Correction de devoir commun, Examens de Physique

Télécharge Correction de devoir commun et plus Examens au format PDF de Physique sur Docsity uniquement! Correction 2nde …… DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES (janvier 2022) Barème indicatif : 5 + 5 + 6 + 9 durée : 2 heures Sauf indication contraire, toutes les réponses et calculs doivent être justifiés ! Exercice 1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Choisir la bonne réponse et écrire la lettre choisie dans la dernière colonne. Aucune justification n’est demandée. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point. Soit 𝑓 une fonction dont la courbe représentative 𝒞 est donnée ci-contre : A B C D Réponse choisie 1 L’ensemble de définition de 𝑓 est … [−3 ; 3] {−4 ; 5} [−4 ; 5] 𝐴𝑢𝑡𝑟𝑒 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 C 2 L’image de 2 est … −3,5 𝑒𝑡 4 −1 0 4 C 3 1 a pour antécédent(s) … −3, 3 𝑒𝑡 5 −1 −3 𝑒𝑡 0 𝐴𝑢𝑐𝑢𝑛 A 4 L’équation 𝑓(𝑥) = −1 a pour ensemble solution … 𝑆 = {−3 ; 3 ; 5} 𝑆 = ∅ 𝑆 = {−2 ; 1} 𝑆 = [−2 ; 1] C 5 L’inéquation 𝑓(𝑥) ≤ −1 a pour ensemble solution … 𝑆 = [−3,5 ; 2] 𝑆 = ]−2 ; 1[ 𝑆 = {−2 ; 1} 𝑆 = [−2 ; 1] D Exercice 2 Les questions sont indépendantes. 1. Une classe de Seconde comporte 58 % de filles et 65 % d’entre elles font de l’espagnol. Déterminer le pourcentage d’élèves de la classe qui sont des filles faisant de l’espagnol. 𝑝1 = 58% × 65% = 0,58 × 0,65 = 0,377 Donc 37,7% des élèves de la classe sont des filles faisant de l’espagnol. 2. Dans une entreprise, 24 personnes travaillent à mi-temps, ce qui représente 15 % de l’effectif total. Quel est l’effectif total ? 𝑛 = 24 ; 𝑝 = 15% = 0,15, on cherche l’effectif de la population : 𝑁 = 𝑛 𝑝 = 24 0,15 = 160 L'effectif total est donc de 160 personnes. 3. Un restaurant a ouvert en 2015. Cette année-là, il a reçu 3 250 clients. En 2016, il a reçu 5 125 clients. Calculer le taux d’évolution en pourcentage (Arrondir à l’unité). 𝑡 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 𝑉𝑖 = 5125 − 3250 3250 = 1875 3250 ≈ 0,58 Le taux d’évolution entre ces deux années est une augmentation d’environ 58%. 4. Le cours d’une action baisse de 14 %. Quel doit être le pourcentage d’augmentation pour que cette action retrouve son cours initial ? (Arrondir au dixième). 𝑪 = 𝟏 + 𝑪 = 𝟏 − 𝟏𝟒% = 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟖𝟔 𝑪𝑹 = 𝟏 𝟎, 𝟖𝟔 ≈ 𝟏, 𝟏𝟔𝟑 𝒕𝑹 = 𝑪𝑹 − 𝟏 = 𝟏, 𝟏𝟔𝟑 − 𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟑 Donc pour que l’action retrouve son cours initial, il faut appliquer une augmentation de 16,3% environ. 5. Un vendeur d’appareils électroniques augmente successivement de 15 % puis de 7 % le prix d’un appareil. Quel est le pourcentage de hausse global correspondant aux deux hausses successives ? 𝑪𝟏 = 𝟏 + 𝒕𝟏 = 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓 = 𝟏, 𝟏𝟓 𝑪𝟐 = 𝟏 + 𝒕𝟐 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕 = 𝟏, 𝟎𝟕 𝑪𝑮 = 𝑪𝟏 × 𝑪𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟓 × 𝟏, 𝟎𝟕 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝟓 𝒕𝑮 = 𝑪𝑮 − 𝟏 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝟓 − 𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟎𝟓 Le pourcentage de hausse global correspondant aux deux hausses successives est donc de 23,25%. Exercice 3 On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 − 6. 1. Calculer, en détaillant les calculs, les images de 2, de −1 et de 1 3 par la fonction 𝑓. 𝑓(2) = −22 + 5 × 2 − 6 = −4 + 10 − 6 = 0 𝑓(−1) = −(−1)2 + 5 × (−1) − 6 = −1 − 5 − 6 = −12 𝑓 ( 1 3 ) = − ( 1 3 ) 2 + 5 × ( 1 3 ) − 6 = − 1 9 + 5 3 − 6 = − 1 9 + 15 9 − 54 9 = − 40 9 2. 0 est-il un antécédent de −7 par la fonction 𝑓 ? Justifier. 𝑓(0) = −02 + 5 × 0 − 6 = −6 ≠ −7 Donc 0 n’est pas un antécédent de −7. 3. Le point de coordonnées (−2 ; −22) appartient-il à la courbe représentative de la fonction 𝑓 ? 𝑓(−2) = −(−2)2 + 5 × (−2) − 6 = −4 − 10 − 6 = −20 ≠ −22 Donc le point de coordonnées (−2 ; −22) n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction 𝑓. 4. Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = −𝑥2. −𝑥2 + 5𝑥 − 6 = −𝑥2 ⟺ −𝑥2 + 5𝑥 − 6 + 𝑥2 = 0 ⟺ 5𝑥 − 6 = 0 ⟺ 5𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 = 6 5 𝑆 = { 6 5 } 5. Montrer que 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)(𝑥 − 3). −(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = −(𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑥 + 6) = −(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = −𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 𝑓(𝑥) Donc, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)(𝑥 − 3).