Contrôle - sciences mathématique 4 - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 4 - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 4 - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices communs.
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Première S mars 2008

Olympiades académiques de mathématiques

1. Exercices communs 1 2. Amiens 3 3. Besançon 6 4. Bordeaux 7 5. Caen 9 6. Clermont Ferrand 10 7. Créteil 12 8. Corse 13 9. Dijon 14 10. Grenoble 15 11. Lille 16

12. Marseille 17 13. Montpellier 20 14. Nancy-Metz 22 15. Nice 24 16. Orléans Tours 26 17. Paris (*) 27 18. Poitiers 27 19. Strasbourg 28 20. Toulouse 29 21. Versailles 31

Les sujets des académies accompagnées de (*) ne me sont pas connus.

1. Exercices communs

1-a : Les bons nombres

On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon » s’il peut s’écrire comme la somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1.

On dit qu’il est « mauvais » s’il n’est pas « bon ».

Ainsi, par exemple :

2 =1 + 1 et 1 1

1 1 1   , donc 2 est « mauvais » (la seule décomposition possible pour 2 étant 1+1).

3 =1 + 2 et 1 1

1 1 2   ; 3 =1 + 1 + 1 et

1 1 1 1

1 1 1    donc 3 est également « mauvais » (les deux

décompositions possibles pour 3 ayant été examinées).

1. Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s’il est « bon » ou « mauvais ».

2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon ».

3. Montrer que si n est « bon », alors 2n + 2 et 2n + 9 sont « bons ».

4. On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont « bons ». Qu’en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ?

Pour une résolution complète de ce problème, on pourra consulter Quadrature, n°3, avril 1990.

Correction

1. Pour répondre à cette question, nous ne considérerons que les décompositions des entiers compris entre 4 et 10 en sommes d’entiers ne faisant pas apparaître le nombre 1, attendu que dans ces cas, la somme des inverses des termes de la somme est strictement supérieure à 1.

La seule décomposition de 4 à considérer est : 4 = 2+2, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 1. Donc 4 est un bon nombre.

Dans la suite, on peut éliminer les décompositions comportant deux 2. La seule décomposition de 5 à considérer est : 5 = 3+2, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 5/6. Donc 5 est mauvais.

Les décompositions de 6 à considérer sont : 6 = 4+2, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 3/4. 6 = 3+3, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 2/3. Donc 6 est mauvais.

Les décompositions de 7 à considérer sont : 7 = 5+2, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 7/10, 7 = 4+3, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 7/12. Donc 7 est mauvais.

Parmi les décompositions de 8 à considérer figure : 8 = 2+4+4, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 1. Donc 8 est un bon nombre.

Parmi les décompositions de 9 à considérer figure : 9 = 3+3+3, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 1. Donc 9 est un bon nombre.

Dans la suite, on peut éliminer les décompositions comportant trois 3.

Parmi les décompositions de 10 figure : 10 = 4+4+2, pour laquelle la somme des inverses des termes de la somme est 1. Donc 10 est un bon nombre.

2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on peut écrire : n² = n + n + n +...+ n + n, somme de n termes.

La somme de leurs inverses vaut 1. Donc n² est un bon nombre.

3. Si n est un bon nombre, il existe une décomposition n = a + b + ...+ k telle que 1/a + 1/b +...+1/k = 1.

À la décomposition 2n = 2a + 2b +... +2k est donc associée la somme 1/2, et donc à la décomposition 2n + 2 = 2a + 2b +... +2k + 2 la somme 1. 2n +2 est donc un bon nombre.

La même décomposition de 2n, associée à la décomposition 9 = 3 + 6, conduit au résultat : 2n + 9 est un bon nombre.

4. On peut écrire : 56 = 2×27 +2 et 57 = 2×24 + 9. Ces deux nombres sont donc bons. Tous les nombres pairs supérieurs à 56 sont donc bons. Il en est de même des nombres impairs supérieurs à 57.

1-b : Un partage équitable

x

x

1. Léonard est géomètre.

Il veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire selon le schéma ci-contre.

