Contrôle - sciences mathématique 5 - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 5 - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 5 - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices. Distance sur un carré, Cercles.
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2. Je veux ranger maintenant 3 ballons de rayons respectifs 3, 4 et 5 cm, disposés côte à côte comme précédemment (les 3 cercles sont tangents entre eux et tangents à une droite (D)).

Dans quel ordre les disposer pour avoir la longueur d minimum ?

d

(D)

Si les ballons ont pour rayons respectifs r1, r2 et r3, peut-on généraliser le résultat obtenu ?

3. Toujours pour gagner de la place, j’ai disposé mes 8 balles de tennis autour d’un ballon de telle sorte que les 8 balles soient tangentes entre elles, tangentes au plan sur lequel elles sont posées et tangentes au ballon qui a 4 cm de rayon. Quel est le rayon des balles de tennis ?

16-c : ES-L- Carte de fidélité

Un supermarché propose un jeu pour fidéliser sa clientèle.

On donne à chaque client une carte de 10 coupons et un capital fictif de 1 €.

A chaque passage en caisse, le client donne un coupon par tranche de 10 € d’achat

et voit son capital multiplié par le nombre de coupons donnés.

Ainsi, si son achat est de 30 €, il donne 3 coupons et sa cagnotte est alors multipliée par 3.

Il pourra toucher son capital à la fin de sa carte.

1. Un client fait un premier achat de 100 €, quel est le montant de son capital ?

2. Un autre client, chaque jour pendant 10 jours, fait un achat pour un montant de 10 €, quel est au final le montant de son capital ?

3. Un troisième client fait un achat de 50 € suivi le lendemain d’un autre achat de 50€. Quel est le montant de son capital ?

4. Un client a fait plusieurs achats successifs pour un total de 100 € et il a un capital de 12€. Quels sont les montants de ses achats successifs ?

5. Comment peut‐on répartir ses achats pour avoir le capital le plus élevé possible ?

6. Voyant le succès du jeu, le supermarché décide d’éditer des cartes de 20 coupons, mais il fait rapidement faillite ! Quel est le capital maximum pouvant être gagné par un client avec une carte de 20 coupons et un capital de départ de 1 € ?

16-d : ES-L- Distance sur un carré

ABCD est un carré de côté 4 cm et de centre O. Soit M un point qui décrit ce carré. On appelle « abscisse de M » la distance x (en cm) qu’a parcouru le point M à partir du point A lorsqu’il s’est déplacé sur le carré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

M

D C

BA

O

M

D C

BA

O

Figure 1 Figure 2

Ainsi, sur la figure 1, on a x = 3 et sur la figure 2, on a x = 4 + 2 = 6.

Question 1 : On note f(x) la distance entre le point O et le point M.

Exemple : lorsque le point M est sur A alors x = 0 et f(0) = OA soit, puisque 2OA  ,  0 2f  .

Représenter f sur le graphique 1 (voir annexe ).

P et Q sont deux points distincts situés à l’intérieur du carré ABCD ou sur la frontière de celui-ci. On note f(x) l’aire du triangle MPQ.

Question 2 : Dans cette question P est le milieu de [OD] et Q le milieu de [OA]. Tracer le triangle MPQ sur le graphique 2 de l’annexe puis compléter la représentation graphique de f sur le graphique 3.

Question 3 : Dans cette question, P est le milieu de [OD] et Q le milieu de [OB]. Tracer le triangle MPQ sur le graphique 4 de l’annexe puis compléter la représentation graphique de f sur le graphique 5.

Question 4 : Dans cette question, P est le milieu de [OD] , I est le milieu de [AB] et Q le milieu de [OI]. Tracer le triangle MPQ sur le graphique 6 de l’annexe puis compléter la représentation graphique de f sur le graphique 7.

Question 5 : Dans cette question, P et Q sont des points à l’intérieur du carré. La représentation graphique de f est donnée ci-dessous. Déterminer avec précision les positions possibles de P et Q.

Annexe à rendre avec la copie

Graphique 1

M

D C

BA

O

Graphique 2

Graphique 3

M

D C

BA

O

Graphique 4

Graphique 5

M

D C

BA

O

Graphique 6

Graphique 7

17. Orléans Tours

http://maths.tice.ac-orleans-tours.fr/php5/spip/

17-a : Simplifications scandaleuses

Un élève a écrit 16 1

64 4  , ce qui est juste mais il explique qu’il a obtenu cette égalité en « simplifiant par

6 » :

1 6 1

6 4 4  .

