Contrôle - sciences mathématique 5 - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 5 - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 5 - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices. Les triangles magiques, Les diagonales, Quadrilatère.
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Première S mars 2009

Olympiades académiques de mathématiques

1. Exercices communs 2 1-a : Les triangles magiques 2 1-b : Les diagonales 3

2. Amiens 3 2-a : S- Les oiseaux 3 2-b : S- Quadrilatère 4 2-c : ES-L-STG- Numb3rs 4 2-d : ES-L-STG- Le père Iclès et son terrain 4 2-e : STI-STL - Une fonction 4 2-f : STI-STL-Médianes perpendiculaires 4

3. Besançon 5 3-a : Promenade parmi les nombres 5 3-b : Tableau des scores d’une poule de championnat 5

4. Bordeaux 6 4-a : S - Triangles olympiadiques 6 4-b : non S - Des carrés dans un carré. 7 4-c : Carrés magiques multiplicatifs 8

5. Caen 9 5-a : ES-L-T- Le problème de la fourmi 9 5-b : S-ES-L-T - Les Drapeaux 9 5-c : S - Problème du cadre 9

6. Clermont Ferrand 10 6-a : Quand la somme est égale au produit 10 6-b : La croix, le carré, l’hexagone et l’hexamier 10

7. Créteil 12 7-a : S - Des n-machines. 12 7-b : ES-L-T - Un carré bien naturel 13 7-c : Même aire ? 13

8. Corse 13 8-a : Tri-angle 14 8-b : Liste d’entiers 14

9. Dijon 14 9-a : Les nombres « sigma » 14 9-b : « Concourantes ou parallèles » 15

10. Grenoble 15 10-a : S-STI - L’escalier 15 10-b : ES-L-T(sauf STI) : Fraction égyptienne 16 10-c : Un petit jeu 16

11. Lille 17 11-a : S- Le jeu des inverses 17 11-b : S- Et pourtant il tourne… 17 11-c : ES-L-T- Une multiplication olympique 18 11-d : ES-L-T- Réussir 2009 19

12. Lyon 19 12-a : Itération (toutes séries) 19 12-b : Série S : Cercles inscrits 19 12-c : Autres séries : Tablette de chocolat 20

13. Marseille 20 13-a : Une épreuve 20 13-b : S - Johnny Rockstar 22

13-c : ES-L-T - Triangles rectangles 23 14. Montpellier 25

14-a : S- Le Cardiff de Khâré 25 14-b : S- Cercle et segment 26 14-c : L-ES-T - Rugby 27 14-d : L-ES-T - La pièce et l'oie 27

15. Nancy-Metz 27 15-a : Les tapis 27 15-b : S-STI- La course des escargots 28 15-c : ES-L-T- La course des fourmis 29

16. Nice 30 16-a : S- 2009 Année étoilée ! 30 16-b : S- Le rangement des balles et les ballons 30 16-c : ES-L- Carte de fidélité 31 16-d : ES-L- Distance sur un carré 32

17. Orléans Tours 34 17-a : Simplifications scandaleuses 34 17-b : MILA est très carré … 35

18. Paris 36 18-a : Cercle inscrit - tous sauf S 36 18-b : Y’a des dés – tous sauf S 36 18-c : Repneuf - S 36 18-d : A la règle seule - S 36

19. Poitiers 36 19-a : La formule de Lagrange 37 19-b : La chèvre de Monsieur Seguin 37 19-c : Les quatres fille du docteur Marc 37 19-d : Les cinq fils du docteur April 37

20. Reims (*) 38 21. Rennes 38

21-a : Un peu de calcul 38 21-b : Cela aurait pu Durer … 38 21-c : Et s’il pleuvait en bretagne ? 39 21-d : Marianne fait la fête. 40

22. Rouen (*) 40 23. Strasbourg 41

23-a : S - Les nappes 41 23-b : S - Partition 41 23-c : ES, L, T - Roues 41 23-d : ES, L, T – Partition 2 41

24. Toulouse 41 24-a : ES-L-T- Le distributeur 41 24-b : ES-L-T- Ce soir c'est la fête ! 42 24-c : S- En Egypte 42 24-d : S - Les timbres d’Eliott 42

25. Versailles 43 25-a : S - Tas de bois 43 25-b : S - Moyennes de puissances de 2 43 25-c : ES-L-T - Au-delà des grilles 44 25-d : ES-L-T - « Too many notes » 44

Les sujets des académies accompagnées de (*) ne me sont pas connus.

