Correction - exercices – algèbre – 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction - exercices – algèbre – 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Correction des exercices d'algèbre – 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal, la représentation paramétrique de la droite.
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[ Baccalauréat Nouvelle-Calédonie série S \ mars 2004

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carre- four. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de Sn notée E(Sn ) est égale à 10. Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.

1. Calculer p, puis justifier l’égalité P(Sn = k) = (n k

)

(

10

n

)k (

1− 10

n

)nk

k est

un entier naturel tel que 0É k Én.

2. a. Établir l’égalité ln[P(Sn = 0)]=−10× ln

(

1− 10

n

)

−10

n

où ln désigne la fonction

logarithme népérien ; en déduire que lim n→+∞

P(Sn = 0)= e −10.

b. Démontrer que P(Sn = k+1)= P(Sn = knk

n−10 ×

10

k+1 , où k est un en-

tier naturel tel que 0É k Én−1.

c. Démontrer que si lim n→+∞

P(Sn = k) = e −10 10

k

k! pour 0 É k É n, alors on a

également lim n→+∞

P(Sn = k+1)= e −10 10

k+1

(k+1)! pour 0É k+1Én.

d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier na-

turel k que lim n→+∞

P(Sn = k) = e −10 10

k

k! où k est un entier naturel tel que

k Én.

3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse

admettre que e−10 10k

k! est une approximation acceptable de P(Sn = k). Utili-

ser cette approximation pour calculer à 10−4 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carre- four.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

; on considère les points

A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

20x+9y +12z−180 = 0.

d. Montrer que le système

x = 0 4y −3z = 0 20x+9y +12z−180 = 0

a une solution

unique. Que représente cette solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2 c ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Soit p un entier naturel. Montrer que l’un des trois nombres p, p +10 et p+20, et l’un seulement est divisible par 3.

b. Les entiers naturels a, b et c sont dans cet ordre les trois premiers termes d’une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sa- chant qu’ils sont premiers.

2. Soit E l’ensemble des triplets d’entiers relatifs (u, v, w) tels que

3u+13v +23w = 0.

a. Montrer que pour un tel triplet v w (mod 3)

b. On pose v = 3k + r et w = 3k ′+ r k, k ′ et r sont des entiers relatifs et 0É r É 2.

Montrer que les éléments de E sont de la forme :

(−13k−23k ′ −12r, 3k+ r, 3k ′+ r ).

c. l’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine O et soit P le plan d’équation 3x+13y +23z = 0.

Déterminer l’ensemble des points M à coordonnées (x, y, z) entières re- latives appartenant au plan P et situés à l’intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.

PROBLÈME 11 points

Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.

Pour tout entier naturel n, on définit sur R la fonction numérique fn par :

f0(x)= 1

1+ x2 et pour n entier naturel non nul fn (x)=

xn

1+ x2 .

On note Γn , la courbe représentative de fn , dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

, unité graphique : 4 cm.

On désigne par In l’intégrale In = ∫1

0 fn(t)dt .

Partie A

1. a. Étudier les limites de f1 en +∞ et en −∞. Quelle est la conséquence gra- phique de ces résultats ?

b. Étudier les variations de f1.

c. Tracer la courbe Γ1.

d. Calculer I1.

2. a. Étudier les limites de f3 en +∞.

2

b. Étudier les variations de f3.

c. Tracer la courbe Γ3 sur le même dessin qu’au 1. c..

3. Calculer I1+ I3. En déduire la valeur de I3.

4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par les courbes Γ1, Γ3 et les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Partie B

Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

, unité graphique : 4 cm.

1. a. Étudier les limites de f0 en +∞ et en −∞.

b. Étudier les variations de f0.

2. Soit (an ) la suite définie, pour n entier naturel non nul, par an = ∫n

0

1

1+ t2 dt .

a. Interpréter graphiquement an .

b. Montrer que la suite (an ) est croissante.

c. Montrer que pour tout réel t : 1

1+ t2 É 1 et en déduire que a1 É 1.

d. Montrer que pour tout réel t non nul : 1

1+ t2 É

1

t2 et en déduire que pour

tout entier naturel non nul, ∫n

1

1

1+ t2 dt É 1−

1

n .

e. Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier na- turel n non nul, an É 2. Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite (an) ?

Partie C

Soit F la fonction telle que :

F (0)= 0, F dérivable sur R et F ′(x)= 1

1+ x2 .

1. On pose, pour tout x de ]

π

2 ; π

2

[

, H(x)= F [tan(x)].

a. Calculer H(0).

b. Montrer que H est dérivable sur ]

π

2 ; π

2

[

et calculer H ′(x).

c. En déduire que, pour tout x de ]

π

2 ; π

2

[

, H(x)= x.

d. Montrer que F (1)= π

4 .

2. On pose, pour tout x réel positif ou nul, k(x)= F

(

1

x+1

)

+F ( x

x+2

)

.

a. Montrer que la fonction k est dérivable sur R+ et déterminer k ′(x).

b. En déduire la valeur de F

(

1

2

)

+F

(

1

3

)

.

3

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