Controles de mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Controles de mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques concernant les controles de Mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude d’une suite, Application économique, correction du controle.
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D-Suites

NOM Prénom : 05/12/2007 Classe : T ES

CONTROLE DE MATHEMATIQUES

Exercice 1 : (…… points) Liban, Juin 2000 Partie A - Étude d’une suite On considère la suite (un) définie par u0 = 900 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,6 un + 200.

1. Calculer u1 et u2. 2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 500. a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 400 x (0,6)

n + 500. c. Déterminer la limite de la suite (un). Partie B - Application économique Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. Cette année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de 1000 clients de l’année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B. On veut étudier l’évolution de cette population les années suivantes.

1. a. Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculer le nombre de clients de A en 2002. b. On note an le nombre de clients de A l’année (2000 + n). Établir que an+1 = 0,8 an + 0,2 (1000 − an). En déduire que an+1 = 0,6 an + 200. 2. En utilisant le résultat de la partie A, que peut-on prévoir pour l’évolution du marché des télécommunications dans ce pays ? Exercice 2 : (…… points) Antilles-Guyane, septembre 2001 Un couple dépose au premier janvier de l’an 2000, une somme de 5 000 euros sur un compte rémunéré au taux annuel de 6%. Par la suite, ce couple possède une capacité d’épargne annuelle de 3 000 euros, épargne versée tous les 1er janvier sur le compte précédent. Les intérêts sont capitalisés au 31 décembre de chaque année. On note nS la somme dont le couple dispose au 1er janvier de l’année (2000 + n ).

1. Calculer les valeurs de 0S , 1S , 2S . 2. Montrer que l’expression de 1+nS , en fonction de nS est donnée par la relation : 3000)(06,11 +=+ nn SS . 3. On pose 00050+= nn ST . a. Montrer que ( )nT est une suite géométrique de raison 1,06. b. Exprimer nT puis nS en fonction de n . c. Au 1er janvier de quelle année le couple possédera-t-il une épargne supérieure à 50 000 euros ?

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CORRECTION DU CONTROLE DU 05/12/2007

Exercice 1 : Liban, Juin 2000 Partie A - Étude d’une suite 1.u1 = 0,6 x 900 + 200 = 740

u2 = 0,6 x 740 + 200 = 644 2.a. vn = un − 500 vn+1 = un+1 − 500 vn+1 = 0,6 un + 200 − 500 vn+1 = 0,6 un - 300 vn+1 = 0,6 (un – 500)

vn+1 = 0,6 vn De plus, v0 = u0 − 500 = 900 – 500 = 400donc la suite (vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 400 et de raison 0,6. b.vn = v0 x r

n

vn =400 x 0,6 n

vn = un − 500 un = vn + 500

un = 400 x (0,6) n + 500

c. 0)6,0(lim = +∞→

n

n donc 0)6,0400(lim =×

+∞→

n

n et 500)(lim =

+∞→ nn u

Partie B - Application économique

1. a. en 2001 : 900 x 80 100 + 100 x

20 100 = 740

en 2002 : 740 x 80 100 + (1000 – 740) x

20 100 = 644

La société A compte 740 clients en 2001 et 644 clients en 2002. b. Si an est le nombre de clients de A pour l’année (2000 + n), alors le nombre de clients de B pour l’année (2000 + n) est : 1000 - an.

d’où an+1 = 80 100 an +

20 100 (1000 − an)

an+1 = 0,8 an + 0,2 (1000 − an) an+1 = 0,8 an + 200 − 0,2 an an+1 = 0,6 an + 200. 2. Comme la suite (an) est définie par a0 = 900 et, pour tout n, an+1 = 0,6 an + 200, alors la suite (an) est donc la même suite que celle étudiée dans la partie A. D’après la question A. 2. c., la limite de la suite (an) est donc 500. On peut donc prévoir que, à long terme, sur 1000 clients, la société A en aura 500. Autrement dit, à long terme, les deux sociétés auront autant de clients l’une que l’autre. Exercice 2 : Antilles-Guyane, septembre 2001

1. 50000 =S 83003000100 6

150001 =+ 

  

 +×=S

11798300006,183002 =+×=S .

