Contrôle - sciences mathématique 5 - 2° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 5 - 2° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 5 - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices. Fraction égyptienne, Le jeu des inverses, Une multiplication olympique.
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Dans les constructions modernes l'échappée de tête doit être d'au moins 2 mètres.

Dans l'étude qui suit, la hauteur à monter H est de 3 mètres, la dalle a une épaisseur de 30 centimètres.

Un escalier est déterminé par le nombre de marches, leur hauteur et leur giron.

1. On réalise un escalier droit de 19 marches. La trémie mesure 4,8 mètres. Calculer le giron, le reculement et l’échappée de tête de l’escalier.

2. On dispose d'un reculement maximum de 4 mètres. Calculer les dimensions de l'escalier le moins pentu possible. Quelle doit être la dimension minimale de la trémie ?

3. On dispose d'une trémie de 2,60 mètres.

Quelles sont les dimensions de l'escalier le moins pentu possible ? Quel est son reculement ?

10-b : ES-L-T(sauf STI) : Fraction égyptienne

On appelle fraction unitaire ou fraction égyptienne une fraction d’entiers dont le numérateur est égal à 1. On démontre et nous admettrons que toute fraction comprise entre 0 et 1 peut s’exprimer comme somme de fractions unitaires dont tous les dénominateurs sont distincts deux à deux.

Cette somme est appelée un développement égyptien. Par exemple : 3 1 1

4 2 4   est un développement

égyptien.

1. Donner un développement égyptien en une somme de deux fractions de :

a. 3

20 . b.

2

17 .

2. Montrer qu’aucune fraction strictement comprise entre 5

6 et 1 ne peut se décomposer comme somme

de 2 fractions égyptiennes.

3. Donner un développement égyptien en une somme de trois fractions de :

a. 19

20 b.

5

121 c.

4

17 .

10-c : Un petit jeu

Voici un petit jeu. Au départ, on dispose de 16 cases numérotées comme indiquées ci-dessous.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

On s’autorise à faire autant de fois que l'on veut les actions suivantes :

• Choisir les deux premières lignes ou les deux dernières et les échanger.

• Choisir les deux premières colonnes ou les deux dernières et les échanger.

• Choisir une ligne ou une colonne et échanger le premier terme avec le dernier et le deuxième avec le troisième.

1. Montrer que l’on peut obtenir la position suivante :

22 21 24 23

12 11 14 13

42 41 44 43

32 31 34 33

2. Peut-on obtenir n’importe quelle position ? Si oui pourquoi, sinon donner une position impossible et expliquer pourquoi.

11. Lille

http://www4.ac-lille.fr/~math/classes/premS.html

11-a : S- Le jeu des inverses

Dans cet exercice on recherche les triplets de réels strictement positifs (x ; y ; z) vérifiant les deux

conditions suivantes : 1xyz  et 1 1 1

x y z x y z

     .

1. Montrer que le triplet 1

4 ; 4 ; 8

     

vérifie ces conditions.

2. On choisit x = 2009 et 1

2009 y  . Est-il possible de déterminer z ?

3. Montrer que le triplet 1 2009 2009

; ; 2009 2 2

     

vérifie les conditions.

4. On choisit x=1 : est-il possible de déterminer y et z ?

5. Peut-on avoir x = y = z ?

6. Démontrer qu’au moins un des trois nombres x, y ou z est plus grand que 1.

7. Démontrer qu’au moins un des trois nombres x, y ou z est plus petit que 1.

8. A quelles conditions le triplet 1 1

; ; 2 2

x x x

     

convient-il ? En déduire qu’il existe une infinité de

triplets qui conviennent.

11-b : S- Et pourtant il tourne…

I. Un carré ABCD de côté 1cm « roule » sans glisser dans le sens des aiguilles d’une montre sur un segment [IJ] de longueur n cm (n entier naturel non nul).

La position initiale est représentée sur la figure 1.

