Contrôle - sciences mathématique 4 - 2° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 4 - 2° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 4 - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices.
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7. Créteil

http://www.ac-creteil.fr/maths/olymp/olymp.html

7-a : Des rectangles amicaux

On considère deux rectangles R et S dont les dimensions sont des entiers naturels non nuls.

On dira que ces deux rectangles R et S constituent « une paire de rectangles amicaux » lorsque le périmètre du rectangle R est égal à l’aire du rectangle S et lorsque l’aire du rectangle R est égal au périmètre du rectangle S.

1. a. Le rectangle R de dimensions 1 et 38 et le rectangle S de dimensions 6 et 13 constituent-ils « une paire de rectangles amicaux » ?

b. Le rectangle R a pour dimensions 2 et 10.

Peut-on trouver un (ou des) rectangle(s) S tel que R et S constituent « une paire de rectangles amicaux » ? Si oui, déterminer ce (ou ces) rectangle (s).

c. On sait que le rectangle R a une dimension égale à 3 et que le rectangle S a une dimension égale à 8.

Peut-on trouver des rectangles R et S constituant « une paire de rectangles amicaux » ?

2. On note a, b les dimensions du rectangle R, c et d les dimensions du rectangle S. On suppose que les

entiers naturels a, b, c et d vérifient : , ,a b c d a c   .

Etablir que : 1 8c  et 1 4a  .

Déterminer alors toutes « les paires de rectangles amicaux ».

7-b : Encore un peu d'aires

Soient A, B et C trois points représentés sur la figure ci –dessus.

1. On place le point N1 sur le segment [AB] tel que 1 4

BN BA 5  et le point M1 sur le segment [BC] tel que

1

5 BM BC

8  .

Comparer les aires du triangle BN1M1 et du quadrilatère AN1M1C.

2. On place le point M2 sur le segment [BC] tel que 2 2

BM BC 3  .

Où placer le point N2 sur le segment [AB] pour que l’aire du triangle BN2M2 soit égale à la moitié de l’aire du triangle ABC ?

3. On place le point I milieu du segment [BC].

a. Que peut-on dire des droites (IN1) et (AM1) ?

b. Que peut-on dire des droites (IN2) et (AM2) ?

c. Soient M un point du segment [IC] et N le point du segment [AB] tel que les droites (IN) et (AM) soient parallèles.

Comparer les aires du triangle BMN et du quadrilatère ANMC.

8. Corse

8-a : Les cercles

Dans un repère orthonormé du plan ( ; , )O i j , on

considère les points I (1, 0) et J (0, 1).

Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et (C’) le cercle de diamètre [OI]. Dans cet exercice on étudie des cercles tangents intérieurement à (C) et tangents extérieurement à (C’), comme le montre cette figure.

1. Déterminer le rayon du cercle (CA) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’), dont le centre A est un point du segment [OJ].

2. Déterminer le rayon d’un cercle (CB) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’),

dont le centre B a pour abscisse 1

2 .

3. Soit M un point de coordonnées positives (x, y) centre d’un cercle ( CM) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’) et à (CA). Déterminer le rayon de (CM) et les coordonnées de son centre.

8-b : La grille

Dans le plan on considère une « grille » notée G, formée par l’ensemble des sommets des triangles équilatéraux de côtés de longueur 1 comme le montre la figure.

Pour tous points A et B de cette grille, on appelle G-distance de A et B, notée dG(A, B) la longueur du plus court chemin reliant A à B par les côtés des triangles.

Pour tout point A de la grille et pour tout réel r, on appelle G-cercle de centre A et de rayon r, l’ensemble des points M de la grille tels que dG(A, M) = r.

On appelle G-disque de centre A et de rayon r, l’ensemble des points M de la grille tels que dG(A, M) ≤ r.

1. Soit A un point donné de la grille, donner le nombre de points de la grille du G-cercle de centre A et de rayon 2 et du G-disque de centre A et de rayon 2.