1. Montrer à l’aide d’un exemple qu’une simplification de ce type n’est pas toujours possible.

Dans la suite de l’exercice, a, b et c sont des nombres entiers pris parmi les entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

On précise que la notation ab représente l’entier dont l’écriture décimale admet b pour chiffre des

unités et a pour chiffres des dizaines. Autrement dit : 10ab b a  , la barre placée au dessus des chiffres

a et b permettant d’éviter une éventuelle confusion avec le produit ab .

De même abc représente l’entier dont l’écriture décimale admet c pour chiffre des unités, b pour

chiffres des dizaines et c pour chiffre des centaines. Autrement dit : 10 100abc c b a   , etc…

2. Le but de cette question est de déterminer toutes les fractions du type a b

b c où la « simplification

scandaleuse » a b a

cb c  est possible.

a. Démontrer que l’on a l’égalité a b a

cb c  si et seulement si

9

10

ac b

a c

 .

b. En examinant tous les cas possibles pour les chiffres a et c, indiquer toutes les fractions du type a b

b c

où la « simplification scandaleuse » est possible.

3. On s’intéresse maintenant aux fractions telles quea b b a

cb b c  .

a. Exprimer b en fonction de a et c pour que l’on ait l’égalité a b b a

cb b c  .

b. En déduire toutes les fractions du type a b b

b b c où la « simplification scandaleuse »

a b b a

cb b c  est

possible.

4. Conjecturer quelles sont les fractions du type ...

...

a b b

b b c ( avec 2009 chiffres b au numérateur et au

dénominateur) où la « simplification scandaleuse » ...

...

a b b a

cb b c est possible.

17-b : MILA est très carré …

Le Docteur Watson rapporte à Sherlock Holmes une affaire étonnante.

« Mon cher Holmes, j’ai lu cette énigme dans le « Times » :

Le Colonel Mila, agent secret surnommé « Mila le carré » dans les milieux du contre-espionnage pour sa carrure herculéenne, a disparu hier en laissant derrière lui les plans d’un sous-marin. Or, il se fait que le Colonel a caché ces plans dans l’une des cabines d’un paquebot lors de son dernier voyage.

On ne connaît pas le numéro de la cabine, ni le pont sur lequel elle se trouve, mais on dispose des indications suivantes :

ABC est un triangle tel que BC = 8 cm.

Les points I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

Le point M est le symétrique du point J par rapport au point K, et le point L est le symétrique du point K par rapport au point J.

Le quadrilatère MILA a au moins un angle droit.

Le numéro du pont est donné par la longueur en cm du segment [AI], et celui de la cabine par la mesure en cm² de l’aire du quadrilatère MILA ».

1ère PARTIE

Retrouver le numéro du pont sur le lequel se trouve la cabine du Colonel Mila.

2ème PARTIE

Holmes réfléchit et, un peu agacé, dit :

« Il doit certainement manquer un élément dans votre énigme, mon cher Watson ! ».

Watson répond :

« Ah, oui ! Je n’avais pas vu la fin ... Il est aussi écrit que :

Le quadrilatère MILA est un carré. Qu’en pensez-vous, mon cher Holmes ? ».

Retrouver le numéro de la cabine dans laquelle se trouvent les plans cachés par le colonel Mila, avant de pouvoir répliquer : « Elémentaire, mon cher Watson ! ».

3ème PARTIE

Piqué au vif, Watson poursuit seul la lecture de l’article :

« L’espion avait aussi caché les plans d’une base navale alliée dans une autre cabine dont le numéro est donné par la mesure de l’aire, en cm², du pentagone CLAMB ».

Sachant que le quadrilatère MILA est un carré, déterminer dans quelle cabine se trouvent les plans de la base navale.

18. Paris

http://mathematiques.ac-paris.fr/

18-a : Cercle inscrit - tous sauf S

Un cercle de rayon 1 est inscrit dans un triangle équilatéral ABC. Les points D et E sont tels que BCDE soit un rectangle, le point A étant le milieu de [DE]. Quel est le diamètre du cercle passant par les points B, C, D et E ?

18-b : Y’a des dés – tous sauf S

On superpose n dés (n entier naturel non nul) identiques dont un patron est donné ci-dessous et on calcule la somme des points marqués sur toutes les faces visibles de la pile.