1. Exercices communs

1-a : Les triangles magiques

Partie A

Questions préliminaires

On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?

2. Quelle la plus grande valeur possible pour leur somme ?

Partie B

On place tous les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases situées sur le pourtour d'un triangle, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur S, on dit que le triangle est S-magique (c'est à dire si n1 + n2 + n3 + n4 = n4 + n5 + n6 + n7 = n7 + n8 + n9 + n1 = S).

On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de S.

1. Compléter le triangle suivant de sorte qu'il soit 20-magique, c'est-à-dire S-magique de somme S = 20.

2. On considère un triangle S-magique et on appelle T la somme des nombres placés sur les trois sommets.

a. Prouver qu'on a 45 + T = 3S.

b. En déduire qu'on a 17  S  23.

c. Donner la liste des couples (S ; T) ainsi envisageables.

3. Proposer un triangle 17-magique.

4. Prouver qu'il n'existe pas de triangle 18-magique.

5. a. Montrer que dans un triangle 19-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.

b. Proposer un triangle 19-magique.

n 1

n 9

n 8

n 7

n 2

n 3

n 4

n 5

n 6

2

n 9

n 8

8

n 2

n 3

5 n 5

n 6

6. Prouver que, s'il existe un triangle S-magique, alors il existe aussi un triangle (40 – S)-magique.

7. Pour quelles valeurs de S existe-t-il au moins un triangle S-magique ?

1-b : Les diagonales

On plie une feuille de papier rectangulaire le long d'une de ses diagonales ; on coupe les parties qui ne se recouvrent pas puis on déplie la feuille.

On admet qu'ainsi on obtient toujours un losange (cette propriété sera démontrée dans la dernière question de l'exercice).

L'unité de longueur choisie est le centimètre.

1. Construire le losange obtenu à partir d'une feuille rectangulaire de longueur L = 16 et de largeur l = 8.

On pourra noter c la longueur du côté du losange.

Les questions suivantes sont indépendantes.

2. Dans cette question, la feuille rectangulaire de départ a pour longueur 16 et pour largeur 8. Calculer la longueur du coté du losange.

3. On veut maintenant obtenir un losange de côté 7,5 à partir d'une feuille dont les dimensions (longueur et largeur) sont des nombres entiers.

Quelles sont les dimensions possibles pour la feuille de départ ?

4. A partir d'une feuille de longueur L, on a obtenu un losange dont l'aire est égale à 75 % de celle de la feuille de départ. Exprimer, en fonction de L, la largeur l de la feuille de départ.

5. Démontrer le résultat admis initialement, à savoir que la manipulation décrite en début d’énoncé conduit toujours à un losange.

Eléments de solution : http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/clubs_compet/olympiades2009/premiere/Tout_solution.pdf

2. Amiens

http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/

2-a : S- Les oiseaux

Initialement, n oiseaux se trouvent chacun au sommet d’un poteau, ces n sommets formant un polygone régulier à n côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces oiseaux s’envolent. Puis après quelques temps, ils reviennent se poser sur les n poteaux, mais pas nécessairement à leurs positions initiales. Deux oiseaux ne peuvent pas se poser sur un même poteau.

On dit que n oiseaux forment un groupe de « bons géomètres » lorsque, quelles que soient les positions avant et après l’envol, on peut trouver trois oiseaux (parmi les n) qui forment, avant et après l’envol, deux triangles

 soit tous deux rectangles ;

 soit tous deux acutangles (triangle dont les trois angles sont aigus). Par exemple, pour 3n  , on peut schématiser le problème de la manière suivante.

Appelons A l’oiseau posé en A avant l’envol. Sa position une fois reposé sera notée A’.

Avant l’envol, les oiseaux A, B, C forment un triangle acutangle.

Après l’envol, les oiseaux peuvent se reposer selon plusieurs combinaisons, par exemple :

Dans tous les cas, le triangle A’B’C’ est un triangle acutangle. Ainsi 3 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».

