Correction de l’exercice 9, Exercices de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Correction de l’exercice 9, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématiques sur la correction de l’exercice 9. Université Rennes 1, Année 2012-2013. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Énoncé, Correction.
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Université Rennes 1, Année 2012-2013 Master 1 Math., Algèbre générale de base

Correction de l’exercice 9 de la feuille de td 2

Énoncé

Soit A un anneau tel que a3 = a, pour tout a ∈ A. On se propose d’établir que A est commutatif.

(1) Montrer que 6A = {0}. (2) Montrer que 2A et 3A sont des idéaux bilatères de A vérifiant 2A+3A = A et 2A∩3A = {0}. En déduire qu’on peut supposer soit 2A = {0}, soit 3A = {0}. (3) Si 2A = {0}, montrer que a2 = a, pour tout a ∈ A, et conclure. (4) Si 3A = {0}, conclure en s’intéressant à (a+ b)3 et (a− b)3.

Correction

(1) Pour a ∈ A, 2a = (2a)3 = 8a3 = 8a, soit 6a = 0 (i.e. la caractéristique de A divise 6). (2) 2 et 3 étant des éléments centraux de A (i.e. commutant avec n’importe quel élément de A pour la multiplication), 2A et 3A sont des idéaux bilatères de A.

Pour a ∈ A, de 6a = 0, on déduit a = −5a = 2(−a)+3(−a), ce qui établit que A = 2A+3A. Si a ∈ 2A ∩ 3A, alors il existe b, c ∈ A tels que a = 2b = 3c. Ainsi 2a = 6c = 0 et

3a = 6b = 0, d’où a = 3a− 2a = 0. Ayant 2A + 3A = A (i.e. les idéaux 2A et 3A sont étrangers) et 2A ∩ 3A = {0}, d’après

le théorème chinois et la question (1), A ' A/6A ' A/2A × A/3A. Ainsi, la commutativité de A résultera de la commutativité de A/pA, avec p ∈ {2, 3}, A/pA étant un anneau de caractéristique p, i.e. pour lequel pA = {0}. (3) Si 2A = {0}, i.e. si A est de caractéristique 2, alors, pour a ∈ A,

a+ 1 = (a+ 1)3 = (a+ 1)2(a+ 1) = (a2 + 1)(a+ 1) = a3 + a2 + a+ 1 = a2 + 1

soit a2 = a. Alors, pour a, b ∈ A,

a+ b = (a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = a2 + ab+ ba+ b2 = a+ ab+ ba+ b

Ainsi, ab = −ba = ba, pour tout a, b ∈ A. (3) Si 3A = {0}, i.e. si A est de caractéristique 3, alors, pour a, b ∈ A,

a+ b = (a+ b)3 = a3 + a2b+ aba+ ab2 + ba2 + bab+ b2a+ b3

a− b = (a− b)3 = a3 − a2b− aba+ ab2 − ba2 + bab+ b2a− b3

soit a2b+ aba+ ab2 + ba2 + bab+ b2a = 0 = −a2b− aba+ ab2 − ba2 + bab+ b2a

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La différence de ces deux égalités donne 2a2b + 2aba + 2ba2 = 0, soit a2b + aba + ba2 = 0, car carA = 3. En multipliant respectivement par a à gauche et à droite cette dernière égalité, on obtient :

ab+ a2ba+ aba2 = 0 = a2ba+ aba2 + ba,

soit, en soustrayant, ab− ba = 0.

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