On remarque qu’ne posant le dernier dé de la pile,

- si la face supérieure est 1, la somme est un nombre premier,

- si la face supérieure est 2, la somme est un multiple de 2,

- si la face supérieure est 3, la somme est un multiple de 3,

- si la face supérieure est 4, la somme est un multiple de 4,

- si la face supérieure est 5, la somme est un multiple de 5,

- si la face supérieure est 6, la somme est un multiple de 6.

Quelle est la plus petite valeur de n possible ?

18-c : Repneuf - S

Le but de l’exercice est de démontrer que si m est un entier naturel non nul, il existe un entier M multiple de m, tel que l’écriture de l’entier M comporte de gauche à droite une succession de 9 suivie ou non d’une succession de 0. Le nombre M sera par exemple égal à 9 ou 99 ou 90 ou 9999000…

1. Vérifier cette propriété pour les entiers m compris entre 1 et 6.

2. Déterminer un entier M répondant à la question dans le cas où m = 7 (on pourra chercher l’écriture

décimale du nombre 6 1 1

10 7 7

 ).

3. Déterminer un entier M répondant à la question dans le cas où 84m .

4. Démontrer la propriété dans le cas d’un entier naturel m quelconque non nul.

18-d : A la règle seule - S

1. Soit A, B, C, D quatre points du plan tels que les droites (AB) et (CD) soient strictement parallèles et tels que AB CD . Montrer que l’on peut construire uniquement à

l’aide d’une règle non graduée le milieu O du segment [AB]. Faire la construction ci-contre.

2. Soit A et B deux points distincts du plan, O le milieu du segment [AB] et E un point quelconque du plan. Montrer que l’on peut construire uniquement à l’aide d’une règle non graduée une parallèle à la droite (AB) passant par E.

3. Soit O un point du plan et r un réel strictement positif,  le cercle de centre O et de rayon r, [AB] un diamètre du cercle  . Montrer que l’on peut construire uniquement à l’aide d’une règle non graduée le symétrique B1 de B par rapport à O. Faire cette construction.

19. Poitiers

http://ww2.ac-poitiers.fr/math/spip.php?rubrique26

19-a : La formule de Lagrange

Explicitez les calculs et raisonnements qui justifient le dialogue suivant où tous les nombres envisagés sont des entiers naturels.

- Quel est le reste de la division par 7 d’un carré ?

- Hum, on doit pouvoir s’en sortir en étudiant un nombre limité de cas...

- Si la somme de deux carrés est divisible par 7 alors les deux carrés sont, eux-mêmes, divisibles par 7 !

- Entendu, ils sont d’ailleurs tous divisibles par 49 !

- Au fait, 2009 est la somme de deux carrés !

- C’est vrai !

- On peut voir les choses autrement en considérant quatre nombres a, b, c et d. Si on développe l’expression

    2 2

ab cd ac bd  

on constate que c’est le produit de deux facteurs...

- Oui, c’est épatant ! Cela porte un nom ?

- On dit que c’est la formule de LAGRANGE, elle est très utile. Prends 1105, c’est le produit de 3 nombres qui sont eux mêmes sommes de deux carrés !

- En effet, et grâce à la formule précédente, le produit de deux de ces facteurs est aussi la somme de deux carrés... Cela fait beaucoup de possibilités pour écrire 1105 comme somme de deux carrés !

- Tu en trouveras 4 !

- C’est fait. Et 2009, a-t-il aussi plusieurs décompositions en somme de deux carrés ?

- Tu peux utiliser la formule de LAGRANGE, mais cela ne donne qu’une seule décomposition.

- C’est normal, il n’y en a pas d’autres !

19-b : La chèvre de Monsieur Seguin

L’herbe est bien haute autour de la bergerie de Monsieur Seguin.

Il faudrait tondre.

Blanquette, son inséparable chèvre, va s’en charger. Monsieur Seguin l’attache au bout d’une corde et fixe l’autre bout de la corde à un piquet planté le long d’un des murs de la bergerie.

La chèvre peut ainsi brouter toutes les herbes que la corde lui permet d’atteindre. La base de la bergerie est un rectangle de 6 m de long sur 4 m de large, et la longueur de la corde disponible pour les mouvements de la chèvre est de 10 m. On suppose que le terrain est bien plan et on assimile le piquet et la chèvre à des points.

1. Calculer l’aire exacte que peut brouter Blanquette si monsieur Seguin plante son piquet à l’un des coins de la bergerie.

