Contrôle - sciences mathématique 7 - correction, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 7 - correction, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 7 - correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices, L’espace muni d’un repère orthonormal, l’application, l'ensemble des couples d'entiers relatifs.
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Terminale S

Terminale S juin 2010

Amérique du Nord

Corrigé : Patrick Chatel / http://chatel.maths.free.fr/

Exercice 1

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives A(1, −2, 4), B(−2, −6, 5), C(−4, 0, −3).

1.

a. Les points A, B et C ne sont pas alignés :

On a  3 ; 4 ;1AB   et  5 ; 2 ; 7AC   ;

Ces 2 vecteurs n’ayant manifestement pas leurs coordonnées proportionnelles, ne sont pas colinéaire ;

Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés ; CQFD !

b. Le vecteur  1 ; 1 ; 1n   est un vecteur normal au plan (ABC) :

        . 1 3 1 4 1 1 3 4 1 0n AB n AB                 ;

        . 1 5 1 2 1 7 5 2 7 0n AC n AC                 ;

Ainsi, n est orthogonal à 2 vecteurs directeurs - puisque non colinéaires - du plan (ABC) ;

En conséquence, c’est un vecteur normal au plan (ABC) ; CQFD !

c. Une équation du plan (ABC) :

  1 ; 1 ; 1n   étant un vecteur normal au plan (ABC) , celui-ci admet une équation cartésienne du

type : 0x y z d    ;

 Comme A  (ABC),  0 1 2 4 0 1A A Ax y z d d d            ;

Une équation du plan (ABC) est donc : 1 0x y z    .

2.

a. Une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC) :

Soit (D) cette droite ;

(D) admet tout vecteur normal à (ABC) comme vecteur directeur, donc  1 ; 1 ; 1n   ;

     

 

0

0

0

1

; ; 1

1

x x k x k

M x y z D OM kn y y k y k

z z k z k

      

                  

;

Une représentation paramétrique de cette droite est donc :

x k

y k

z k

   

  

k  .

b. Les coordonnées du point O’, projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC) :

Le projeté O’ de O sur (ABC) est le point d’intersection de (D° avec (ABC) ;

Ses coordonnées sont donc solution du système :

   

1

3

1

3

1

31 01 0 1

3

k

x kx k x

y ky k

z kz k y

k k kx y z

z

  

     

                    

                  

;

Donc 1 1 1

' ; ; 3 3 3

O      

.

3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC). Soit t le réel tel que BH tBC .

a. 2

.BO BC t

BC

 :

 Comme H  (BC), il existe effectivement un réel t tel que BH tBC ; De là :

     2

. . . . .BH BC tBC BC BO OH BC tBC BO BC OH BC      2

2

.BO BC t BC t

BC

   ; CQFD !

b. Le réel t et les coordonnées du point H :

 Or  2 ; 6 ; 5BO  et  2 ; 6 ; 8BC   donc . 72BO BC  et 2

104BC  ;

Et par conséquent, 2

. 72 9

104 13

BO BC t

BC

   ;

 Ainsi, 9

13 BH BC d’où

   

 

 

9 44 2 2

13 13

9 24 6 6

13 13

9 7 5 8

13 13

x x

y y

z z

         

   

           

        

; Donc 44 24 7

; ; 13 13 13

H        

.

Exercice 2

Une urne contient des boules indiscernables au toucher.

20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges.

Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

Présentation des données sous forme d’un tableau à double entrée :

n°1 n°2 TOTAL rouges 20% 8% 28% vertes 0% 72% 72%

TOTAL 20% 80% 100%

1. On tire une boule au hasard. Probabilité qu'elle soit rouge :

On est en face d’une situation d’équiprobabilité ; il vient alors immédiatement que p(R) = 0,28.

2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.

Probabilité qu'elle porte le numéro 2 : pR(2) = 8

28 =

2

7 .

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne).

a. Probabilité, en fonction de n, d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n

tirages :

On est donc en présence d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et p = p(R1) = 0,2.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges portant le numéro 1 au cours des n

tirages ; X suit donc la loi binomiale B(n ; 0,2).

Soit E l’événement : « obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages » ;

Alors p(E) = p( X  1) = 1 – p(X = 0) = 1  (1  0,2)n = 1  0,8n .

b. L'entier n à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au

cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99 :

Donc p(E)  0,99  1  0,8n  0,99  0,01  0,8n

 ln 0,01  ln(0,8n)  ln 0,01  n ln 0,8  ln 0,01/ln 0,8  n

n  21.

