Correction des travaux pratiques en algorithmique  –  9, Exercices de Algorithmes
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction des travaux pratiques en algorithmique – 9, Exercices de Algorithmes

PDF (53.5 KB)
6 pages
121Numéro de visites
Description
Correction des travaux pratiques en algorithmique – 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite, les relations.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 6
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
MetropoleSjuin2005.dvi

[ Baccalauréat S Métropole juin 2005 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances. Partie A : question de cours

On suppose connus les résultats suivants : (1) deux suites (un ) et (vn) sont adjacentes lorsque : l’une est croissante, l’autre est décroissante et un vn tend vers 0 quand n tend vers +∞ ; (2) si (un ) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un ) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant àN, on a un 6 vn ; (3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et mi- norée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante :

« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».

Partie B

On considère une suite (un ), définie sur N dont aucun terme n’est nul. On définit

alors la suite (vn) surN par vn = −2

un .

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé- monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la dé- monstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si (un ) est convergente, alors (vn) est convergente.

2. Si (un ) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par −1.

3. Si (un ) est décroissante, alors (vn) est croissante.

4. Si (un ) est divergente, alors (vn) converge vers zéro.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

O A

K

L

M

N

P

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle C , et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAP N et MK LO. La figure est représentée ci-dessus. Le but de l’exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer. On munit le plan complexe d’un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.

Ondésignepar i le nombre complexe demodule 1 et d’argument π

2 .Onnote k, l , m, n

et p les affixes respectives des points K , L, M , N et P .

1. Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle C , on a ∣

m − 1

2

=

1

2 .

2. Établir les relations suivantes : l = im et p =−im+1+ i. On admettra que l’on a également n = (1− i)m + i et k = (1+ i)m.

3. a. Démontrer que le milieu Ω du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle C .

b. Démontrer que le point Ω appartient au cercle C et préciser sa position sur ce cercle.

4. a. Calculer la distance K N et démontrer que cette distance est constante.

b. Quelle est la nature du triangleΩN K ?

5. Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du point M , dont on déterminera le centre et le rayon.

Métropole 2 juin 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe. Cette annexe sera à rendre avec la copie.

Onmunit le plan d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. Le quadrilatèreMNPQ

est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les trianglesMRN,NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respectivement les points R, S, T et U).

Partie A

On désigne par m, n, p et q , les affixes respectives des points M, N, P et Q.

1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.

a. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude f .

b. On désigne par r l’affixe du point R. Démontrer que

r = 1+ i

2 m+

1− i

2 n, où i désigne le nombre complexe demodule 1 et d’ar-

gument π

2 (on pourra éventuellement utiliser l’écriture complexe de la si-

militude f ).

On admettra que l’on a également les résultats

s = 1+ i

2 n +

1− i

2 p, t =

1+ i

2 p +

1− i

2 q et u =

1+ i

2 q +

1− i

2 m, où s, t et u

désignent les affixes respectives des points S, T et U.

2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isoba- rycentre.

3. a. Démontrer l’égalité us = i(t r ).

b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d’une part, et pour les droites (RT) et (SU), d’autre part ?

Partie B

Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.

1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu’il existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U.

2. Décrire comment construire géométriquement le point Ω, centre de la rota- tion g . Réaliser cette construction sur la figure de l’annexe.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à 10−3 près. Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.

1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

Métropole 3 juin 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse d’abord au hasard une des deux boîtes, puis qu’il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les évènements suivants :

C1 : « L’enfant choisit la boîte cubique »,

C2 : « L’enfant choisit la boîte cylindrique »,

R : « L’enfant prend une bille rouge »,

V : « L’enfant prend une bille verte ».

a. Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.

b. Calculer la probabilité de l’évènement R.

c. Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la boîte cubique ?

3. L’enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.

a. Exprimer, en fonctionden, la probabilité pn que l’enfant ait pris aumoins une bille rouge au cours de ses n choix.

b. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn > 0,99.

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= 3e

x 4

2+e x 4 .

a. Démontrer que f (x)= 3

1+2e− x 4 .

b. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.

c. Étudier les variations de la fonction f .

Partie B

1. Ona étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t , est notée g (t). On définit ainsi une fonc- tion g de l’intervalle [0 ; +∞[ dans R. La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L’unité choisie pour g (t) est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une so- lution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’équation différentielle

(E1)y ′ =

y

4 .

a. Résoudre l’équation différentielle (E1).

b. Déterminer l’expression de g (t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c’est- à-dire g (0)= 1.

c. Après combiend’années la populationdépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

Métropole 4 juin 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur em- pêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :

(E2)

u′(t) = u(t)

4 −

[u(t)]2

12 pour tout nombre réel t positif ou nul,

u(0) = 1.

u′ désigne la fonction dérivée de la fonction u.

a. On suppose que, pour tout réel positif t , on a u(t)> 0. On considère, sur

l’intervalle [0 ; +∞[, la fonction h définie par h = 1

u . Démontrer que la

fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions

(E3)

{

h′(t) = − 1

4 h(t)+

1

12 pour tout nombre réel t positif ou nul,

h(0) = 1.

h′ désigne la fonction dérivée de la fonction h.

b. Donner les solutions de l’équation différentielle y ′ = − 1

4 y +

1

12 et en dé-

duire l’expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.

c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +∞ ?

Métropole 5 juin 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE

À rendre avec la copie

Figure de l’exercice 2 de spécialité

M

N

P

Q

R

S

T

U

Métropole 6 juin 2005

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome