuvième

décile Maximum

0,0005 0,0763 0,2111 0,48845 0,9401 1,5104 5,9256

Au risque 10%, peut-on considérer que le choix d’un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière équiprobable ?

3. Exercice 3, 5 points

Le but de l’exercice est de donner un encadrement du nombre I défini par : 21

0 1

xx e I dx

x

 .

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par   1

xe f x

x  

.

1. Étudier les variations de f sur [0 ; 1].

2. On pose, pour tout entier naturel n,

0

n

n

k

k S f

n

    

   .

a. Justifier que pour tout entier k compris entre 0 et 4, on a :  1 / 5

/ 5

1 1 1

5 5 1 5 5

xk

k

k e k f dx f

x

         

    .

Interpréter graphiquement à l’aide de rectangles les inégalités précédentes.

b. En déduire que :   1

4 5 0

1 1 1

5 1 5

xe S dx S

x   

 .

c. Donner des valeurs approchées à 10–4 près de S4 et de S5 respectivement. En déduire l’encadrement : 1

0

1,091 1,164 1

xe dx

x  

 .

3. a. Démontrer que pour tout réel x de [0 ; 1], on a : 21

1 1 1

x x

x x   

  .

b. Justifier l’égalité   1 1

0 0

1 1

x xe dx e x dx I

x   

  .

c. Calculer   1

0

1xe x dx .

d. En déduire un encadrement de I d’amplitude strictement inférieure à 10–1.

4. Exercice 4 (non spécialistes), 5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; , )u v .

Soit A, B et P les points d’affixes respectives 5 5a i  , 5 5b i  et p = 10. On considère un point M, distinct de O, d’affixe z.

On note Ule point d’affixe u, image du point Mpar la rotation RA de centre A et d’angle de mesure 2

  .

On note Tle point d’affixe t, image du point Mpar la rotation RB de centre B et d’angle de mesure 2

.

Soit Dle symétrique du point Mpar rapport à O.

1. Démontrer que l’affixe du point Uest  10u i z  ; exprimer en fonction de z l’affixe du point Tpuis

justifier que le quadrilatère MUDTest un parallélogramme de centre O.

2. Déterminer l’ensemble  des points Md’affixe z tels que : 5 5 0zz z z   . Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans  .

3. On suppose que le point Mest distinct de O, A et P. Les points O, Met U sont donc distincts deux à deux.

a. Démontrer que les points O, Met Usont alignés si et seulement si u u

z z  .

b. Démontrer que les points O, Met Usont alignés si et seulement si Mappartient à  .

4. Déterminer l’ensemble des points Mdu plan tels que OMUsoit un triangle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère MUDT?

5. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que u

z soit un imaginaire pur. En déduire la

nature du quadrilatère MUDTdans le cas où Mest un point de la droite (OP) privée de O et P.

Prouver finalement qu’il existe une unique position du point Mtel que MUDTsoit un carré.

5. Exercice 4 (spécialistes), 5 points

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose   4 1A n n  .

L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n).

1. Quelques résultats

a. Étudier la parité de l’entier A(n).

b. Montrer que, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas un multiple de 3.

c. Montrer que tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n.

d. Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) :  8 1 modn d .

2. Recherche de critères

Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que  1 modkn d .

a. Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s, montrer que s divise k.

b. En déduire que s est un diviseur de 8.

c. Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d – 1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.

3. Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair.

Soit p un diviseur premier de A(n). En examinant successivement les cas s = 1, s = 2 puis s = 4, conclure que p est congru à 1 modulo 8.

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de A(12).

Indication : la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, . . .

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