On rappelle que tous les polygones réguliers sont inscrits dans un cercle.

1. Vérifier que 4 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».

2. Pour 5n  , donner une position initiale et une position d’arrivée qui justifient que 5 oiseaux ne forment pas un groupe de « bons géomètres ».

3. Pour 6n  , les sommets des poteaux forment un hexagone régulier.

Montrer qu’il existe toujours 3 oiseaux qui, avant et après l’envol, forment un triangle rectangle.

Que peut-on en conclure quant au fait que 6 oiseaux forment ou non un groupe de « bons géomètres » ?

4. Montrer que si n est pair, n oiseaux forment nécessairement un groupe de « bons géomètres ».

L’intérieur d’un quadrilatère ABCD est partagé en 4 triangles par ses diagonales.

Les centres des cercles circonscrits à ces 4 triangles forment un quadrilatère STUV.

2-b : S- Quadrilatère

L’intérieur d’un quadrilatère ABCD est partagé en 4 triangles par ses diagonales.

Les centres des cercles circonscrits à ces 4 triangles forment un quadrilatère STUV.

1. Montrer que STUV est toujours un parallélogramme.

2. Quelles propriétés doit avoir le quadrilatère ABCD pour que STUV soit un carré ?

2-c : ES-L-STG- Numb3rs

Un ensemble E de nombres entiers positifs ou nuls possède les deux propriétés suivantes :

* (P1) si x E , alors 32 2x E  ;

* (P2) si x et y sont deux éléments de E, leur différence, si elle est positive ou nulle, est aussi un élément de E.

1. On suppose ici que 2 E .

a. 18 est-il un élément de E ?

b. Montrer que 0 est dans E.

c. 2008 est-il dans E ?

2. On suppose désormais que E est non vide. 2008 appartient-il à E ?

2-d : ES-L-STG- Le père Iclès et son terrain

Le père Iclès possède un terrain en forme d’hexagone.

Comme l’indique la figure, les deux plus petits côtés ont la même longueur et ses angles intérieurs mesurent tous 90, 45 ou 225 degrés.

Lorsqu’on lui demande la superficie de son terrain, le père Iclès répond : « La diagonale AB mesure 152 mètres exactement. Vous en savez assez pour calculer la superficie du terrain. »

Quelle est l’aire du terrain du père Iclès ?

2-e : STI-STL - Une fonction

Soit la fonction f définie sur  1 ;  par : ( ) 4 1 3 6 1 8f x x x x x        .

1. A l’aide de votre calculatrice, étudier le comportement de f sur l’intervalle  1 5 ;10I  .

Quelle conjecture vous suggère cette méthode ?

2. Démontrer cette conjecture (on pourra poser 2 1x u  , avec 0u ).

3. Donner une expression simplifiée de f sur les intervalles  2 1 ; 5I  et  3 10 ;I   .

2-f : STI-STL-Médianes perpendiculaires

Dans la figure suivante, le triangle ABC est tel que les médianes AI et BJ sont perpendiculaires.

Exprimer 2 2CA CB en fonction de 2AB .

3. Besançon

http://artic.ac-besancon.fr/mathematiques/Olympiades-1S/index.htm

3-a : Promenade parmi les nombres

On part du nombre 5 et on s’autorise à utiliser deux opérateurs :

 L’opérateur (M) « multiplier par 2 » : 2n n 

 L’opérateur (R) « retrancher 3 » : 3n n  .

Un entier naturel N est dit admissible s’il est possible, en partant de 5 et en n’utilisant que les deux opérateurs ci-dessus, de parvenir en un certain nombre d’étapes au nombre N.

Par exemple 25 est admissible par le chemin à cinq étapes :

5 10 7 14 28 25 M R M M R      .

On considérera par convention que 5 est admissible (chemin avec 0 étape)

1. Quels sont les entiers naturels admissibles en au plus 3 étapes ?

2. Montrer que 11, 13, 16 et 19 sont aussi admissibles.

3. Certains entiers naturels sont non admissibles : lesquels ? Justifier.

4. Montrer que 2009 est admissible en présentant une méthode permettant de trouver le chemin menant de 5 à 2009 (une telle méthode est aussi appelée algorithme).

