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Contrôle - sciences mathématique 5 - 2° partie, Exercices de Mathématiques Appliquées

Contrôle de sciences mathématique 5 - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices. Fraction égyptienne, Le jeu des inverses, Une multiplication olympique.

Typologie: Exercices

2013/2014

Téléchargé le 28/05/2014

Emmanuel_89
Emmanuel_89 🇫🇷

4.3

(97)

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Télécharge Contrôle - sciences mathématique 5 - 2° partie et plus Exercices au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement! Dans les constructions modernes l'échappée de tête doit être d'au moins 2 mètres. Dans l'étude qui suit, la hauteur à monter H est de 3 mètres, la dalle a une épaisseur de 30 centimètres. Un escalier est déterminé par le nombre de marches, leur hauteur et leur giron. 1. On réalise un escalier droit de 19 marches. La trémie mesure 4,8 mètres. Calculer le giron, le reculement et l’échappée de tête de l’escalier. 2. On dispose d'un reculement maximum de 4 mètres. Calculer les dimensions de l'escalier le moins pentu possible. Quelle doit être la dimension minimale de la trémie ? 3. On dispose d'une trémie de 2,60 mètres. Quelles sont les dimensions de l'escalier le moins pentu possible ? Quel est son reculement ? 10-b : ES-L-T(sauf STI) : Fraction égyptienne On appelle fraction unitaire ou fraction égyptienne une fraction d’entiers dont le numérateur est égal à 1. On démontre et nous admettrons que toute fraction comprise entre 0 et 1 peut s’exprimer comme somme de fractions unitaires dont tous les dénominateurs sont distincts deux à deux. Cette somme est appelée un développement égyptien. Par exemple : 3 1 1 4 2 4   est un développement égyptien. 1. Donner un développement égyptien en une somme de deux fractions de : a. 3 20 . b. 2 17 . 2. Montrer qu’aucune fraction strictement comprise entre 5 6 et 1 ne peut se décomposer comme somme de 2 fractions égyptiennes. 3. Donner un développement égyptien en une somme de trois fractions de : a. 19 20 b. 5 121 c. 4 17 . 10-c : Un petit jeu Voici un petit jeu. Au départ, on dispose de 16 cases numérotées comme indiquées ci-dessous. 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 On s’autorise à faire autant de fois que l'on veut les actions suivantes : • Choisir les deux premières lignes ou les deux dernières et les échanger. • Choisir les deux premières colonnes ou les deux dernières et les échanger. • Choisir une ligne ou une colonne et échanger le premier terme avec le dernier et le deuxième avec le troisième. 1. Montrer que l’on peut obtenir la position suivante : 22 21 24 23 12 11 14 13 42 41 44 43 32 31 34 33 2. Peut-on obtenir n’importe quelle position ? Si oui pourquoi, sinon donner une position impossible et expliquer pourquoi. 11. Lille http://www4.ac-lille.fr/~math/classes/premS.html 11-a : S- Le jeu des inverses Dans cet exercice on recherche les triplets de réels strictement positifs (x ; y ; z) vérifiant les deux conditions suivantes : 1xyz  et 1 1 1 x y z x y z      . 1. Montrer que le triplet 1 4 ; 4 ; 8       vérifie ces conditions. 2. On choisit x = 2009 et 1 2009 y  . Est-il possible de déterminer z ? 3. Montrer que le triplet 1 2009 2009 ; ; 2009 2 2       vérifie les conditions. 4. On choisit x=1 : est-il possible de déterminer y et z ? 5. Peut-on avoir x = y = z ? 6. Démontrer qu’au moins un des trois nombres x, y ou z est plus grand que 1. 7. Démontrer qu’au moins un des trois nombres x, y ou z est plus petit que 1. 8. A quelles conditions le triplet 1 1 ; ; 2 2 x x x       convient-il ? En déduire qu’il existe une infinité de triplets qui conviennent. 