I J A

B

C D

figure 1

I J

A

B

C

D

figure 2

Le carré pivote d’abord autour du point B (figure 2) jusqu’à ce que le point C soit sur [IJ] puis le carré pivote autour du point C jusqu’à ce que le point D soit sur [IJ]. On continue ainsi jusqu’à ce qu’un sommet du carré ABCD coïncide avec le point J.

1. Si n = 10, quel sera le sommet du carré ABCD confondu avec J dans la position finale ?

2. Toujours pour n = 10, quelle est la longueur de la trajectoire parcourue par le point A depuis la position initiale jusqu’à la position finale ?

3. Pour quelles valeurs de n, le point B est-il confondu avec le point J dans la position finale ?

II. Cette fois le carré ABCD, toujours de côté 1 cm, « roule » sans glisser dans le sens des aiguilles d’une montre sur le pourtour d’un triangle équilatéral EFG de côté n cm (n entier naturel non nul). La position initiale est représentée sur la figure 3.

E

G

A

B

C

D

F

figure 3

Le périple du carré ABCD s’achève lorsqu’un sommet du carré ABCD coïncide avec le point E.

1. Si n = 5, quel sera le sommet du carré ABCD confondu avec E dans la position finale ?

2. Toujours pour n = 5, quelle est la longueur de la trajectoire parcourue par le point A depuis la position initiale jusqu’à la position finale ?

3. Pour quelles valeurs de n, le point A est-il confondu avec le point E dans la position finale ?

11-c : ES-L-T- Une multiplication olympique

Pour calculer le produit 2651 34, Luc a posé la multiplication suivante, pour obtenir le résultat 90134.

2 6 5 1

3 4

1 0 6 0 4

7 9 5 3

9 0 1 3 4

O L Y M

P I

9 3 9 4

A D E ?

? ? ? ? ?

Dans la multiplication ci-contre, on a adopté la même disposition.

En sachant que deux lettres différentes représentent toujours deux chiffres différents, trouver le résultat de cette multiplication.

11-d : ES-L-T- Réussir 2009

On construit successivement des nombres de la façon suivante :

On débute avec le nombre 4 et on lui applique au choix l’une des règles suivantes :

– on le divise par 2 (cette règle ne peut être appliquée que si le résultat est entier)

– on le multiplie par 10

– on le multiplie par 10 et on ajoute 4.

On réitère le processus autant de fois que l’on veut.

Par exemple on construit la suite de nombres : 4 – 2 – 20 – 204 – 102 – 51 – 510 ….

1. Montrer que l’on peut obtenir 3 en 5 étapes.

2. Comment obtenir le nombre 100 ?

3. Peut-on obtenir 2009 ?

4. Peut-on obtenir 2009 si la première règle est remplacée par : « on le divise par 3 », les autres règles étant inchangées ?

12. Lyon

http://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/spip.php?article164

12-a : Itération (toutes séries)

On considère une séquence composée des lettres X, Y, Z que l'on suppose, pour simplifier, rangées dans l'ordre alphabétique. Par exemple la séquence XYXZY s'écrira XXYYZ.

À chaque étape on choisit d'ajouter à la séquence une des trois lettres X, Y ou Z et d'enlever les deux autres selon le schéma suivant :

- si on ajoute un X, on enlève un Y et un Z (si bien sûr Y et Z sont présents, sinon on s'arrête) ;

- si on ajoute un Y, on enlève un X et un Z (si X et Z sont présents, sinon on s'arrête) ;

- si on ajoute un Z, on enlève un X et un Y (si X et Y sont présents, sinon on s'arrête).

Par exemple, partant de la séquence XXYYZ :

- si on ajoute X, on enlève un Y et un Z, on obtient alors XXXY ;

- si on ajoute Y, on obtient XYYY ;

- si on ajoute Z, on obtient XYZZ ;

enfin, partant de la séquence XYY, on ne peut ajouter que Z et on obtient alors : YZ.

