Contrôle - sciences mathématique 4 - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 4 - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 4 - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices. Le circuit, Un comptage de points, Des cercles au carré.
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A, B, C et D sont les points de contact des cercles tangents.

On choisit un point M1 sur le cercle de centre O1 et l’on construit successivement M2 symétrique de M1 par rapport à A, M3 symétrique de M2 par rapport à B, M4 symétrique de M3 par rapport à C, M5 symétrique de M4 par rapport à D.

Le but de l’exercice est de montrer que M5 =M1 et que l’aire de la figure M1M2M3M4 est égale à l’aire du carré O1O2O3O4.

1. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

2. Démontrer que les points M3, M1 et M5 sont alignés et que M5 = M1.

3. Dans la figure tracée ci-dessus, M1M2M3M4 est un quadrilatère. Préciser pour quelle(s) position(s) de M1 cela n’est pas le cas.

4. Dans cette question on se place dans le cas où M1M2M3M4 est un quadrilatère.

a. Montrer que les droites (M1M3) et (M2M4) sont perpendiculaires.

b. Calculer en fonction de r les longueurs M1M3 et M2M4.

c. Montrer que l’aire de la figure M1M2M3M4 est égale à4r2.

Ce résultat demeure-t-il valable dans les cas particuliers de la question 3 ?

14-c : Plus petit chiffre

Séries autres que S/STI

On note p(n) le plus petit chiffre figurant dans l’écriture décimale du nombre entier naturel n. Ainsi, p(306) = 0, p(4512) = 1 et p(798) = 7.

1. Calculer la somme S2 = p(10) + p(11) + p(12) +……+ p(98) + p(99).

2. a. Montrer qu’il y 93 nombres à 3 chiffres ne comportant que les chiffres de 1 à 9.

b. Combien y’a-t-il de nombres à 3 chiffres ne comportant que les chiffres de 2 à 9 ?

c. En déduire qu’il y a 93  83 nombres n à 3 chiffres pour lesquels p(n) = 1.

3. Montrer qu’il y a 83  73 nombres n à 3 chiffres pour lesquels p(n) = 2.

4. Calculer la somme S3 = p(100) + p(101) + p(102) +……+ p(998) + p(999).

14-d : Le circuit

Séries autres que S/STI

On pourra utiliser sans les démontrer les résultat suivants :

Étant donnés deux cercles C1 et C2 de centres respectivement O1 et O2 et tangents en un point A,

(1) A est le milieu de [O1O2] ;

(2) Si M1 est un point du cercle C1, son symétrique M2 par rapport à A appartient au cercle C2.

La figure ci-dessous représente un circuit formé de quatre anneaux circulaires identiques de rayon 1, tangents deux à deux et dont les centres O1, O2, O3 et O4 sont les sommets d’un carré.

A, B, C et D sont les points de contact des cercles tangents.

On choisit un point M1 sur le cercle de centre O1 et l’on construit successivement M2 symétrique de M1 par rapport à A, M3 symétrique de M2 par rapport à B, M4 symétrique de M3 par rapport à C.

On admet que le circuit se ferme, c’est-à-dire que M1 est le symétrique de M4 par rapport à D.

Le but de l’exercice est de montrer que l’aire de la figure M1M2M3M4 est égale à l’aire du carré O1O2O3O4.

1. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

2. Dans la figure tracée ci-dessus, M1M2M3M4 est un quadrilatère. Préciser pour quelle(s) position(s) de M1 cela n’est pas le cas.

3. Dans cette question, on se place dans le cas où M1M2M3M4 est un quadrilatère.

a. Démontrer que les droites (M1M3) et (M2M4) sont perpendiculaires.

b. Calculer M1M3 et M2M4.

c. Montrer que l’aire A de la figure M1M2M3M4 est égale à 4.

4. Ce résultat demeure-t-il valable dans les cas particuliers de la question 3 ?

15. Nice

http://www.ac-nice.fr/maths/

15-a : Des pliages version 3

Concours S, STI

1. Marie plie une feuille de papier carrée de côté 30 cm suivant une diagonales avec un angle d’ouverture de 90° et elle pose ce pliage sur une table ; elle s’intéresse au triangle découpé sur la table appelé « polygone de sustentation ».