Quelle valeur doit-il donner à x pour arriver à ses fins ?

x

x

2. Mais Léonard est aussi esthète.

Ne trouvant pas élégante sa construction, il décide de supprimer la zone triangulaire grisée. Ainsi les trois parties restantes sont triangulaires.

Peuvent-elles avoir la même aire ?

J

H

I

D C

BA

3. Et Léonard est mathématicien.

Ayant réalisé grossièrement (ci-contre) la construction de la question 2, il mène du point H la perpendiculaire (HJ) à la droite (AB).

Il a l’impression que les droites (HJ), (DI) et (AC) sont concourantes.

Qu’en est-il ?

2. Amiens

http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/

2-a : Carré magique

Concours S

1 3 1

3 5 6

2 4 4

1. On peut modifier le tableau ci-dessus à l’aide des opérations suivantes :

• multiplier tous les nombres d’une ligne par 2,

• soustraire 1 à tous les nombres d’une colonne.

Montrer qu’en appliquant ces opérations on peut obtenir un tableau dont tous les nombres sont nuls.

2. Montrer qu’on peut obtenir le même résultat à partir de tout tableau de 3 lignes et 3 colonnes ne contenant que des entiers strictement positifs.

(On pourra numéroter les lignes L1, L2, L3 et les colonnes C1, C2, C3).

2-b : Aires de triangles

Concours S

1. Question préliminaire :

Soit deux triangles MNP et MNP’ tels que (PP’) soit parallèle à (MN). Démontrer que ces deux triangles ont la même aire.

2. Chaque côté d’un triangle T est partagé en 4 segments de longueur égale. On construit des polygones D1, D2, D3 et D4 comme indiqué sur la figure.

Voici quatre « photos » de ce triangle (en pointillés) et des polygones D1, D2, D3 et D4.

a. Montrer de proche en proche que D1, D2, D3 puis D4 ont des aires égales.

b. En déduire le rapport :  

  1aire D

aire T .

Polygone D1 Polygone D2

Polygone D3 Polygone D4

Correction

Question préliminaire :

puisque (PP’) est parallèle à (MN), alors les deux hauteurs [PQ] et [P’Q’] ont la même longueur.

Par conséquent :

    MN× PQ MN× P'Q'

aire MNP aire MNP' 2 2

  

a. Pour montrer que D1 et D2 ont la même aire il suffit de couper suivant la droite horizontale passant par les graduations les plus basses. D’après la réciproque du théorème de Thalès, cette droite est parallèle à la base horizontale du triangle T.

Alors, pour D1 et D2, les deux triangles situés au dessus sont identiques, et les deux situés en dessous de cette ligne horizontale ont la même aire (d’après la question préliminaire, en prenant pour base la droite horizontale).

Toujours avec cette même droite, pour D2 et D3, les deux triangles en dessous sont identiques, et les deux situés au dessus ont la même aire (car d’après la réciproque du théorème de Thalès la droite qui joint les deux graduations du haut est parallèle à la base horizontale de T, et donc à la ligne de séparation de D2 et D3).

Enfin, en utilisant la droite diagonale, on obtient que D3 et D4 ont la même aire.

b. D4 est un triangle semblable au triangle T, avec un rapport de proportionnalité de 3

4 . Par conséquent

on a :  

 

 

 

2 1 4aire D aire D 3 9

aire T aire T 4 16

     

  .

2-c : Mélanges ?

Concours STI/STL

Dans un verre conique on verse successivement du mercure (densité 13,59), de l’eau (densité 1) et de l’huile (densité 0,915).

Les trois liquides remplissent le verre sans se mélanger et forment trois couches d’égale épaisseur.

Le verre contient-il alors une masse plus importante de mercure, d’eau ou d’huile ?

Correction

Soit 3h la hauteur du verre conique et 3r son rayon au sommet.

D’après le théorème de Thalès la frontière entre le mercure et l’eau se trouve à une hauteur égale à h et décrit donc un disque de rayon r.

De même, la frontière entre l’eau et l’huile se trouve à une hauteur égale à 2h et décrit donc un disque de rayon 2r.