11-b : S- Et pourtant il tourne… I. Un carré ABCD de côté 1cm « roule » sans glisser dans le sens des aiguilles d’une montre sur un segment [IJ] de longueur n cm (n entier naturel non nul). La position initiale est représentée sur la figure 1. I J A B C D figure 1 1. Démontrer que   1 2 r b c a   . 2. PQR est un triangle rectangle en P. H est le pied de la hauteur de PQR issue de P. On appelle (C1), (C2) et (C3) les cercles inscrits dans les triangles PQH, PQR et PRH. r1 est le rayon de (C1), r2 celui de (C2) et r3 celui de (C3). Démontrer que 1 2 3PH r r r   . 3. Dans un triangle DEF, l’orthocentre est K et le pied de la hauteur issue de E est E0. Les cercles inscrits dans les triangles DE0K et FE0K ont même rayon. Que peut on dire du triangle DEF ? 12-c : Autres séries : Tablette de chocolat Une tablette de chocolat rectangulaire, dont les bords sont lisses est constituée de a barres comportant chacune b carreaux. Dans un premier temps on prendra a = 8 et b = 4. On veut séparer tous les carreaux de la tablette et on s'intéresse au nombres de cassures à réaliser. Les cassures sont rectilignes et laissent des bords irréguliers. Partie A 1. On sépare les huit barres, puis les quatre carreaux de chaque barre. Combien de cassures a-t-on faites ? 2. On sépare quatre rangées de huit carreaux, puis les huit carreaux de chaque rangée. Combien de cassures a-t-on faites ? 3. On suppose maintenant que la tablette possède a barres de b carreaux. On sépare les a barres, puis les b carreaux de chaque barre. Combien de cassures a-t-on faites ? 4. On sépare b rangées de a carreaux, puis les a carreaux de chaque rangée. Combien de cassures a-t-on faites ? 5. On commence par casser la tablette en deux tablettes, l'une avec c barres de b carreaux et l'autre avec a – c barres de b carreaux, puis on utilise la technique de la question 3. pour chacune des deux tablettes. Combien de cassures a-t-on faites ? Partie B Tous les carreaux d'une tablette a  b ont été séparés. On supposera dans cette question que 3 a b  . Le tiers des carreaux n'a aucun bord lisse. 1. Trouver une relation entre a et b. 2. Pour quelles valeurs de b a-t-on 4a  ? 3. En déduire a et b. 13. Marseille http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/annales/olymp-an.htm 13-a : Une épreuve Une épreuve de mathématiques comporte quatre questions. Pour chaque question, on obtient 0 point si la réponse est fausse ou 5 points si la réponse est bonne. Une des questions consiste à trouver l’aire totale des six faces d’un cube dont le côté s’exprime par un nombre entier de mètres. Une autre des questions est la suivante : « Le prix d’une chemise, vendue avant les soldes à 20 euros, baisse de 20 %. Quel est son nouveau prix ? » Les réponses des élèves, sans unité, sont données par le tableau suivant : Réponse à la première question Réponse à la deuxième question Réponse à la troisième question Réponse à la quatrième question Alex 16 18 16 10 Carina 12 24 12 14 Jérôme 12 24 16 18 Lucille 8 18 14 10 Myriam 16 26 16 14 Nicole 8 24 18 18 Saïda 8 20 16 10 Yves 16 24 18 10 Les notes 0 et 20 ont toutes deux été attribuées. Quelles sont les notes de chacun des élèves ? Justifier les réponses données. Correction 13-b : S - Johnny Rockstar Pour les besoins de son nouveau spectacle, le célèbre chanteur Johnny Rockstar souhaite créer une scène de spectacle moderne. Cette scène est représentée vue de dessus par le schéma suivant : 14. Montpellier http://webpeda.ac-montpellier.fr/mathematiques/spip.php?article37 14-a : S- Le Cardiff de Khâré Il y a fort longtemps, dans une province lointaine nommée Khâré, se trouvait le palais du « Grand Cardiff ». Dans ce palais