I est le milieu de  'OO , l’angle 'MIM est droit et le polygone de sustentation est OMM’.

Quelle est l’aire du polygone de sustentation obtenu ?

M

O

O'

M'

I

2. Marie plie maintenant cette feuille suivant la médiatrice d’un côté. Elle la pose debout sur une table et s’intéresse au polygone de sustentation. Sur la figure il s’agit du triangle OMM’.

a. Quelle est l’aire du polygone de sustentation si l’angle d’ouverture est 60° ?

b. Elle cherche le polygone de sustentation de cette forme ayant l’aire la plus grande possible. On appelle  l’angle d’ouverture ; déterminer l’aire de MOM’ en fonction de  puis déterminer  pour obtenir l’aire maximale et donner l’aire

obtenue (on pourra utiliser l’angle 2

 ainsi que la

formule sin 2 2sin cosa a a ).

M

O M'

3. Marie plie à nouveau cette feuille de papier en trois parties de largeur égale. Elle a deux possibilités de l’ouvrir debout : en zigzags et en trapèze.

Déterminer dans chaque cas les angles d’ouverture pour lesquels le polygone de sustentation a l’aire maximale et déterminer l’aire obtenue.

zigzags

M

O

M'

O'

Remarque concernant la troisième partie : on n’étudiera l’aire maximale du polygone de sustentation que dans les cas où :

zig-zag : les angles 'MOM et ' 'OM O sont égaux,

trapèze : les angles 'MOO et ' 'OO M sont égaux.

trapèze

M

O M'

O'

15-b : Un comptage de points

Concours S, STI, ES, STG

On décide de numéroter les points du plan à coordonnées entières de la façon suivante :

au point (0 ; 0) on associe le nombre 0,

au point (1 ; 0) on associe le nombre 1,

au point (0 ; 1) on associe le nombre 2,

au point (2 ; 0) on associe le nombre 3,

au point (1 ; 1) on associe le nombre 4,

etc. comme sur la figure ci-contre.

1. En continuant de cette façon :

a. Quel nombre associe-t-on au point de coordonnées (3 ; 4) ?

b. Quel nombre associe-t-on au point de coordonnées (0 ; 50) ?

c. Quel nombre associe-t-on au point de coordonnées (50 ; 0) ?

1611

17

4 7

128

13

y

14

9

5

151063

2

1 x0

2. Si n est un nombre entier naturel non nul :

a. Quel nombre associe-t-on au point de coordonnées (0 ; n) ?

b. Quel nombre associe-t-on au point de coordonnées (n ; 0) ?

3. Soient x et y deux entiers naturels tels que x y n  .

Quel nombre associe-t-on au point de coordonnées (x ; y) ?

4. De façon générale quel nombre associe-t-on au point de coordonnées (x ; y) avec x et y entiers naturels ?

5. Réciproquement, à quelles coordonnées est associé le nombre 2008 ?

On rappelle que pour tout entier n,  1

1 2 3 ... 2

n n n

      .

15-c : Ce n’est pas gagné !

Concours ES, STG

Je joue à Pile ou Face avec les règles suivantes :

je commence avec une mise a de 1 euro et je ne m’arrête de jouer que lorsque je n’ai plus d’argent (j’ai alors perdu) ou lorsque j’ai gagné b = 5 euros (j’ai alors perdu).

A. A chaque lancer, si j’ai 1 ou 2 euros je les mise, et si j’ai plus je mise la différence à 5 euros (par exemple si j’ai 4 je mise 1) ; par ailleurs

- si j’obtiens Pile je perds ma mise,

- si j’obtiens Face je récupère le double de ma mise.

On appelle « avoir » la somme possédée après un lancer. On note pour simplifier (PFFP) la suite de résultats Pile, Face, Face, Pile.

1. Je commence la partie en faisant (FP). Quel est mon avoir ?

2. Même question avec (FFPP).

3. Quel est le nombre minimum de lancers pour gagner ?

4. Au bout de 2008 lancers je n’ai toujours ni gagné ni perdu. Quel est mon avoir ?

B. On change les règles avec une mise a = 1 et arrêt lorsque b = 9. A chaque lancer si j’ai entre 1 et 4 euros je mise cette somme et si j’ai plus je mise la différence à 9.