3-b : Tableau des scores d’une poule de championnat

On s’intéresse aux tableaux de score obtenus à l’issue d’une poule d’un championnat sportif.

Dans une telle poule, chaque équipe rencontre chacune des autres ; en cas de match nul on attribue 1 point à chaque équipe ; sinon on attribue 3 points à l’équipe gagnante et 0 point à l’équipe perdante.

Par exemple, si une poule comporte 3 équipes nommées A, B et C, on aura 3 matchs : A contre B, A contre C, B contre C. Si A perd ses deux matchs et que B gagne contre C, A totalisera 0 point, B 6 points et C 3 points.

Le tableau de la poule sera dans ce cas le suivant :

1° B 6

2° C 3

3° A 0

Seule nous intéresse ici la troisième colonne ; nous la coderons 630 .

Attention, dans un tel code xyz , on aura toujours x y z  .

Autre exemple : si les trois matchs donnent un résultat nul, le code obtenu sera 222 .

1. Dans cette question, la poule comporte 3 équipes. Combien de codes possibles obtient-on ? (on connaît déjà 630 et 222)

Dans toute la suite, la poule comporte 4 équipes.

2. Si on sait qu’une équipe gagne tous ses matchs, combien de codes possibles peut-on obtenir ?

3. Si on sait que le premier du groupe a totalisé 4 points, combien de codes possibles peut-on obtenir ?

Les candidats intéressés pourront poursuivre leur recherche hors-olympiades et rechercher tous les codes possibles avec 4 équipes… Réponse sur le site…

4. Bordeaux

http://webetab.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Maths/elv/jeux/olymp/olymp.html

4-a : S - Triangles olympiadiques

On appelle triangle olympiadique de sommet A, un triangle tel que, si O et I désignent respectivement les centres des cercles circonscrit et inscrit au triangle ABC, alors ces deux points sont distincts et la droite (OI) est parallèle à (BC).

1. (OH) désignant la médiatrice du segment [BC], reproduire la figure ci-contre et construire le point A tel que le triangle ABC soit olympiadique de sommet A.

2. Cette construction est-elle toujours réalisable ?

En déduire une condition sur l’angle BAC pour qu’il existe un triangle olympiadique de sommet A.

Solution

1. H étant le milieu de l’arc BC, (AH) est la bissectrice de l’angle BAC et donc I appartient à (AH).

D’autre part, BIH=180-BIA=x+y=IBH. Le triangle BIH est donc isocèle en H et HB=HI.

Si le triangle est olympiadique, I est un point d’intersection de la parallèle à (BC) passant par O et du cercle de centre H passant par B. On construit donc le point A intersection du cercle circonscrit à ABC avec (HI)

2. La construction n’est donc possible que si HB>HO, donc si HOB>60° donc si BAC>60°.

4-b : non S - Des carrés dans un carré.

ABCD est un carré de côté 1, x est un nombre réel compris entre 0 et 1.

IJKD et PBMN sont deux carrés de côté x.

On désigne par S1(x) l’aire de la partie commune à ces deux carrés si elle existe, nulle si elle n’existe pas et par S2(x) l’aire de la partie extérieure à ces deux carrés et contenue dans ABCD.

Visualisation de S1(x) Visualisation de S2(x)

1. Retrouver parmi les huit courbes suivantes celle qui représente S1 et celle qui représente S2.

On s’appliquera à justifier ses choix.

Schéma 1

Schéma 2

Schéma 3

Schéma 4

Schéma 5

Schéma 6

Schéma 7

Schéma 8

2. Pour quelle valeur de x a-t-on S1(x)=1/4 ?

3. Pour quelle valeur de x a-t-on S1(x)=S2(x) ?

4. Pour quelle valeur de x a-t-on S1(x)+S2(x) minimum ? Quel est ce minimum ?

Solution

1. S1(x)=0 si x<0.5 et S1(x)=(2x-1)2 sinon donc schéma1 ; S2(x)=1-2x2 si x<0.5 et S2(x)=2(x-1)2 sinon donc schéma 3.

2. S1(x)=1/4 pour 2x-1=1/2, donc pour x=3/4.

3. S1(x)=S2(x) pour (2x-1)2=2(x-1)2 donc pour 2x2=1 donc pour x=rac(2)/2.

4. S1(x)+S2(x)= 2(x-1)2 si x<0.5 et S1(x)+S2(x)=( 2x-1)2+2(x-1)2=6x2-8x+3 sinon.

Le minimum est pour x=2/3, il est égal à 1/3.

