Contrôle - sciences mathématique 7, Exercices de Mathématiques Appliqués
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Contrôle - sciences mathématique 7, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Contrôle de sciences mathématique 7 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices, L’espace muni d’un repère orthonormal, l’application, l'ensemble des couples d'entiers relatifs.
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Terminale S

Terminale S juin 2010

Amérique du Nord

1. Exercice 1 (4 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives A(1, −2, 4), B(−2, −6, 5), C(−4, 0, −3).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur  1 ; 1 ; 1n   est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).

b. Déterminer les coordonnées du point O’, projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC).

Soit t le réel tel que BH tBC .

a. Démontrer que 2

.BO BC t

BC

 .

b. En déduire le réel t et les coordonnées du point H.

2. Exercice 2 (3 points)

Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?

2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est

égale à 2

7 .

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne).

a. Exprimer en fonction de n la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages.

b. Déterminer l'entier n à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99,

3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d'unité graphique 2 cm.

On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.

On considère les points A d'affixe i, B d'affixe −2i et D d'affïxe 1.

On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z ( z i ) associe le point M’ d'affixe z’ définie par

2 '

1

z i z

iz

  

.

1. Démontrer que le point E a pour affixe   1 3

1 2 2

i      

 

.

2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point D’ associé au point D par l'application f.

3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i,   ' 2 1z i z i   .

b. En déduire que pour tout point M d'affixe z ( z i ) : ' 1BM AM  et    , ' , 2u BM u AM k     où k est un entier relatif.

4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon 2 .

b. En utilisant les résultats de la question 3. b, placer le point E’ associé au point E par l'application f. On laissera apparents les traits de construction.

5. Quelle est la nature du triangle BDE’ ?

4. Exercice 3 (5 points, spécialistes)

Partie A

On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation (E) : 16 3 4x y  .

1. Vérifier que le couple (1 ; 4) est une solution particulière de (E).

2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On considère la transformation f du plan, qui à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d affixe z

définie par

3

82

i

e z

 .

On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante :

le point M0 a pour affixe z0 = i et pour tout entier naturel n,  1n nM f M  .

On note zn l'affîxe du point Mn.

Les points M0, M1, M2 et M3 sont placés sur la figure ci-dessous.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f.

2. On note g la transformation f f f f .

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.

b. En déduire que pour tout entier naturel n 4 4n nOM OM  et que  4, 2 2

n nOM OM k

     où k

est un entier relatif.

c. Compléter la figure en construisant les points M4, M5 et M6.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n,   3

2 82

n in

nz e

    

  .

4. Soient deux entiers naturels n et p tels que p n .

a. Exprimer en fonction de n et p une mesure de  ,p nOM OM . b. Démontrer que les points O, Mp et Mn sont alignés si et seulement si np est un multiple de 8.

5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que le point Mn appartienne à la demi-droite [Ox). On pourra utiliser la partie A.

5. Exercice 4 (8 points)

À tout entier naturel n non nul, on associe la fonction fn définie sur  par   4

7

nx

n nx

e f x

e

 .

On désigne par Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . Les

courbes C1, C2 et C3 sont données ci-dessous.

Partie A : Etude de la fonction f1 définie sur  par  1 4

7

x

x

e f x

e  

.

1. Vérifier que pour tout réel x,  1 4

1 7 x f x

e  

.

2. a. Démontrer que la courbe C1 admet deux asymptotes dont on précisera des équations.

b. Démontrer que la fonction f1 est strictement croissante sur .

c. Démontrer que pour tout réel x,  10 4f x  .

3. a. Démontrer que le point I1 de coordonnées (ln7, 2) est un centre de symétrie de la courbe C1.

b. Déterminer une équation de la tangente T1 à la courbe C1 au point I1.

c. Tracer la droite T1.

4. a. Déterminer une primitive de la fonction f1 sur .

b Calculer la valeur moyenne de f1 sur l'intervalle [0, ln7].

Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction fn

1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul le point 1

0 ; 2

A      

appartient à la courbe Cn.

2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul la courbe Cn et la droite d'équation 2y  ont un

unique point d'intersection dont on précisera l'abscisse. On note In ce point d'intersection.

b. Déterminer une équation de la tangente Tn à la courbe Cn au point In.

c. Tracer les droites T2 et T3.

3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par   ln 7

0ln 7

n n n

n u f x dx  .

Montrer que la suite (un) est constante.

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