Le volume de mercure vaut donc : 2

3 m

h r V

  .

Ensuite, le volume d’eau vaut :  

2 2 2 22 2 8 7

3 3 3 3 e m

h r h r h r h r V V

         .

Enfin, le volume d’huile vaut :  

2 2 2 23 3 27 8 19

3 3 3 3 h e m

h r h r h r h r V V V

          .

On en déduit les masses des trois liquides :

2 2 2 2

13,59 , 7 , 0,915 19 17,385 3 3 3 3

m e h

h r h r h r h r M M M

             .

Finalement, c’est l’huile qui présente la masse la plus importante, suivie du mercure, et l’eau est loin derrière.

2-d : Inégalités

Concours STI/STL

1. Démontrer que pour tous réels u et v : 2 2 2u v uv  .

2. En déduire que, quels que soient les réels a, b et c :    2 2 2 23a b c a b c     . 3. Déterminer alors le plus petit entier k tel que, quels que soient les nombres réels a, b et c :

   2 2 2 2a b c k a b c     . Correction

1. C’est hyper-classique :   2 2 2 2 0u v u v uv     , donc 2 2 2u v uv  .

2. On calcule la différence :

       

     

22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 3 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

a b c a b c a b c a b c ab bc ca

a b c ab bc ac a ab b b bc c c ac a

a b b c c a

             

              

     

Cette somme de carrés est positive, d’où le résultat.

3. D’après la question 2, le réel k est nécessairement plus petit que 3, puisque ça marche déjà pour 3 !

Or on constate que pour a = b = c on obtient l'égalité    2 23 3 3a a  . On ne peut donc pas faire mieux que 3. Par conséquent, 3 est le plus petit réel k qui vérifie l'inégalite.

2-e : Caramels

Concours ES/L/STL

Devant un bocal de caramels Pascal se dit :

« Pour être sûr d’avoir :

• Deux caramels de la même couleur, il faudrait que j’en prenne au minimum 4.

• Deux caramels de couleurs différentes, il faudrait que j’en prenne au minimum 12.

• Deux caramels bleus, il faudrait que j’en prenne au minimum 10.

• Deux caramels verts, il faudrait que j’en prenne au minimum 16. »

Combien y a-t-il de caramels dans le bocal ?

Correction

La 1ère propriété nous indique que le bocal ne contient que 3 couleurs différentes de caramels. En effet, dans le pire des cas, les trois premiers caramels choisis sont de couleurs différentes, mais alors le 4ème est forcément d’une couleur déjà obtenue.

La 2ème propriété nous indique qu’il y a au plus 11 caramels dans chaque couleur. Et plus précisément, qu’il y a une couleur dans laquelle il y a 11 caramels. En effet, dans ce cas, les 11 premiers caramels choisis sont de cette même couleur, et le 12ème est d’une autre couleur.

La 3ème propriété nous indique qu’il y a au moins 2 caramels bleus et exactement 8 caramels qui ne sont pas bleus. Et la 4ème nous indique qu’il y a au moins 2 caramels verts et exactement 14 caramels qui ne sont pas verts.

Supposons que les 3 couleurs sont bleu, vert et marron.

Notons b, v et m les nombres de caramels de ces trois couleurs.

Les propriétés 2, 3 et 4 se traduisent alors ainsi :

2 11, 2 11, 11

8

14

b v m

v m

b m

       

  

.

Puisque 8v m  , alors 8v  et 8m  . Il ne peut donc pas y avoir 11 caramels verts ou 11 marrons. Donc il y a exactement 11 caramels bleus : b =11.

Par suite, on trouve immédiatement m = 3 puis v = 5. Le bocal contient donc 19 caramels.

2-f : Remises

Concours ES/L/STL

Un commerçant effectue trois remises successives sur un article d’un prix de 300 euros et le vend finalement 222,87 euros.

Quels sont les pourcentages des trois remises appliquées, sachant qu’il s’agit de valeurs entières ?

Correction

Notons r1, r2 et r3 les pourcentages des trois remises.