4-c : Carrés magiques multiplicatifs

a, b, c, d, e, f, g, h et i étant des entiers naturels n’ayant aucun diviseur autre que 1 en commun, on dit

que le tableau

a b c

d e f

g h i

         

est un carré magique multiplicatif (CMM) de produit P si et seulement si le

produit des entiers de chacune des lignes, le produit des entiers de chacune des colonnes et celui des entiers de chacune des deux diagonales est égal à P.

1. Compléter les deux CMM suivants :

2 9 .

. . 1

3 4 .

         

;

3 2

8

6

2 2 .

2 . .

. 2 .

           

.

2. Montrer que si

a b c

d e f

g h i

         

est un CMM de produit P alors e3=P.

Ce résultat, même non démontré peut être utilisé par la suite.

3. Construire un CMM utilisant tous les diviseurs de 100.

4. Montrer que si e est un nombre premier, alors il n’y a que quatre carrés magiques possibles.

5. Construire un carré magique de produit 27000 dont tous les termes sont différents.

Solution

1.

2 9 12

36 6 1

3 4 18

         

;

3 2 7

8 4

6 5

2 2 2

2 2 1

2 2 2

           

.

2. (aei)(gec)(beh)(def)=P4=abcdefghe3=P3e3. Donc e3=P.

3. D(100)={1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}. Leur produit est 109, donc P=103, donc 10 est au milieu.

2 25 20

100 10 1

5 4 50

         

.

4.

2

2

2

1

1

1

e e

e e

e e

           

;

2

2

2

1

1

1

e e

e e

e e

           

;

2

2

2

1

1

1

e e

e e

e e

           

;

2

2

2

1

1

1

e e

e e

e e

           

.

5.

2 1 4

4 2 1

1 4 2

         

9 1 3

1 3 9

3 9 1

         

5 1 25

25 5 1

1 25 5

         

=

90 1 300

100 30 9

3 900 10

         

5. Caen

http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/maths/

5-a : ES-L-T- Le problème de la fourmi

Dans un hangar ABCDEFGH qui a la forme d’un pavé droit avec AE= 30 m, AD = 12 m et AB = 12 m, se trouve une fourmi à la position I qui veut se rendre à la position J.

Le point I est sur la médiatrice du segment [BC], à 1 m de la droite (BC), dans le plan ABCD.

Le point J est sur la médiatrice du segment [EH], à 1 m de la droite (EH) dans le plan EHGF.

Déterminer la longueur du chemin le plus court que doit suivre la fourmi, en restant en contact avec les faces du hangar.

J I

H

G

F

E

D

C

B A

(A partir du livre Maths puzzle by Peggy Adler and Irving Adler éditeur : Watts)

5-b : S-ES-L-T - Les Drapeaux

On considère pour chaque question un drapeau de dimensions 120 x 80 cm.

1. Un nouveau pays veut créer son drapeau (ci–contre). Ses dirigeants souhaitent que les trois « valeurs » de ce nouvel état y soient symbolisées de la même façon, par trois parties de même aire.

Quelle(s) est (sont) la (les) position(s) possible(s) du point M, point commun aux trois parties, pour que le côté commun aux parties 2 et 3 soit parallèle aux deux autres côtés ?

2. Un autre nouveau pays veut aussi créer son drapeau (ci–contre). Ses dirigeants souhaitent aussi que les trois « valeurs » de ce nouvel état y soient symbolisées de la même façon, par trois parties de même aire. Peut-on avoir les 3 aires égales ?

3. Un troisième nouveau pays veut créer aussi son drapeau(ci–contre). Ses dirigeants souhaitent que les quatre « valeurs » de ce nouvel état y soient symbolisées de la même façon, par quatre parties de même aire.

a. Peut-on avoir les 4 aires égales si les trois bandes verticales sont de même largeur ?

b. Peut-on avoir les 4 aires égales si l’on fait varier la largeur de la bande centrale ?