On réitère le processus autant que possible.

1. Quelles sont toutes les issues possibles en partant de la séquence XYZZ ?

2. Quelles sont toutes les issues possibles en partant de la séquence XYYZZZ ?

3. On part d'une séquence composée de 6 lettres.

Lorsqu’il est possible d'arriver à une séquence d'une seule lettre, quel est le nombre d'étapes nécessaires ?

4. On part de la séquence composée de dix X, onze Y et douze Z. Quelle(s) lettre(s) obtient-on dans les issues formées d'une seule lettre ?

5. Trouver une séquence de dix lettres aboutissant à la seule lettre X.

12-b : Série S : Cercles inscrits

On considère un triangle ABC rectangle en A. On note a = BC ; b = CA ; c = AB.

On appelle (C) le cercle inscrit dans le triangle ABC ; on rappelle que le centre du cercle inscrit d'un triangle est le point d'intersection des bissectrices. On appelle r le rayon de ce cercle.

1. Démontrer que   1

2 r b c a   .

2. PQR est un triangle rectangle en P. H est le pied de la hauteur de PQR issue de P.

On appelle (C1), (C2) et (C3) les cercles inscrits dans les triangles PQH, PQR et PRH. r1 est le rayon de (C1), r2 celui de (C2) et r3 celui de (C3). Démontrer que 1 2 3PH r r r   .

3. Dans un triangle DEF, l’orthocentre est K et le pied de la hauteur issue de E est E0.

Les cercles inscrits dans les triangles DE0K et FE0K ont même rayon. Que peut on dire du triangle DEF ?

12-c : Autres séries : Tablette de chocolat

Une tablette de chocolat rectangulaire, dont les bords sont lisses est constituée de a barres comportant chacune b carreaux.

Dans un premier temps on prendra a = 8 et b = 4.

On veut séparer tous les carreaux de la tablette et on s'intéresse au nombres de cassures à réaliser.

Les cassures sont rectilignes et laissent des bords irréguliers.

Partie A

1. On sépare les huit barres, puis les quatre carreaux de chaque barre. Combien de cassures a-t-on faites ?

2. On sépare quatre rangées de huit carreaux, puis les huit carreaux de chaque rangée. Combien de cassures a-t-on faites ?

3. On suppose maintenant que la tablette possède a barres de b carreaux.

On sépare les a barres, puis les b carreaux de chaque barre. Combien de cassures a-t-on faites ?

4. On sépare b rangées de a carreaux, puis les a carreaux de chaque rangée. Combien de cassures a-t-on faites ?

5. On commence par casser la tablette en deux tablettes, l'une avec c barres de b carreaux et l'autre avec ac barres de b carreaux, puis on utilise la technique de la question 3. pour chacune des deux tablettes.

Combien de cassures a-t-on faites ?

Partie B

Tous les carreaux d'une tablette a b ont été séparés. On supposera dans cette question que 3 a b  . Le tiers des carreaux n'a aucun bord lisse.

1. Trouver une relation entre a et b.

2. Pour quelles valeurs de b a-t-on 4a  ?

3. En déduire a et b.

13. Marseille

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/annales/olymp-an.htm

13-a : Une épreuve

Une épreuve de mathématiques comporte quatre questions.

Pour chaque question, on obtient 0 point si la réponse est fausse ou 5 points si la réponse est bonne.

Une des questions consiste à trouver l’aire totale des six faces d’un cube dont le côté s’exprime par un nombre entier de mètres.

Une autre des questions est la suivante :

« Le prix d’une chemise, vendue avant les soldes à 20 euros, baisse de 20 %. Quel est son nouveau prix ? »

Les réponses des élèves, sans unité, sont données par le tableau suivant :

Réponse à la

première question

Réponse à la deuxième question

Réponse à la troisième question

Réponse à la quatrième question

Alex 16 18 16 10

Carina 12 24 12 14

Jérôme 12 24 16 18

Lucille 8 18 14 10

Myriam 16 26 16 14

Nicole 8 24 18 18

Saïda 8 20 16 10

Yves 16 24 18 10

Les notes 0 et 20 ont toutes deux été attribuées.