2. 300006,13000 100

6 11 +×=+

  

 +×=+ nnn SSS .

3. a. 0005011 += ++ nn ST

( ) nn

nn

nn

nn

nn

TT

ST

ST

ST

ST

06,1

5000006,1

06,1

53000 06,1

5300006,1

50000300006,1

1

1

1

1

1

= +×=

 

  

 +×=

+= ++=

+

+

+

+

+

Donc la suite ( )nT est une suite géométrique de raison 1,06. b.

n n qTT ×= 0 avec 550005000050005000000 =+=+= ST

donc nnT 06,155000 ×= Comme 00050+= nn ST

50000−= nn TS

5000006,155000 −×= nnS c. On cherche à résoudre dans N l’équation : 50000≥nS

( )

( )

( )06,1ln 11

20 ln

11

20 ln06,1ln

11

20 ln06,1ln

55000

100000 06,1

00010006,155000

000500005006,100055

 

  

 

  

≥×

 

  

≥

≥×

≥−×

n

n

n

n

n

n

( )06,1ln 11 20

ln  

  

≈ 10,3

car la fonction ln est strictement croissante car ln(1,06) > 0

Donc il faut attendre 11 ans pour que le couple possède une épargne supérieure à 50 000 euros, c'est-à-dire à partir du 1er janvier 2011.

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NOM Prénom : …… /10/2007 Classe :

CONTROLE DE MATHEMATIQUES

Exercice 1 : (… points) Centres étrangers, juin 2000

Soit la suite ( nu ) définie par 0u = 1 et , pour tout entier naturel n , 34 1

1 +=+ nn uu .

1. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ par 3 4

1 )( += xxf .

a. Tracer dans un même repère orthonormal d’unité 2 cm la représentation graphique D de la fonction f et la droite ∆ d’équation xy = . b. Calculer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites. c. En faisant apparaître le mode de construction, utiliser ce graphique pour représenter 1u , 2u et

3u sur l’axe des abscisses. d. Quels semblent être le sens de variation et la limite de la suite ( nu ) ?

2. Soit la suite ( nv ) définie pour tout entier naturel par nnn uuv −= +1 .

a. Montrer que, pour tout entier naturel, nn vv 4 1

1 =+ .

Quelle est la nature de la suite ( nv ) ? Préciser son premier terme 0v . b. Exprimer nv en fonction de n .

c. Exprimer nv en fonction de nu , et en déduire que, pour tout entier naturel n , 44 1

3 + 

  

×−= n

nu .

d. Déterminer le sens de variation de la suite ( nu ) . e. Déterminer la limite de la suite ( nu ), justifier votre réponse.

Exercice 2 : ( … points) Lors du Mondial de 1998, l’équipe de France de football a disputé 7 matchs : 3 matchs de poule, un huitième de finale, un quart de finale, une demi-finale et la finale. Dans un petit village de France de 600 habitants, 400 personnes ont regardé la première rencontre de la formation tricolore à la télévision. Par la suite, on a constaté que : - parmi toutes les personnes qui ont regardé un match, quatre seulement n’ont pas regardé le match suivant. - parmi toutes les personnes qui n’ont pas vu un match, la moitié ont regardé le suivant. On appelle nu le nombre de personnes ayant vu le n

ième match. 1. Quelle est la valeur de 1u ? Vérifier que 2u = 496.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n tel que 1 ≤ n ≤ 6, l’égalité suivante est vraie : 296 2

1 1 +=+ nn uu .

(On pourra utiliser l’expression du nombre de personnes qui n’ont pas vu le n ième match). 3. On appelle ( ) 71 ≤≤nnv la suite définie par 592−= nn uv .

a) Démontrer que la suite ( nv ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer nv en fonction de n . En déduire nu en fonction de n .