1. Je commence la partie en faisant (FP). Quel est mon avoir ?

2. Donner une suite de résultats pour laquelle mon avoir repasse à 1 euro.

3. Au bout de 2008 lancers je n’ai toujours ni gagné ni perdu. Quel est mon avoir ?

C. J’arrive dans un lieu où une partie de ce type est en cours avec a = 1 et b m’est inconnu. Pendant ma présence les avoirs successifs du joueur sont 10, 20 et 5.

1. Combien vaut b ?

2. A partir du moment où le joueur a 5 euros quels sont les avoirs possibles du joueur dans cette partie ?

16. Orléans Tours

http://www.ac-orleans-tours.fr/maths/rubrique.php3?id_rubrique=40

16-a : Le bon ordre

Les égalités proposées ci-après définissent trois nombres réels A, B et C.

Pour faciliter la lecture, il est précisé que chacune des écritures décimales qui apparaissent comporte neuf zéros après la virgule.

  2

1,0000000001

2,0000000001 1,0000000001 A

 ,

  2

1,0000000001

2,0000000003 1,0000000002 B

 ,

  2

1,0000000002

2,0000000002 1,0000000001 C

Parmi ces trois nombres réels A, B et C, lequel est le plus grand ? Lequel est le plus petit ?

16-b : Des cercles au carré

Dans le plan on considère un carré ABCD.

Un point E est placé à l'intérieur du carré.

On désigne par F le point d'intersection du segment [AB] et de la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point E.

On considère le cercle (C) de centre E qui est tangent en F à la droite (AB). On supposera AB = 1 pour les calculs, et on posera x = AF et y = FE.

1. Faire une figure et hachurer l'ensemble des points E pour lesquels le cercle (C) est entièrement situé à l'intérieur du carré ABCD. Justifier votre choix par un raisonnement.

Dans la suite, on supposera la condition précédente réalisée. On considère alors, comme sur la figure ci- dessous, les deux cercles (L) et (L’) intérieurs également au carré ABCD et définis de la façon suivante :

- le cercle (L) est tangent à la droite (DC), tangent à la droite (AD) et tangent extérieurement au cercle (C) ; le centre du cercle (L) appartient au segment [BD] ;

- le cercle (L’) est tangent à la droite (DC), tangent à la droite (BC) et tangent extérieurement au cercle (C) ; le centre du cercle (L’) appartient au segment [AC].

On admettra que de tels cercles existent et on ne cherchera pas à les construire, hormis dans le cas particulier de la question 4. b.

(L')

(L)

(C)

E

F

D C

BA

On note r et r' les rayons respectifs des cercles (L) et (L’).

2. Déterminer l'ensemble des points E tels que r =r’.

3. Existe-t-il une position du point E telle que les cercles (L), (L’) et (C) aient le même rayon ? Si oui laquelle ?

4. a. Démontrer qu'il existe une position du point E pour que r = ret que, de plus, les cercles (L) et (L’) soient tangents extérieurement.

b. Proposer dans ce cas une construction du point E et des trois cercles, en utilisant exclusivement une règle non graduée et un compas.

17. Paris (*)

http://mathematiques.scola.ac-paris.fr/actualites.htm

18. Poitiers

http://ww2.ac-poitiers.fr/math/spip.php?rubrique26

18-a : Le Veuf Strogonoff

Toutes séries

Michel Strogonoff était veuf, mais il était beau.

Pour des raisons obscures, il décida de partir à l'aventure, sans un kopek en poche, à travers les étendues infinies de la Sibérie.

Las, à peine avait-il parcouru une verste qu'il rencontra un ermite qui lui dit comme ça : « Michel Strogonoff, donne-moi un rouble, ou tu t'en repentiras.

- Mais, mon pauvre ermite, je suis trop pauvre, je ne peux pas te donner un rouble.