Quelles sont les notes de chacun des élèves ? Justifier les réponses données.

Correction

13-b : S - Johnny Rockstar

Pour les besoins de son nouveau spectacle, le célèbre chanteur Johnny Rockstar souhaite créer une scène de spectacle moderne.

Cette scène est représentée vue de dessus par le schéma suivant :

Le demi-cercle C1 de centre O passant par le point A et le demi-cercle C2 de diamètre [AB] sont tangents en A. La droite (OD) est axe de symétrie de la figure et le point D appartient à C1.

Le demi–cercle C3 est le symétrique de C2 par rapport à (OD).

Le point E est le point d’intersection du segment [OD] et de C2.

Des contraintes de constructions imposent que OA=10 m et DE=6 m.

1. Calculer le rayon de C2.

2. C4 est le cercle de centre I passant par le point D. C4 est tangent à C1 en D, tangent à C2 en J, et tangent à C3 en K. Calculer le rayon de C4.

Propriété admise :

Si deux cercles de centre  et  sont tangents en un point M, alors  ,  et M sont alignés.

Correction

13-c : ES-L-T - Triangles rectangles

1. Question préliminaire :

À l’aide de la calculatrice, déterminer tous les entiers naturels a et b avec a b tels que : 2 2 225a b  .

2. On cherche tous les triangles ABC rectangles en A, tels que AB = 8 et tels que BC et AC s’expriment à l’aide de nombres entiers.

a. Calculer 2 2BC AC .

b. Donner toutes les décompositions possibles de 64 sous la forme d’un produit de deux entiers naturels.

c. y et z étant deux nombres entiers naturels, résoudre le système suivant :

16

4

z y

z y

    

.

En déduire un couple de valeurs possibles pour AC et BC.

d. Peut-on trouver d’autres couples de valeurs pour AC et BC ?

3. On considère la figure suivante :

D

8

A

C

B

Déterminer les longueurs AC, BC, AD et CD sachant que ces longueurs s’expriment à l’aide de nombres entiers.

Correction

14. Montpellier

http://webpeda.ac-montpellier.fr/mathematiques/spip.php?article37

14-a : S- Le Cardiff de Khâré

Il y a fort longtemps, dans une province lointaine nommée Khâré, se trouvait le palais du « Grand Cardiff ». Dans ce palais on pouvait admirer une salle d'apparat de forme carrée, pavée avec a2 carreaux carrés de taille identique. Parmi ceux-ci il y a b2 carreaux carrés colorés dessinant un motif carré, le reste du pavage étant formé de carreaux carrés blancs.

Exemple de situation avec motif de 32 carreaux dans une salle de 102 carreaux

Le grand mathématicien Factos se présente au palais pour servir le Cardiff qui interpelle Factos ainsi :

– « Dans ma salle d'apparat, il y a deux mille neuf carreaux blancs, donne-moi le nombre total de carreaux de la salle alors tu seras à mon service.

– Mais, vénérable Cardiff, il y a trois solutions !

– C'est pour ce que tu viens de répondre que tu es engagé », répondit le Cardiff.

1. Vérifier que 10052 carreaux est une solution possible.

2. Déterminer les deux autres solutions de Factos au problème du Cardiff de Khâré.

14-b : S- Cercle et segment

1. Dans la figure représentée ci-dessous, le segment [AB] est un diamètre du cercle de centre O et les droites (AM) et (AB) sont perpendiculaires. Reproduire la figure ci-dessous et construire à la règle et au compas la droite passant par M, différente de (AM) et tangente au demi-cercle de diamètre [AB].

