Correction - exercices – algèbre – 12, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction - exercices – algèbre – 12, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Correction des exercices d'algèbre – 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les points d’affixes respectives, l’écriture complexe de s.
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Polynesiejuin2004.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2004 \

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de pa- ramètre λ avec λ> 0. Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.

1. Sachant que p(X > 10)= 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de λ est 0,125.

On prendra 0,125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.

2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope dumodèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.

3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabi- lité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans ?

4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la pro- babilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supé- rieure à 0,999 ?

Rappel :

Loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ; +∞[, dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement :

pour 06 a6 b, p([a ; b])= ∫b

a λe−λt dt et

pour c > 0, p([c ; +∞[)= 1− ∫c

0 λe−λt dt .

EXERCICE 2 5 points

Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra

pour unité graphique 1 cm.

1. On désigne par A, B et I les points d’affixes respectives :

zA = 3+2i, zB =−3 et zI = 1−2i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z = zI− zA zI− zB

.

Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ?

c. Calculer l’affixe zC du point C image de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2.

d. Soit D le barycentre du système {(A, 1) ; (B, −1) ; (C , 1)} ; calculer l’affixe zD du point D.

e. Montrer que ABCD est un carré.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Déterminer et construire l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que :

−−→ MA −

−−→ MB +

−−−→ MC

∥= 1

2

−−→ MA +

−−−→ MC

∥ .

3. On considère l’ensemble Γ2 des points M du plan tels que

−−→ MA −

−−→ MB +

−−−→ MC

∥= 4 p 5.

a. Montrer que B appartient à Γ2.

b. Déterminer et construire l’ensemble Γ2.

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra pour unité

graphique 3 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que

a= 3 b= 1+ 2

3 i c= 3i et d=−

1

3 i.

1. Représenter les points A, B, C et D.

2. Déterminer l’angle θ et le rapport k de la similitude directe s transformant A en B et C en D.

3. Donner l’écriture complexe de s. En déduire l’affixe du centre I de s.

4. Soit M le point de coordonnées (x ; y) et M ′(x′ ; y ′) son image par s.

Montrer que :

x′ = − 1

3 y +1

y ′ = 1

3 x

1

3 5. On construit une suite (Mn) de points du plan en posant

M0 = A et, pour tout entier naturel n Mn+1 = s(Mn )

Pour tout entier naturel, on note zn l’affixe du point Mn et on pose rn = |zn −1|. a. Montrer que (rn) est une suite géométrique dont on précisera le premier

terme et la raison.

b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que IMk 6 10 −3.

EXERCICE 3 6 points

Commun à tous les candidats

1. Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction fk définie sur R par :

fk (x)= x+ 1−kex

1+kex .

a. Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction fk est solution de l’équation différentielle :

(E) : 2y ′ = (y x)2+1.

b. En déduire le sens de variations de fk sur R.

Polynésie 2 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Sur l’annexe, on a représenté la droite D d’équation y = x − 1, la droite D′ d’équation y = x+1 et plusieurs courbesCk correspondant à des valeurs par- ticulières de k.

Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C ′ passant par le point A de coordonnées (1 ; 1).

3. On remarque que, pour tout x réel, on a :

fk (x)= x−1+ 2

1+kex (1) et fk (x)= x+1−

2kex

1+kex (2).

En déduire pour tout k strictement positif :

— la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D ′.

— les asymptotes de la courbe Ck .

4. Cas particulier : k = 1. a. Justifier que f1 est impaire

b. Soit la fonction F définie sur R par :

F (x)= ∫x

0 f1(t)dt .

Interpréter graphiquement le réel F (x) dans les deux cas : x > 0 et x < 0. Déterminer alors la parité de F à l’aide d’une interprétation graphique.

c. Déterminer les variations de F sur R.

d. En utilisant l’égalité (2), calculer explicitement F (x).

EXERCICE 4 5 points

Commun à tous les candidats

On considère la suite (In )n∈N définie par :

In = ∫1

0

e−t 2

1+n+ t dt .

1. a. Déterminer le sens de variations de cette suite.

b. Montrer que (In )n∈N , est une suite positive.

c. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1] on a e−t

2

1+ t +n 6

1

1+n et en déduire que

06 In 6 1

n+1 .

Que peut-on en conclure quant à la convergence de (In )n∈N ?

2. On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par :

f (x)= e−x + x−1 et g (x)= 1− x+ x2

2 −e−x .

a. Étudier le sens de variations et le signe de f .

b. En déduire le sens de variations de g sur [0 ; 1].

c. Établir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l’encadrement :

1− x 6 e−x 6 1− x+ x2

2 .

d. En déduire un encadrement de e−t 2 pour tout t appartenant à [0 ; 1].

Polynésie 3 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

e. Établir l’encadrement :

2

3(n+2) 6 In 6

23

30(n+1)

f. Donner une valeur de p telle que Ip 6 10−2.

Polynésie 4 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Document à rendre avec la copie

Annexe

-3-2-103 -4-3-2-101 234

A

D′

D

O

C

C ′

−→ ı

−→

Polynésie 5 juin 2004

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