- Puisque c'est comme ça, répliqua l'ermite, c'est moi qui vais te donner un rouble ! Tiens ! »

Michel Strogonoff était un peu surpris, mais content, et il reprit sa route, avec un rouble dans la poche.

Une verste plus loin, nouvel ermite, même tableau :

« Michel Strogonoff, donne-moi deux roubles, ou tu t'en repentiras.

- Mais, mon pauvre ermite, je suis trop pauvre, je ne peux pas te donner deux roubles.

- Puisque c'est comme ça, répliqua l'ermite, c'est moi qui vais te donner deux roubles ! Tiens ! »

Michel Strogonoff était toujours un peu surpris, mais de plus en plus content, et il reprit sa route, avec maintenant trois roubles dans la poche. Et à la fin de la troisième verste, ça recommence avec un troisième ermite :

« Michel Strogonoff, donne-moi trois roubles, ou tu t'en repentiras.

- Tiens, mon pauvre ermite, je me réjouis de pouvoir soulager ta misère ! »

Et Michel Strogonoff lui donna ses trois roubles, et reprit sa route, la bourse vide, à la fois surpris et content, car un rien l'étonnait et c'était un heureux caractère.

Et ça continue comme ça, à la fin de la n-ième verste, un ermite lui demande n roubles. Si Michel Strogonoff les possède, il les lui donne, sinon c'est l'ermite qui lui donne n roubles.

1. Après avoir quitté le dixième ermite (donc après 10 verstes), combien Michel Strogonoff possède-t-il ?

2. Après avoir parcouru 2008 verstes et quitté le 2008ème ermite, combien Michel Strogonoff possède-t- il ?

3. Quelle distance (en verstes) Michel Strogonoff devra-t-il parcourir pour détenir pour la première fois la coquette somme de 2008 roubles ?

18-b : Le jeu des baguettes

(d’après l’émission télévisée « Fort Boyard ») Série STG

Un certain nombre n de baguettes sont alignées entre deux adversaires A et B. Chacun joue à son tour en retirant une, deux ou trois baguettes du jeu. Celui qui reste avec la dernière baguette a perdu. Le joueur A commence.

1. Dans les cas n = 1, 2, …, 10, donner une stratégie gagnante à ce jeu en précisant à chaque fois à qui elle profite ?

2. Et si le nombre n de baguettes est encore plus grand ?

18-c : Le goûter

Série S

Les arêtes ont toutes pour longueur 10

cm.

C’est l’heure du goûter ; deux amis, un artiste et un géomètre décident de s’attabler dans une pâtisserie.

Ils ne commandent qu’un seul gâteau pour eux deux. Leur choix se porte sur un joli moka au café en forme de pyramide équilatère*. Le géomètre s’apprête à le partager équitablement en plaçant son couteau sur le sommet comme il est d’usage.

L’artiste arrête alors son geste et lui propose une découpe plus originale : placer la lame sur le milieu d’une arête, parallèle à un côté de la base, puis couper en se dirigeant vers le côté opposé. Le géomètre a des doutes, les parts ne lui semblent pas égales.

* Pyramide régulière à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux.

a. Calculer le volume exact de cette pyramide équilatère.

b. Quelle fraction du volume de la pyramide équilatère représente effectivement le volume de la part du dessus qui a la forme d’une pyramide à base trapézoïdale ?

c. Plutôt qu’au milieu, en quel point de l’arête faudrait-il placer la lame, pour qu’en procédant de la sorte, le partage soit équitable ?

19. Strasbourg

http://irem.u- strasbg.fr/php/index.php?frame=.%2Fcompet%2Fsujets.php&m0=comp&m1=oly&m2=suj&categ=olymp

Toutes sections sauf S

19-a : Les carrés et les cubes

On écrit tous les entiers de 1 à 2008 qui ne sont ni des carrés ni des cubes d’entiers.

Combien en écrit-on ?

19-b : Les balles de tennis

On dispose de n balles de tennis identiques à répartir entre trois joueurs : Paul, Henri et Mathieu. Un joueur peut ne recevoir aucune balle.

1. Déterminer le nombre de répartitions différentes possibles dans les cas n=3 puis n=4.

2. Déterminer le nombre de répartitions différentes possibles dans le cas général.

Série S

19-c : Les déplacements sur un réseau

Une fourmi se déplace à vitesse constante de 1 cm par seconde.