M

O BA

2. On reprend la même figure avec, de plus, les droites (BN) et (MN). Les droites (BN) et (AB) sont perpendiculaires et la droite (MN) est tangente au cercle de diamètre [AB].

On pose : AM = x et NB = y.

Montrer que :

a. x + y = MN

b. x.y = OA2

N

M

O BA

3. L'unité de mesure est définie par la longueur du segment [OI]. M est un point de la demi-droite [OI) et le segment [OM] mesure x.

Construire à la règle et au compas un rectangle d'aire 1 et dont un côté mesure x.

M IO

14-c : L-ES-T - Rugby

Au rugby, après décision de l'arbitre, les équipes marquent des points lors de trois phases de jeu :

– En réussissant un coup de pied de pénalité pour 3 points,

– En réussissant un drop pour 3 points,

– En marquant un essai qui sera soit « transformé » soit « non transformé » : s'il est « transformé » il rapporte 7 points, s'il est « non transformé », il rapporte 5 points.

1. Eric affirme que son équipe a marqué 27 points grâce à deux essais. Est-ce possible ? Justifier.

2. Bénédicte rapporte que son équipe a marqué 36 points grâce à quatre essais et plusieurs pénalités. Combien de ces essais ont été « transformés » ?

3. Une équipe a marqué 30 points, trouver toutes les manières dont ces 30 points ont pu être obtenus.

4. Quels sont les scores impossibles au rugby ?

14-d : L-ES-T - La pièce et l'oie

Il s'agit d'un jeu de l'oie où l'on joue avec une pièce de monnaie. On part de la case départ (case 0), on lance la pièce ; si le pile sort on avance d'une case ; si le face sort on avance de deux cases. On appelle trajet une séquence de la forme (1 ; 1 ; 2 ; 1) qui résulte dans ce cas du tirage PILE/PILE/FACE/PILE (et qui fait tomber sur la case 5).

1. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 5.

2. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 5...

a. qui passent par la case 4 ?

b. qui ne passent pas par la case 4 ?

3. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 12 ?

4. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 12 en passant par la case 8.

15. Nancy-Metz

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/maths/m2002/institut/ipr/olympiad.htm

15-a : Les tapis

1. « Les lunules d'Hippocrate de Chios »

Soit ABC un triangle rectangle en A. On construit le demi-cercle de diamètre [BC] passant par A et les demi-cercles extérieurs au triangle ABC de diamètres [AB] et [AC]. Les demi-cercles ainsi tracés délimitent deux « croissants de lune » ou « lunules ».

B C

A

Montrer que la somme des aires des deux lunules est égale à l'aire du triangle ABC.

2. « Le principe des tapis »

On considère une pièce d'aire A et deux tapis de formes quelconques dont la somme des aires est égale à A. On dispose les deux tapis à l'intérieur de la pièce. Certaines zones ne sont pas recouvertes, d'autres sont couvertes par un seul des deux tapis et d'autres enfin le sont par les deux tapis superposés.

Justifier que l'aire de la partie de la pièce non recouverte est égale à l'aire de la partie couverte par les deux tapis en même temps.

3. Pour cette question, on peut utiliser :

- soit les résultats des questions 1 et 2 ;

- soit toute autre méthode.

Cette figure comporte deux carrés ABCD et FGHI, quatre demi-cercles dont les diamètres sont les côtés du carré ABCD et quatre quarts de cercle de centres F, G, H et I.

Montrer que l'aire colorée en gris moyen est égale à l'aire colorée en gris foncé.

15-b : S-STI- La course des escargots

Trois escargots Li, Ma et Son adorent la compétition, mais à chaque fois qu’ils font une course, ils se retrouvent ex-æquo car ils se déplacent à la même vitesse.

Ils ont alors l’idée suivante : chacun va effectuer un parcours différent, Li sur un cube, Ma sur un cône, et Son sur une sphère (voir figures), chacun devant relier A à G en se déplaçant sur la surface extérieure du solide.

