Correction des travaux pratiques en algorithmique  –  8, Exercices de Algorithmes
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction des travaux pratiques en algorithmique – 8, Exercices de Algorithmes

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Correction des travaux pratiques en algorithmique – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'intégration par parties, la relation de récurrence.
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LibanSjuin2005.dvi

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Liban juin 2005

EXERCICE 1 4 points

Commun tous les candidats

Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention « vrai »

ou « faux ».

Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points.

Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.

1. « Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ; +∞[, alors lim

x→+∞ f (x)=−∞. »

2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ; +∞[, g ne s’annulant pas :

« Si lim x→+∞

f (x)=−∞ et si lim x→+∞

g (x)=+∞ alors lim x→+∞

f (x)

g (x) =−1 ».

3. «Si f est une fonctiondéfinie sur [0 ; +∞[ telle que 06 f (x)6 p x sur [0 ; +∞[

alors lim x→+∞

f (x)

x = 0 ».

4. On considère un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan.

« Si f est une fonction définie sur R∗ alors la droite d’équation x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

».

5. « La fonction f définie sur R par f (x)= (

x2+3x+1 )

ex est une solution sur R de l’équation différentielle y ′− y = (2x+3)ex ».

6. Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et −2. « Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coef- ficients 3,−2 et 1 alors G est le milieu du segment [CI] ».

7. Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, −2 et 1. « L’ensemble des points M du plan tels que ‖3−−→MA −2−−→MB +−−→MC ‖ = 1 est le cercle de centre G et de rayon 1 ».

8. Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quel- conque du plan.

« Le produit scalaire −−→ MA ·−−→MB est nul si et seulement si M = A ou M = B ».

EXERCICE 2 3 points

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication. Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est ache- miné chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une se- conde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit. Une étude statistique a permis demontrer que le test est positif pour 70% des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans ré- parés, seulement 65% d’entre eux passent le second test avec succès. On note T1 l’évènement : « le premier test est positif ». On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».

Baccalauréat S 6 juin 2005 A. P. M. E. P.

1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication.

Déterminer les probabilités des évènements T1, et C.

2. La fabrication d’un écran revient à 1000 ( au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois.

Cela lui coûte 50( de plus si l’écran doit être testé une seconde fois.

Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client.

On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué, associe le

« gain »(éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.

a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.

b. Exprimer l’espérance de X en fonction de a.

c. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?

EXERCICE 3 8 points

Partie A

On considère la suite (un ) définie par :

pour tout entier naturel n non nul, un = ∫1

0 (1− t)net dt .

1. Montrer que la fonction f : t 7−→ (2− t)et est une primitive de g : t 7−→ (1− t)et sur [0 ; 1]. En déduire la valeur de u1.

2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n non nul,

un+1 = (n+1)un −1 (R)

Partie B

On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite (un ) en utilisant pour le calcul la re- lation de récurrence (R) ci-dessus. Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :

Liban 2

Baccalauréat S 6 juin 2005 A. P. M. E. P.

Valeur Valeur de un affichée par Valeur de un affichée par de n la première calculatrice le deuxième calculatrice 1 7,1828182845E−01 7,1828182846E−01 2 4,3656365691E−01 4,3656365692E−01 3 3,0969097075E−01 3,0969097076E−01 4 2,3876388301E−01 2,3876388304E−01 5 1,9381941508E−01 1,9381941520E−01 6 1,6291649051E−01 1,6291649120E−01 7 1,40415433581E−01 1,4041543840E−01 8 1,2332346869E−01 1,2332350720E−01 9 1,0991121828E−01 1,0991156480E−01 10 9,9112182825E−02 9,9115648000E−01 11 9,0234011080E−02 9,0272128000E−02 12 8,2808132963E−02 8,3265536000E−02 13 7,6505728522E−02 8,2451968000E−02 14 7,1080199309E−02 1,5432755200E−01 15 6,6202989636E−02 1,31491328006E+00 16 5,9247834186E−02 2,0038612480E+01 17 7,2131811612E−03 3,3965641216E+02 18 −8,7016273909E−01 6,1128154189E+03 19 −1,7533092042E+01 1,1614249296E+05 20 −3,5166184085E+02 2,3228488592E+06 21 −7,3858986580E+03 4,8779825043E+07 22 −1,6249077047E+05 1,0731561499E+09 23 −3,7372887209E+06 2,4682591448E+10 24 −8,9694930302E+07 5,923821947E+11 25 −2,242372585E+09 1,4809554869E+13

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un ) quand on exa- mine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obte- nus avec la deuxième calculatrice ?

