Correction des travaux pratiques en algorithmique  –  14, Exercices de Algorithmes
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction des travaux pratiques en algorithmique – 14, Exercices de Algorithmes

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Correction des travaux pratiques en algorithmique – 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le mouvement aléatoire, la limite, le repère orthonormal direct.
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PolynesieSsept.2005.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2005 \

EXERCICE 1 5 points

On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l’instant 0, la puce est en A. Pour tout entier naturel n :

• si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n+1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à

1

3 ;

soit en C avec une probabilité égale à 2

3 .

• si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n+1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable

• si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste. On note An (respectivement Bn , Cn ) l’évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C). On note an (respectivement bn , cn) la probabilité de l’évènement An , (respective- ment Bn , Cn ). On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0. Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.

1. Calculer ak , bk et ck pour k entier naturel tel que 16 k 6 3.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n,

an +bn +cn = 1 et

an+1 = 1

2 bn

bn+1 = = 1

3 an

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, an+2 = 1

6 an .

c. En déduire que, pour tout entier naturel p, 

a2p = (

1

6

)p

et a2p+1 = 0

b2p = 0 et b2p+1 = 1

3

(

1

6

)p .

3. Montrer que lim n→+∞

an = 0. On admet que lim

n→+∞ bn = 0. Quelle est la limite de cn lorsquen tend vers+∞ ?

EXERCICE 2 7 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique :

1 cm).

Partie A

Dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère la courbe H d’équation y2− x2 = 16.

1. Montrer que H est la réunion de deux courbes C et C ′ où C est la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x)=

p x2+16 et où C ′ est

l’image de C par une transformation simple que l’on précisera.

2. Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation).

a. Montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote de C .

Baccalauréat S

b. Tracer H dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On nomme A et B les points de la courbe d’abscisses respectives −3 et 3. On considère le domaine D du plan constitué des points M(x ; y) véri- fiant :

−36 x 6 3 et √

x2+166 y 6 5.

Hachurer le domaineD et exprimer l’aire deD à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d’angle − π

4 .

1. a. Donner l’écriture complexe de r .

b. On désigne par x′ et y ′ les coordonnées du point M ′, image du point M(x ; y) du plan.

Vérifier que

x′ = 1 p 2 (x+ y)

y ′ = 1 p 2 (−x+ y)

Déterminer les coordonnées des points A′ et B′, images respectives de A

et B par la rotation r . Placer les points A′ et B′ dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

.

2. Soit H ′ l’hyperbole d’équation xy = 8.

a. Tracer H ′ dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

.

b. Montrer que H ′ est l’image de H par la rotation r .

3. Soit D′ l’image de D par la rotation r . On admet que D′ est l’ensemble des

points M(x ; y) du plan vérifiant p 26 x 6 4

p 2 et

8

x 6 y 6 5

p 2− x.

a. Hachurer D′.

b. Calculer l’aire de D′,exprimée en cm2.

En déduire une valeur approchée à 10−3 près de l’aire de D.

EXERCICE 3 3 points

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant

à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. Le pointM est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon p 3. Son affixe

z vérifie :

a. |z−2+5i|2 = 3 ; b. |z+2−5i|2 = 3 ; c. |z−2+5i| = 3.

Polynésie 2 septembre 2005

Baccalauréat S

2. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un

point dont l’affixe z est telle que les nombres complexes zb ca

et zc ba

sont

imaginaires purs.

a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;

b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] ;

c. M est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelleG l’isobarycentre des points A, B et C et on note zG son affixe.

a. |zG −3−2,5i| = 5

6 ;

b. zG − (1+ i)= 1

3 (4+3i) ;

c. zG − (3+2,5i)= 1

3 (4+3i).

EXERCICE 4 5 points

L’annexe se rapporte à cet exercice. Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Le plan est rapporté

à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= e−x cos(4x)

et Γ sa courbe représentative tracée dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

de l’annexe. On consi-

dère également la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= e−x et on nomme C sa courbe représentative dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,

−e−x 6 f (x)6 e−x .

b. En déduire la limite de f en +∞. 2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γ et C .

3. On définit la suite (un) sur N par un = f (

n π

2

)

.

a. Montrer que la suite (un ) est une suite géométrique. En préciser la raison.

b. En déduire le sens de variation de la suite (un ) et étudier sa convergence.

4. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,

f ′(x)=−e−x [cos(4x)+4sin(4x)] .

b. En déduire que les courbes Γ etC ont même tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès du coefficient directeur

de la droite T tangente à la courbe Γ au point d’abscisse π

2 .

Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant T et C .

Polynésie 3 septembre 2005

Baccalauréat S

01

− 1

1 2

3 4

O

−→ ı

−→

A n

n e

x e

:e x

e rc

ic e

4

Polynésie 4 septembre 2005

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