2. Montrer que monsieur Seguin doit justement placer son piquet à l’un de ces coins s’il veut que Blanquette broute une aire maximale.

19-c : Les quatres fille du docteur Marc

Les candidats des séries L, ES, STI, STL, STG, ST2S avaient le choix de traiter l’exercice 4 de la série S ou bien l’exercice suivant :

Les quatre filles du Dr Marc sont toutes nées un 14 mars. Aujourd’hui c’est le jour de l’anniversaire collectif et, pour la première fois, le nombre de diviseurs de l’âge de l’ainée est strictement inférieur au nombre de diviseurs de l’âge de la deuxième, qui est lui même strictement inférieur au nombre de diviseurs de l’âge de la troisième, qui est bien sûr strictement inférieur au nombre de diviseurs de l’âge de la plus jeune.

1. Quel est, au minimum, l’âge de l’ainée des quatre sœurs Marc ?

2. En supposant que l’ainée ait bien l’âge minimum demandé dans la première question, dans combien d’années cette curieuse situation se reproduira-t-elle pour la première fois ? ( à condition, évidemment, que les quatre soeurs vivent jusqu’à ce moment.)

19-d : Les cinq fils du docteur April

Les cinq fils du Dr April sont tous nés un 1er avril. Lors de leur anniversaire collectif, le 01/04/2005, leur père s’est exclamé : « Les différences d’âge entre deux quelconques d’entre eux sont toutes différentes ! ».

1. Quel est, au minimum, l’âge de l’ainé des cinq frères April ?

2. En supposant que l’ainé ait bien l’âge minimum demandé dans la première question, dans combien d’années au minimum aucun des cinq âges ne sera-t-il un nombre premier ?

20. Reims (*)

21. Rennes

http://espaceeducatif.ac-rennes.fr/jahia/Jahia/lang/fr/pid/16941

21-a : Un peu de calcul

Evariste et Leonhard après un cours de mathématiques viennent se détendre au club des mathématiciens de leur université. Sur le comptoir trône une fontaine à eau qui se compose d’un cube de coté de longueur a surmonté d’une cruche.

On suppose que a est un nombre entier de dm et que la cruche contient 5 litres. Evariste demande à Leonhard s’il pense que le volume total de cette fontaine peut être un multiple entier de l’aire d’une face du cube.

Leonhard lui répond qu’il n’y a qu’une solution et à son tour il lui demande si à son avis ce volume peut- être un multiple de cette aire augmentée de 7 dm2.

Quelle est la réponse de Leonhard ? Que pensez-vous de sa question ?

21-b : Cela aurait pu Durer …

Albrecht Dürer (1471-1528) est un peintre important de la Renaissance allemande. Il est particulièrement célèbre pour ses gravures. Il était aussi mathématicien et a publié en 1525 un livre « Instructions sur la manière de mesurer à l’aide du compas et de l’équerre » dont une partie est consacrée au tracé géométrique des lettres de l’alphabet.

Partie A Tracé de la lettre « i » en police textura

1. Lire le texte de Dürer ci-dessous.

Les lettres de l'ancienne gothique textura ont été formées à peu près comme celles que je vais décrire dans la suite, encore qu'on les fasse maintenant d'une manière différente.

Bien que l'alphabet débute par la lettre a, j'ai de bonnes raisons de lui préférer la lettre i, car à partir d'elle on peut former pratiquement toutes les autres lettres, soit en y ajoutant soit en y enlevant quelque chose.

Premièrement, forme la lettre i à l'aide de carrés, dont tu en empiles trois verticalement. Divise le côté supérieur du carré supérieur et le côté inférieur du carré inférieur, chacun par deux points en trois segments égaux.

Ensuite, place dessus un carré en pointe, c'est-à-dire tel que sa diagonale soit à la verticale sur le premier point du côté du carré. Ainsi, les sommets du carré en pointe débordent davantage à gauche qu'à droite. Ensuite, prolonge de part et d'autre les arêtes des carrés superposés jusqu'au carré en pointe.

Procède de même au bas de la lettre, mais place le sommet supérieur du carré sur le deuxième point, le plus à droite, du côté inférieur du carré. Abaisse latéralement les deux arêtes des carrés verticaux jusqu'au carré en pointe. Ainsi est formée la lettre i. Dessine au-dessus, avec une plume plus fine, une petite demi-lune.