Les solides étant posés sur le sol, Li ne peut pas passer par la face ABCD et Ma ne peut pas passer par la base.

Parcours de Li Parcours de Ma Parcours de Son

H G

D C

F E

BA

A

G

S

G

A

O

L’arête du cube mesure 30 cm. Le diamètre du cercle de base mesure 50 cm.

A et G sont diamétralement opposés sur le cercle de base.

Le segment [AS] mesure 60 cm.

Le rayon de la sphère de centre O mesure 30 cm.

A et G sont diamétralement opposés sur le même parallèle.

L’angle AOG mesure 120°.

1. Parcours de Ma

Dessiner un patron du cône à l’échelle 1/10. Représenter sur ce patron la trace du trajet le plus court menant de A à G sur le cône. Calculer à 1 mm près la longueur de ce trajet.

2. Parcours de Li

Calculer à 1 mm près la longueur du trajet le plus court menant de A à G sur le cube.

3. Parcours de Son

Son peut-il espérer gagner la course ?

15-c : ES-L-T- La course des fourmis

Deux fourmis Four et Mi disputent une course. Chacune des deux fourmis doit partir d’un point A et rejoindre un point M par le chemin le plus court sur la surface d’un solide posé sur le sol.

Four se déplace sur un cône de révolution de sommet S tel que :

- le rayon de la base mesure 4 cm ;

- le segment [SA] mesure 12 cm ;

- B et A sont diamétralement opposés sur le cercle de base ;

- M est le milieu du segment [SB].

Mi se déplace sur un parallélépipède rectangle ABCDEFMP tel que :

- le segment [AB] mesure 7 cm ;

- le segment [AD] mesure 4 cm ;

- le segment [AE] mesure 3 cm.

La course est-elle équitable ? Autrement dit les deux fourmis ont-elles la même distance à parcourir ?

(On aura avantage à raisonner à partir de patrons des deux solides).

16. Nice

http://www.ac-nice.fr/maths/

16-a : S- 2009 Année étoilée !

On s’intéresse aux nombres entiers non nuls N possédant la propriété (*) suivante :

N peut s’écrire comme somme de deux entiers dont le produit est divisible par N, c'est-à-dire qu’il existe deux entiers a et b tels que N = a + b avec a + b diviseur de ab (*)

On appellera composantes de N, des entiers a et b convenables et on pourra dire N est étoilé.

Exemple : 9 est étoilé car 9 = 3 + 6 et 3 6 = 18 est divisible par 9.

On dit que le nombre entier N est un carré parfait s’il existe un nombre entier a tel que a2 = N.

On dit qu’un nombre entier est premier s’il est plus grand que 1 et s’il n’est divisible que par 1 et par lui- même.

1. Trouver tous les nombres entiers jusqu’à 20 qui sont étoilés et ceux qui ne le sont pas.

2. Montrer que 25 et 36 sont étoilés, puis montrer que si N est un carré parfait alors N est étoilé.

3. Soit N un entier étoilé et p un diviseur premier de N (p > 1) ; montrer que p divise les deux composantes de N.

4. Montrer que 2009 est étoilé.

5. Montrer que si N p q  avec p et q premiers alors N n’est pas étoilé. Que dire de 2010 ?

6. Soit N un nombre entier non nul, donner une condition nécessaire et suffisante pour que N soit étoilé.

16-b : S- Le rangement des balles et les ballons

1. Deux ballons sont posés côte à côte comme le suggère le dessin ci-contre (les deux cercles sont tangents entre eux et à la droite (D)). L’un des ballons a pour rayon 9 cm.

Si l’autre ballon a pour rayon 4 cm, que vaut la distance d ?

Si la distance d = 30 cm, que vaut le rayon du deuxième ballon ?

Mais si la distance vaut 18 cm, que vaut alors le rayon du deuxième ballon ? d

(D)

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