2. Déterminer le nombre de points de G appartenant au G-disque de centre A et de rayon 2008.

3. Démontrer que pour tous points M, N et P de G, dG(M, N) ≤ dG(M, P) + dG(P, N).

4. On appelle G-segmentMN, l’ensemble de tous les points P de G tels que dG(M, N) = dG(M, P) + dG(P, N).

a. Sachant que dG(M, N) = 4, quel est le nombre de points du G-segment MN ?

b. Sachant que dG(M, N) =2008, quel est le nombre maximal de points du G-segment MN ?

http://nuticiel.ac-corse.fr/math/download/olymp_2008_CorrectionSujetS2008.pdf

9. Dijon

http://mathematiques.ac-dijon.fr/

9-a : Les boules du triangle

On veut placer les entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans les cercles représentés ci-contre, de telle sorte que la somme S des trois nombres placés sur chaque côté du triangle équilatéral soit la même sur les trois côtés.

1. Donner une configuration solution du problème.

2. Quelles sont toutes les valeurs possibles de la somme S ?

3. Donner les configurations solutions, lorsqu’elles existent, pour toutes ces valeurs de la somme S.

Deux solutions « images » l’une de l’autre par une rotation ou par une symétrie axiale laissant invariant le triangle seront considérées comme identiques.

Aa

9-b : Sangakus

Au Japon, les Sangakus sont des tablettes commémoratives offertes dans un sanctuaire pour remercier les dieux de la découverte d’un théorème ; elles comportent des problèmes de géométrie qui mettent en jeu des cercles inscrits dans une figure donnée.

Dans le problème qui suit, on considère un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l’angle droit ont pour mesures respectives : AB = 4 et AC = 3.

1. Calculer le rayon r1 du cercle inscrit dans ce triangle.

(On pourra exprimer de deux manières l’aire de ce triangle.)

C

BA

2. Deux cercles de même rayon sont tangents à deux côtés du triangle et tangents entre eux, comme sur la figure ci- contre.

Calculer le rayon r2 de chacun de ces cercles.

C

BA

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On considère n cercles tous tangents au côté [AB], tels que de plus :

- le premier est tangent au côté [AC] et au deuxième cercle ;

- le dernier est tangent au précédent et au côté [BC] ;

- chacun des autres est tangent à ses deux voisins.

La figure ci-contre représente le cas n + 5.

Exprimer en fonction de n le rayon rn de chaque cercle. Pour quelle valeur de n ce rayon est-il égal

à 1

2008 ?

C

BA

10. Grenoble

http://www.ac-grenoble.fr/maths/

10-a : La tour infernale

Dans une tour, un architecte a fait installer un ascenseur qui ne possède que deux boutons : le premier bouton permet à l’ascenseur de monter de 4 étages si le nombre d’étages de l’immeuble le permet, sinon l’ascenseur ne bouge pas. L’autre bouton permet à l’ascenseur de descendre de 7 étages si bien entendu le niveau où se situe l’ascenseur le permet, sinon il reste immobile.

De plus, on sait que si l’immeuble avait eu un étage de moins, la programmation n’aurait pas permis de servir tous les étages.

1. Combien l’immeuble a-t-il d’étages ?

2. L’ascenseur est au rez-de-chaussée et vous habitez au 7ème étage. Quel nombre minimum d’arrêts est nécessaire pour rejoindre votre appartement ?

10-b : La fourmi non volante

Une salle rectangulaire a une largeur de 4 mètres (AB = 4), une longueur de 5 mètres (BC = 5), une hauteur de 3 mètres (BF = 3).

Une fourmi (non volante), ne se déplaçant qu’en ligne droite, est au coin F du plafond et veut atteindre par le plus court chemin une miette de pain située sur le plancher au centre de la pièce en O. Elle doit donc déterminer le plus court chemin pour aller de F à O en se déplaçant sur le plafond, le plancher et les murs de la pièce.

1. Elle envisage les trois parcours suivants :

- Se déplacer le long de l’arête FB puis sur le plancher en suivant la diagonale du rectangle ABCD pour relier B à O.

- Passer sur la face FBAE pour atteindre le point I milieu de [AB] puis sur le plancher suivant la médiane du rectangle ABCD pour relier I à O.

- Passer sur la face FBCG pour atteindre le point J milieu de [BC] puis sur le plancher suivant la médiane du rectangle ABCD pour relier J à O.

Comparez les longueurs de ces trois parcours.

2. Déterminer le parcours le plus court possible que devra emprunter la fourmi pour relier F à O.

O

J

I

H

G

F

E

D

C

B

A

11. Lille

http://www4.ac-lille.fr/~math/classes/premS.html

11-a : Un chapeau bizarre

Un chapeau a la forme d’un cylindre de révolution de hauteur a (a réel strictement positif) et de base un cercle C de rayon a, surmonté d’un cône de révolution de sommet S et de base un cercle C’ de centre I et de rayon a.