on pouvait admirer une salle d'apparat de forme carrée, pavée avec a2 carreaux carrés de taille identique. Parmi ceux-ci il y a b2 carreaux carrés colorés dessinant un motif carré, le reste du pavage étant formé de carreaux carrés blancs. Exemple de situation avec motif de 32 carreaux dans une salle de 102 carreaux Le grand mathématicien Factos se présente au palais pour servir le Cardiff qui interpelle Factos ainsi : – « Dans ma salle d'apparat, il y a deux mille neuf carreaux blancs, donne-moi le nombre total de carreaux de la salle alors tu seras à mon service. – Mais, vénérable Cardiff, il y a trois solutions ! – C'est pour ce que tu viens de répondre que tu es engagé », répondit le Cardiff. 1. Vérifier que 10052 carreaux est une solution possible. 2. Déterminer les deux autres solutions de Factos au problème du Cardiff de Khâré. 14-b : S- Cercle et segment 1. Dans la figure représentée ci-dessous, le segment [AB] est un diamètre du cercle de centre O et les droites (AM) et (AB) sont perpendiculaires. Reproduire la figure ci-dessous et construire à la règle et au compas la droite passant par M, différente de (AM) et tangente au demi-cercle de diamètre [AB]. M O BA 2. On reprend la même figure avec, de plus, les droites (BN) et (MN). Les droites (BN) et (AB) sont perpendiculaires et la droite (MN) est tangente au cercle de diamètre [AB]. On pose : AM = x et NB = y. Montrer que : a. x + y = MN b. x.y = OA2 N M O BA 3. L'unité de mesure est définie par la longueur du segment [OI]. M est un point de la demi-droite [OI) et le segment [OM] mesure x. Construire à la règle et au compas un rectangle d'aire 1 et dont un côté mesure x. M IO 14-c : L-ES-T - Rugby Au rugby, après décision de l'arbitre, les équipes marquent des points lors de trois phases de jeu : – En réussissant un coup de pied de pénalité pour 3 points, – En réussissant un drop pour 3 points, – En marquant un essai qui sera soit « transformé » soit « non transformé » : s'il est « transformé » il rapporte 7 points, s'il est « non transformé », il rapporte 5 points. 1. Eric affirme que son équipe a marqué 27 points grâce à deux essais. Est-ce possible ? Justifier. 2. Bénédicte rapporte que son équipe a marqué 36 points grâce à quatre essais et plusieurs pénalités. Combien de ces essais ont été « transformés » ? 3. Une équipe a marqué 30 points, trouver toutes les manières dont ces 30 points ont pu être obtenus. 4. Quels sont les scores impossibles au rugby ? 14-d : L-ES-T - La pièce et l'oie Il s'agit d'un jeu de l'oie où l'on joue avec une pièce de monnaie. On part de la case départ (case 0), on lance la pièce ; si le pile sort on avance d'une case ; si le face sort on avance de deux cases. On appelle trajet une séquence de la forme (1 ; 1 ; 2 ; 1) qui résulte dans ce cas du tirage PILE/PILE/FACE/PILE (et qui fait tomber sur la case 5). 1. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 5. 2. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 5... a. qui passent par la case 4 ? b. qui ne passent pas par la case 4 ? 3. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 12 ? 4. Combien y-a-t-il de trajets possibles pour tomber sur la case 12 en passant par la case 8. 15. Nancy-Metz http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/maths/m2002/institut/ipr/olympiad.htm 15-a : Les tapis 1. « Les lunules d'Hippocrate de Chios » Soit ABC un triangle rectangle en A. On construit le demi-cercle de diamètre [BC] passant par A et les demi-cercles extérieurs au triangle ABC de diamètres [AB] et [AC]. Les demi-cercles ainsi tracés délimitent deux « croissants de lune » ou « lunules ».
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