Correction des travaux pratiques en algorithmique  –  15, Exercices de Algorithmes
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction des travaux pratiques en algorithmique – 15, Exercices de Algorithmes

PDF (122.1 KB)
3 pages
381Numéro de visites
Description
Correction des travaux pratiques en algorithmique – 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la continuité de f, l’encadrement, la dérivabilité, la nature de l’application f.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
PondicheryS2005.dvi

[ Baccalauréat S Pondichéry 31 mars 2005 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f , définie sur [1 ; +∞[ par

f (t)= et

t .

1. a. Justifier la continuité de f sur [1 ; +∞[.

b. Montrer que f est croissante sur [1 ; +∞[.

2. Restitution organisée de connaissances

On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni.

Pour tout réel x0 de [1 ; +∞[, on note A (x0) l’aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = x0.

On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [1 ; +∞[ est une primitive de f .

a. Que vaut A (1) ?

b. Soit x0 un réel quelconque de [1 ; +∞[ et h un réel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant :

f (x0)6 A (x0+h)−A (x0)

h 6 f (x0+h).

c. Lorsque x0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x0+h> 1 ?

d. En déduire la dérivabilité en x0 de la fonction A ainsi que le nombre dé- rivé en x0 de la fonction A .

e. Conclure.

0

1

2

3

4

5

0 1 2

e

x0 x0+h

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par I le point d’affixe zI = 1, par A le point d’affixe zA = 1−2i, par B le point d’affixe −2+2i et par (C ) le cercle de diamètre [AB]. On fera une figure que l’on complètera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

1. Déterminer le centreΩ du cercle (C ) et calculer son rayon.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Soit D le point d’affixe zD = 3+9i

4+2i .

Écrire zD sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle (C ).

3. Sur le cercle (C ), on considère le point E, d’affixe zE, tel qu’une mesure en

radians de (−→ ΩI ,

−−→ ΩE

)

est π

4 .

a. Préciser le module et un argument de zE+ 1

2 .

b. En déduire que zE = 5 p 2−2

4 + 5 p 2

4 i.

4. Soit r l’application du plan P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′+ 1

2 = ei

π

4

(

z+ 1

2

)

.

a. Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.

b. Soit K le point d’affixe zK = 2.

Déterminer par le calcul l’image de K par r . Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ?

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On consi-

dère l’application f qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3+4i

5 z+

1−2i

5 .

1. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que :

x′ = 3x+4y +1

5 y ′ =

4x−3y −2

5 2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .

b. Quelle est la nature de l’application f ?

3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z ′ soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.

a. Donner une solution particulière (x0, y0) appartenant à Z2 de l’équation 4x−3y = 2.

b. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à Z2 de l’équation

4x−3y = 2.

5. On considère les points M d’affixe z = x+ iy tels que x = 1 et y ∈Z. Le point M ′ = f (M) a pour affixe z ′.

Déterminer les entiers y tels que Re(z ′) et Im(z ′) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les

points A, B et C de coordonnées respectives (1 ; 0 ; 2), (1 ; 1 ; 4) et (−1 ; 1 ; 1).

1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Pondichéry 2 31 mars 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 4 ; −2).

Vérifier que le vecteur −→ n est orthogonal aux vecteurs

−−→ AB et

−−→ AC .

En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives 2x+ y +2z+1= 0 et

x−2y +6z = 0.

a. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d’équations paramétriques.

b. La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentreG des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et t .

a. Justifier l’existence du pointG pour tout réel positif t .

Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.

Exprimer le vecteur −→ IG en fonction du vecteur

−→ IC .

b. Montrer que l’ensemble des pointsG lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.

Pour quelle valeur de t , le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avecG ?

EXERCICE 4 6 points

Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel n, on pose un = n10

2n . On définit ainsi une suite (un )n∈N.

1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l’équivalence suivante :

un+1 6 0,95un si et seulement si

(

1+ 1

n

)10

6 1,9.

2. On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par

f (x)=

(

1+ 1

x

)10

.

a. Étudier le sens de variation et la limite en +∞ de la fonction f .

b. Montrer qu’il existe dans l’intervalle [1 ; +∞[ un unique nombre réelα tel que f (α)= 1,9.

c. Déterminer l’entier naturel n0 tel que n0−16α6 n0.

d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a :

(

1+ 1

n

)10

6 1,9.

3. a. Déterminer le sens de variation de la suite (un ) à partir du rang 16.

b. Que peut-on en déduire pour la suite ?

4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier natu- rel n supérieur ou égal à 16, l’encadrement :

06 un 6 0,95 n−16u16.

En déduire la limite de la suite (un )n∈N.

Pondichéry 3 31 mars 2005

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome