Correction de l’exercice 8, Exercices de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Correction de l’exercice 8, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématiques sur la Correction de l’exercice 8. Université Rennes 1, Année 2012-2013. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Énoncé, Correction.
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Université Rennes 1, Année 2012-2013 Master 1 Math., Algèbre générale de base

Correction de l’exercice 8 de la feuille de td 1

Énoncé

Soit G un groupe abélien fini. Pour tout x ∈ G, on note ω(x) l’ordre de x.

(1) Soit (x, y) ∈ G2, m = ω(x) et n = ω(y).

(i) Lorsque m et n sont premiers entre eux, montrer que ω(xy) = mn.

(ii) Si on ne suppose plus m premier avec n, a-t-on ω(xy) = ppcm(m,n) ?

(2) Pour (m,n) ∈ (N?)2, montrer qu’il existe (m′, n′) ∈ (N?)2 tel que

m′| m, n′|n, pgcd(m′, n′) = 1 et ppcm(m,n) = m′n′

(3) On définit l’exposant d’un groupe fini G, noté expG, comme le plus petit entier n > 1 tel que xn = 1, pour tout élément x de G. Montrer qu’il existe z ∈ G tel que expG = ω(z). (4) En déduire qu’un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique.

Correction

(1.i) Soit r = ω(xy). Ayant (xy)mn = (xm)n(yn)m = (1)n(1)m = 1, r |mn. En outre, 1 = ((xy)r)m = (xm)ryrm = yrm, autrement dit n | rm, or n est premier à m, donc n | r. De façon similaire, n | r et, à nouveau puisque m est premier à n, mn | r, d’où l’égalité annoncée. (1.ii) Clairement non. Un contre-exemple est donné en considérant un élément x d’ordre n 6= 1 et y = x−1, également d’ordre n. Alors ω(xx−1) = 1 6= n = ppcm(n, n). (2) On note P l’ensemble des nombres premiers, qui constitue un ensemble de représentants des éléments irréductibles de l’anneau factoriel Z. Ainsi, il existe (ap)p∈P et (bp)p∈P ∈ N(P) telles que m =

∏ p∈P p

ap et n = ∏

p∈P p bp . On vérifie alors que m′ =

∏ p∈P p

αp et n′ = ∏

p∈P p βp , où

αp =

{ ap si ap > bp 0 sinon et βp =

{ bp si bp > ap 0 sinon

conviennent.

(3) Posons M = ppcm{ω(x) / x ∈ G}. D’après le théorème de Lagrange, xM = 1, pour tout x ∈ G, ainsi expG 6 M . Montrons alors que cette borne est atteinte. Soit p1, . . . , pk ∈ P et a1, . . . , ak ∈ N? tels que M =

∏n i=1 p

ai i . Pour i ∈ [[1, n]], il existe xi ∈ G, tel que ω(xi) = p

ai i (en

effet, par définition de M , il existe yi ∈ G tel que ω(yi) = paii q, avec q premier à pi, et xi = yq convient). Alors x =

∏n i=1 xi vérifie ω(x) =M , d’après la question (1.i).

Finalement on ne se sert pas de la question (2), qui aurait permis de se limiter à l’introduction des yi pour la construction d’un élément de G d’ordre M .

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(4) Soit G un sous-groupe fini, de cardinal n, du groupe multiplicatif d’un corps k. Il s’agit donc de montrer l’existence d’un élément d’ordre n dans G. D’après la question (3), il existe x0 ∈ G tel que ω(x0) = expG et expG 6 CardG = n, d’après le théorème de Lagrange. En outre, pour x ∈ G, xexpG = 1. Or, dans un corps (et plus généralement dans un anneau commutatif intègre) le nombre de racines, comptées avec multiplicité, d’un polynôme est majoré par son degré ; ainsi n 6 expG. Finalement ω(x0) = n et G est cyclique engendré par x0.

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