4. Combien d’habitants du village n’ont pas vu la finale ?

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CORRECTION DU CONTROLE DU ……/10/2007

Exercice 1 :(… points) Centres étrangers, juin 2000 1. a. et c.

D

2 3 4 5 6

2

3

4

0 1

1

x

y

u 0 u 1 u 2 b. Les coordonnées ( )yx; du point d’intersection de

ces deux droites vérifient le système : 

 

+=

=

3 4

1 xy

yx

donc 3 4

1 += xx

4

3 4

3

=⇔

=⇔

x

x

Et comme yx = , alors le point d’intersection de ces deux droites a pour coordonnées (4 ; 4). d. La suite ( nu ) semble croissante et elle semble converger vers 4. 2. a. 121 +++ −= nnn uuv

nn

nn

uu

uu

4

1

4

1

3 4

1 3

4

1

1

1

−=

 

  

 +− 

  

 +=

+

+

( )

n

nn

v

uu

4

1 4

1 1

=

−= +

Donc ( nv ) est une suite géométrique de raison 1 4.

Son premier terme est =− 

  

 +×=−= 131 4

1 010 uuv

9 4

b. D’après la question précédente, alors n

nv  

  

×= 4

1

4

9

c. nnn uuv −= +1

3 4

3

3 4

1

+−=

−+=

n

nn

u

uu

donc 3 4

3

4

1

4

9 +−= 

  

× n n

u

4 4

1 3

3

4 3

4

1

4

9

3 4

1

4

9

4

3

+ 

  

×−=⇔

×   

  

 +

  

×−=⇔

+ 

  

×−=⇔

n

n

n

n

n

n

u

u

u

d. Plusieurs méthodes possibles :

Pour tout entier naturel n n

nv  

  

×= 4

1

4

9 , alors

n

nn uu  

  

×=−+ 4 1

4

9 1 et donc 01 >−+ nn uu donc

nn uu >+1 . Donc la suite ( )nu est croissante.

e. Comme 0 < 1 4 < 1, alors 04

1 lim =

  

 +∞→

n

n et

donc 44 4

1 limlim =+

  

= +∞→+∞→

n

n n

n u

La suite ( )nu converge donc vers 4.

Exercice 2 : 1. 1u = 400

2u = 400 – 4 + 600 – 400

2 = 496.

2. Pour tout entier naturel n tel que 1 ≤ n ≤ 6,

296 2

1

4 2

600

2

2

600 )4(1

+=

−+−=

− +−=+

n

n n

n nn

u

u u

u uu

3. a) 59211 −= ++ nn uv

( )

n

n

n

v

u

u

2

1

592 2

1

592296 2

1

=

+=

−+=

1v = 400 – 592 = - 192

La suite ( nv ) est une suite géométrique de raison 1 2 et

de terme initial 1v = - 192.

b)

11

1 2

1 192

2

1 −−

 

  

×−= 

  

×= nn

n vv

592 2

1 192592

1

+ 

  

×−=+= −n

nn vu

4. 589592 2

1 192

17

7 =+ 

  

×−= −

u et 600 – 589 = 11,

donc 11 habitants du village n’ont pas vu la finale.

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NOM Prénom : Classe :

CONTROLE DE MATHEMATIQUES

Exercice 1 : Amérique du Sud, Novembre 2003 Monsieur X a placé 2 000 € le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, à intérêts composés au taux annuel de 3,5% (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir de l’année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 € supplémentaires sur ce livret. On désigne par Cn le capital, exprimé en euros, disponible le 1er janvier de l’année (2003 + n), où n est un entier naturel. Ainsi, on a : C0 = 2000. 1. a. Calculer le capital disponible le 1er janvier 2004. b. Établir, pour tout entier naturel n, une relation entre Cn+1 et Cn. 2. Pour tout entier naturel n, on pose :

un = Cn + 20000. a. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison. b. Exprimer un en fonction de n. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