M et L sont deux points diamétralement opposés sur le cercle C’, O est le milieu de [MS] et Y est le point d’intersection de la parallèle à (SI) passant par M et du cercle C (voir figure ci-contre). De plus SM = 2a.

On veut décorer l’extérieur du chapeau avec un ruban d’extrémités O et Y passant par le point L.

Quelle est, en fonction de a, la longueur minimale d’un tel ruban ?

O

Y

L

M

S

I

11-b : Le drôle de partage

Héloïse possède des jetons numérotés. Son petit frère Mathis lui en réclame quelques uns.

Héloïse observe tous les numéros, elle vient d’apprendre la multiplication par 2 et décide :

- lorsque deux jetons portent des numéros dont l’un est le double de l’autre, elle en donne un à Mathis et dans un premier temps conserve l’autre.

Exemple : Héloïse possède 5 jetons numérotés 1, 2, 3, 4, 5.

Premier cas : elle voit d’abord que 2 est le double de 1,

- elle conserve 1, il lui reste donc 1, 3, 4, 5

- ou elle conserve 2, il lui reste 2, 3, 4, 5 mais 4 est le double de 2, elle donne donc le 2 ou le 4 ; finalement elle aura 3, 4, 5 ou 2, 3, 5.

Deuxième cas : elle voit d’abord que le double de 2 est 4

- elle conserve le 2, il lui reste 1, 2, 3, 5 mais 2 est le double de 1 donc finalement elle gardera 1, 3, 5 ou 2, 3, 5.

- elle conserve le 4, il lui reste 1, 3, 4, 5.

1. Héloïse possède 9 jetons numérotés de 1 à 9.

Montrer qu’Héloïse conserve nécessairement moins de 7 jetons. Préciser tous les choix possibles de 6 jetons.

2. Héloïse possède 2008 jetons numérotés de 1 à 2008. Combien peut-elle garder au maximum de jetons ?

12. Marseille

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/annales/olymp-an.htm

12-a : Des pommes, des poires, etc.

Concours S

On considère quatre variétés de fruits : pomme , citron , banane , ananas .

Les poids exprimés en grammes de ces objets sont des nombres entiers strictement positifs et distincts.

Les contenus des cagettes ci-dessous pèsent dans le désordre : 150 g, 210 g, 240 g, 270 g, 300 g et 450 g.

n° 1 n° 2 n° 3 n° 4 n° 5 n° 6

Répondre par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes en détaillant avec précision les étapes du raisonnement.

1. Le contenu de la caissette n° 5 pèse 240 g ou 300 g.

2. Le poids du contenu de la caissette n° 6 est supérieur ou égal à la moitié de celui du contenu de la caissette n° 5.

3. Un ananas pèse 150 g.

4. Une pomme pèse 60 g.

12-b : Billard

Concours S

1. a. Question préliminaire : Sur la figure ci-dessous, les points B et B’ sont symétriques par rapport à la droite (D). On note M le point d’intersection de la droite (RB’) et de la droite (D), et (  ) la droite prependiculaire à la droite (D) passant par M.

Justifier que la droite ( ) est la bissectrice de l’angle RMB .

b. Le billard français se joue avec trois billes : une rouge et deux blanches. On peut y jouer de différentes façons et notamment dans la modalité « 3 bandes ».

Dans ce cas, pour marquer un point, un joueur doit parvenir à faire entrer en contact la bille rouge (avec laquelle il joue) avec les deux autres billes en faisant en sorte que la bille rebondisse sur au moins trois côtés (bandes) avant de toucher la dernière bille blanche.

R

B'

B



M (D)

Dans cette question on ne considère que deux billes : une rouge (R) et une blanche (B).

Tracer sur le schéma n°1, en laissant apparents les traits de construction, une trajectoire possible pour la bille R afin qu’elle percute la bille B après 3 rebonds sur les bandes 1, 2 et 3 du billard (lorsqu’une bille rebondit sa trajectoire est symétrique par rapport à la perpendiculaire à la bande au point de contact).

2. Nous sommes maintenant en 2050 et les billards circulaires ont remplacé les billards rectangulaires. On ne considère plus que la bille R.

a. Question préliminaire : ABC est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon r ; montrer que

le cercle inscrit dans ABC a pour rayon 2

r .

b. Construire sur le schéma n°2 une trajectoire possible pour la bille R lui permettant de repasser par sa position initiale après trois rebonds sur le bord sans passer par le centre O du billard. Préciser soigneusement le raisonnement en justifiant la construction.