Exercice 3 non spécialistes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On considère les points A d'affixe i, B d'affixe −2i et D d'affixe 1.

On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z ( z i ) associe le point M’ d'affixe z’ définie par : 2

' 1

z i z

iz

  

.

1. Le point E a pour affixe   1 3

1 2 2

i      

 

:

Puisque le triangle ADE soit équilatéral direct, E est l’image de D par la rotation de centre A et d’angle 3

 ;

Or ; 3

A r  a pour écriture complexe :

   3 1 3 1 3 3 1

' ' ' 2 2 2 2 2 2

i

A Az z e z z z i z i i z i z i

      

                            

;

Et puisque   ; 3

A E r D ,

1 3 3 1 1 3 3 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 E D Ez i z i z i i                                        

  1 3 3 1 1 3

1 2 2 2 2 2 2

Ez i i      

                       

; CQFD !

2. L’affixe - sous forme algébrique - du point D’ associé au point D par l'application f :

   ' 2 2

2 12 2 1 2 2 1 1 3

1 1 1 2 2 21 1

D D

D

i iz i i i i z i

iz i

            

    .

3.

a. Pour tout nombre complexe z différent de i,   ' 2 1z i z i   :

      

  2 2 12

' 2 2 1 1

z i i izz i z i z i i z i z i

iz iz

             

    

2z

2i z 

 

2i

i z i

  z i

        

1 i

i   ; CQFD !

b. pour tout point M d'affixe z ( z i ) : ' 1BM AM  et    , ' , 2u BM u AM k     où k   :

Puisque   ' 2 1z i z i   , par passage aux modules et aux arguments, il vient :

     ' 2 1 ' 2 1 ' 1 ' 1B Az i z i z i z i z z z z BM AM                 ;

          arg ' 2 arg 1 2 arg ' 2 arg 0 2z i z i k z i z i k          

       arg ' arg 2 ; ' ; 2B Az z z z k u BM u AM k        

   ; ' ; 2u BM u AM k    4.

a. Les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon 2 :

 1 2D AAD z z i     donc D  (C) ;

AE AD car ADE est équilatéral (cf. 1.) donc E  (C) ;

b. Construction du point E’ associé au point E par l'application f :

D’après le 3.b.,

 1

' 1 'BD AD BD AD

    et 1

' 1 'BE AE BE AE

    et comme AD = AE, BE’ = BD’ ;

    ; ' ;u BE u AE  ;

D’où la construction de E’ .

5. La nature du triangle BDE’ :

BD’ = BE’ (cf. 4.b.) ;

          '; ' '; ; ' ; ' ; 'BD BE BD u u BE u BD u BE    

         ; ; ; ; ; 3

u AD u AE AE u u AD AE AD

       ;

BD’E’ est donc équilatéral (indirect) .

Exercice 4

À tout entier naturel n non nul, on associe la fonction fn définie sur  par   4

7

nx

n nx

e f x

e

 .

On désigne par Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Les courbes C1, C2 et C3 sont données ci-dessous.

Partie A : Etude de la fonction f1 définie sur  par  1 4

7

x

x

e f x

e  

.

1. Pour tout réel x,  1 4

1 7 x f x

e  

:  1 4 4

7

x x

x

e e f x

e    xe

4

7 1 7 1

x

x

e

e

 

    

 

; CQFD !

2.

a. La courbe C1 admet deux asymptotes :

 lim 4 0x x

e 

 et lim 7 7x x

e 

  car lim 0x x

e 

 ; Donc, par quotient, 4

lim 0 7

x

xx

e

e 

 ;

Donc, puisque  1lim 0 x

f x 

 , C1 admet la droite d’équation y = 0 (c’est-à-dire l’axe des

abscisses) pour asymptote au voisinage de .

 lim 1 7 1x x

e

   car lim lim 0x X

x X e e

    ; Donc, par quotient,

4 lim 4

1 7 xx e 

 ;

Donc, puisque  1lim 4 x

f x 

 , C1 admet la droite d’équation y = 4 pour asymptote au voisinage

de +.

b. La fonction f1 est strictement croissante sur  :

f1 est dérivable sur  et    

    '

1 2 2

4 7 28

1 7 1 7

x x

x x

e e f x

e e

 

 

    

 

;

 Comme 0Xe  pour tout réel X,  '1 0f x  donc f1 est strictement croissante sur  ; CQFD !

c. Pour tout réel x,  10 4f x  :

Il vient successivement : 1 4

0 7 0 1 7 1 0 1 0 4 1 7 1 7

x x x

x x e e e

e e

  

             

 

Soit,  1 4

0 4 1 7 x

f x e

   

; CQFD !