2. Construire selon ses instructions le « i » à la règle et au compas dans la grille fournie. Les lignes de construction seront laissées apparentes et les théorèmes de géométrie utilisés seront indiqués. Proposer une construction alternative du « carré en pointe » inférieur.

3. Déterminer par le calcul de combien déborde à droite et à gauche le carré en pointe par rapport au rectangle vertical du corps du « i ».

Partie B Tracé de la lettre « a »

1. Lire le texte de Dürer ci-dessous.

Item forme la lettre n à partir de deux jambages de la lettre i de sorte que leurs têtes et pieds respectifs se touchent. Ainsi, l'espace compris entre les jambages sera plus étroit qu'un trait de lettre. Mais n’y mets plus de lunule.

Donne la même hauteur à toutes les lettres brèves de l'alphabet. [... ]

Construis le r comme le i, mais rajoute en tête à droite un carré dont un sommet touche le i.

Item le a, forme sa moitié inférieure comme le n, mais tronque l'extrémité en haut à gauche du jambage gauche le long de la diagonale du carré médian. Conserve dans le jambage droit les trois carrés empilés, mais incline un peu davantage le carré en pointe de telle sorte que, joint à un demi carré, ils atteignent la hauteur de la lettre.

Coupe le carré de manière oblique afin que son extrémité inférieure soit plus saillante que son extrémité supérieure. Décris un arc circulaire vers la gauche et vers le bas, qui passe par l'extrémité supérieure du jambage gauche.

On se propose de tracer le « a » suivant les descriptions de Dürer. Sur la grille ci jointe on a déjà représenté le « r ». Cette représentation fixe la hauteur du « a ».

2. On considère un carré ABCD de côté unité et un point E sur le côté [AB] tel que AE = d avec 0 < d < 1. Comment doit être placé le point F sur le côté [CD] pour que les quadrilatères AEFD et EBCF aient la même aire ?

3. Construire la lettre « a » sur la feuille fournie en annexe.

Pour la construction du « carré en pointe de telle sorte que, joint à un demi carré, ils atteignent la hauteur de la lettre », on utilisera le fractionnement du côté du carré réalisé dans la partie A.

Question bonus :

Pour le tracé de l’arc de cercle extérieur Dürer dit

« Décris un arc circulaire vers la gauche et vers le bas, qui passe par l'extrémité supérieure du jambage gauche ».

Il y a une infinité de cercles répondant à cette contrainte. On se propose d’imposer que la verticale gauche de la jambe gauche du « a » lui soit tangente.

Il s’agit de construire un cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée. Il n’existe pas de construction géométrique simple, on recherche ici une solution numérique.

On suppose avoir répondu à la question avec la figure ci-contre : A et A’ sont diamétralement opposés et O est l’intersection de la médiatrice de [AB] avec la perpendiculaire à la tangente en T.

Démontrer que 2IA IB IT  .

4. Déterminer, à 10–3 près, de combien le quadrilatère de pointe décrit par la partie en gras, dépasse de la verticale droite de la jambe droite.

Annexes

21-c : Et s’il pleuvait en bretagne ?

Pour mesurer la hauteur de pluie tombée pendant une période donnée, on utilise deux types de pluviomètres . Ils ont tous en commun la propriété suivante :

S’il tombe une hauteur x de pluie, le volume d’eau recueillie par le pluviomètre est égal à l’aire de l’ouverture du pluviomètre multipliée par la hauteur de pluie x.

On rappelle la formule du volume V du cône de base B et de hauteur H : 1

3 V B H  .

1. Pluviomètre cylindrique surmonté d’un entonnoir

Le récipient de la figure ci-contre est un cylindre de diamètre 2 cm et de hauteur 20 cm surmonté d’un entonnoir dont l’ouverture a un diamètre de 10 cm.

a. Supposons qu’il soit tombé 5 mm de pluie.

Calculer la hauteur d’eau dans le cylindre.

b. Supposons maintenant qu’il y ait 15 cm d’eau dans le pluviomètre. Calculer la hauteur de pluie correspondante.

c. La hauteur d’eau dans le pluviomètre est-elle proportionnelle à la hauteur de pluie tombée ? 2. Pluviomètre en cône tronqué.