B

R

3

2

1

Schéma n° 1

R

O

Schéma n° 2

12-c : Match

Concours ES, L, Technologiques

Lors d’un match de rugby, les équipes peuvent marquer :

• 3 points en réalisant un drop ou une pénalité,

• 5 points à l’issue d’un essai non transformé,

• 7 points à l’issue d’un essai transformé.

À titre d’exemple une équipe peut marquer 13 points de deux façons (en ne tenant pas compte de l’ordre dans lequel les points sont marqués) :

- en marquant un essai transformé et deux drops ou pénalités  13 7 3 3   ,

- en marquant deux essais non transformés et un drop ou une pénalité  13 5 5 3   .

1. Déterminer toutes les façons de marquer 17 points au rugby.

2. Jérôme prétend que son équipe a marqué 21 points en réalisant deux essais et plusieurs drops. Est-ce possible ?

3. Pierre affirme que son équipe a marqué 39 points en réalisant deux essais et autant de drops que de pénalités. Est-ce possible ?

4. L’Australie a gagné la coupe du monde de rugby en 1999 en battant la France sur le score de 35 à 12. Deux essais ont été réalisés au cours du match et aucun drop n’a été marqué. Combien de pénalités a marqué chaque équipe ?

12-d : Chaud devant !

Concours ES, L, Technologiques

Deux des unités de mesure de température sont le degré Celsius (largement utilisé en Europe) et le degré Fahrenheit (toujours utilisé aux Etats-Unis et dans certains pays anglophones).

On considère le tableau de correspondance suivant entre des mesures de températures exprimées en degrés Celsius (°C) et en degrés Fahrenheit (°F) :

°C °F °C °F

110 230 30

100 20

90 10 50

80 0

70 −10

60 −20

50 −30

40

Par définition de ces deux unités de mesure, les accroissements de températures exprimées en degrés Celsius sont proportionnels aux accroissements de températures exprimées en degrés Fahrenheit.

1. Recopier et compléter le tableau précédent. Expliquer la démarche.

2. Un jour d’été, on a mesuré une température de 36 degrés Celsius. Déterminer la valeur correspondante en degrés Fahrenheit.

3. Le titre « Fahrenheit 451» du célèbre roman de Ray Bradbury fait référence à la température, exprimée en degrés Fahrenheit, à laquelle le papier commence à brûler spontanément au contact de l’air.

À quelle température, exprimée en degrés Celsius, le papier commence-t-il à brûler spontanément au contact de l’air ?

4. Plus généralement, si une même température vaut x degrés Celsius et y degrés Fahrenheit, quelle relation y-a-t’il entre x et y ?

13. Montpellier

http://pedagogie.ac-montpellier.fr/Disciplines/maths/pedago/jeumath/olymp.htm

13-a : 2008 dans tous ses états

Série S

On construit une suite de nombres rangés dans un ordre croissant, constitués des seuls chiffres 0, 2 et 8.

Le premier nombre est ainsi 0 qui est de rang 1, le deuxième est 2 qui est de rang 2, le troisième est 8 qui est de rang 3 et ainsi de suite.

Le tableau suivant donne les dix premiers éléments de cette suite :

Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre 0 2 8 20 22 28 80 82 88 200

1. Quel est le plus grand nombre qui s’écrit avec exactement un 0, un 2, et un 8 ? Préciser son rang.

2. Quel est le rang, en fonction de l’entier naturel non nul n, du nombre qui s’écrit avec n chiffres 8 ?

3. Déterminer le rang du nombre 2008.

4. Comment s’écrit le nombre qui est de rang 2008 ? Justifier.

13-b : Quadrisection

Série S

1. Construire un triangle rectangle ABC tel que la hauteur, la bissectrice et la médiane issues de A partagent, dans cet ordre, l’angle de sommet A en quatre angles de même mesure. Vous préciserez les mesures des trois angles du triangle.

2. Prouver qu’un triangle ayant un de ses angles partagé en 4 angles de même mesure par la hauteur, la bissectrice et la médiane issues du sommet de cet angle, dans cet ordre, est obligatoirement rectangle.