On a donc : 21 3300 1 1 1 222,87 100 100 100

rr r            

     ,

ou    1 2 3 10000

100 100 100 222,87 742 900 3

r r r      .

Il s’agit donc de décomposer le nombre 742 900 en produit de 3 entiers inférieurs à 100.

Or, 2 2742 900 2 5 17 19 23     ; si on laisse 23 tout seul on peut ensuite faire au mieux 22 19 76  ,

mais il reste 25 17 425 100   , donc ça ne va pas.

Il faut donc associer 23 à un autre nombre. On ne peut pas l’associer avec 19, 17 ou même 5 (car on

dépasse alors 100), donc on peut essayer 2 23 46  . Ensuite on peut faire au mieux 5×19 = 95, mais il reste 2×5×17 =170 > 100 , donc ça ne va pas.

Le dernier espoir est donc de faire 22 × 23 = 92. Il faut ensuite faire 5×19 = 95 et 5×17 = 85. Finalement la seule décomposition qui marche est 742900 = 95×92×85.

Les trois pourcentages de réduction sont donc de 5 %, 8 % et 15 % (et l’ordre n’intervient pas bien sûr !).

3. Besançon

http://artic.ac-besancon.fr/mathematiques/Olympiades-1S/index.htm

3-a : Le verre à cocktail

Un verre à cocktail spécial est formé d’une base pleine, surmontée d’un pied en forme de tronc de cône puis d’un autre tronc de cône plus évasé. Les dimensions sont indiquées ci-dessous.

Le verre à cocktail

AB = 12 cm

CD = 4 cm

EF = 2 cm

GH = 4 cm

HI = 6 cm

Dessin fait à l'échelle 1/2

De la glace pilée au fond du verre doit occuper un sixième du volume. La boisson elle-même doit comporter 1/4 de sirop et 3/4 de limonade. Le verre doit être rempli à ras bord.

Mon ami me conseille de remplir de glace pilée le tronc de cône inférieur (jusqu’à la limite CD) puis de remplir de sirop jusqu’à 2 cm du bord supérieur.

Son conseil est-il bon ?

On rappelle que le volume d’un cône est donné par la formule  21 3

V R h  .

3-b : Le chameau et les bananes

Je suis face au désert avec un stock de bananes.

Le chameau qui va me transporter ne peut porter plus de mille bananes à la fois et en consomme une par kilomètre.

Partant de ma ville, j’espère atteindre un marché situé à 1000 km où je compte vendre mes bananes. Je dispose d’un stock de trois mille bananes.

1. Montrer qu’il est possible d’apporter au moins deux cents bananes au marché.

2. Améliorer la solution précédente. Quel est le nombre maximal de bananes que je pourrai vendre au marché ?

4. Bordeaux

http://webetab.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Maths/elv/jeux/xjeux_mjc.htm

4-a : Carré et cercles

ABCD est un carré de côté a. Le cercle 1 est tangent aux segments [AD] et [DC].

1 a. Construire sur la figure 1 un cercle 2 contenu dans le carré ABCD, tangent à la fois à 1, [AB] et [BC].

b. Expliquer pourquoi cette construction n’est pas possible sur la figure 2.

Figure 1 Figure 2

2. a. Montrer que si R1 et R2 désignent les rayons

respectifs de 1 et 2 , alors R1+R2 reste constant

lorsque l’on fait varier la dimension des deux cercles.

b. Quelles sont la valeur minimale et la valeur maximale de R1 ?

3. Soit S la somme des aires des disques limités par

les cercles 1 et 2 .

Déterminer la valeur minimale et la valeur maximale de S.

4. Le petit cercle représenté est tangent à 1 et aux

côtés [AD] et [DC]. Exprimer le rayon de ce cercle en fonction de R1.

Correction

1. a. Les centres des cercles se trouvent sur la diagonale [BD]. Pour

construire 2 on peut utiliser une homothétie de centre I qui

transforme le cercle pointillé en le cercle voulu.

b. Le cercle 2 n’est pas, dans ce cas, à l’intérieur du carré.