Le récipient de la figure ci-contre est un cône tronqué de 10 cm de diamètre dans sa partie supérieure et 2 cm dans sa partie inférieure, sa hauteur est de 20 cm.

a. La hauteur d’eau dans le pluviomètre est-elle proportionnelle à la hauteur d’eau tombée ?

b. Montrer que le volume d’un cône tronqué de rayon R dans sa partie supérieure et r dans sa partie inférieure et de hauteur H est :

 2 2 2

V H R Rr r     .

c. Revenons à notre pluviomètre. Supposons qu’il y ait 15 cm de hauteur d’eau dans le pluviomètre, quelle hauteur d’eau de pluie est- il tombé ?

21-d : Marianne fait la fête.

Marianne souhaite organiser une grande fête le 14 juillet 2009. Très méthodique, elle recense les différentes tâches qu'elle devra effectuer avant le 14 juillet.

Tâche Temps

nécessaire Tâches préalablement

réalisées

A : Autorisation d'organiser le rassemblement en Ille-et-Vilaine

4 semaines Aucune

B : Etablir la liste des invités 2 s A

C : Choisir une ville en Ille-et-Vilaine 4 s A

D : Choisir un restaurateur 3 s A

E : Obtenir l'autorisation de la ville 4 s C

F : Impression des invitations 2 s B E

G : Mettre les invitations sous enveloppe, libeller les enveloppes et les poster

1 s F

H : Attendre les réponses et les décompter 7 s G

I : Passer commande du menu 1 s D H

J : Obtenir l'autorisation d'un lâcher de ballons 4 s E

K : Organiser le transport 4 s H C E

L : Prendre connaissance de la météo 1 jour C

M : Achat de la décoration 1 jour J H L

N : Installation (tables, décor). 2 jours M

O : Faire la fête N M K I

Combien de semaines sont nécessaires à la réalisation du projet ?

22. Rouen (*)

7/10

23. Strasbourg

http://irem.u-strasbg.fr/php/index.php?frame=.%2Fcompet%2Fsujets.php&m0=comp&m1=oly&m2=suj&categ=olymp

23-a : S - Les nappes

On dispose de deux nappes rondes de même diamètre et d’une table carrée.

On se demande si il est possible de recouvrir entièrement la table avec les deux nappes.

Le carré a pour côté 1,8 mètre.

1. On suppose que le diamètre des nappes est 2,009 mètres. Est-ce possible ?

2. Déterminer le diamètre minimal des nappes pour que ce soit possible.

23-b : S - Partition

On appelle partition d’un entier strictement positif toute décomposition de cet entier en somme d’entiers strictement positifs (dans un ordre quelconque).

Par exemple, les partitions de 5 sont 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 et 1+1+1+1+1.

On effectue le produit des termes intervenant dans chaque partition et on cherche à obtenir le produit maximum.

Dans l’exemple précédent, le produit maximum est donc obtenu avec la partition 5=3+2 et vaut 3 2=6.

1. Quel est ce maximum pour les entiers 6, 7 et 8 ?

2. Pour les entiers 2007, 2008 et 2009, déterminer ce maximum et la(les) partition(s) correspondante(s).

23-c : ES, L, T - Roues

Une voiture a roulé 20 000 kilomètres, chacune des cinq roues (dont la roue de secours) est usée de la même façon. Chaque roue a un diamètre de 50 centimètres.

1. Combien chaque roue a-t-elle parcouru de kilomètres ?

2. Combien de tours chaque roue a-t-elle fait ?

23-d : ES, L, T – Partition 2

On appelle partition d’un entier strictement positif toute décomposition de cet entier en somme d’entiers strictement positifs.

Par exemple, les partitions de 5 sont 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 et 1+1+1+1+1.

On effectue le produit des termes intervenant dans chaque partition et on cherche à obtenir le produit maximum.

Dans l’exemple précédent, le produit maximum est donc obtenu avec la partition 5=3+2 et vaut 3 2=6.

1. Quel est ce maximum pour les entiers 6, 7 et 8 ?

2. Pour les entiers 12, 13 et 14, déterminer ce maximum et la(les) partition(s) correspondante(s). Justifier votre réponse. (On ne demande pas de lister toutes les partitions possibles des entiers 12, 13 et 14…)

24. Toulouse

http://pedagogie.ac-toulouse.fr/math/viedesmaths/olympiades/annales.php

24-a : ES-L-T- Le distributeur

Des DVD de films peuvent être loués pour 24 heures à un distributeur automatique selon deux tarifs :

* 5 euros pour les « nouveautés ».

* 3 euros pour les films plus anciens.

1. Un client peut-il dépenser exactement 13 euros pour louer des DVD à ce distributeur ?

2. Un certain soir, entre 19h et 20h, le distributeur a enregistré une recette de 45 euros. Combien de films anciens ont-ils pu être loués pendant cette période ? Donner tous les cas possibles.