On rappelle les formules suivantes :

p

m n

P

NM

   1 sin 2

aire MNP mn P avec m PN , n PM

et P MPN ,

sin 2 2sin cosa a a ,

 

 

2

sin sin ou

2

a b

a b

a b

 

  

     

.

13-c : Coktails

Séries autres que S

On dispose de trois récipients A, B et C de 2 litres chacun.

Le récipient A contient un litre d’un cocktail constitué de 60% de jus d’ananas et de 40% de jus de banane.

Le récipient B contient un litre d’un cocktail constitué de 40% de jus de banane et de 60% de jus de mangue.

Le récipient C contient un litre d’un cocktail constitué de 20% de jus d’ananas, de 10% de jus de banane et de 70% de jus de mangue.

On effectue deux manipulations successives :

1ère manipulation : On verse la moitié du cocktail contenu dans le récipient A dans le récipient B et on mélange de façon à obtenir un liquide homogène.

2ème manipulation : On verse alors un tiers du mélange obtenu dans le récipient B dans le récipient C et on mélange de façon à obtenir un liquide homogène.

1. A l’issue de ces deux manipulations :

Quel est le volume de jus de fruits contenu dans chaque récipient ?

Quel est la proportion de jus d’ananas, de jus de banane et de jus de mangue dans chaque récipient ?

2. A l’issue de ces deux manipulations, quelle proportion du mélange contenu dans le récipient B et quelle proportion du mélange contenu dans le récipient C faut-il verser dans le récipient A pour que dans le récipient A, il y ait autant de jus d’ananas que de jus de banane que de jus de mangue ?

13-d : Mini-sudoku

Séries autres que S

Dans le mini-sudoku, on complète une grille formée de 4 carrés 2x2 avec les chiffres 1, 2, 3, 4 de telle façon que, sur chaque ligne, chaque colonne et dans chacun des 4 carrés 2x2, il n'y ait qu'une seule fois chaque chiffre.

Exemple :

a b c d

A 1 2 3 4

B 3 4 1 2

C 2 1 4 3

D 4 3 2 1

1. Résoudre le problème ci-dessous, c'est-à-dire compléter la grille en respectant les règles du mini- sudoku. Expliquer le raisonnement.

On pourra utiliser la notation naturelle des cases pour expliquer le raisonnement. Par exemple, Aa désigne la case contenant le 1 déjà placé, la ligne B contient le 2 déjà placé et la colonne b contient le 3 déjà placé, enfin le carré CDcd contient le 4 déjà placé.

a b c d

A 1

B 2

C 3

D 4

2. Si on retire le chiffre 4 du tableau de la question 1., on obtient le tableau ci-dessous ; déterminer les cases dont le remplissage reste imposé.

a b c d

A 1

B 2

C 3

D

3. Démontrer que si on retire un quelconque des 4 chiffres du tableau de la question 1., le problème admet alors toujours 3 solutions et 3 seulement.

14. Nancy-Metz

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/maths/m2002/institut/ipr/olympiad.htm

14-a : Plus petit chiffre

Séries S/STI

On note p(n) le plus petit chiffre figurant dans l’écriture décimale du nombre entier naturel n. Ainsi, p(306) = 0, p(4512) = 1 et p(798) = 7.

1. Calculer la somme S2 = p(10) + p(11) + p(12) +……+ p(98) + p(99).

2. a. Montrer qu’il y 93 nombres à 3 chiffres ne comportant que les chiffres de 1 à 9.

b. Combien y’a-t-il de nombres à 3 chiffres ne comportant que les chiffres de 2 à 9 ?

c. En déduire qu’il y a 93  83 nombres n à 3 chiffres pour lesquels p(n) = 1.

3. Combien y a-t-il de nombres n à 3 chiffres pour lesquels p(n) = 2 ?

4. Calculer la somme S3 = p(100) + p(101) + p(102) +……+ p(998) + p(999).

14-b : Le circuit

Séries S/STI

On pourra utiliser sans les démontrer les résultat suivants :

Étant donnés deux cercles C1 et C2 de centres respectivement O1 et O2 et tangents en un point A,

(1) A est le milieu de [O1O2] ;

(2) Si M1 est un point du cercle C1, son symétrique M2 par rapport à A appartient au cercle C2.

La figure ci-dessous représente un circuit formé de quatre anneaux circulaires identiques de rayon r, tangents deux à deux et dont les centres O1, O2, O3 et O4 sont les sommets d’un carré.

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