Indication : On pourra utiliser le fait que l’aire d’un secteur angulaire de radian est égale à  2 1

2 r .

5-c : S - Problème du cadre

On dispose d’un cadre dont le bord extérieur est un rectangle ABCD de dimensions 30 cm et 20 cm. Le bord intérieur est aussi un rectangle EFGH. Les deux bandes du cadre suivant les longueurs sont identiques. Il en est de même des bandes suivant les largeurs.

La bande suivant la largeur est large de 1 cm. La bande suivant les longueurs est large de 3 cm.

On veut découper le coin A de ce cadre suivant la section [SS’].

1. Déterminer la longueur SS’ de la section sachant que AS=AS’.

2. Calculer la longueur de la section SS’ lorsque S est en B.

3. Même question lorsque S’ est en D.

4. Calculer la longueur de la section lorsque ES=ES’.

S'

SH

F

E

G

D

C B

A

6. Clermont Ferrand

http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/sampleolymp1.php

6-a : Quand la somme est égale au produit

Tous les nombres considérés sont des nombres entiers naturels non nuls.

A. 1. Peut-on trouver deux nombres entiers naturels dont la somme et le produit sont égaux à 4 ?

2. Peut-on trouver deux nombres entiers naturels dont la somme et le produit sont égaux à 2009 ?

3. La somme de deux entiers naturels x et y, avec 0 < x y , est égale à leur produit.

Combien y a-t-il de solutions distinctes (x, y) ?

B. La somme de trois entiers naturels x, y et z, avec 0 x y z   , est égale à leur produit.

1. Montrer que 3xy  .

2. Combien y a-t-il de solutions distinctes (x, y, z) ?

C. La somme de cinq entiers naturels x, y, z, u et v, avec 0 x y z u v     , est égale à leur produit.

Combien y a-t-il de solutions possibles (x, y, z, u, v) ?

6-b : La croix, le carré, l’hexagone et l’hexamier

Les candidats des séries L, ES, STI, STL, STG et ST2S ne traiteront que la question 1.

1. Croix et carré :

Une croix est dans cet exercice une figure géométrique formée de cinq carrés de même dimension et disposés comme l'indique la figure ci-contre.

Soit deux cercles C et C' de même rayon. Dans le premier on inscrit une croix, dans le second un carré. Comparer les aires du carré et de la croix.

2. Hexagone et hexamier :

Un hexamier est une figure géométrique formée de sept hexagones réguliers de même dimension et disposés comme l'indique la figure ci-contre.

Soit deux cercles C et C' de même rayon. Dans le premier on inscrit un hexamier, dans le second un hexagone régulier.

Comparer les aires de l'hexamier et de l'hexagone.

3.Ci-dessous, vous avez deux cercles C et C’.

À l'aide seulement d'une règle non graduée et d'un compas inscrire une croix dans C et un hexamier dans C’. Vous donnerez en quelques lignes, les éléments de constructions que vous utilisez : on suppose connu le tracé d'une perpendiculaire et d'une parallèle à une droite ainsi que la construction d'un carré.

C'

O'

C

O

7. Créteil

http://maths.ac-creteil.fr/spip/spip.php?rubrique59

7-a : S - Des n-machines.

Soit n un entier naturel compris entre 2 et 10.

Une « n-machine » n’effectue que des calculs utilisant les quatre opérations sur des nombres entiers naturels.

Pour cette « n-machine », a, b et c étant des entiers naturels compris entre 0 et n – 1, le nombre noté

abc représente le nombre 2a n b n c    . Il existe donc neuf n-machines différentes.

Par exemple, pour la « 4-machine »

- le nombre noté 231 représente le nombre 22 4 3 4 1 45     ;

- le nombre noté 13 représente le nombre 1 4 3 7   ;

- le nombre noté 2 représente le nombre 2.

1. Quel nombre représente le nombre noté 231 pour la « 7-machine » ?

2. Avec les notations précédentes, on considère l’équation d’inconnue x (x étant un entier naturel) :

3 43 211x   .

Quelle valeur doit-on donner à n pour que la « n-machine » affiche « 21 » comme solution ?