3.

a. Le point I1 de coordonnées (ln7, 2) est un centre de symétrie de la courbe C1 :

       ln7 ln7 ln7 ln71 1

4 4 4 4

ln 7 ln 7 1 7 1 7 1 7 1 7

2 2 2

x x x xf x f x e e e e        

          

1 ln

7

2

1 7e

1 ln

7

2

1 7xe e

 

      

1 1 2 2 2

1 11 1

x x x x

x xx x

x

e e e e

e ee e e

 



        

    

2 ;

Puisque    1 1ln 7 ln 7

2 2

f x f x    , le point I1 (ln7, 2) est un centre de symétrie de la courbe C1 ;

CQFD !

b. Une équation de la tangente T1 à la courbe C1 au point I1 :

On a     '1 1 1: ln7 ln7 ln 7T y f x f   ;

Or  1 ln7 4 4

ln 7 2 11 7 1 7 7

f e

     

et    

ln7 '

1 2 2 2 ln7

1 28

28 47ln 7 1 211 7 1 7

7

e f

e

          

;

D’où 1 : ln7 2T y x   .

c. Tracé de la droite T1 : cf. graphique ci-après.

4.

a. Une primitive de la fonction f1 sur  :

La fonction f1 admet effectivement des primitives sur  car elle y est continue ;

Or    

  1

'4 4

7

x

x

u xe f x

u xe    

si on pose   7xu x e  ;

En conséquence, une primitive F1 de f1 sur  est définie par :

     1 4 ln 4 ln 7 4ln 7x xF x u x e e       .

b. La valeur moyenne de f1 sur l'intervalle [0, ln7].

        ln7

ln7

1 1 1 10 0

1 1 1 ln 7 0

ln 7 0 ln 7 ln 7 f x dx F x F F              

     ln7 0 1 1

4ln 7 4ln 7 4ln14 4ln8 ln 7 ln 7

e e          

4ln 2 4ln 7 12ln 2 ln 7 2ln 2 ln 2

4 4 8 1,15 ln 7 ln 7 ln 7

        .

Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction fn

1. Pour tout entier naturel n non nul le point 1

0 ; 2

A      

appartient à la courbe Cn :

  0

0

4 4 1 1 0

1 7 27

n

n n

e f

e

   

 donc

1 0 ;

2 nA C

   

  ; CQFD !

2.

a. Pour tout n  0 la courbe Cn et la droite d'équation 2y  ont un unique point d'intersection In :

  4 ln 7

2 2 4 2 14 7 ln 7 7

nx nx nx nx

n nx

e f x e e e nx x

ne            

 ;

La courbe Cn et la droite d'équation 2y  ont donc bien un unique point d'intersection In dont

l’'abscisse est ln 7

n .

b. Une équation de la tangente Tn à la courbe Cn au point In :

On a ' ln 7 ln 7 ln 7

:n n nT y f x f n n n

                

;

Or ln 7

2nf n

   

  et , puisque

   

  '

2

7 4 4

7

nx nxnx nx nx nx

n nx

ne ene e e ne f x

e

       

7 nxe      

2 2

28

7 7

nx

nx nx

ne

e e

 

,

' ln 7 28 n

n

ne f

n

   

 

ln7

n

n

e

ln7

n

2 2

28 7

14

7

n n

  

       

;

D’où : ln7 2nT y nx   .

Remarque : les tangentes Tn à la courbe Cn au point In ont toutes la même ordonnée à l’origine,

à savoir 2 – ln 7.

c. Tracer les droites T2 et T3 : cf. graphique ci-après.

3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par   ln 7

0ln 7

n n n

n u f x dx  .

La suite (un) est constante :

  ln7 ln7

0 0

4

ln 7 ln 7 7

nx n n

n n nx

n n e n u f x dx dx

e   

  4

ln 7 n   

ln7

0

ln 7 n

nxe  

   

     ln7 0 4 4

ln 7 ln 7 ln14 ln8 ln 7 ln 7

e e          

ln 2 4 8 1,15

ln 7    .

La suite (un) est donc bien constante, à ln 2

4 8 ln 7

 .

Remarque : Les valeurs moyennes des fn sur les intervalles [0, ln7/n] , à savoir un, sont identiques donc.

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