Correction de l’exercice 12, Exercices de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Correction de l’exercice 12, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématiques sur la correction de l’exercice 12. Université Rennes 1, Année 2012-2013. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Énoncé, Correction.
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Université Rennes 1, Année 2012-2013 Master 1 Math., Algèbre générale de base

Correction de l’exercice 12 de la feuille de td 2

Énoncé

Soit A un anneau commutatif.

(1) Soit P un idéal premier de A et I1, . . . , In des idéaux de A. Montrer que si P contient le produit I1 . . . In, alors il contient l’un des Ik.

(2) Montrer que si I est un idéal non premier et distinct de A, il existe des idéaux I1 et I2 de A distincts de I tels que I ⊂ I1, I ⊂ I2 et I1I2 ⊂ I.

Correction

Rappelons qu’un idéal P d’un anneau A est premier si et seulement si P 6= A et, pour tout a, b ∈ A, ab ∈ P implique que a ∈ P ou b ∈ P (ce qui ne fait que traduire la nature intègre du quotient A/P).

(1) Raisonnons par contraposition. On suppose donc que, pour j ∈ [[1, n ]], Ij * P. Il existe alors aj ∈ Ij \P, pour j ∈ [[1, n ]], et, d’après le rappel liminaire, a1 . . . an ∈ P est exclu. Ainsi I1 . . . In * P. (2) I étant non premier et distinct de A, il existe a1, a2 ∈ A \ I tels que a1a2 ∈ I. Alors Ij = I + ajA, j ∈ {1, 2}, conviennent.

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