3. Le distributeur peut-il enregistrer des recettes de 101, 102, 103 euros ? Si oui comment ? Si non pourquoi ?

4. En supposant que le distributeur n’est jamais en rupture de stock, quelles sont toutes les recettes possibles ?

24-b : ES-L-T- Ce soir c'est la fête !

1. Pour la Saint-Fiacre, un banquet de neuf couverts est prévu autour d'une table ronde. Lorsque Jean- Marie arrive, certains invités sont déjà attablés et Jean-Marie constate qu’il doit nécessairement s’installer à côté de l’un d’eux.

Combien y a-t-il, au minimum, d’invités déjà attablés à l’arrivée de Jean-Marie ? Décrire leurs positions respectives dans ce cas « minimal ».

2. La même question se pose à l'occasion du banquet républicain de la Sainte-Barbe.

Quarante couverts sont disposés autour d'une table ronde et Jean-Marie, lorsqu’il arrive, est obligé de s'installer à côté d'un convive déjà attablé.

Combien y a-t-il, au minimum, d’invités déjà attablés à l’arrivée de Jean-Marie ? Décrire plusieurs dispositions possibles dans ce cas « minimal ».

3- La légende raconte que, lorsque le barde Joachim et ses deux amis arrivèrent au dîner d’anciens de la guerre des Gaules auquel ils étaient invités, ils ne purent s’asseoir tous les trois côte à côte.

Sachant que la table était rectangulaire et comportait quarante couverts, vingt de chaque côté et aucun en bout de table, combien de Gaulois, au minimum, étaient déjà attablés à l’arrivée du barde et de ses amis ?

Présenter plusieurs dispositions des convives déjà installés dans ce cas « minimal ».

24-c : S- En Egypte

Dans l’Antiquité, les Egyptiens utilisaient essentiellement les fractions de numérateur 1 et de dénominateur un entier naturel non nul, qu’on appelle maintenant fractions égyptiennes.

Dans le problème, on s’intéresse à la possibilité d’écrire la fraction 4

N , avec N entier naturel, N > 2 ,

sous la forme d’une somme trois fractions égyptiennes.

On cherche donc a, b et c entiers naturels, non nuls, tels que : 4 1 1 1

N a b c    .

En 1950, le mathématicien hongrois Paul ERDÖS (1913-1996) a conjecturé que cette décomposition de

la fraction 4

N était toujours possible pour N > 2.

On étudie ici ce problème pour différentes formes de l’entier N.

1. Etude du cas où N est pair, N > 2.

a. Trouver une décomposition de 4

2008 et de

4

2010 en somme de trois fractions égyptiennes.

b. Plus généralement, peut-on, pour tout entier naturel N pair, N > 2, décomposer la fraction 4

N en

somme de trois fractions égyptiennes ? Justifier.

2. Etude du cas où N est impair et de la forme 4k – 1 avec k entier naturel non nul.

a. Décomposer 4

3 ,

4

7 ,

4

11 en somme de trois fractions égyptiennes.

b. Plus généralement, peut-on, pour tout entier naturel N pouvant s’écrire N = 4k – 1 avec k entier

naturel non nul, décomposer la fraction 4

N en somme de trois fractions égyptiennes ?

3. Etude de deux exemples où N est impair mais pas de la forme précédente.

a. Décomposer 4

41 en somme de trois fractions égyptiennes.

b. Donner plusieurs décompositions de 4

2009 en somme de trois fractions égyptiennes.

4. A supposer qu’on veuille prouver que la conjecture de Paul ERDÖS est fausse, proposer des entiers naturels ou des familles d’entiers naturels auxquels on devrait encore s’intéresser.

24-d : S - Les timbres d’Eliott

Eliott achète un carnet de timbres comportant sept timbres disposés « en bande » séparés par une ligne

prédécoupée en pointillés comme sur la figure :

Chaque timbre a pour valeur 1 Phoebus.

1. Eliott pense qu’en détachant seulement le troisième timbre – par découpage des deux lignes en pointillés correspondantes - il peut réaliser tous les affranchissements de valeur entière entre 1 et 7 Phoebus. A-t-il raison ?