2. a. En utilisant Thalès ou une méthode analytique ou que

1 1 2 2BD R 2 R R R 2    , on trouve 1 2R R (2 2)a   .

b. La valeur maximale de R1 est 2

a , la valeur minimale est donc

3 2 2 (2 2)

2 2

a a a

    .

3. 2 2 2 21 2 1 2 1 2S (R R ) [(R R ) (R R ) ] 2

       .

Comme R1+R2 est constant, S est minimale quand

1 2

2 2 R R

2 a

  et maximale quand 1R 2

a  et 2

3 2 2 R

2 a

 .

4. Dans le carré en pointillés, en appliquant 2.a., on a

R3=2R1(2 2) .

4-b : Différence de deux carrés

On appelle E l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire comme différence des carrés de deux entiers naturels.

1. Montrer que 2008 est élément de E (on pourra chercher deux entiers a et b, tous deux supérieurs à 200 tels que 2008=a2 – b2).

2. Montrer que tout nombre impair est élément de E.

3. Montrer que pour tout entier naturel n, n3 est élément de E.

4. Décrire les entiers naturels qui ne sont pas éléments de E.

5. Donner un entier qui s’écrit comme différence des carrés de deux entiers naturels de cinq façons différentes exactement.

Correction

1. 2008=2532 − 2492 =5032 – 5012.

2. 2p+1=(p+1)2 – p2.

3. 2 2

3 ( 1) ( 1)

2 2

n n n n n

             

obtenu en posant xy=n et x+y=n2.

4. x + y et x y étant de même parité (somme paire), les seuls entiers qui ne peuvent s’écrire (x + y)(x y) sont ceux qui ont exactement un 2 dans leur décomposition, c'est-à-dire les entiers de la forme 2(2p+1).

5. Par exemple 4405 5 3  qui a dix diviseurs tous impairs ou encore 6192 2 3  qui parmi ses quatorze diviseurs en a deux impairs et donc exactement cinq paires utilisables.

5. Caen

http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/maths/

5-a : Un problème de cylindre

Les 2 expériences décrites ci-dessous sont indépendantes.

1. A l’intérieur d’un cylindre rempli d’eau, on emboîte parfaitement 3 sphères de telle sorte que la hauteur de l’ensemble des 3 sphères soit égale à la hauteur du cylindre. Ceci signifie que le rayon des sphères est le même que celui du cylindre.

La quantité d’eau restant à l’intérieur du cylindre peut-elle être de 1 litre ?

2. A l’intérieur d’un cylindre rempli d’eau, on emboîte parfaitement une sphère puis un cône de révolution de même rayon que celui de cylindre de telle sorte que la hauteur de l’ensemble cône-sphère soit égale à la hauteur du cylindre.

La quantité d’eau restant à l’intérieur du cylindre est de 1 litre.

a. Sachant que le rayon du cylindre est de 5 cm calculer la hauteur du cylindre.

b. Sachant que la hauteur du cylindre est de 20 cm déterminer le rayon du cylindre.

On pourra utiliser les formules suivantes :

Volume du cylindre : 2R h ; volume du cône de révolution : 2 1

3 R h ; volume de la sphère : 3

4

3 R.

5-b : Problème des 3 chèvres

A chaque sommet d’un triangle équilatéral de 48 m de côté est attachée une chèvre à l’aide d’une corde. Les secteurs angulaires décrits par les chèvres, supposées ponctuelles, ne peuvent pas se croiser (au plus tangents).

1. Chaque chèvre a une corde de 24 m de longueur. Quelle est la superficie que les trois chèvres peuvent brouter ?

2. Une des trois chèvres a une corde de 32 m de longueur. Quelle est la superficie que les trois chèvres peuvent brouter ?

3. Aucune chèvre ne peut avoir une corde plus longue que la distance qui sépare son point d’attache au côté opposé. Déterminer la superficie maximale que les trois chèvres peuvent brouter.

5-c : Les dominos (séries autres que S)

Le jeu de dominos occidental est constitué des 28 pièces ci-dessous :

Un carré est magique si les sommes des nombres des rangées, des colonnes et des diagonales principales sont toutes égales à un même nombre que l’on appellera la constante du carré. Le rang d’un tel carré est son nombre de rangées (ou de colonnes).