Partie C

Dans cette partie on se propose d’étudier la suite (un ) à partir de la définition :

pour tout entier naturel n non nul, un = ∫1

0 (1− t)net dt .

1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un > 0.

2. a. Montrer que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier natu- rel non nul n

(1− t)net 6 e× (1− t)n .

b. En déduire que pour tout n non nul, un 6 e

n+1 .

3. Déterminer la limite de la suite (un ).

Partie D

Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (un ).

un+1 = (n+1)un −1

Étant donné un réel a, on considère la suite (vn) définie par :

v1 = a et pour tout entier naturel non nul n, vn+1 = (n+1)vn −1.

Liban 3

Baccalauréat S 6 juin 2005 A. P. M. E. P.

1. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n, vn = un + (n!)(a + 2− e) où n! désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.

2. Étudier le comportement de la suite (vn) à l’infini suivant les valeurs de a.

(On rappelle que lim n→+∞

n!=+∞.)

3. En déduire une raison susceptible d’expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices.

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. Unité gra-

phique : 0,5 cm.

On note j le nombre complexe ei 2π 3 .

On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8, b = 6j et c = 8j2. Soit A′ l’image de B par la rotation de centre C et d’angle

π

3 .

Soit B ′ l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π

3 .

Soit C ′ l’image de A par la rotation de centre B et d’angle π

3 .

1. Placer les points A, B, C, A′, B ′ etC ′ dans le repère donné.

2. On appelle a′,b′ et c ′ les affixes respectives des points A′,B ′ et C ′.

a. Calculer a′. On vérifiera que a′ est un nombre réel.

b. Montrer que b′ = 16e−i π

3 .

En déduire que O est un point de la droite BB ′.

c. On admet que c ′ = 7+7i p 3.

Montrer que les droites (AA′), (BB ′) et (CC ′) sont concourantes en O.

3. On se propose désormais de montrer que la distance MA+MB+MC est mi- nimale lorsque M = O.

a. Calculer la distance OA + OB + OC.

b. Montrer que j3 = 1 et que1+ j+ j2 = 0. c. On considère un point M quelconque d’affixe z du plan complexe.

On rappelle que a = 8, b = 6j et c = 8j2. Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :

∣(az)+ (bz)j2+ (cz)j ∣

∣= ∣

a+bj2+cj ∣

∣= 22.

d. On admet que, quels que soient les nombres complexes z, z ′ et z ′′ :

z+ z ′+ z ′′ ∣

∣6 |z|+ ∣

z ′ ∣

∣+ ∣

z ′′ ∣

∣ .

Montrer que MA+MB+MC est minimale lorsque M = O.

Liban 4

Baccalauréat S 6 juin 2005 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On considère l’équation (E) :

109x−226y = 1

x et y sont des entiers relatifs.

a. Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équa- tion (E) ?

b. Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141+226k, 68+109k), où k appartient à Z. En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul e tels que 109d = 1+226e. (On précisera les valeurs des entiers d et e.)

2. Démontrer que 227 est un nombre premier.

3. On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que a6 226.

On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante :

— à tout entier de A, f associe le reste de la division euclidienne de a109 par 227.

— à tout entier de A, g associe le reste de la division euclidienne de a141 par 227.

a. Vérifier que g [ f (0)]= 0. On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :

Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p alors

ap−1 ≡ 1 modulo p. b. Montrer que, quel que soit l’entier nonnul a deA, a226 ≡ 1 [modulo 227]. c. En utilisant 1. b., en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A.

g [ f (a)]= a. Que peut-on dire de f [(g (a)]= a ?

Liban 5

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