2. Il achète un nouveau carnet de timbres plus long pour lequel les timbres sont toujours disposés en bande. En découpant exactement trois lignes en pointillés, il remarque qu’il peut de nouveau réaliser tous les affranchissements de valeur entière entre 1 et k Phoebus où k est un entier naturel. Déterminer le nombre k le plus grand possible pour qu’il en soit ainsi.

Eliott se met à rêver de carnets de timbres de plus en plus longs …

3. Reprendre la question précédente en découpant six lignes en pointillés d’un nouveau carnet.

4. Combien de découpes devrait prévoir Eliott s’il devait atteindre tous les affranchissements de valeur entière de 1 à 2009 Phoebus ?

On pourra utiliser la formule : 2 3 11 2 2 2 ... 2 2 1n n       , vraie pour tout entier naturel n.

25. Versailles

http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/clubs_compet/olympiades.htm

25-a : S - Tas de bois

Trois rondins cylindriques sont posés côté à côte sur une même surface plane horizontale. Sur la figure, les cercles apparents sont situés dans un même plan P perpendiculaire aux axes des cylindres. Les points G et D sont les intersections de deux droites contenues dans P, verticales et tangentes au premier et au dernier cercle.

À chaque ensemble de trois rondins, dont les rayons sont notés, de gauche à droite, a, b et c, on associe la distance GD, appelée largeur et notée l(a, b, c).

On étudie cette largeur en fonction des rayons des rondins et de leur position. On se place dans le cas où le cylindre central est tangent aux deux autres et où les verticales passant par G et D ne sont au contact que d’un seul cylindre chacune.

1. Montrer que l(9, 16, 36)= 117. Calculer l(16, 9, 36).

2. a. Calculer l(a, b, c)en fonction de a, b et c.

b. Calculer l(b, a, c) − l(a, b, c). On pourra faire apparaître a b en facteur.

3. On utilise dans cette question trois rondins de rayons respectifs 1, x et y. On suppose que 1< x < y. Dans quel ordre faut-il les placer pour que la largeur soit :

a. La plus grande possible ?

b. La plus petite possible ? Discuter.

25-b : S - Moyennes de puissances de 2

Dans cet exercice, ont dit qu’un entier naturel non nul est joli s’il peut s’écrire comme la moyenne d’un certain nombre de puissances de 2, non nécessairement distinctes.

Par exemple, 92 est joli, car 7 7 7 7 7 5 5 52 2 2 2 2 2 2 2

92 8

        ; on a aussi :

8 4 22 2 2 92

3

   .

1. a. Montrer que si n est joli, alors n +1 est joli.

b. Quel est l’ensemble des entiers jolis ?

c. Donner une décomposition de 2009 comme moyenne arithmétique d’un certain nombre de puissances de 2.

2. On dit qu’un entier naturel non nul est superbe s’il peut s’écrire comme moyenne arithmétique d’un certain nombre de puissances de 2, deux à deux distinctes.

Par exemple, 92 est superbe, puisque 8 4 22 2 2

92 3

   .

a. Prouver que 7 est superbe.

b. Prouver que l’entier n est superbe si et seulement si 2n est superbe.

c. Prouver que 13 n’est pas superbe (on pourra admettre que, pour tout entier k supérieur ou égal à 7,

13 2 1kk   ).

25-c : ES-L-T - Au-delà des grilles

On considère un damier rectangulaire composé de n colonnes et p lignes (on prendra n p ).

Un jeton est placé sur la première case, en bas à gauche. On le déplace dans le damier. Un mouvement consiste à déplacer le jeton de trois cases au total, vers la droite ou vers le haut (voir figure).

1. Combien faut-il au plus de mouvements pour sortir d’un damier de 6 colonnes et 5 lignes ? d’un damier de n colonnes et p lignes ?

2. On donne des entiers i et j. Est-il possible d’atteindre la case située sur la i-ième colonne et la j-ième colonne ?

25-d : ES-L-T - « Too many notes »

Un professeur donne aux travaux que lui rendent les élèves une note, comprise entre 0 et 20, comportant une décimale au plus.

Albert, qui a obtenu 3,1 pour le premier travail rendu et 19,5 pour le second, observe que la moyenne 11,3 de ces deux notes a pour décimale le chiffre des unités de la première (3) et pour chiffre des unités la décimale de la première (1).

Béatrice, qui n’a pas encore sa seconde note, se demande s’il peut en être de même pour elle.

1. Montrer que c’est possible si sa première note est 3,2.

2. Est-ce toujours possible pour des notes non nulles strictement inférieures à 20 ?

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