Correction des travaux pratiques en algorithmique  –  12, Exercices de Algorithmes
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction des travaux pratiques en algorithmique – 12, Exercices de Algorithmes

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Correction des travaux pratiques en algorithmique – 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les images des points, les affixes des points.
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NouvelleCaledonieSnov.2005.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2005 \

EXERCICE 1 5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v

) . Unité graphique : 4 cm

Partie I

1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d’affixes respectives :

zI = 1 , zJ = i , zH = 1+ i , zA = 2 , zB = 3

2 + i , zC = 2i et zD =−1

2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.

Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe zF =−1+ 1

2 i.

3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.

Partie II

On considère la transformation f du plan, d’écriture complexe :

z ′ =−iz+2i.

1. Déterminer les images des points O, A, B par f .

2. a. Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie ?

b. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .

c. La transformation f est-elle une symétrie axiale ?

3. Soit t la translation de vecteur −→ IJ . Donner l’écriture complexe de t et celle de

sa réciproque t−1.

4. On pose s = f t−1.

a. Montrer que l’écriture complexe de s est : z ′ =−iz+1+ i.

b. Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.

c. En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser.

EXERCICE 1 5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v

) . Unité graphique : 3 cm

À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ′ d’affixe z ′ par l’application f qui admet pour écriture complexe :

z ′ = (3+4i)z+5z

6 .

1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives zA = 1+2i,zB = 1 et zC = 3i.

Déterminer les affixes des points A′, B′, C′ images respectives de A, B, C par f .

Placer les points A, B, C, A′, B′, C′.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. On pose z = x+ iy (avec x et y réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z ′ en fonction de x et y .

3. Montrer que l’ensemble des pointsM invariants par f est la droite (D) d’équa-

tion y = 1

2 x.

Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

4. Soit M un point quelconque du plan et M ′ son image par f . Montrer que M

appartient à la droite (D).

5. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z :

z ′− z

zA =

z+ z

6 + i

zz

3 .

En déduire que le nombre z ′− z

zA est réel.

b. En déduire que, si M ′ 6=M , les droites (OA) et (MM ′) sont parallèles.

6. Unpoint quelconqueN étant donné, comment construire son imageN ′ ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).

Effectuer la construction sur la figure.

EXERCICE 2 5 points

Commun à tous les candidats

On considère les suites (un ) et (vn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :{ u1 = 1

un =un−1+ 1

n pour n> 2

et vn =un − lnn pour n> 1

1. a. Calculer u2,u3 et u4.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : un = n

k=1

1

k

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel k non nul : 1

k+1 6

k+1

k

1

x dx6

1

k

b. Endéduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes :

un −16 lnn6 un − 1

n et 06 vn 6 1

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :

vn+1− vn = 1

n+1 −

n+1

n

1

x dx.

b. En déduire le sens de variations de la suite (vn).

4. Montrer que la suite (vn) converge. On note γ la limite de la suite (vn) (on ne cherchera pas à calculer γ).

Quelle est la limite de la suite (un ) ?

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice comporte deux parties indépendantes.

La partie I est la démonstration d’un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M.

Partie I

Nouvelle-Calédonie 2 16 novembre 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Question de cours

Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et B sont indépen- dants.

Partie II

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est

exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant

à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rap-

porte 1 point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. L’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro.

1. Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.

On extrait simultanément trois boules de l’urne.Quelle est la probabilité d’ob- tenir deux boules noires et une boule rouge ?

A 75

512 B

13

56 C

15

64 D

15

28 2. Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population.

Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0,25.

Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?

A 1

120 B

3

40 C

1

12 D

4

40

3. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.

Il gagne 10( si le démarque 1. Il gagne 1( si le démarque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

Quelle est la variance de X ?

A 2 B 13 C 16 D 17

4. La durée d’attente T , enminutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre

λ= 1

6 . On a donc pour tout réel t > 0 : P (T < t)=

t

0 λe−λxdx

( avec λ= 1

6 )

t désigne le temps exprimé enminutes.

Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2minutes, quelle est la probabi- lité (arrondie à 10−4 près) que son temps total soit inférieur à 5 minutes ?

A 0,2819 B 0,3935 C 0,5654 D 0,6065

EXERCICE 4 5 points

Commun à tous les candidats

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au der- nier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est à dire à . . . 30 km/h !

L’avant du camion est représenté par le segment [CC′] sur le schéma ci-dessous. Le lapin part du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l’angle θ = BAD avec 06 θ < π 2 (en radians).

Nouvelle-Calédonie 3 16 novembre 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 m

C′ A

C B D

θ 7m

Camion

1. Déterminer les distances AD et CD en fonction de θ et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2. On pose f (θ)= 7

2 +2tanθ

4

cosθ .

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f (θ)> 0.

3. Conclure.

Rappel :

La fonction x 7→ tanx est dérivable sur [ 0 ;

π

2

[ et a pour dérivée la fonction

x 7→ 1

cos2 x .

Nouvelle-Calédonie 4 16 novembre 2005

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