Cn = 22000 x (1,035) n − 20000.

d. Calculer le capital disponible le 1er janvier 2008 (on arrondira le résultat à l’euro près). 3. Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la banque pour financer un voyage dont le coût (supposé fixe) est de 6 000 €. Il paiera cette somme en 4 mensualités qui seront 4 termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 800 €. Calculer le montant de chacune de ces 4 mensualités. Exercice 2 : Liban, Juin 2000 Partie A - Étude d’une suite On considère la suite (un) définie par u0 = 900 et, pour tout entier naturel n,

un+1 = 0,6 un + 200. 1. Calculer u1 et u2. 2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 500. a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 400 x (0,6)

n + 500. c. Déterminer la limite de la suite (un). Partie B - Application économique Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. Cette année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de 1000 clients de l’année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B. On veut étudier l’évolution de cette population les années suivantes. 1. a. Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculer le nombre de clients de A en 2002. b. On note an le nombre de clients de A l’année (2000 + n). Établir que an+1 = 0,8 an + 0,2 (1000 − an). En déduire que an+1 = 0,6 an + 200. 2. En utilisant le résultat de la partie A, que peut-on prévoir pour l’évolution du marché des télécommunications dans ce pays ?

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CORRECTION DU CONTROLE DU 20/10/2006

Exercice 1 : Amérique du Sud, Novembre 2003

1. a. 2770700035,12000700 100

5,3 120001 =+×=+

  

 +×=C

Le premier janvier 2004, le capital disponible sera de 2770 €.

b. 700 100

5,3 11 +

  

 +×=+ nn CC

donc 700035,11 +=+ nn CC . 2. a. 2000011 += ++ nn Cu

( ) nn

nn

nn

nn

uu

Cu

Cu

Cu

035,1

20000035,1

20700035,1

20000700035,1

1

1

1

1

= +=

+= ++=

+

+

+

+

donc la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,035. b.

n n ruu ×= 0 avec 220002000020002000000 =+=+= Cu

n

nu 035,122000×= c. un = Cn + 20000 d’où Cn = un – 20000 Cn = 22000 x (1,035)

n − 20000. d. 2008 = 2003 +5 donc C5 = 22000 x (1,035)

5 − 20000 ≈ 6129 Le capital disponible le 1er janvier 2008 sera d’environ 6129 €.

3. Soit vn la suite arithmétique de raison 800 dont les quatre premiers termes correspondent aux mensualités recherchées, alors vn = v0 + 800n On cherche à déterminer v0, puis v1 , v2 , v3.

60003210 =+++ vvvv ⇔ 600080038002800 0000 =××+××+×+ vvvv ⇔ 600048004 0 =+v ⇔ 1204 0 =v ⇔ 3000 =v et donc 11008003001 =+=v

190080023002 =×+=v

270080033003 =×+=v Les mensualités seront successivement de 300 €, 1100 €, 1900 € puis 2700 €.

Exercice 2 : Liban, Juin 2000 Partie A - Étude d’une suite 1.u1 = 0,6 x 900 + 200 = 740

u2 = 0,6 x 740 + 200 = 644 2.a. vn = un − 500 vn+1 = un+1 − 500 vn+1 = 0,6 un + 200 − 500 vn+1 = 0,6 un - 300 vn+1 = 0,6 (un – 500)

vn+1 = 0,6 vn De plus, v0 = u0 − 500 = 900 – 500 = 400donc la suite (vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 400 et de raison 0,6. b.vn = v0 x r

n

vn =400 x 0,6 n

vn = un − 500 un = vn + 500

un = 400 x (0,6) n + 500

c. 0)6,0(lim = +∞→

n

n

donc 0)6,0400(lim =× +∞→

n

n et 500)(lim =

+∞→ nn u

Partie B - Application économique

1. a. en 2001 : 900 x 80 100 + 100 x

20 100 = 740

en 2002 : 740 x 80 100 + (1000 – 740) x

20 100 = 644

La société A compte 740 clients en 2001 et 644 clients en 2002. b. Si an est le nombre de clients de A pour l’année (2000 + n), alors le nombre de clients de B pour l’année (2000 + n) est : 1000 - an.

