Correction - exercices – algèbre – 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction - exercices – algèbre – 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Correction des exercices d'algèbre – 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les milieux respectifs des segments, la fonction f, les variations de la fonction g.
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NlleCaledonieSnov.2004.dvi

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie \ novembre 2004

L’utilisation de la calculatrice est autorisée.

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on consi-

dère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z2−4z.

1. Soient A et B les points d’affixes zA = 1− i et zB = 3+ i.

a. Calculer les affixes des points A′ et B′ images des points A et B par f .

b. On suppose que deux points ont la même image par f . Démontrer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie cen- trale que l’on précisera.

2. Soit I le point d’affixe −3.

a. Démontrer que OMIM ′ est un parallélogramme si et seulement si

z2−3z+3= 0.

b. Résoudre l’équation z2−3z+3= 0.

3. a. Exprimer (

z ′+4 )

en fonction de (z − 2). En déduire une relation entre ∣

z ′+4 ∣

∣ et |z−2| puis entre arg (

z ′+4 )

et arg(z−2).

b. On considère les points J et K d’affixes respectives zJ = 2 et zK =−4.

Démontrer que tous les points M du cercle (C ) de centre J et de rayon 2 ont leur imageM ′ sur un même cercle que l’on déterminera.

c. Soit E le point d’affixe zE =−4−3i.

Donner la forme trigonométrique de (zE+4) et à l’aide du 3. a. démontrer qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E.

Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points.

EXERCICE 2 5 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.)

Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute ré- ponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le can-

didat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante.

Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et 2 réponses correctes rapportent 12 point.

A B

C D

E

F G H

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG]. L est le barycentre de {(A, 1) ; (B, 3)}. Soit (π) le plan d’équation 4x−4y +3z−3 = 0.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Les coordonnées de L sont :

a.

(

1

4 ; 0 ; 0

)

b.

(

3

4 ; 0 ; 0

)

c.

(

2

3 ; 0 ; 0

)

2. Le plan (π) est le plan

a. (GLE) b. (LEJ) c. (GFA)

3. Le plan parallèle au plan (π) passant par I coupe la droite (FB) en M de coor- données

a.

(

1 ; 0 ; 1

4

)

b.

(

1 ; 0 ; 1

5

)

c.

(

1 ; 0 ; 1

3

)

4. a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique deM par rapport à B.

b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.

c. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.

5. Le volume du tétraèdre FIJM est :

a. 1

36 b.

1

48 c.

1

24

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= x

ex x .

On note (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

, l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des

ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur R par g (x)= ex x−1.

1. Étudier les variations de la fonction g sur R. En déduire le signe de g .

2. Justifier que pour tout x, (ex x) est strictement positif.

Partie B

1. a. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.

b. Interpréter graphiquement les résultats précédents.

2. a. Calculer f ′(x), f ′ désignant la fonction dérivée de f .

b. Étudier le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations.

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.

b. À l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T).

4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe (C ).

EXERCICE 3 5 points

Exercice de spécialité

Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.

1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv = 1 alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

Nouvelle–Calédonie 2 novembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. En déduire que si (a2+abb2)2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux.

2. On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b) tels que

(

a2+abb2 )2

= 1. Un tel couple sera appelé solution.

a. Déterminer a lorsque a = b.

b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a < b , alors a2−b2 < 0.

3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y x ; x) et (y ; y + x) sont aussi des solutions.

b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions.

4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an )n définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n,n > 0, an+2 = an+1+an .

Démontrer que pour tout entier n> 0, (an ; an+1) est solution.

En déduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.

EXERCICE 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n, par :

{

u0 = 3

un+1 = un + vn

2

{

v0 = 4

vn+1 = un+1+ vn

2

1. Calculer u1, v1, u2 et v2.

2. Soit la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par : wn = vn un .

a. Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 1

4 .

b. Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite (wn).

3. Après avoir étudié le sens de variation de suites (un ) et (vn), démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

4. On considère à présent la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par

tn = un +2vn

3 .

a. Démontrer que la suite (tn) est constante.

b. En déduire la limite des suites (un ) et (vn).

EXERCICE 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.

1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que

au+bv = 1

alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

b. En déduire que si (

a2+abb2 )2

= 1 , alors a et b sont premiers entre eux.

2. On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b)

tels que (

a2+abb2 )2

= 1. Un tel couple sera appelé solution.

a. Déterminer a lorsque a = b.

b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a 6= b , alors a2−b2 < 0.

Nouvelle–Calédonie 3 novembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y x ; x) et (y ; y + x) sont aussi des solutions.

b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions

4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n∈N définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n, n> 0, an+2 = an+1+an .

Démontrer que pour tout entier n> 0, (an ; an+1) est solution.

En déduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.

Nouvelle–Calédonie 4 novembre 2004

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