On souhaite réaliser des carrés magiques avec ces pièces, sachant qu’une pièce utilisée ne pourra l’être qu’une seule fois.

1. Montrer qu’avec des dominos on ne peut réaliser que des carrés magiques de rang pair.

2. Peut-on réaliser un carré magique de rang 2 ?

3. Quel est le rang maximal que l’on peut espérer réaliser avec un seul jeu ?

4. a. Quelle est la constante minimale d’un carré de rang 4 ? Donner un exemple.

b. En déduire la constante maximale d’un carré de rang 4 ainsi qu’un exemple.

5-d : Les cyclistes (séries autres que S)

Sur une piste circulaire de longueur 400 m et de diamètre [AB], un cycliste part de A à une vitesse de 18 km / h et un autre part de B à une vitesse de 14,4 km / h (dans le même sens de circulation que le 1er cycliste.

1. a. Au bout de combien de temps le 1er cycliste va-t-il rattraper le 2ème cycliste pour la 1ère fois ? Pour la 2ème fois ?

b. Les 2 cyclistes restent une heure sur la piste. Combien de fois vont-ils se rencontrer ?

2. Le lendemain, à la même vitesse, le 2ème cycliste part dans le sens contraire de circulation que le 1er cycliste. Combien de fois vont-ils se rencontrer si ils restent 1 heure sur la piste?

6. Clermont Ferrand

http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/sampleolymp1.php

6-a : Puissance de calcul

Les organisateurs d’un concours mathématique ont découvert que le nombre total de participants avait la particularité suivante : il s’agit d’un nombre de quatre chiffres sans zéro qui est égal à la somme de ses chiffres élevés chacun à sa propre puissance (exemple : 22 ou 55).

1. Le chiffre 6 peut-il figurer dans ce nombre ?

2. Combien de fois le chiffre 5 doit-il figurer ?

3. Déterminer le nombre de candidats ?

6-b : Jeu de balles

Candidats de la série S

0,8359449 cm

Schéma 1 Schéma 2

Quatre balles de tennis de rayon r sont rangées dans une boîte cylindrique en carton, ayant un couvercle qui a la forme du fond. Deux rangements sont envisagés :

(1) les balles sont rangées suivant le schéma 1, la balle n°4 étant en contact avec le couvercle de la boîte.

(2) Les quatre balles reposent sur le fond de la boîte tout en étant en contact avec le couvercle.

Quelle boîte nécessite le moins de carton, dans chacun des cas suivants :

1. les couvercles des boîtes sont en carton ?

2. les couvercles des boîtes sont en plastique ?

6-c : Autour de pourcentages…

Candidats des séries L, ES, STI, STL, STG, SMS

Jimmy possède une camionnette pour transporter sa batterie d’un lieu de concert à un autre.

Depuis plusieurs années, il a fait le choix de dépenser 100 euros de carburant par mois, en une seule fois, ni plus, ni moins. On suppose que le prix du carburant ne varie pas au cours d’un même mois.

1. Les volumes d’essence qu’il achète mensuellement sont-ils proportionnels aux prix du litre d’essence ?

2. En septembre 2003, il payait un litre d’essence 1,04 euros tandis qu’en septembre 2007 celui-ci s’élevait à 1,30 euros.

Jimmy a-t-il raison de dire que le volume de carburant acheté en septembre 2007 a diminué de 20% par rapport au volume de carburant acheté en septembre 2003 ?

3. Un mois donné, le prix d’un litre d’essence est p (p est exprimé en euros).

Les questions a. et b. sont indépendantes.

a. On suppose que le mois suivant le prix du litre d’essence a augmenté de moins de 10%. Jimmy a-t-il raison de dire que la diminution de volume de carburant acheté, qui en résulte, est inférieure à 10% ?

b. On suppose que le mois suivant le prix du litre d’essence a diminué de moins de 10%. Jimmy a-t-il raison de dire que l’augmentation de volume de carburant acheté, qui en résulte, est inférieure à 10% ?

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