Elle se déplace comme indiqué sur le schéma ci-contre, partant de (0 ; 0) et visitant tous les points (a ; b) à coordonnées entières positives ou nulles.

1. Combien de temps lui faudra-t-il pour atteindre ainsi les points (3 ; 0), (4 ; 0), (4 ; 4) et (5 ; 5) ?

2. p désigne un entier naturel.

Combien de temps lui faudra-t-il pour passer du point (2p ; 0) au point (2p+2 ; 0) ?

3. p désigne un entier naturel. Combien de temps lui faudra-t-il pour passer du point (2p+1 ; 0 ) au point (2p+3 ; 0) ?

4. n désigne un entier naturel. Combien de temps lui faudra-t-il pour atteindre le point (n ; 0) ? le point (n ; n) ?

5. Où se trouvera la fourmi au bout de 2008 secondes ?

19-d : Les triplets

On part d'un triplet de réels de réels (a, b, c) que l'on transforme en (a+b, b+c, c+a).

On recommence cette opération indéfiniment.

Par exemple avec (1, 3, –4) on obtient successivement (4, –1, –3), (3, –4, 1), (–1, –3, 4), (–4, 1, 3), (–3, 4, –1), (1, 3, –4) qui est le triplet initial : le processus est donc périodique.

Déterminer à quelle condition portant sur a, b et c le processus est périodique et préciser alors le nombre d'étapes nécessaires pour retomber sur le triplet initial (a ,b ,c).

20. Toulouse

http://pedagogie.ac-toulouse.fr/math/viedesmaths/olympiades/annales.php

20-a : Chapeau les chameaux !

Candidats toutes séries. Les questions sont indépendantes.

1. Un chamelier et son chameau, quand ils se déplacent, consomment pour leur subsistance une banane par kilomètre à eux deux. Ils doivent transporter des bananes d’une bananeraie A à une oasis B distante de 300 km.

Il y a 20 000 bananes stockées au point A. Le chameau, un animal adulte très vigoureux ne peut porter que 2 000 bananes au maximum en un chargement.

Quel est le nombre maximal de bananes que le chamelier peut faire parvenir en B, en tenant compte du fait que, son travail accompli, il retourne, avec son chameau, à son point de départ A.

2. Parmi les bananes livrées au point B, 7 000 doivent être maintenant acheminées jusqu’à deux villes D et E, situées respectivement à 100 km et 200 km de l’oasis B dans des directions distinctes.

Deux jeunes chameaux vont transporter ces bananes. Du fait de leur jeune âge, chacun ne peut transporter que 1 000 bananes au maximum en un seul chargement. La consommation de ces chameaux, et de leurs chameliers, est toujours de 1 banane par kilomètre. De plus, le même nombre de bananes exactement doit être livré, à la fin, à chacune des deux villes D et E, et les deux chameaux doivent revenir à leur point de départ.

Proposer et justifier un ensemble de trajets effectués par ces deux chameaux, permettant de livrer effectivement le plus grand nombre de bananes possible aux villes D et E.

3. En partant de la bananeraie A, le chamelier et son chameau vigoureux qui peut porter jusqu’à 2 000 bananes en un seul chargement doivent maintenant transporter des bananes jusqu’à une ville C située à 1 000 km de A.

Comme précédemment, ils consomment une banane par kilomètre. Il y a maintenant 3 200 bananes stockées au point A. Son travail achevé le chamelier reste à la ville C. Dans ces conditions le chamelier constate que ce qu’il peut faire de mieux est de faire parvenir 1 000 bananes à la ville C en effectuant un seul aller mais en laissant 1 200 bananes à la bananeraie.

Le chamelier se propose alors, pour ce transport, d’utiliser un point de stockage intermédiaire I, situé à une distance x de A et de faire des allers-retours.

Comment doit s’organiser le chamelier pour faire parvenir un nombre maximum de bananes en C? Décrire en détail le trajet effectué, préciser la position choisie pour le point de stockage intermédiaire et préciser le nombre de bananes acheminées en C.