3. Avec les notations précédentes, on considère l’équation d’inconnue x (x étant un entier naturel) :

2 45 322 0x x   .

Une autre « n-machine » affiche deux solutions entières comme solutions de cette équation.

a. Quelle « n-machine » a-t-on utilisée ? (Il faut donc trouver la "bonne" valeur de n)

b. Quelles sont les solutions affichées par cette machine ?

7-b : ES-L-T - Un carré bien naturel

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

20 21 22 23 24

Le carré ci-dessus est qualifié de naturel, car on y a écrit les nombres entiers naturels dans l'ordre, ligne après ligne, d’une façon toute « naturelle ».

1. Choisissez cinq nombres de ce carré de telle façon que deux quelconques d’entre eux n’appartiennent jamais ni à la même ligne, ni à la même colonne. Calculez ensuite la somme de ces cinq nombres. Recommencez avec cinq autres nombres choisis de la même façon. Que constatez-vous ?

2. En utilisant cinq couleurs différentes, coloriez les 25 cases du carré de telle sorte que deux cases quelconques de la même couleur n’appartiennent jamais ni à la même ligne, ni à la même colonne. On appellera un tel coloriage un « bon coloriage ».

Calculez la somme des nombres écrits sur les cases d’une même couleur. Que constatez-vous ?

3. Le nombre écrit à l’intersection de la 2ème ligne et de la 4ème colonne est 8.

Exprimez la valeur du nombre écrit à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne en fonction de i et de j.

4. Démontrez que dans n’importe quel « bon coloriage » d’un carré naturel 5  5, la somme des nombres écrits sur les cases d’une même couleur est une constante.

5. Dans un carré de 100 cases sur 100 cases, on a écrit les nombres de 0 à 9 999.

On admet qu’il est possible de réaliser un « bon coloriage » à l’aide de 100 couleurs dans un carré 100

 100.

Calculez la somme des nombres écrits dans les cases d’une même couleur d’un tel carré.

7-c : Même aire ?

Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en A, ABEF et AGHC sont des carrés.

On pose AB = a et AG = b.

K est le point d’intersection des droites (AC) et (BH).

J est le point d’intersection des droites (AB) et (EC).

I est le point d’intersection des droites (EC) et (BH).

1. Exprimer AK en fonction de a et de b puis en déduire l’aire du triangle ABK en fonction de a et de b.

2. Montrer que le triangle IBC et le quadrilatère AJIK ont la même aire.

A B

C

E F

G

H

I K

J

8. Corse

http://www.ac-corse.fr/math/Olympiades-2009_a70.html

8-a : Tri-angle

Soit ABC un triangle dont une mesure de l’angle en degrés est un réel  de ]0 ; 90[. On note a, b et c les longueurs respectives des côtés BC, CA, AB en cm.

1. Démontrer que l’aire du triangle ABC en cm2 est égale à 1

sin 2

bc  .

2. a. Par un point I du segment [AB] on mène une parallèle à la droite (BC) qui recoupe [AC] en J. Déterminer un point de I de [AB] tel que le triangle AIJ et le quadrilatère BCJI aient la même aire ?

b. Dans un tel cas est-il possible que AIJ et BCJI aient aussi le même périmètre ?

3. Un triangle ABC est tel que et BC = 7 cm, AB = 8 cm et AC = 9 cm.

Soit I un point de [AB] et J un point de [AC], la droite (IJ) n’étant pas nécessairement parallèle à (BC).

Déterminer, s’ils existent, les points I et J tels que le triangle AIJ et le quadrilatère BCJI aient même aire et même périmètre.

8-b : Liste d’entiers

Dans cet exercice on admet que tout nombre entier naturel, supérieur ou égal à 2, se factorise de façon unique en produit de facteurs premiers.

On appelle « L-liste » un ensemble fini de nombres entiers naturels distincts non nuls, tel que

* Il y a au moins deux nombres entiers distincts dans la L-liste.

* L’un au moins des entiers de la L-liste est pair.

* Quels que soient les entiers pairs m et n de cette L-liste, le nombre 2

m n est aussi un nombre entier de

cette L-liste.