d’où an+1 = 80 100 an +

20 100 (1000 − an)

an+1 = 0,8 an + 0,2 (1000 − an) an+1 = 0,8 an + 200 − 0,2 an an+1 = 0,6 an + 200. 2. Comme la suite (an) est définie par a0 = 900 et, pour tout n, an+1 = 0,6 an + 200, alors la suite (an) est donc la même suite que celle étudiée dans la partie A. D’après la question A. 2. c., la limite de la suite (an) est donc 500. On peut donc prévoir que, à long terme, sur 1000 clients, la société A en aura 500. Autrement dit, à long terme, les deux sociétés auront autant de clients l’une que l’autre.

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NOM Prénom : Classe :

CONTROLE DE MATHEMATIQUES

Exercice 1 : (10 points) Bac ES 2000

La suite (u n) est définie par u 0 = 7 et, pour tout entier naturel n, u n + 1 = 5

62 +nu

1) Calculer u 1, u 2 et u 3. 2) On considère la suite (v n) définie pour tout entier naturel n, par : v n = u n – 2. a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer v n en fonction de n, et en déduire que : un = n

 

  

5

2 .5 + 2.

c) Quelle est la limite de la suite (u n) ? 3) Illustration graphique Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique : 2 cm).

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ par f (x) = 5

62 +x

a) Tracer la représentation graphique D de f, ainsi que la droite ∆ d’équation y = x. b) Placer, sur l’axe des abscisses, le point P0 d’abscisse u0. En utilisant les droites D et ∆, construire les points P1, P2, P3 de l’axe (O ; i) d’abscisses respectives : u1, u2, u3. A quoi correspond, sur ce graphique, l’abscisse du point d’intersection des deux droites D et ∆ ?

Exercice 2 : (8,5 points)BAC ES – Amérique du Nord – juin 2002 Dans tout l'exercice les sommes seront données arrondies au franc le plus proche. Un directeur du personnel propose à l'un de ses employés de choisir entre deux formes d'augmentation de salaire. Sachant que son salaire actuel est de 6 000 F par mois, il lui propose soit une augmentation régulière de 55 F tous les mois (première proposition), soit une augmentation de 0,8% tous les mois (seconde proposition). 1. On se place dans le cadre de la première proposition et on note Mn le salaire mensuel en francs au bout de n mois.

a. Vérifier que M1 est égal à 6 055. Montrer que la suite (Mn) définie pour tout entier naturel n est une suite arithmétique dont on donnera la raison.

b. Donner l'expression de Mn en fonction de n. c. Calculer M12, M24, M36, M48.

2. On se place dans le cadre de la seconde proposition et on note M'n le salaire mensuel en francs au bout de n mois. a. Montrer que la suite (M'n) définie pour tout entier naturel n est une suite géométrique de raison 1,008. Calculer M'1. b. Donner l'expression de M'n en fonction de n. c. Calculer M'12, M'24, M'36, M'48. 3. Quelle proposition permet d'obtenir le meilleur salaire mensuel au bout de trois ans ? 4. Avant de choisir une des deux propositions, le salarié compare la somme des salaires perçus. Pour la proposition 1, on note Sn la somme des salaires sur les n premiers mois, de M1 à Mn. Pour la proposition 2,on note S'n la somme des salaires sur les n premiers mois. a. Exprimer Sn et S'n en fonction de n. b. Calculer S60 et S'60. c. Le salarié pense rester encore cinq ans dans l'entreprise. S'il s'intéresse au montant total des salaires perçus, quelle proposition doit-il choisir ?

Exercice 3 : (1,5 points)

Soit (un) la suite définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n, un + 1 = 2

13 −nu .

Démontrer par récurrence que : pour tout entier naturel n, un ≤ 1.

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