20-b : Nombres L

Candidats des séries autres que la série S

Dans une feuille de papier quadrillé, on a découpé un carré en s’aidant du quadrillage : la longueur du côté correspond à un nombre entier de carreaux.

Dans ce carré de papier, on enlève, toujours en s’aidant du quadrillage, un carré plus petit (confère figure ci-dessous).

Le carré enlevé a donc pour côté un nombre entier de carreaux. On appelle L le polygone restant ; son aire n est un nombre entier de carreaux.

Ainsi, si le grand carré a pour côté 4, le petit pour côté 2, L a pour aire n = 16 − 4 = 12 carreaux.

On se demande si l’aire de L peut être n’importe quel entier naturel.

1. Quelles sont les aires que l’on peut obtenir pour L lorsque le grand carré a 5 carreaux de côté ?

2. Trouver les dimensions d’un grand carré et d’un petit permettant d’obtenir un polygone L ayant 3 carreaux pour aire.

3. Peut-on obtenir n = 15 carreaux ? De combien de façons différentes ?

4. Plus généralement, dans le cas où n est impair, peut-on trouver un grand carré et un petit carré permettant d’obtenir un polygone L ayant une aire d’exactement n carreaux ?

5. Et dans le cas où n est pair ?

20-c : Constructions à la manière des compagnons du Moyen-Âge

Candidats de la série S

Un cloître est constitué d’une cour intérieure centrale entourée d’une galerie latérale. La forme des cloîtres est généralement carrée et est telle que l’aire de la galerie est égale à celle de la cour centrale (voir figure 1).

Les compagnons ont construit un mur extérieur délimitant un enclos carré que l’on veut aménager comme un cloître. Ils disposent pour cela de cordes qu’ils peuvent :

- tendre entre deux points, ce qui permet de tracer des segments de droites ;

- tendre à partir d’un point fixe, ce qui permet de tracer des arcs de cercle.

1. Proposer une méthode permettant de tracer dans l’enclos un carré délimitant la future cour intérieure centrale du cloître.

2. Les compagnons ont tracé, dans la cour intérieure, un chemin. Voici la construction qui a été réalisée :

Comment les compagnons ont-ils pu partager les côtés du carré en 4 parties égales avec leurs cordes ?

L’idée des compagnons serait de poursuivre en partageant en 8, puis en 16, etc. Le chemin a été ébauché en pointillés sur la figure 2. Que dire de sa forme possible ?

21. Versailles

http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/clubs_compet/olympiades.htm

21-a : Permutations

Concours S, STI

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.

On écrit les nombres entiers, de 1 à n, dans l’ordre croissant puis dans un ordre quelconque. On obtient

ainsi deux listes,  1 1, 2, 3, ...,L n et  2 1 2 3, , , ..., nL x x x x .

On calcule ensuite les distances entre 1et x1, 2 et x2, ..., n et xn.

Le tableau suivant donne un exemple de permutation et de calcul dans le cas où n = 5 (ce n’est pas le seul).

Liste L1 1 2 3 4 5

Liste L2 4 2 1 5 3

Distances 3 0 2 1 2

1. Dans le cas où n = 4, puis dans le cas où n = 5, donner un exemple de liste L2 telle que toutes les distances soient deux à deux distinctes.

2. On suppose que 6n  . Montrer que, quelle que soit la liste L2, deux des distances obtenues, au moins, sont identiques.

3. Plus généralement, montrer que s’il existe une liste L2 telle que toutes les distances obtenues soient

deux à deux distinctes, alors n est un multiple de 4 ou  1n est un multiple de 4.

21-b : Dominos

Concours S, STI

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Un damier carré de côté n est divisé en 2n cases carrées de côté 1.

On recouvre certaines de ces cases par des dominos rectangles de largeur 1 et de longueur 2. Chaque domino recouvre exactement deux cases ayant un côté commun (disposées l’une à côté de l’autre ou l’une sous l’autre).

Aucun domino ne sort du damier et aucune case n’est recouverte par plus d’un domino. Certaines cases ne sont pas recouvertes, mais il n’est pas possible d’ajouter un domino et aucun des dominos placés ne

peut glisser vers une case non recouverte.