1. a. Les ensembles  1, 2 ,  2, 5, 6 ,  2, 5, 7 sont-ils des L-listes ?

b. Déterminer toutes les L-listes ayant exactement deux éléments.

c. Donner un exemple de L-liste ayant 5 éléments et un exemple de L-liste ayant 2009 éléments.

2. Démontrer que dans toute L-liste il existe au moins un nombre entier naturel impair.

3. a. Démontrer que si deux nombres pairs distincts d’une L-liste ont le même nombre k de facteurs 2 dans leur décomposition en facteurs premiers, alors il existe un entier de cette L-liste qui a dans sa décomposition en facteurs premiers un nombre de facteurs 2 strictement supérieur à k.

b. On considère un ensemble fini de fractions positives et irréductibles dont les dénominateurs forment une L-liste. Leur somme peut-elle être un nombre entier naturel ?

c. La somme suivante est-elle un entier naturel ?

3 4 5 6 2008 2009 ...

2 3 4 5 2007 2008       .

9. Dijon

http://mathematiques.ac-dijon.fr/

9-a : Les nombres « sigma »

Prérequis - Dans cet exercice, on suppose connus les deux résultats suivants :

* il existe une infinité de nombres premiers ;

* si un entier N supérieur ou égal à 2 admet la décomposition en facteurs premiers : ...a bN p q   ,

où p, q, ... sont des nombres premiers distincts, alors le nombre de diviseurs positifs de N est égal à :

   1 1 ...a b   

Par exemple 2 112 2 3  admet 3 2 6  : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

On dit qu'un nombre entier naturel non nul est «.sigma » lorsqu'il est divisible par le nombre de ses diviseurs positifs.

Par exemple, 12 est « sigma » car il possède 6 diviseurs positifs et 6 divise 12. En revanche, 22 n'est pas « sigma » car il possède 4 diviseurs positifs : 1, 2, 11, 22, et 4 ne divise pas 22.

1. 69 est-il « sigma »? 84 est-il « sigma »? Un nombre premier peut-il être « sigma » ?

2. Démontrer que si N est un entier « sigma » impair supérieur à 1, alors l'entier 2N est « sigma ».

3. Démontrer que si N est un entier « sigma » impair, alors N est nécessairement un carré parfait. La réciproque est-elle vraie ?

4. Démontrer qu'il existe une infinité de nombres « sigma ».

9-b : « Concourantes ou parallèles »

Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté 1, M est un point intérieur au carré, les quadrilatères APMS et MQCR sont des rectangles.

Premier cas particulier

Dans cette question, on suppose que 3

4 AP  et que

1

4 AS  . Démontrer que les droites (AC), (PQ)et

(RS)sont parallèles.

Deuxième cas particulier

Dans cette question, on suppose que 1

4 AP  et que

1

3 AS  .

M Q

R

S

PA B

CD

Déterminer une équation des droites (PQ)et (RS)dans le repère (A ; AB, AD)et en déduire que les droites (AC),(PQ)et (RS)sont concourantes.

Généralisation

Cette fois ABCD est un parallélogramme, M est un point intérieur à ce parallélogramme et les quadrilatères APMS et MQCR sont des parallélogrammes.

Démontrer que les droites (AC),(PQ) et (RS)sont en général concourantes sauf pour certaines positions particulières de M que l'on précisera.

R

Q M

P

S

D C

BA

10. Grenoble

http://www.ac-grenoble.fr/maths/

10-a : S-STI - L’escalier

En 1675, François Blondel se penche sur la question du calcul de l'escalier dans son Cours d'architecture enseigné à l'académie royale d'architecture. Il constate « qu'à chaque fois qu'on s'élève d'un pouce, la valeur de la partie horizontale se trouve réduite de deux pouces et que la somme du double de la hauteur de la marche et de son giron doit demeurer constante et être de deux pieds ».

Autrement dit : M = 2h + g, où M est le module ou pas et vaut 2 pieds (64,8 cm), h la hauteur de la marche, et g son giron (profondeur d'une marche d'escalier mesurée en son milieu).

L'idée directrice est que l'effort fait par la personne qui monte soit constant, que l'escalier soit ou non droit.

De nos jours, le pas usuel est de 63 cm. Ainsi on a : 2h + g = 63.

Dans cet exercice toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. Les réponses seront arrondies à 0,1 cm.

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