Un tel recouvrement est dit rigide.

L’objet du problème est d’étudier le nombre maximal de cases non recouvertes dans le cas d’un recouvrement rigide.

1. On considère un recouvrement rigide du damier de côté n.

a.Prouver qu’il n’y a aucune case non recouverte parmi celles qui forment le bord du damier.

b. Prouver que dans tout sous-damier de 2 2 cases, il n’y a pas plus d’une case non recouverte.

c. Prouver que dans tout sous-damier rectangle de 5 2 cases, il n’y a pas plus de deux cases non recouvertes.

2. Donner un exemple de recouvrement rigide du damier carré 7 7 où 5 cases ne sont pas recouvertes.

3. Prouver que dans un recouvrement rigide du damier n n il n’y a pas plus de  5

5

n n cases non

recouvertes.

4. Prouver que, pour tout n supérieur ou égal à 7, on peut trouver un recouvrement rigide avec au moins

  2

6

5

n cases non recouvertes.

5. On note  f n le plus grand nombre de cases non recouvertes dans un recouvrement rigide d’un

damier n n. Vers quelle limite tend  

2

f n

n ?

21-c : Circulez !

Concours L, ES, STG

Dans un pays se trouvent 5 villes reliées deux à deux par des routes. Il n’y a jamais plus d’une route entre deux villes. Ces routes ne se croisent pas, certaines passant si nécessaire au-dessus d’autres au moyen de ponts. Chaque route est à sens unique.

Des responsables du Ministère du sens de la circulation, manifestement distraits, ont orienté les routes de sorte que si l’on sort d’une ville quelconque, il est impossible d’y revenir.

Un tel réseau de routes entre les 5 villes est dit catastrophique.

1. Donner un exemple de réseau catastrophique.

2. Prouver que dans tout réseau catastrophique, il y a une ville dont on ne peut sortir.

3. Prouver que dans tout réseau catastrophique, il y a une ville depuis laquelle on peut atteindre directe- ment toutes les autres.

4. Combien, au minimum, faut-il changer de sens de circulation pour qu’on puisse aller de n’importe quelle ville à n’importe quelle autre (en plusieurs étapes, éventuellement) dans le nouveau réseau routier obtenu ?

5. Prouver qu’il y a exactement 120 réseaux routiers catastrophiques possibles.

21-d : Carré latin diagonal

Concours L, ES, STG

Soit n un entier naturel non nul.

On considère un tableau carré à n lignes et n colonnes, dont chaque case contient un entier compris entre 1 et n, de telle sorte qu’il n’y ait pas deux fois le même nombre sur la même ligne, ni sur la même colonne, ni sur chacune des deux diagonales principales. On dit qu’un tel carré est un carré latin diagonal.

On appelle masse du tableau la somme des nombres situés dans les cases en bas à gauche sous la première diagonale (celle qui contient la case située en haut à gauche). Cette masse est notée M.

La figure ci-contre représente un carré latin diagonal à 5 lignes et 5 colonnes. Sa masse est égale à la somme des nombres situés dans les cases grisées : M = 28.

1. Y a-t-il des carrés latins diagonaux à 2 lignes et 2 colonnes ? à 3 lignes et 3 colonnes ?

2. On s’intéresse aux carrés latins diagonaux à 4 lignes et 4 colonnes.

- Donner un exemple d’un tel carré et calculer sa masse.

- Montrer que tout carré latin diagonal de ce type a une masse inférieure à 17.

- Donner un exemple d’un tel carré latin diagonal de masse 17.

- Quelle est la valeur minimale de la masse d’un carré latin diagonal à 4 lignes et 4 colonnes ?

3. On s’intéresse aux carrés latins diagonaux à 5 lignes et 5 colonnes.

- Compléter le carré ci-contre pour obtenir un carré latin diagonal de masse 30 (on expliquera d’abord comment remplir les cases grisées).

- Donner un exemple de carré latin diagonal à 5 lignes et 5 colonnes de masse 32.

- Déterminer la valeur maximale de la masse d’un carré latin diagonal à 5 lignes et 5 colonnes.

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